Теория представлений SL ₂ (R)

В математике основные результаты, касающиеся неприводимых унитарных представлений группы Ли SL (2, R), принадлежат Гельфанду и Наймарку (1946), В. Баргманну (1947) и Хариш-Чандре (1952).

• 1 Структура комплексифицированной алгебры Ли
• 2 Конечномерные представления
• 3 Представления основных серий
• 4 Допустимые представления
  • 4.1 Связь с классификацией Ленглендса
• 5 Унитарные представления
• 6 Ссылки
• 7 См. Также

Мы выбираем базис H, X, Y для комплексификации алгебры Ли группы SL (2, R) так, чтобы iH порождал алгебру Ли компактной подгруппы Картана K (так, в частности, унитарные представления расщепляются как сумма собственных подпространств группы H), а { H, X, Y } - sl 2 -тройка, что означает, что они удовлетворяют соотношениям

${\ displaystyle [H, X] = 2X, \ quad [H, Y] = - 2Y, \ quad [X, Y] = H.}$

Один из способов сделать это:

${\ displaystyle H = {\ begin {pmatrix} 0 amp; -i \\ i amp; 0 \ end {pmatrix}}}$соответствующей подгруппе K матриц${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (\ theta) amp; - \ sin (\ theta) \\\ sin (\ theta) amp; \ cos (\ theta) \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle X = {1 \ over 2} {\ begin {pmatrix} 1 amp; i \\ i amp; -1 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle Y = {1 \ over 2} {\ begin {pmatrix} 1 amp; -i \\ - i amp; -1 \ end {pmatrix}}}$

Оператор Казимира Ω определяется как

${\ displaystyle \ Omega = H ^ {2} + 1 + 2XY + 2YX.}$

Он порождает центр универсальной обертывающей алгебры комплексифицированной алгебры Ли SL (2, R). Элемент Казимира действует на любое неприводимое представление как умножение на некоторый комплексный скаляр μ ². Таким образом, в случае алгебры Ли SL 2, то бесконечно малый характер неприводимого представления задается одним комплексным числом.

Центр Z группы SL (2, R) является циклической группой { I, - I } порядка 2, состоящей из единичной матрицы и ее отрицательной матрицы. На любом неприводимом представлении центр действует либо тривиально, либо посредством нетривиального характера Z, который представляет матрицу - I умножением на -1 в пространстве представления. Соответственно, говорят о тривиальном или нетривиальном центральном характере.

Центральный характер и инфинитезимальный характер неприводимого представления любой редуктивной группы Ли являются важными инвариантами представления. В случае неприводимых допустимых представлений SL (2, R) оказывается, что в общем случае существует ровно одно представление с точностью до изоморфизма с указанными центральным и бесконечно малым характерами. В исключительных случаях есть два или три представления с заданными параметрами, все из которых определены.

Для каждого неотрицательного целого n группа SL (2, R) имеет неприводимое представление размерности n +1, единственное с точностью до изоморфизма. Это представление можно построить в пространстве однородных многочленов степени n от двух переменных. Случай n = 0 соответствует тривиальному представлению. Неприводимое конечномерное представление некомпактной простой группы Ли размерности больше 1 никогда не бывает унитарным. Таким образом, эта конструкция дает только одно унитарное представление SL (2, R), тривиальное представление.

Конечномерен теория представлений некомпактном группы SL (2, R) эквивалентна теории представлений SU (2), ее компактной форме, по существу, потому что их алгебры Ли имеют один и тот же комплексификацию и они «алгебраически односвязны». (Точнее, группа SU (2) односвязна, а SL (2, R) нет, но не имеет нетривиальных алгебраических центральных расширений.) Однако в общем бесконечномерном случае нет тесного соответствия между представлениями группы и представления ее алгебры Ли. Фактически, из теоремы Питера – Вейля следует, что все неприводимые представления компактной группы Ли SU (2) конечномерны и унитарны. Совершенно иная ситуация с SL (2, R): он обладает бесконечномерными неприводимыми представлениями, некоторые из которых унитарны, а некоторые нет.

Основным методом построения представлений редуктивной группы Ли является метод параболической индукции. В случае группы SL (2, R) с точностью до сопряженности существует только одна собственная параболическая подгруппа - борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц детерминанта 1. Индукционным параметром представления индуцированной основной серии является (возможно, неунитарный) характер мультипликативной группы действительных чисел, который задается выбором ε = ± 1 и комплексного числа μ. Соответствующее представление основной серии обозначается I ε, μ. Оказывается, ε является центральным характером индуцированного представления, а комплексное число μ можно отождествить с бесконечно малым характером с помощью изоморфизма Хариш-Чандры.

Представление главной серии I ε, μ (или, точнее, его модуль Хариш-Чандры из K -конечных элементов) допускает базис, состоящий из элементов w j, где индекс j пробегает четные целые числа, если ε = 1, и нечетные целые числа, если ε = -1. Действие X, Y и H задается формулами

${\ displaystyle H (w_ {j}) = jw_ {j}}$

${\ displaystyle X (w_ {j}) = {\ mu + j + 1 \ over 2} w_ {j + 2}}$

${\ Displaystyle Y (w_ {j}) = {\ mu -j + 1 \ over 2} w_ {j-2}}$

Используя тот факт, что он является собственным вектором оператора Казимира и имеет собственный вектор для H, легко следует, что любое неприводимое допустимое представление является подпредставлением параболически индуцированного представления. (Это также верно для более общих редуктивных групп Ли и известно как теорема Кассельмана о подпредставлениях. ) Таким образом, неприводимые допустимые представления SL (2, R) могут быть найдены путем разложения представлений основной серии I ε, μ на неприводимые компоненты и определения изоморфизмы. Мы резюмируем разложения следующим образом:

• I ε, μ приводимо тогда и только тогда, когда μ - целое число и ε = - (- 1) ^μ. Если I ε, μ неприводимо, то оно изоморфно I ε, −μ.
• I −1, 0 распадается как прямая сумма I ε, 0 = D +0 + D −0 двух неприводимых представлений, называемая пределом представлений дискретной серии. D +0 имеет базис w j при j ≥1, а D −0 имеет базис w j при j ≤ − 1,
• Если I ε, μ приводимо с μgt; 0 (так что ε = - (- 1) ^μ), то оно имеет единственный неприводимый фактор, который имеет конечную размерность μ, а ядро ​​является суммой двух представлений дискретной серии D + μ + D −μ. Представление D μ имеет базис w μ + j при j ≥ 1, а D −μ имеет базис w −μ− j при j ≤ − 1.
• Если I ε, μ приводимо с μ lt;0 (так что ε = - (- 1) ^μ), то оно имеет единственное неприводимое подпредставление, которое имеет конечную размерность -μ, а фактор - это сумма двух представлений дискретной серии D + μ + D −μ.

Это дает следующий список неприводимых допустимых представлений:

• Конечномерное представление размерности μ для каждого натурального числа μ с центральным характером - (- 1) ^μ.
• Два предела представлений дискретных серий D +0, D −0, с μ = 0 и нетривиальным центральным характером.
• Представление дискретной серии D μ для целого ненулевого числа μ с центральным характером - (- 1) ^μ.
• Два семейства неприводимых представлений основной серии I ε, μ для ε ≠ - (- 1) ^μ (где I ε, μ изоморфно I ε, −μ).

Связь с классификацией Ленглендса

Согласно классификации Ленглендса неприводимые допустимые представления параметризуются некоторыми умеренными представлениями подгрупп Леви M параболических подгрупп P = MAN. Это работает следующим образом:

• Дискретный ряд, предел дискретного ряда и унитарные представления главных серий I ε, μ с мнимым μ уже умерены, поэтому в этих случаях параболическая подгруппа P сама является SL (2, R).
• Конечномерные представления и представления I ε, μ при ℜμgt; 0, μ не целое или ε ≠ - (- 1) ^μ являются неприводимыми факторами представлений основной серии I ε, μ при μgt; 0, которые индуцированные из темперированных представлений параболической подгруппы P = MAN верхнетреугольных матриц, где A - положительные диагональные матрицы, а M - центр порядка 2. Для μ натуральное число и ε = - (- 1) ^μ представление главной серии имеет конечномерное представление как его неприводимое факторное, иначе оно уже неприводимо.

Неприводимые унитарные представления можно найти, проверив, какое из неприводимых допустимых представлений допускает инвариантную положительно определенную эрмитову форму. Это приводит к следующему списку унитарных представлений SL (2, R):

• Тривиальное представление (единственное конечномерное представление в этом списке).
• Два предела представлений дискретных серий D + 0, D - 0.
• Представления дискретной серии D k, индексированные ненулевыми целыми числами k. Все они разные.
• Два семейства представления неприводимой основной серии, состоящие из сферической основной серии I +, i μ, индексированной действительными числами μ, и несферической унитарной основной серии I -, i μ, индексированной ненулевыми действительными числами μ. Представление с параметром μ изоморфно представлению с параметром −μ, и между ними нет никаких дальнейших изоморфизмов.
• Представления дополнительной серии I +, μ для 0 lt;| μ | lt;1. Представление с параметром μ изоморфно представлению с параметром −μ, и между ними нет никаких дальнейших изоморфизмов.

Из них два предела представлений дискретных серий, представления дискретных серий и два семейства представлений основных серий являются умеренными, в то время как представления тривиальных и дополнительных серий не изменяются.

• Баргман, В. (1947), "Неприводимые унитарные представления группы Лоренца", Анналы математики, вторая серия 48 (3): 568-640, DOI : 10,2307 / 1969129, JSTOR   1969129, МР   0021942
• Гельфанд, И.; Neumark, M. (1946), "Унитарные представления группы Лоренца", Acad. Sci. СССР. J. Phys., 10: 93–94, MR   0017282.
• Хариш-Чандры (1952), «Формула Планшереля для 2 × 2 вещественной унимодулярной группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 38 (4): 337-342, DOI : 10.1073 / pnas.38.4.337, JSTOR   88737, MR   0047055, PMC   1063558, PMID   16589101.
• Хау, Роджер; Тан, Энг-Чай (1992), Неабелев гармонический анализ: приложения SL (2, R), Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4613-9200-2, ISBN   0-387-97768-6, Руководство по ремонту   1151617.
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах (Перепечатка оригинала 1986 года), Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN   0-691-09089-0, MR   1880691.
• Кунце, РА ; Штейн, Е. (1960), "Равномерно ограниченные представления и гармонический анализ 2 × 2 вещественной унимодулярной группы в", American Journal математики, 82: 1-62, DOI : 10,2307 / 2372876, JSTOR   2372876, МР   0163988.
• Воган, Дэвид А. младший (1981), Представления реальных редуктивных групп Ли, Progress in Mathematics, 15, Boston, Mass: Birkhäuser, ISBN   3-7643-3037-6, Руководство по ремонту   0632407.
• Уоллах, Нолан Р. (1988), Реальные редуктивные группы. I, Чистая и прикладная математика, 132, Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., стр.  xx + 412, ISBN   0-12-732960-9, Руководство по ремонту   0929683.

• спин (физика)
• Теория представлений SU (2)
• Группа вращений SO (3) # Замечание по алгебре Ли