Эквивалентность категорий

редактировать

Категории с обратимыми функторами друг к другу, составы которых естественно изоморфны идентичности каждой категории

В теории категорий, абстрактной ветви математике, эквивалентность категорий - это отношение между двумя категориями, которое устанавливает, что эти категории «по существу одинаковы». Существует множество примеров категориальной эквивалентности из многих областей математики. Установление эквивалентности включает демонстрацию сильного сходства между рассматриваемыми математическими структурами. В некоторых случаях эти структуры могут казаться не связанными на поверхностном или интуитивном уровне, что делает понятие довольно мощным: оно создает возможность «переводить» теоремы между различными видами математических структур, зная, что сущностный смысл этих теорем сохраняется. под перевод.

Если категория эквивалентна противоположной (или двойственной) другой категории, тогда говорят о двойственности категорий и говорят, что эти две категории двойственно эквивалентный .

Эквивалентность категорий состоит из функтора между задействованными категориями, который должен иметь «обратный» функтор. Однако, в отличие от ситуации, типичной для изоморфизмов в алгебраической установке, композиция функтора и его «обратного» не обязательно является тождественным отображением. Вместо этого достаточно, чтобы каждый объект был естественно изоморфен своему изображению в этой композиции. Таким образом, можно описать функторы как «обратные с точностью до изоморфизма». Действительно, существует концепция изоморфизма категорий, где требуется строгая форма обратного функтора, но она имеет гораздо меньшее практическое применение, чем концепция эквивалентности.

Содержание

1 Определение
2 Эквивалентные характеристики
3 Примеры
4 Свойства
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

Формально, учитывая два категорий C и D эквивалентность категорий состоит из функтора F: C → D, функтора G: D → C и двух естественных изоморфизмов ε: FG → IDи η: IC→ GF. Здесь FG: D → D и GF: C → C обозначают соответствующие композиции F и G, а IC: C → C и ID: D → D обозначают тождественные функторы на C и D, присваивая каждому объекту и морфизм к себе. Если F и G - контравариантные функторы, то вместо этого говорят о двойственности категорий.

Часто не уточняют все вышеперечисленные данные. Например, мы говорим, что категории C и D эквивалентны (соответственно двойственно эквивалентны), если между ними существует эквивалентность (соответственно двойственность). Кроме того, мы говорим, что F «является» эквивалентностью категорий, если существуют обратный функтор G и естественные изоморфизмы, указанные выше. Обратите внимание, однако, что знания F обычно недостаточно, чтобы восстановить G и естественные изоморфизмы: может быть много вариантов (см. Пример ниже).

Эквивалентные характеристики

Функтор F: C → D дает эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он одновременно:

полный, то есть для любых двух объектов c 1 и c 2 из C, отображение Hom C(c1,c2) → Hom D (Fc 1, Fc 2), индуцированный F, является сюръективным ;
точным, т.е. для любых двух объектов c 1 и c 2 из C, отображение Hom C(c1,c2) → Hom D (Fc 1, Fc 2), индуцированный F, является инъективным ; и
по существу сюръективный (плотный), т.е. каждый объект d в D изоморфен объекту формы Fc для c в C.

Это довольно полезный и обычно применяемый критерий, потому что он не нужно явно строить «обратную» G и естественные изоморфизмы между FG, GF и тождественными функторами. С другой стороны, хотя вышеупомянутые свойства гарантируют существование категориальной эквивалентности (при достаточно сильной версии аксиомы выбора в базовой теории множеств), недостающие данные не определены полностью, и часто есть много вариантов. По возможности рекомендуется явно указывать недостающие конструкции. Из-за этого обстоятельства функтор с этими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий . (К сожалению, это противоречит терминологии из теории гомотопических типов.)

Существует также тесная связь с концепцией сопряженных функторов. Следующие утверждения эквивалентны для функторов F: C → D и G: D → C:

Существуют естественные изоморфизмы из FG в IDи ICв GF.
F является сопряженным слева группы G и оба функтора полны и точны.
G является правым сопряженным к F, и оба функтора полны и точны.

Поэтому можно рассматривать отношение сопряженности между двумя функторами как выражение «более слабой формы эквивалентности »категорий. Предполагая, что естественные преобразования для добавок заданы, все эти формулировки допускают явное построение необходимых данных и никаких принципов выбора не требуется. Ключевое свойство, которое здесь нужно доказать, состоит в том, что константа присоединения является изоморфизмом тогда и только тогда, когда правый сопряженный элемент является полным и точным функтором.

Примеры

Рассмотрим категорию $C {\ displaystyle C}$ $C$ , имеющую один объект $c {\ displaystyle c}$ $c$ и один морфизм $1 c {\ displaystyle 1_ {c}}$ $1 _ {{c}}$ , и категория $D {\ displaystyle D}$ $D$ с двумя объектами $d 1 {\ displaystyle d_ {1}}$ $d_ {1}$ , $d 2 {\ displaystyle d_ {2}}$ $d _ {{2}}$ и четыре морфизма: два морфизма идентичности $1 d 1 {\ displaystyle 1_ {d_ {1}}}$ $1 _ {{d _ {{1}}}}$ , $1 d 2 {\ displaystyle 1_ {d_ {2}}}$ $1 _ {{d _ {{2}}}}$ и два изоморфизма $α: d 1 → d 2 {\ displaystyle \ alpha \ двоеточие d_ {1} \ to d_ {2 }}$ $\ alpha \ двоеточие d _ {{1}} \ to d _ {{2}}$ и $β: d 2 → d 1 {\ displaystyle \ beta \ двоеточие d_ {2} \ to d_ {1}}$ $\ beta \ двоеточие d _ {{ 2}} \ to d _ {{1}}$ . Категории $C {\ displaystyle C}$ $C$ и $D {\ displaystyle D}$ $D$ эквивалентны; мы можем (например) иметь $F {\ displaystyle F}$ $F$ map $c {\ displaystyle c}$ $c$ to $d 1 {\ displaystyle d_ {1 }}$ $d_ {1}$ и $G {\ displaystyle G}$ $G$ сопоставляют оба объекта $D {\ displaystyle D}$ $D$ с $c {\ displaystyle c}$ $c$ и все морфизмы в $1 c {\ displaystyle 1_ {c}}$ $1 _ {{c}}$ .
Напротив, категория $C {\ displaystyle C}$ $C$ с один объект и один морфизм не эквивалентны категории $E {\ displaystyle E}$ $E$ с двумя объектами и только двумя идентичными морфизмами, поскольку два объекта в ней не изоморфны.
Рассмотрим категорию $C {\ displaystyle C}$ $C$ с одним объектом $c {\ displaystyle c}$ $c$ и двумя морфизмами $1 c, f: c → c {\ displaystyle 1_ {c}, f \ двоеточие c \ to c}$ $1_ {{c}}, f \ двоеточие c \ to c$ . Пусть $1 c {\ displaystyle 1_ {c}}$ $1 _ {{c}}$ будет морфизмом идентичности на $c {\ displaystyle c}$ $c$ и установите $f ∘ f = 1 {\ Displaystyle f \ circ f = 1}$ $f \ circ f = 1$ . Конечно, $C {\ displaystyle C}$ $C$ эквивалентно самому себе, что можно показать, взяв вместо $1 c {\ displaystyle 1_ {c}}$ $1 _ {{c}}$ требуемых естественных изоморфизмов между функтором $IC {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {C}}$ ${\ mathbf {I}} _ {{C}}$ и самим собой. Однако также верно и то, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ дает естественный изоморфизм из $IC {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {C}}$ ${\ mathbf {I}} _ {{C}}$ себе. Следовательно, учитывая информацию о том, что тождественные функторы образуют эквивалентность категорий, в этом примере все еще можно выбирать между двумя естественными изоморфизмами для каждого направления.
Категория множеств и частичные функции - это эквивалентны, но не изоморфны категории наборов с точками и карт, сохраняющих точки.
Рассмотрим категорию $C {\ displaystyle C}$ $C$ конечных мерные реальные векторные пространства и категория $D = M at (R) {\ displaystyle D = \ mathrm {Mat} (\ mathbb { R})}$ $D = {\ mathrm {Мат }} ({\ mathbb {R}})$ всех реальных матриц (последняя категория объясняется в статье о аддитивных категориях ). Тогда $C {\ displaystyle C}$ $C$ и $D {\ displaystyle D}$ $D$ эквивалентны: функтор $G: D → C {\ displaystyle G \ двоеточие D \ to C}$ $G \ двоеточие D \ to C$ , которое отображает объект $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ из $D {\ displaystyle D}$ $D$ в векторное пространство $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , а матрицы в $D {\ displaystyle D}$ $D$ в соответствующие линейные отображения полны, точны и по существу сюръективны.
Одной из центральных тем алгебраической геометрии является двойственность категории аффинных схем и категории коммутативные кольца. Функтор $G {\ displaystyle G}$ $G$ связывает каждому коммутативному кольцу его спектр, схему, определяемую простыми идеалами кольца. Присоединенный к нему $F {\ displaystyle F}$ $F$ связывает с каждой аффинной схемой свое кольцо глобальных секций.
В функциональном анализе категория коммутативных C * -алгебры с единицей контравариантно эквивалентны категории компактных пространств Хаусдорфа. В рамках этой двойственности каждое компактное хаусдорфово пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ связано с алгеброй непрерывных комплекснозначных функций на $X {\ displaystyle X}$ $X$ , и каждой коммутативной C * -алгебре соответствует пространство ее максимальных идеалов. Это представление Гельфанда.
В теории решеток существует ряд двойственностей, основанных на теоремах представления, которые связывают определенные классы решеток с классами топологических пространств. Вероятно, наиболее известной теоремой такого рода является теорема Стоуна о представлении для булевых алгебр, которая является частным случаем в общей схеме двойственности Стоуна. Каждая логическая алгебра $B {\ displaystyle B}$ $B$ отображается на определенную топологию в наборе ультрафильтров из $B {\ displaystyle B }$ $B$ . И наоборот, для любой топологии открыто-замкнутые (то есть замкнутые и открытые) подмножества дают булеву алгебру. Получается двойственность между категорией булевых алгебр (с их гомоморфизмами) и пространствами Стоуна (с непрерывными отображениями). Другой случай двойственности Стоуна - теорема Биркгофа о представлении, устанавливающая двойственность между конечными частичными порядками и конечными распределительными решетками.
В бессмысленной топологии категория пространственных локалей известна быть эквивалентным двойственной категории трезвых пространств.
Для двух колец R и S, категория продукта R- Mod × S- Mod эквивалентен (R × S) - Mod .
Любая категория эквивалентна его скелету.

Свойства

Как показывает практическое правило, эквивалентность категорий сохраняет все «категориальные» понятия и свойства. Если F: C → D является эквивалентом, то все следующие утверждения верны:

объект c из C является начальным объектом (или конечным объектом, или нулевой объект ), тогда и только тогда, когда Fc является начальным объектом (или конечным объектом, или нулевым объектом ) для D
морфизм α в C является мономорфизмом (или эпиморфизмом, или изоморфизмом ), если и только если Fα является мономорфизмом (или эпиморфизм, или изоморфизм) в D.
функтор H: I → C имеет предел (или копредел) l тогда и только тогда, когда функтор FH: I → D имеет предел ( или colimit) Fl. Это может быть применено к эквалайзерам, продуктам и сопутствующим продуктам среди прочего. Применяя его к ядрам и коядрам, мы видим, что эквивалентность F является точным функтором.
C является декартовой замкнутой категорией (или topos ) тогда и только тогда, когда D декартово замкнуто (или topos).

Двойственности «переворачивают все концепции»: они превращают исходные объекты в конечные объекты, мономорфизмы в эпиморфизмы, ядра в коядра, пределы в копределы и т. д.

Если F: C → D - эквивалент категорий, а G 1 и G 2 - две инверсии F, то G 1 и G 2 естественно изоморфны.

Если F: C → D является эквивалентом категорий, и если C является предаддитивной категорией (или аддитивной категорией, или абелевой категорией ), то D может быть превращен в предаддитивную категорию (или аддитивную категорию, или абелеву категорию) таким образом, что F становится аддитивным функтором. С другой стороны, любая эквивалентность аддитивных категорий обязательно аддитивна. (Обратите внимание, что последнее утверждение неверно для эквивалентностей между предаддитивными категориями.)

Автоэквивалентность категории C - это эквивалентность F: C → C. Автоэквивалентность C образуют группу при композиции, если мы рассматриваем две автоэквивалентности, которые естественно изоморфны, идентичными. Эта группа отражает основные «симметрии» C. (Одно предостережение: если C - не малая категория, то автоэквивалентности C могут образовывать правильный класс, а не набор.)

См. Также

Эквивалентные определения математических структур

Ссылки

эквивалентность категорий в nLab
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающего математика. Нью-Йорк: Спрингер. С. xii + 314. ISBN 0-387-98403-8.