Нормальное пространство

редактировать
Аксиомы разделения. в топологических пространствах
Колмогоров классификация
T0 (Колмогоров)
T1 (Фреше)
T2 (Хаусдорф)
T2½ (Урысон)
полностью Т 2 (полностью Хаусдорф)
T3 (обычный Хаусдорф)
T3½ (Тихонов)
T4 (нормальный Хаусдорф)
T5 (совершенно нормальный. Хаусдорф)
T6 (совершенно нормальный. Хаусдорф)

В топологии и связанных с ним разделов математики, нормальное пространство - это топологическое пространство X который удовлетворяет аксиоме T 4: каждые два непересекающихся замкнутых множества из X имеют непересекающиеся открытые окрестности. Обычное хаусдорфово пространство также называется T4пространством . Эти условия являются примерами аксиом разделения, и их дальнейшие усиления определяют полностью нормальные хаусдорфовы пространства или T5пространства и совершенно нормальные хаусдорфовы пространства, или T6пробелы .

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Примеры нормальных пробелов
  • 3 Примеры ненормальных пробелов
  • 4 Свойства
  • 5 Связь с другими аксиомами разделения
  • 6 Цитаты
  • 7 Ссылки

Определения

A топологическое пространство X является нормальным пространством, если для любых непересекающихся замкнутых множеств E и F существует окрестностей U точки E и V области F, которые также не пересекаются. Более интуитивно это условие говорит, что E и F могут быть разделены окрестностями.

. Замкнутые множества E и F, представленные здесь замкнутыми дисками на противоположных сторонах изображения, разделены своими соответствующими окрестностями U и V, здесь представлены более крупными, но все же непересекающимися открытыми дисками.

A T4пробел - это T1пробел X, который является нормальным; это эквивалентно тому, что X является нормальным и Хаусдорфовым.

A полностью нормальным пространством или наследственно нормальным пространством является топологическим пространством X таким, что любое подпространство в X с топология подпространства - нормальное пространство. Оказывается, X полностью нормален тогда и только тогда, когда каждые два множества могут быть разделены окрестностями. Кроме того, X полностью нормально тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество X является нормальным с топологией подпространства.

A полностью T 4 пробел, или T5пробел является полностью нормальным T1пространством топологическим пространством X, что подразумевает, что X Хаусдорф ; эквивалентно, каждое подпространство X должно быть пространством T 4.

A совершенно нормальное пространство - это топологическое пространство X, в котором каждые два непересекающихся замкнутых множества E и F могут быть точно разделены непрерывной функцией f от X до вещественной линии R: прообразы элементов {0} и {1} под f являются, соответственно, E и F. (В этом определении реальная линия может быть заменена на единичный интервал [ 0,1].)

Оказывается, что X совершенно нормален тогда и только тогда, когда X нормален и каждое замкнутое множество является Gδмножеством. Эквивалентно, X является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда каждый закрытый набор является нулевым набором. Каждое совершенно нормальное пространство автоматически становится полностью нормальным.

Абсолютно нормальное пространство Хаусдорфа X - это T6пространство или совершенно T 4 пространство .

Обратите внимание, что термины «нормальное пространство» и «T 4 » и производные концепции иногда имеют различное значение. (Тем не менее, «Т 5 » всегда означает то же самое, что и «полностью Т 4 », что бы это ни было.) Приведенные здесь определения обычно используются сегодня. Подробнее об этом см. История аксиом разделения.

Такие термины, как «нормальное регулярное пространство » и «нормальное хаусдорфово пространство», также встречаются в литературе - они просто означают, что пространство оба являются нормальными и удовлетворяют другому упомянутому условию. В частности, нормальное хаусдорфово пространство - это то же самое, что и пространство T 4. Учитывая историческую путаницу в значении терминов, полезны словесные описания, когда это применимо, то есть «нормальный Хаусдорф» вместо «Т 4 » или «совершенно нормальный Хаусдорф» вместо «Т <29»>5 ".

Полностью нормальные пробелы и полностью T 4 пробелы обсуждаются в другом месте; они связаны с паракомпактностью.

A локально нормальным пространством - это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, которая является нормальной. Каждое нормальное пространство локально нормально, но обратное неверно. Классическим примером полностью регулярного локально нормального пространства, которое не является нормальным, является плоскость Немыцкого.

Примеры нормальных пространств

Большинство пространств, встречающихся в математическом анализе, являются нормальными пространствами Хаусдорфа., или, по крайней мере, нормальные регулярные пространства:

Кроме того, все полностью нормальные пространства нормальны (даже если не штатный). Пространство Серпинского - пример нормального пространства, которое не является правильным.

Примеры ненормальных пространств

Важным примером ненормальной топологии является топология Зарисского на алгебраическом разнообразии или на спектре кольца, который используется в алгебраической геометрии.

Ненормальным пространством, имеющим некоторое отношение к анализу, является топологическое векторное пространство всех функции от вещественной линии Rк себе, с топологией поточечной сходимости. В более общем плане теорема Артура Гарольда Стоуна утверждает, что произведение из несчетного количества не компактных метрических пространств никогда не бывает нормальным.

Свойства

Каждое закрытое подмножество нормального пространства нормально. Непрерывное и замкнутое изображение нормального пространства является нормальным.

Основное значение нормальных пространств заключается в том, что они допускают "достаточно" непрерывных вещественных -значных функции, как выражено следующими теоремами, справедливыми для любого нормального пространства X.

Лемма Урысона : Если A и B - два непересекающихся замкнутых подмножества X, то там существует непрерывная функция f из X в вещественную прямую R такая, что f (x) = 0 для всех x в A и f (x) = 1 для всех x в B. Фактически, мы можем взять значения f должны полностью находиться в пределах единичного интервала [0,1]. (В более изящных терминах непересекающиеся замкнутые множества не только разделены окрестностями, но и разделены функцией.)

В более общем смысле, теорема Титце о расширении : если A - замкнутое подмножество X, а f - непрерывная функция от A до R, тогда существует непрерывная функция F: X → R, которая расширяет f в том смысле, что F ( x) = f (x) для всех x в A.

Если U является локально конечным открытым покрытием нормального пространства X, то существует раздел единицы точно подчиняется U . (Это показывает отношение нормальных пространств к паракомпактности.)

Фактически, любое пространство, которое удовлетворяет любому из этих трех условий, должно быть нормальным.

A произведение нормальных пробелов не обязательно является нормальным. Этот факт был впервые доказан Робертом Зоргенфри. Примером этого явления является самолет Соргенфри. Фактически, поскольку существуют пробелы, которые являются Даукером, произведение нормального пространства и [0, 1] не обязательно должно быть нормальным. Кроме того, подмножество нормального пространства не обязательно должно быть нормальным (т.е. не каждое нормальное хаусдорфово пространство является полностью нормальным хаусдорфовым пространством), поскольку каждое тихоновское пространство является подмножеством своей компактификации Стоуна – Чеха (которая является нормальной хаусдорфовой). Более явный пример - Тихоновская доска. Единственный большой класс пространств-произведений нормальных пространств, известных как нормальные, - это произведения компактных хаусдорфовых пространств, поскольку как компактность (теорема Тихонова ), так и аксиома T 2 сохраняются при произвольных продукты.

Связь с другими аксиомами разделения

Если нормальным пространством является R0, то на самом деле это полностью регулярный. Таким образом, все, что от «нормального R 0 » до «нормального полностью регулярного», является тем же, что мы обычно называем нормальным регулярным. Взяв частные Колмогорова, мы видим, что все нормальные T1пробелы являются Тихоновым. Это то, что мы обычно называем нормальными хаусдорфовыми пространствами.

Топологическое пространство называется псевдонормальным, если в нем заданы два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых счетно, существуют непересекающиеся открытые множества, содержащие их. Любое нормальное пространство псевдонормально, но не наоборот.

Контрпримеры к некоторым вариантам этих утверждений можно найти в приведенных выше списках. В частности, пространство Серпинского является нормальным, но не регулярным, в то время как пространство функций от R до самого себя является Тихоновым, но не нормальным.

Цитаты

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-31 12:39:34
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте