Базис (линейная алгебра)

редактировать

Подмножество векторного пространства, которое позволяет определять координаты

Один и тот же вектор может быть представлен в двух разных базах (фиолетовый и красные стрелки).

В математике, набор B элементов (векторов) в векторном пространстве V называется базисом, если каждый элемент V может быть записан уникальным образом как (конечная) линейная комбинация элементов B. Коэффициенты этой линейной комбинации упоминаются как компоненты или координаты на B вектора. Элементы базиса называются базисными векторами .

. Эквивалентно B является базисом, если его элементы линейно независимы и каждый элемент V является линейной комбинацией элементов B. В более общих терминах базисом является линейно-независимый независимый покрывающий набор.

Векторное пространство может иметь несколько оснований; однако все базы имеют одинаковое количество элементов, называемое размерностью векторного пространства.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Свойства
4 Координаты
5 Изменение базиса
6 Связанные понятия
- 6.1 Бесплатный модуль
- 6.2 Анализ
  - 6.2.1 Пример
- 6.3 Геометрия
- 6.4 Случайный базис
7 Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет базис
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
- 10.1 Общие ссылки
- 10.2 Исторические ссылки
11 Внешние ссылки

Определение

A базис B векторного пространства V над полем F (например, вещественные числа Rили комплексные числа C) является линейно независимым подмножеством V, которое охватывает V. Это означает, что подмножество B в V является базисом, если оно удовлетворяет двум следующим условиям:

свойство линейной независимости:

для каждого конечного подмножества

{v 1,…, vm } {\ displaystyle \ {v_ {1}, \ dotsc, v_ {m} \}}

\{v_{1},\dotsc,v_{m}\}

of B, если

c 1 v 1 + ⋯ + cmvm = 0 {\ displaystyle c_ {1 } v_ {1} + \ cdots + c_ {m} v_ {m} = 0}

{\ displaystyle c_ {1} v_ {1} + \ cdots + c_ {m} v_ {m} = 0}

для некоторого

c 1,…, cm {\ displaystyle c_ {1}, \ dotsc, c_ { m}}

c_{1},\dotsc,c_{m}

в F, затем

c 1 = ⋯ = cm = 0 {\ displaystyle c_ {1} = \ cdots = c_ {m} = 0}

{\ displaystyle c_ {1} = \ cdots = c_ {m} = 0}

;

свойство spanning:

для каждого вектора v в V можно выбрать

a 1,…, an {\ displaystyle a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}}

в F и

v 1,…, vn {\ displaystyle v_ {1}, \ dotsc, v_ {n}}

v_{1},\dotsc,v_{n}

в B так, что

v = a 1 v 1 + ⋯ + anvn {\ displaystyle v = a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n}}

{\ displaystyle v = a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n}}

scalars $ai {\ displaystyle a_ {i}}$ $a_{i}$ являются называются координатами вектора v относительно базиса B, и по первому свойству они определяются однозначно.

Векторное пространство, имеющее конечный базис, называется конечномерным. В этом случае конечное подмножество может быть взято за само B для проверки линейной независимости в приведенном выше определении.

Часто бывает удобно или даже необходимо иметь упорядочивание на основе векторов, например для обсуждения ориентации или когда рассматриваются скалярные коэффициенты вектора по отношению к базису, без явной ссылки на базовые элементы. В этом случае порядок необходим для привязки каждого коэффициента к соответствующему базисному элементу. Такое упорядочение может быть выполнено путем нумерации базовых элементов. Например, при работе с (m, n) -матрицами (i, j) -й элемент (в i-й строке и j-м столбце) может быть отнесен к (m⋅ (j - 1) + i) -й элемент базиса, состоящего из (m, n) -единичных матриц (меняющиеся индексы столбцов перед индексами строк). Чтобы подчеркнуть, что порядок был выбран, говорят об упорядоченном базисе, который, следовательно, является не просто неструктурированным набором, но, например, последовательность , или индексированное семейство , или аналогичные; см. Заказанные базы и координаты ниже.

Примеры

Это изображение иллюстрирует стандартную основу в R . Синий и оранжевый векторы являются элементами основы; зеленый вектор может быть задан в терминах базисных векторов, и поэтому он линейно зависит от них.

Набор R из упорядоченных пар из вещественных числа - векторное пространство для покомпонентного сложения

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), {\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),}

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

и скалярное умножение

λ (a, b) = (λ a, λ b), {\ displaystyle \ lambda (a, b) = (\ lambda a, \ lambda b),}

\lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),

где

λ {\ displaystyle \ lambda}

\lambda

- любое действительное число. Простой базис этого векторного пространства, называемый стандартным базисом , состоит из двух векторов e 1 = (1,0) и e 2 = (0, 1), поскольку любой вектор v = (a, b) из R может быть однозначно записан как

v = ae 1 + be 2. {\ displaystyle v = ae_ {1} + be_ {2}.}

v=ae_{1}+be_{2}.

Любая другая пара линейно независимых векторов из R, например (1, 1) и (−1, 2), также формирует основу R.

В более общем плане, если F является полем, набор $F n {\ displaystyle F ^ {n}}$ $F ^ {n}$ из n -tuples элементов F является векторным пространством для аналогичным образом определенного сложения и скалярного умножения. Пусть

ei = (0,…, 0, 1, 0,…, 0) {\ displaystyle e_ {i} = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0)}

e_{i}=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)

быть кортежем n, все компоненты которого равны 0, кроме i-го, который равен 1. Тогда

e 1,…, en {\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}

e_ {1}, \ ldots, e_ {n}

является основой

F n, {\ displaystyle F ^ {n},}

{\ displaystyle F ^ {n},}

, которая называется стандартной основой

F n. {\ displaystyle F ^ {n}.}

F^{n}.

Если F - поле, кольцо многочленов F [X] из многочленов в одном неопределенном имеет базис B, называемый мономиальным базисом, состоящий из всех мономов :

B = {1, X, X 2,…}. {\ displaystyle B = \ {1, X, X ^ {2}, \ ldots \}.}

{\ displaystyle B = \ {1, X, X ^ {2}, \ ldots \}.}

Любой набор многочленов такой, что существует ровно один многочлен каждой степени, также является базисом. Такой набор полиномов называется последовательностью полиномов . Примерами (среди многих) таких полиномиальных последовательностей являются базисные полиномы Бернштейна и полиномы Чебышева.

Свойства

Многие свойства конечных базисов являются результатом леммы об обмене Стейница., в котором говорится, что для любого векторного пространства V, учитывая конечное охватывающее множество S и линейно независимое множество L из n элементов V, можно хорошо заменить n- выбранные элементы S элементами L, чтобы получить остовное множество, содержащее L, имеющее другие его элементы в S и имеющее то же количество элементов, что и S.

Большинство свойств, вытекающих из леммы об обмене Стейница, остаются верными когда нет конечного остовного множества, но их доказательства в бесконечном случае обычно требуют аксиомы выбора или более слабой ее формы, такой как лемма об ультрафильтрации.

Если V - вектор пространства над полем F, то:

Если L - линейно независимое подмножество остовного множества S ⊆ V, то существует базис B такой, что

L ⊆ B ⊆ S. {\ displaystyle L \ substeq B \ substeq S.}

L\subseteq B \subseteq S.

V имеет основу (это предыдущее свойство, где L является пустым набором, а S = V).
Все основания V имеют одинаковую мощность, которая называется размерностью V. Это теорема о размерности .
Порождающий набор S является базисом V, если и только если оно минимально, то есть никакое собственное подмножество S также не является порождающим набором V.
Линейно независимое множество L является базисом тогда и только тогда, когда оно является максимальным, то есть оно не является собственным подмножеством какого-либо линейно независимого множества.

Если V - векторное пространство размерности n, то:

Подмножество V с n элементами является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимый.
Подмножество V с n элементами является базисом тогда и только тогда, когда оно охватывает множество V.

Координаты

Пусть V - векторное пространство конечной размерности n над полем F и

B = {b 1,…, bn} {\ displaystyle B = \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \}}

{\ displaystyle B = \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \}}

быть базисом V. По определению ab asis, каждое v в V может быть записано уникальным образом как

v = λ 1 b 1 + ⋯ + λ nbn, {\ displaystyle v = \ lambda _ {1} b_ {1} + \ cdots + \ lambda _ {n} b_ {n},}

{\ displaystyle v = \ lambda _ {1} b_ {1} + \ cdots + \ lambda _ {n} b_ {n},}

где коэффициенты $λ 1,…, λ n {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ $\lambda _{1},\ldots,\lambda _{n}$ - это скаляры (то есть элементы F), которые называются координатами v над B. Однако, если говорить о наборе коэффициентов, теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов может иметь одинаковый набор коэффициентов. Например, $3 b 1 + 2 b 2 {\ displaystyle 3b_ {1} + 2b_ {2}}$ ${\ displaystyle 3b_ {1} + 2b_ {2}}$ и $2 b 1 + 3 b 2 {\ displaystyle 2b_ {1}. + 3b_ {2}}$ $2b_{1}+3b_{2}$ имеют одинаковый набор коэффициентов {2, 3} и разные. Поэтому часто бывает удобно работать с упорядоченной базой ; обычно это делается путем индексации базовых элементов по первым натуральным числам. Затем координаты вектора образуют последовательность , индексированную аналогично, и вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченная основа также называется кадром, словом, обычно используемым в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющих определять координаты.

Пусть, как обычно, $F n {\ displaystyle F ^ {n}}$ $F ^ {n}$ будет набором кортежей элементов F. Этот набор является F-векторным пространством с покомпонентным определением сложения и скалярного умножения. Карта

φ: (λ 1,…, λ n) ↦ λ 1 b 1 + ⋯ + λ nbn {\ displaystyle \ varphi: (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}) \ mapsto \ lambda _ {1} b_ {1} + \ cdots + \ lambda _ {n} b_ {n}}

{ \ displaystyle \ varphi: (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}) \ mapsto \ lambda _ {1} b_ {1} + \ cdots + \ lambda _ {n} b_ {n}}

- это линейный изоморфизм из векторного пространства $F n { \ displaystyle F ^ {n}}$ $F ^ {n}$ на V. Другими словами, $F n {\ displaystyle F ^ {n}}$ $F ^ {n}$ - это координатное пространство V, а кортеж n $φ - 1 (v) {\ displaystyle \ varphi ^ {- 1} (v)}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {- 1} (v)}$ является вектором координат v.

инверсия по $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ of $bi {\ displaystyle b_ {i}}$ $b_{i}$ - кортеж n $ei {\ displaystyle e_ {i}}$ $e_{i}$ , все компоненты которого равны 0, кроме i-го, равного 1. $ei {\ displaystyle e_ {i }}$ $e_{i}$ образуют упорядоченную основу $F n, {\ displaystyle F ^ {n},}$ ${\ displaystyle F ^ {n},}$ , которая называется его стандартной базой или каноническая основа. Упорядоченный базис B - это изображение $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ канонического базиса $F n. {\ displaystyle F ^ {n}.}$ $F^{n}.$

Из предшествующего следует, что каждый упорядоченный базис является образом линейным изоморфизмом канонического базиса $F n, {\ displaystyle F ^ {n},}$ ${\ displaystyle F ^ {n},}$ и что любой линейный изоморфизм из $F n {\ displaystyle F ^ {n}}$ $F ^ {n}$ на V может быть определен как изоморфизм, который отображает канонический базис $F n {\ displaystyle F ^ {n}}$ $F ^ {n}$ на заданный упорядоченный базис V. Другими словами, это эквивалентно определению упорядоченного базиса V или линейного изоморфизма из $F n {\ displaystyle F ^ {n}}$ $F ^ {n}$ на V.

Изменение базиса

Пусть V будет векторным пространством размерности n над полем F. Даны два (упорядоченные) базы $B old = (v 1,…, vn) {\ displaystyle B _ {\ mathrm {old}} = (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$ $B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots,v_{n})$ и $B новый = (w 1,…, wn) {\ displaystyle B _ {\ mathrm {new}} = (w_ {1}, \ ldots, w_ {n})}$ $B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots,w_{n})$ из V, это часто бывает полезно выразить координаты вектора x относительно $B old {\ displaystyle B _ {\ math rm {old}}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mathrm {old}}}$ в терминах координат относительно $B n e w. {\ displaystyle B _ {\ mathrm {new}}.}$ ${\ displaystyle B _ {\ mathrm {new}}.}$ Это можно сделать с помощью формулы изменения базиса, которая описана ниже. Индексы "старый" и "новый" были выбраны потому, что обычно относятся к $B old {\ displaystyle B _ {\ mathrm {old}}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mathrm {old}}}$ и $B new {\ displaystyle B _ {\ mathrm {new}}}$ $B_{\mathrm {new} }$ в качестве старой основы и новой основы соответственно. Полезно описывать старые координаты в терминах новых, потому что, как правило, есть выражения, включающие старые координаты, и если кто-то хочет получить эквивалентные выражения в терминах новых координат; это достигается заменой старых координат их выражениями в терминах новых координат.

Обычно новые базисные векторы задаются их координатами по старому базису, то есть

w j = ∑ i = 1 n a i, j v i. {\ displaystyle w_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} v_ {i}.}

w_{j}=\sum _{i=1}^{n }a_{i,j}v_{i}.

Если $(x 1,…, xn) {\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_1, \ ldots, x_n)$ и $(y 1,…, yn) {\ displaystyle (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) }$ ${\ displaystyle (y_ { 1}, \ ldots, y_ {n})}$ - координаты вектора x по старому и новому базису соответственно, формула замены базиса:

xi = ∑ j = 1 nai, jyj, {\ displaystyle x_ {i } = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j},}

{\ displaystyle x_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j},}

для i = 1,..., n.

Эта формула может быть кратко записана в матричной нотации. Пусть A будет матрицей $ai, j, {\ displaystyle a_ {i, j},}$ $a_{i,j},$ и

X = (x 1 ⋮ xn) {\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad}

X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad

Y = (y 1 ⋮ yn) {\ displaystyle \ quad Y = {\ begin {pmatrix} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {n} \ end {pmatrix}}}

\quad Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}

быть векторами-столбцами координат v в старом и новый базис соответственно, то формула изменения координат будет

X = AY. {\ displaystyle X = AY.}

{\ displaystyle X = AY.}

Формулу можно проверить, рассмотрев разложение вектора x по двум основаниям: один имеет

x = ∑ i = 1 nxivi, {\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} v_ {i},}

{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} v_ {i},}

x = ∑ j = 1 nyjwj = ∑ j = 1 nyj ∑ i = 1 nai, jvi = ∑ i = 1 п (∑ j = 1 nai, jyj) vi. {\ displaystyle {\ begin {align} x = \ sum _ {j = 1} ^ {n} y_ {j} w_ {j} \\ = \ sum _ {j = 1} ^ {n} y_ {j } \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} v_ {i} \\ = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j} \ right) v_ {i}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}x=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\=\sum _{j=1 }^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\\=\sum _{i=1}^{n}\left( \sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}

Формула замены базиса является результатом уникальности разложения вектора по основе, здесь $Б старый; {\ displaystyle B _ {\ mathrm {old}};}$ ${\ displaystyle B _ {\ mathrm {old}};}$ то есть

xi = ∑ j = 1 nai, jyj, {\ displaystyle x_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j},}

{\ displaystyle x_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j},}

для i = 1,..., n.

Связанные понятия

Свободный модуль

Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства кольцом , получится определение модуль . Для модулей линейная независимость и покрывающие наборы определены точно так же, как для векторных пространств, хотя «генерирующий набор » используется чаще, чем «покрывающий набор».

Как и для векторных пространств, базис модуля - это линейно независимое подмножество, которое также является порождающим множеством. Основное отличие теории векторных пространств состоит в том, что не каждый модуль имеет основу. Модуль, имеющий основу, называется свободным модулем. Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, поскольку их можно использовать для описания структуры несвободных модулей с помощью свободных разрешений.

. Модуль над целыми числами - это то же самое, что и абелева группа.. Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают специфическими свойствами, которые не разделяются модулями над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и, если G является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы H (то есть абелевой группой с конечным базисом), существует базис $e 1,…, en {\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$ $e_ {1}, \ ldots, e_ {n}$ из H и целое число 0 ≤ k ≤ n такое, что $a 1 e 1,…, akek {\ displaystyle a_ {1} e_ {1}, \ ldots, a_ {k} e_ {k}}$ ${\ displaystyle a_ {1} e_ {1}, \ ldots, a_ {k} e_ {k}}$ является базисом G, для некоторых ненулевых целых чисел $a 1,…, ak. {\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {k}.}$ $a_{1},\ldots,a_{k}.$ Подробнее см. Свободная абелева группа § Подгруппы.

Анализ

В контексте бесконечного -мерные векторные пространства над действительными или комплексными числами, термин базис Гамеля (названный в честь Георга Хамеля ) или алгебраический базис может использоваться для обозначения базиса как определено в этой статье. Это делается для того, чтобы отличаться от других понятий «базис», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделены дополнительной структурой. Наиболее важными альтернативами являются ортогональные базисы на гильбертовых пространствах, базисы Шаудера и базисы Маркушевича на линейных нормированных пространствах. В случае вещественных чисел R, рассматриваемых как векторное пространство над полем Q рациональных чисел, базисы Хамеля неисчислимы и имеют, в частности, мощность континуум, который является кардинальным числом $2 ℵ 0, {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}},}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}},}$ где $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\aleph _{0}$ - наименьший бесконечный кардинал, кардинал целых чисел.

Общей чертой других понятий является то, что они позволяют брать бесконечные линейные комбинации базисных векторов для генерации пространства. Это, конечно, требует, чтобы в этих пространствах содержательно определялись бесконечные суммы, как в случае топологических векторных пространств - большого класса векторных пространств, включая, например, Гильбертовы пространства, Банаховы пространства или пространства Фреше.

Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится " слишком большой »в банаховых пространствах: если X - бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое является полным (т.е. X является банаховым пространством ), то любой базис Гамеля в X обязательно бесчисленное множество. Это следствие теоремы Бэра о категориях. Полнота, а также бесконечная размерность являются ключевыми предпосылками предыдущего утверждения. В самом деле, конечномерные пространства по определению имеют конечные базы, а существуют бесконечномерные (неполные) нормированные пространства, которые имеют счетные базисы Гамеля. Рассмотрим $c 00 {\ displaystyle c_ {00}}$ $c_{00}$ , пространство между последовательностями $x = (xn) {\ displaystyle x = (x_ {n})}$ $x=(x_{n})$ действительных чисел, которые имеют только конечное число ненулевых элементов, с нормой $‖ x ‖ = sup n | х п |. {\ displaystyle \ | x \ | = \ sup _ {n} | x_ {n} |.}$ $\ | x \ | = \ sup _ {n} | x_ {n} |.$ Его стандартный базис, состоящий из последовательностей, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1, является счетным базисом Гамеля.

Пример

Изучая ряд Фурье, можно узнать, что функции {1} ∪ {sin (nx), cos (nx): n = 1, 2, 3,...} являются «ортогональным базисом» (действительного или комплексного) векторного пространства всех (действительных или комплексных) функций на интервале [0, 2π], которые интегрируются с квадратом на этом интервале, т. Е., функции f, удовлетворяющие

∫ 0 2 π | f (x) | 2 dx < ∞. {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty.}

\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty.

Функции {1} ∪ {sin (nx), cos (nx): n = 1, 2, 3,...} линейно независимы, и каждая функция f, интегрируемая с квадратом на [0, 2π] является их «бесконечной линейной комбинацией» в том смысле, что

lim n → ∞ ∫ 0 2 π | a 0 + k = 1 n (a k cos ⁡ (k x) + b k sin ⁡ (k x)) - f (x) | 2 dx знак равно 0 {\ Displaystyle \ lim _ {п \ rightarrow \ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ biggl |} a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n } {\ bigl (} a_ {k} \ cos (kx) + b_ {k} \ sin (kx) {\ bigr)} - f (x) {\ biggr |} ^ {2} \, dx = 0}

\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ biggl |} a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ bigl (} a_ {k} \ cos (kx) + b_ {k} \ sin (kx) {\ bigr)} - f (х) {\ biggr |} ^ {2} \, dx = 0

для подходящих (действительных или комплексных) коэффициентов a k, b k. Но многие интегрируемые с квадратом функции не могут быть представлены как конечные линейные комбинации этих базисных функций, которые, следовательно, не составляют базиса Гамеля. Каждый базис Гамеля в этом пространстве намного больше, чем просто счетно бесконечный набор функций. Базы Гамеля пространств такого типа обычно бесполезны, тогда как ортонормированные базисы этих пространств необходимы в анализе Фурье.

Геометрия

Геометрические понятия аффинное пространство, проективное пространство, выпуклое множество и конус имеют связанные понятия базиса. Аффинный базис для n-мерного аффинного пространства равен $n + 1 {\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ точек в общем линейном положении. проективный базис - это $n + 2 {\ displaystyle n + 2}$ $n+2$ точек в общем положении в проективном пространстве размерности n. выпуклый базис многогранника - это множество вершин его выпуклой оболочки. Базис конуса состоит из одной точки по краю многоугольного конуса. См. Также базис Гильберта (линейное программирование).

Случайный базис

Для распределения вероятностей в R с функцией плотности вероятности, например, равнораспределение в n-мерном шаре по отношению к мере Лебега, можно показать, что n случайно и независимо выбранных векторов сформируют базис с вероятностью единица, что связано с тем, что что n линейно зависимых векторов x1,..., xnв R должны удовлетворять уравнению det [x1,..., xn] = 0 (нулевой определитель матрицы со столбцами xi), а множество нулей нетривиального многочлена имеет нулевую меру. Это наблюдение привело к разработке методов аппроксимации случайных базисов.

Эмпирическое распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из n-мерного куба [−1, 1] как функция размерности, n. Коробчатые диаграммы показывают второй и третий квартили этих данных для каждого n, красные столбцы соответствуют медианам, а синие звезды указывают средние значения. Красная кривая показывает теоретическую границу, заданную формулой. (1) зеленая кривая показывает уточненную оценку.

Трудно численно проверить линейную зависимость или точную ортогональность. Поэтому используется понятие ε-ортогональности. Для пространств со скалярным произведением x является ε-ортогональным y, если $| ⟨X, y⟩ | / (‖ X ‖ ‖ y ‖) < ϵ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |/(\|x\|\|y\|)<\epsilon }$ $|\langle x,y\rangle |/(\|x\|\|y\|)<\epsilon$ (то есть косинус угла между x и y меньше ε).

В больших размерностях два независимых случайных вектора с высокой вероятностью почти ортогональны, а количество независимых случайных векторов, которые все с заданной высокой вероятностью попарно почти ортогональны, растет экспоненциально с увеличением размерности. Точнее, рассмотрим равнораспределение в n-мерном шаре. Выберите N независимых случайных векторов из шара (они независимы и одинаково распределены ). Пусть θ - небольшое положительное число. Тогда для

N ≤ e ϵ 2 n 4 [- ln ⁡ (1 - θ)] 1 2 {\ displaystyle N \ leq e ^ {\ frac {\ epsilon ^ {2} n} {4}} [- \ ln (1- \ theta)] ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle N \ leq e ^ {\ frac {\ epsilon ^ {2} n} {4}} [- \ ln (1- \ theta)] ^ {\ frac {1} {2} }}

(уравнение 1)

N случайных векторов попарно ε-ортогональны с вероятностью 1 - θ. Это N растет экспоненциально с размерностью n и $N ≫ n {\ displaystyle N \ gg n}$ ${\ displaystyle N \ gg n}$ для достаточно большого n. Это свойство случайных оснований является проявлением так называемого явления концентрации меры.

На рисунке (справа) показано распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из n-мерной куб [−1, 1] как функция размерности n. Сначала в кубе случайным образом выбирается точка. Вторая точка выбирается случайным образом в том же кубе. Если угол между векторами находился в пределах π / 2 ± 0,037π / 2, то вектор сохранялся. На следующем шаге в том же гиперкубе генерируется новый вектор и оцениваются его углы с ранее сгенерированными векторами. Если эти углы находятся в пределах π / 2 ± 0,037π / 2, вектор сохраняется. Процесс повторяется до тех пор, пока цепочка почти ортогональности не разорвется, и не будет зафиксировано количество таких попарно почти ортогональных векторов (длина цепочки). Для каждого n численно построено 20 попарно почти ортогональных цепочек для каждого измерения. Представлено распределение длин этих цепочек.

Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет базис

Пусть V будет любым векторным пространством над некоторым полем F . Пусть X будет набором всех линейно независимых подмножеств V.

Множество X непусто, поскольку пустое множество является независимым подмножеством V, и оно частично упорядочен включением, которое, как обычно, обозначается ⊆.

Пусть Y будет подмножеством X, которое полностью упорядочено ⊆, и пусть L Yбудет объединением всех элементов Y (которые сами по себе являются некоторыми подмножествами V ).

Поскольку (Y, ⊆) полностью упорядочен, каждое конечное подмножество L Yявляется подмножеством элемента Y, который является линейно независимым подмножество V, и, следовательно, L Yявляется линейно независимым. Таким образом, L Yявляется элементом X . Следовательно, L Y- это верхняя граница для Y в (X, ⊆): это элемент X, который содержит каждый элемент Y.

Поскольку X непусто, и каждое полностью упорядоченное подмножество (X, ⊆) имеет верхнюю границу в X, лемме Цорна утверждается, что X имеет максимальный элемент. Другими словами, существует некоторый элемент L max из X, удовлетворяющий условию, что всякий раз, когда L max ⊆ L для некоторого элемента L из X, тогда L = L max .

Осталось доказать, что L max является базисом из V . Поскольку L max принадлежит X, мы уже знаем, что L max является линейно независимым подмножеством V.

Если был какой-то вектор w из V, который не находится в диапазоне L max, то w также не будет элементом L max . Пусть L w= L max ∪ {w }. Этот набор является элементом X, то есть это линейно независимое подмножество V (поскольку w не входит в диапазон L max, а L max является независимым). Поскольку L max ⊆ L wи L max ≠ L w(поскольку L wсодержит вектор w, который не содержится в L max ), это противоречит максимальному значению L max . Таким образом, это показывает, что L max охватывает V.

Следовательно, L max является линейно независимым и охватывает V . Таким образом, это основа V, и это доказывает, что каждое векторное пространство имеет основу.

Это доказательство опирается на лемму Цорна, которая эквивалентна аксиоме выбора . Наоборот, было доказано, что если каждое векторное пространство имеет базис, то аксиома выбора верна. Таким образом, два утверждения эквивалентны.

См. Также

Изменение базы - Изменение координат для векторного пространства
Кадр векторного пространства
Сферический базис

Примечания

Ссылки

Общие ссылки

Бласс, Андреас (1984), «Существование базисов подразумевает аксиому выбора», Аксиоматическая теория множеств, Современная математика, том 31, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, pp. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, MR 0763890
Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства, Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN 978-0-8247-8419-5
Ланг, Серж (1987), линейная алгебра, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6

Исторические ссылки

Банах, Стефан (1922), «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям)» (PDF), Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 3 : 133–181, doi : 10.4064 / fm-3-1-133-181, ISSN 0016-2736
Больцано, Бернар (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком языке)
Бурбаки, Николас (1969), Éléments d 'histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском языке), Париж: Герман
Дорье, Жан-Люк (1995), «Общая схема генезиса теории векторного пространства», Historia Mathematica, 22(3): 227–261, doi : 10.1006 / hmat.1995.1024, MR 1347828
Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Théorie analytique de la chaleur (на французском), Chez Firmin Didot, père et fils
Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке), перепечатка: Герман Грассманн. Перевод Ллойда К. Канненберга. (2000), Extension Theory, Kannenberg, LC, Providence, RI: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2031-5
Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам, Ирландская королевская академия
Мёбиус, Август Фердинанд (1827), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитического изучения геометрии) (на немецком языке), заархивировано из оригинального 12 апреля 2009 г.
Мур, Грегори Х. (1995), «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875–1940», Historia Mathematica, 22(3): 262–303, doi : 10.1006 / hmat.1995.1025
Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин

Внешние ссылки

Обучающие видео из Академии Хана
- Введение в основы подпространств
- Доказательство того, что в любом базисе подпространств одинаковое количество elements
"Линейные комбинации, промежуток и базисные векторы". Сущность линейной алгебры. 6 августа 2016 г. - через YouTube.
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]