Фильтры в топологии

Предварительный порядок ≤, определенный ниже, имеет фундаментальное значение для использования предварительных фильтров (и фильтров) в топологии. Например, этот предварительный порядок используется для определения префильтрационного эквивалента «подпоследовательности», где «ℱ ≥ 𝒞» может интерпретироваться как «ℱ является подпоследовательностью» (таким образом, «подчиненный» - это предварительный фильтр, эквивалентный «подпоследовательности»). Он также используется для определения сходимости предварительного фильтра в топологическом пространстве. Определение сеток с 𝒞, которое тесно связано с предпорядком ≤, используется в Topology для определения точек кластера.

Семейства ℬ и 𝒞 сетчатые или совместимы, если B ∩ C ≠ ∅ для всех B ∈ ℬ и C ∈ 𝒞. Множества ℬ и 𝒞 разъединяются, если они не сцепляются.

1. Каждый C ∈ 𝒞 содержит некоторый F ∈ ℱ. Явно это означает, что для любого C ∈ 𝒞 существует некоторый F ∈ ℱ такой, что F ⊆ C;
   • На словах одно семейство грубее, чем другое семейство, если каждое C в более грубом семействе содержит в качестве подмножества некоторое F из более тонкого семейства.
2. 𝒞 ≤ ℱ;
3. 𝒞 ≤ ℱ, что эквивалентно 𝒞 ⊆ ℱ;
4. 𝒞 ≤ ℱ, что эквивалентно 𝒞 ⊆ ℱ;

, и если дополнительно ℱ закрыто вверх, что означает, что ℱ = ℱ, то этот список может быть расширено, чтобы включить:

5. 𝒞 ⊆ ℱ.
   • Таким образом, в этом случае определение «ℱ точнее, чем» будет идентично топологическому определению слова «более тонкий» если бы 𝒞 и были топологиями на X.

Если замкнутое вверх семейство ℱ тоньше, чем 𝒞 (т. е. 𝒞 ≤ ℱ), но ≠, то называется строго более тонким, чем 𝒞, а 𝒞 строго грубее, чем ℱ. Два семейства 𝒞 и ℱ сравнимы, если одно из этих множеств тоньше другого.

Если ℬ - подбаза фильтра, а and - семейство множеств, удовлетворяющих ℱ ≤ ℬ, то ℱ - подбаза фильтра, а также ℱ и ℬ сетка (см. сноску для доказательства).

Если ℬ и ℱ - семейства множеств, такие что ℬ ультра, ∅ ∉ ℱ и ℬ ≤ ℱ, то ℱ обязательно ультра. Таким образом, любое семейство множеств, эквивалентное ультра-семейству, обязательно будет ультра. Если ℬ является предварительным фильтром, то либо ℬ, и фильтр ℬ, который он генерирует, являются ультра, либо ни один из них не является ультра.

Если суббаза фильтра является ультра, то это предварительный фильтр, и в этом случае фильтр, который он генерирует, также будет ультра. Подбаза фильтра ℬ, которая не является предварительным фильтром, не может быть ультра; но, тем не менее, предварительный фильтр и фильтр, сгенерированные ℬ, все еще могут быть ультра.

Реляционные свойства подчинения

Отношение сравнения / подчинения ≤ является рефлексивным и транзитивным, что превращает его в предзаказ на ℘ (℘ ( ИКС)).

Симметрия: для любого ℬ ⊆ ℘ (X) ℬ ≤ {X} тогда и только тогда, когда {X} = ℬ. Таким образом, множество X имеет более одной точки тогда и только тогда, когда отношение ≤ на Filters (X) не является симметричным.

Антисимметрией: если ℬ ⊆ 𝒞, то ℬ ≤ 𝒞, но в то время как обратное в общем случае неверно, оно выполняется, если 𝒞 закрыто вверх (например, если 𝒞 - фильтр). Два фильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны, что делает ограничение ≤ Фильтры (X) антисимметричным. Но в общем случае ≤ не является антисимметричным ни на предварительных фильтрах (X), ни на ℘ (℘ (X)); то есть, 𝒞 ≤ ℬ и ℬ ≤ not не обязательно влечет = 𝒞; нет, даже если и ℬ являются предварительными фильтрами. Например, если ℬ является предварительным фильтром, но не фильтром, то ℬ ≤ ℬ и ℬ ≤ ℬ, но ℬ ≠ ℬ.

Эквивалентные семейства множеств

Предпорядок ≤ индуцирует свое каноническое отношение эквивалентности на ℘ (℘ (X)), где для всех ℬ, 𝒞 ∈ ℘ (℘ ( X)), ℬ эквивалентно 𝒞, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1. 𝒞 ≤ ℬ и ℬ ≤ 𝒞.
2. Замыкания вверх для 𝒞 и ℬ равны.

Если ⊆ ℘ (X), то ∅ ≤ ℬ ≤ ℘ (X) и ℬ эквивалентно ℬ.

Свойства, сохраняемые между эквивалентными множествами

Пусть ℬ, 𝒞 ∈ ℘ (℘ (X)) произвольны и пусть ℱ - любое семейство множеств. Если ℬ и 𝒞 эквивалентны (что означает, что ker ℬ = ker 𝒞), то для каждого из утверждений / свойств, перечисленных ниже, либо это верно для ℬ и 𝒞, либо ложно как для ℬ, так и:

1. Не пусто
2. Правильный
   • Более того, любые два вырожденных семейства наборов обязательно эквивалентны.
3. Подбаза фильтра
4. Предварительный фильтр
   • В этом случае ℬ и 𝒞 генерируют один и тот же фильтр по X (т. Е. Их восходящие закрытия в X равны).
5. Бесплатные / фиксированные
6. Принципал
7. Ultra
8. равно тривиальный фильтр {X}
   • На словах это означает, что единственное подмножество ℘ (X), которое эквивалентно тривиальному фильтру, - это тривиальный фильтр.
9. Сетки с ℱ
10. Меньше, чем ℱ
11. Грубее, чем ℱ
12. Эквивалентно ℱ

В приведенном выше списке отсутствует слово «фильтр», поскольку это свойство не сохраняется по эквивалентности. Однако, если ℬ и - фильтры на X, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны; эта характеристика не распространяется на предварительные фильтры.

Эквивалентность предварительных фильтров и подбазов фильтров

Если предварительным фильтром X, то следующие семейства всегда эквивалентны:

1. ℬ;
2. π-система, сгенерированная ℬ;
3. фильтр на X, сгенерированный ℬ;

и, более того, все эти три семейства порождают один и тот же фильтр на X (то есть, замыкающие вверх в X эти семейств равны).

Фактически, каждый предварительный фильтр эквивалентен фильтру, который он создает. По транзитивности два предварительных фильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр. Каждый предварительный фильтр эквивалентен ровно одному фильтру на X, является фильтром, который он генерирует (т. Е. Закрытие предварительного фильтра вверх). Иными словами, каждый класс эквивалентности предварительных фильтров содержит ровно одного представителя, который является фильтром. Таким образом, фильтры можно рассматривать как отдельные элементы этих классов эквивалентности предварительных фильтров.

Подбаза фильтра, которая также не является предварительным фильтром, не может быть эквивалентна префильтру (или фильтру), который он создает. Напротив, каждый предварительный фильтр эквивалентен фильтру, который он создает. Вот почему предварительные фильтры, по большому счету, могут использоваться взаимозаменяемо с фильтрами, которые они генерируют, в то время как суббазы фильтров - нет. Каждый фильтр является одновременно π-системой и кольцом множеств.

Примеры определения эквивалентности / неэквивалентности

Примеры: Пусть X = ℝ и пусть E будет набором ℤ из целые числа (или множество ℕ). Определим множества

ℬ = {[e, ∞): e ∈ E} и 𝒞 open = {(-∞, e) ∪ (1 + e, ∞): e ∈ E} и 𝒞 closed = {(-∞, e] ∪ [1 + e, ∞): e ∈ E}.

Все три набора являются подбазами фильтров, но ни один из них не является фильтром на X, и только ℬ является предварительным фильтром. (на самом деле даже свободная π-система). Набор 𝒞 закрыто фиксировано, а 𝒞 открыто является свободным (если E = ℕ). Они удовлетворяют условию 𝒞 closed ≤ 𝒞 open ≤ ℬ, но никакие два из этих наборов не эквивалентны; более того, никакие два из фильтров, генерируемых этими тремя подбазами фильтров, не являются эквивалентными / равными. К такому выводу можно прийти, показав, что порождаемые ими π-системы не эквивалентны. В отличие от open, каждый набор в π-системах, сгенерированных 𝒞 closed, содержит ℤ в качестве подмножества, что предотвращает их сгенерированные π-системы (и, следовательно, их сгенерированные фильтры) от эквивалента. Если бы E было вместо или ℝ, тогда все три семейства множеств были бы свободными, и хотя множества 𝒞 closed и 𝒞 open остались бы не эквивалентными друг другу, их сгенерированные π-системы были бы эквивалентны и, следовательно, они генерировали бы один и тот же фильтр на X; однако этот общий фильтр все равно будет строго грубее, чем фильтр, сгенерированный ℬ.

Основные топологические определения с использованием (предварительных) фильтров

Базы и предварительные фильтры

Пусть ℬ ≠ ∅ - семейство множеств, которое покрывает X и определяет ℬ x = {B ∈ ℬ : x ∈ B} для любого x ∈ X. Определение базы для некоторой топологии можно сразу переформулировать так: ℬ является базой для некоторой топологии на X тогда и только тогда, когда ℬ x является базой фильтра для любого x ∈ X. Если τ является топологией на X и ℬ ⊆ τ, то определения ℬ являются базисом (соответственно подбазисом ) для τ можно переформулировать так:

ℬ является базой (соответственно суббазой) для τ тогда и только тогда, когда для каждого x ∈ X, ℬ x является базой фильтра (соответственно суббазой фильтра), которая генерирует Фильтр соседства (X, τ) в точке x.

Фильтры соседства

Типичным примером фильтра является набор всех окрестностей точки в топологическом пространстве. Любой базис окрестности точки в (или подмножества) топологического пространства является предварительным фильтром. Фактически, определение базы окрестности может быть эквивалентно переформулировано следующим образом: «База окрестности - это любой предварительный фильтр, эквивалентный фильтру окрестности».

Базы соседства в точках - это примеры фиксированных предварительных фильтров, которые могут быть или не быть принципиальными. Если X = ℝ имеет свою обычную топологию и если x ∈ X, то любая база фильтра окрестностей ℬ элемента x фиксируется посредством x (на самом деле, верно даже, что ker ℬ = {x}), но ℬ не является главным, поскольку {x} ∉ ℬ. В отличие от этого, топологическое пространство имеет дискретную топологию тогда и только тогда, когда фильтр соседства каждой точки является главным фильтром, порожденным ровно одной точкой. Это показывает, что неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно является бесплатным.

Фильтр окрестностей каждой точки x в топологическом пространстве X фиксирован, поскольку его ядро ​​содержит x (и, возможно, другие точки, если, например, X не является пространством T1 ). Это также верно для любого базиса окрестности в точке x. Для любой точки x в пространстве T1 (например, пространство Хаусдорфа ) ядро ​​фильтра окрестности x равно одноэлементному набору {x}.

Однако фильтр соседства в какой-то точке может быть принципиальным, но не дискретным (то есть не главным в отдельной точке). Базис окрестности ℬ точки x в топологическом пространстве является главным тогда и только тогда, когда ядро ​​является открытым множеством. Если вдобавок пространство равно T1, то ker ℬ = {x}, так что этот базис ℬ является главным тогда и только тогда, когда {x} - открытое множество.

Предельные и кластерные точки

Применение (предварительных) фильтров к топологии имеет в своей основе следующие определения. В этом подразделе они представлены и обсуждаются их отношения с предзаказом ≤. Их свойства подробно описаны ниже.

На всем протяжении (X, τ) будет топологическим пространством, ℬ будет семейством множеств, x ∈ X будет точкой, а фильтр окрестности в x будет обозначаться как 𝒩 (x) ( или 𝒩, если нет двусмысленности).

Если 𝒩 ≤ ℬ, то говорят, что ℬ сходится в (X, τ) к x, записывается «ℬ → x в X», а x называется пределом или предельной точкой. Словами, ℬ сходится к точке тогда и только тогда, когда ℬ тоньше, чем фильтр окрестности в этой точке.

Явно 𝒩 ≤ ℬ означает, что каждая окрестность N ∈ 𝒩 содержит некоторый B ∈ ℬ как подмножество; так что 𝒩 ∋ N ⊇ B ∈ ℬ.

Точка x является точкой кластера или точкой накопления ℬ, если ℬ пересекается с фильтром соседства 𝒩 (x) в x. Явно это означает, что B ∩ N ≠ ∅ для любого B ∈ ℬ и любой окрестности N точки x в X.

Мы определяем точки предельных кластеров карты, используя приведенные выше определения.

Если f: X → Y - отображение множества в топологическое пространство Y и y ∈ Y, то y - предельная точка или предел (соответственно, точки кластера) f относительно of, если y - предельная точка (соответственно точка кластера) f (ℬ) в Y. Явно y является пределом f относительно ℬ, если 𝒩 (y) ≤ f (ℬ).

Использование подчинения ≤ в топологии

отношение ≤ имеет фундаментальное значение для применения фильтров к топологии. Самые основные и фундаментальные понятия, используемые для применения предварительных фильтров в топологии, могут быть полностью определены в терминах отношения подчинения. Сходимость предфильтра, предельной точки, а также предела функции полностью определяется в терминах подчинения, которое является одним из названий предварительного порядка ≤, с одним выражением 𝒩 (x) ≤ ℬ и 𝒩 (y) ≤ f (ℬ) соответственно. Для точек кластера определение «ℬ и 𝒩 сетки» также можно полностью охарактеризовать с точки зрения подчинения. Эти определения могут использоваться для характеристики в терминах фильтров и предварительных фильтров таких понятий, как непрерывность и пределы функций.

Отношение ≤ используется для определения аналога «подпоследовательности» для префильтров, а также для определения сходимости для префильтров. (Пред) фильтрующий аналог «подпоследовательности» - это понятие 𝒞 как «подфильтра» и «под-предфильтра» ℬ, что верно тогда и только тогда, когда ℬ ≤ 𝒞.

Понимание свойств и ограничений подчинения важно для использования предварительных фильтров в топологии. Одно из фундаментальных понятий - это эквивалентность множеств ℬ и 𝒞, что означает, что ℬ ≤ 𝒞 и ℬ ≤ 𝒞 оба верны. По сути, предпорядок ≤ не может различать эквивалентные множества. Например, два эквивалентных семейства множеств ℬ и 𝒞 могут использоваться взаимозаменяемо в приведенном выше определении предела, поскольку их эквивалентность гарантирует, что

𝒩 (x) ≤ ℬ тогда и только тогда, когда 𝒩 (x) ≤ 𝒞.

Поскольку Каждый предварительный фильтр эквивалентен создаваемому им фильтру, они могут использоваться взаимозаменяемо в приведенных выше определениях. Напротив, суббазы фильтров не всегда эквивалентны фильтрам (или предварительным фильтрам), которые они создают; но поскольку суббазы фильтров, тем не менее, связаны подчинением с (предварительными) фильтрами, которые они генерируют, суббазы фильтров все же иногда могут быть полезны.

Инфимум и точная нижняя граница

Пересечение любого непустого набора 𝔽 фильтров на X само по себе является фильтром на X, называемым точной гранью или наибольшей нижней границей 𝔽 в фильтрах (X). Поскольку каждый фильтр на X содержит X, это пересечение никогда не бывает пустым. Нижняя грань - это самый большой фильтр, содержащийся как подмножество каждого члена.

Супремум и наименьшая верхняя граница

Если 𝔽 ≠ ∅ - это набор фильтров на X, то супремум или наименьшая верхняя граница 𝔽 в фильтрах ( X), если он существует, является наименьшим фильтром на X, содержащим каждый элемент 𝔽 как подмножество; то есть это наименьший фильтр на X, содержащий ∪ℱ ∈ 𝔽 ℱ в качестве подмножества. Как и любое непустое семейство множеств, ∪ℱ ∈ 𝔽 ℱ содержится в некотором фильтре тогда и только тогда, когда это подбаза фильтра (то есть она имеет свойство конечного пересечения). Если ℬ обозначает π-систему, порожденную ∈ 𝔽 ℱ, которая является множеством

ℬ: = {F 1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ F n : n ∈ ℕ и каждый F i принадлежит некоторому ℱ ∈ 𝔽},

, то существует фильтр на X, содержащий каждое ℱ ∈ 𝔽 как подмножество тогда и только тогда, когда ∅ ∉ ℬ, и в этом случае ℬ является предварительный фильтр, а ℬ - наименьший фильтр на X, содержащий каждое ℱ ∈ 𝔽 как подмножество; это делает фильтр ℬ супремумом, а точная верхняя грань в Filters (X) и ℬ равна пересечению всех фильтров на X, содержащих ∪ℱ ∈ 𝔽 ℱ.

Наименьшая верхняя граница семейства фильтров 𝔽 может не быть фильтром. В самом деле, если X содержит по крайней мере 2 различных элемента, то существуют фильтры ℬ и 𝒞 на X, для которых не существует фильтра ℱ на X, содержащего как ℬ, так и 𝒞.

Трассировка и построение сетки

Если ℬ является предварительным фильтром на X и S ⊆ X, то след на S является предварительным фильтром тогда и только тогда, когда ℬ и S сетка (т.е. тогда и только тогда, когда B ∩ S ≠ ∅ для все B ∈ ℬ), и в этом случае след на S называется индуцированным S. Если вдобавок ℬ является ультрафильтром на X, то след на S является фильтром на S тогда и только тогда, когда S ∈ ℬ.

Например, предположим, что ℬ - фильтр на X и S ⊆ X таково, что S ≠ X и X ∖ S ∉ ℬ. Тогда ℬ и S mesh и ℬ ∪ {S} генерирует фильтр на X, который строго более тонкий, чем ℬ.

Когда предварительные фильтры фильтруют сетку

Для заданных непустых семейств ℬ и 𝒞, пусть

ℱ: = {B ∩ C: B ∈ ℬ и C ∈ 𝒞}

где эти множества всегда удовлетворяют условию 𝒞 ≤ ℱ и ℬ ≤ ℱ. Если ℱ является правильным (соответственно, предварительный фильтр, подбаза фильтра), то это также верно как для ℬ, так и для 𝒞. Но для того, чтобы сделать какие-либо значимые выводы о ℱ из ℬ и 𝒞, ℱ должно быть правильным (то есть ∅ ∉ ℱ). Это мотивирует определение «сетки», где ℬ и считаются сетками, если ∅ ∉ ℱ. В этом случае ℱ является предварительным фильтром (соответственно подбазой фильтра) тогда и только тогда, когда это верно как для ℬ, так и для 𝒞. Иными словами, если ℬ и являются предварительными фильтрами, то они объединяются тогда и только тогда, когда ℱ является предварительным фильтром. Обобщение дает хорошо известную характеристику «сетки» полностью с точки зрения подчиненности (т.е. ≤):

Два предварительных фильтра (соответственно подбазы фильтров) ℬ и 𝒞 сетка тогда и только тогда, когда существует предварительный фильтр (соответственно подбаза фильтров) ℱ такие, что 𝒞 ≤ ℱ и ℬ ≤ ℱ.

Если ℬ и 𝒞 - фильтры на X, то пусть ℬ ∩ 𝒞 = {B ∩ C: B ∈ ℬ и C ∈ 𝒞}. Если наименьшая верхняя граница ℬ и 𝒞 существует в Filters (X), то эта наименьшая верхняя граница равна {B ∩ C: B ∈ ℬ и C ∈ 𝒞}.

Множество вычитания подмножества ядра

Если ℬ является предварительным фильтром на X, S ⊆ ker ℬ и S ∉ ℬ, то {B ∖ S: B ∈ ℬ} является предварительным фильтром, причем последний набор является фильтром тогда и только тогда, когда ℬ является фильтром и S = ∅. В частности, если ℬ - базис окрестности в точке x в топологическом пространстве X, имеющем не менее 2 точек, то {B ∖ {x}: B ∈ ℬ} является предварительным фильтром на X. Эта конструкция используется для определения limx → x 0, x ≠ x 0 f (x) → y в терминах сходимости предварительного фильтра.

Продукты префильтров

∏ ℬ • : = ∏i ∈ I ℬ i

обозначает семейство всех подмножеств ∏i ∈ IS i из ∏ X • : = ∏ i ∈ IX i такой, что S i = X i для всех, кроме конечного числа i ∈ I, и для любого из этих конечных чисел i, удовлетворяющих S i ≠ X i, обязательно верно, что S i ∈ ℬ i.

На всем протяжении X • = (X i)i ∈ I будет непустым семейством непустых множеств, а ℬ • = (ℬ i)i ∈ I будет семейством непустых множеств, где каждое i ⊆ ℘ (X i). Для каждого i ∈ I пусть

PrXi: ∏ X • → X i

обозначает каноническую проекцию. р Обратите внимание, что произведение множеств ℬ • (которое определено выше) обозначается как ∏ ℬ •.

. Важно отметить, что ∏ ℬ • может не быть фильтром для ∏ X •, даже если каждый ℬ i является фильтром на X i. Однако, если каждый ℬ i является предварительным фильтром на X i, тогда ℬ • является предварительным фильтром на ∏ X • ; кроме того, этот предварительный фильтр равен самому грубому предварительному фильтру ℱ на ∏ X • такому, что Pr Xi(ℱ) = ℬ i для каждого i ∈ I.

Этот фильтр имеет ∪i ∈ I Pr. Xi(ℬi) в качестве подосновы фильтра.

фильтр Ковальского

Пусть I и X - множества, и для каждого i ∈ I пусть ℱ i - двойственный идеал на X. Если Ξ - любой дуальный идеал на I, то ∪S ∈ Ξ ∩i ∈ S ℱ i - двойственный идеал на X, называемый фильтром Ковальского.

Использование двойственности идеалы и двойственные идеалы

Пусть f: X → Y отображение и supp ⊆ ℘ (Y). Определите

Ξf: = {I ⊆ X: f (I) ∈ Ξ}

, который содержит пустое множество тогда и только тогда, когда Ξ содержит. Возможно, что Ξ будет ультрафильтром, а f будет пустым или незамкнутым при конечных пересечениях (см., Например, сноску). Хотя Ξ f не очень хорошо сохраняет свойства фильтров, если Ξ замкнут вниз (соответственно, замкнут при конечных объединениях, идеал), то это также будет верно для Ξ f. Использование двойственности идеалов и двойственных идеалов позволяет построить следующий фильтр.

Предположим, что ℬ - фильтр на Y, и пусть Ξ = Y ∖ ℬ - его двойственный в Y. Если X ∉ Ξ f, то Ξ f двойственный X ∖ Ξ f будет фильтром.

Двойное отношение и закрытие вниз

Существует двойственное отношение ℬ ◅ 𝒞 или 𝒞 ▻ ℬ, которое означает, что каждый B ∈ ℬ содержится в некотором C ∈ 𝒞. Явно это означает, что для любого B ∈ ℬ существует некоторый C ∈ 𝒞 такой, что B ⊆ C. Это отношение двойственно к ≤ в том смысле, что ℬ ◅ 𝒞 тогда и только тогда, когда (X ∖ ℬ) ≤ (X ∖ 𝒞). Отношение ℬ ◅ 𝒞 тесно связано с закрытием вниз множества, которое определяется выражением 𝒞: = ∪C ∈ 𝒞 {S: S ⊆ C}, аналогично тому, как ≤ связано с закрытием вверх.

Другие топологические примеры

Пример: Множество ℬ всех плотных открытых подмножеств топологического пространства является собственной π-системой и предварительным фильтром. Если пространство является пространством Бэра, то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств является π-системой и предварительным фильтром, более тонким, чем.

Пример: Семейство ℬ Open всех плотных открытых множеств в X = ℝ, имеющих конечную меру Лебега, является собственной π-системой и свободным предварительным фильтром. Предварительный фильтр ℬ Open надлежащим образом содержится в предварительном фильтре, состоящем из всех плотных открытых подмножеств, и не эквивалентен ему. Поскольку X является пространством Бэра, каждое счетное пересечение множеств в ℬ Open плотно в X (а также comeagre и не является скудным), поэтому множество все счетные пересечения элементов ℬ Open - это предварительный фильтр и π-система; also Открыть.

Изображения и прообразы фильтров и предварительных фильтров

На всем протяжении f: X → Y и g: Y → Z будут отображать между не -пустые наборы.

Если S ⊆ Y и In: S → Y обозначает естественное включение, то след ℬ на S равен прообразу In (ℬ). Это наблюдение позволяет применить результаты этого подраздела к наложению трассы на набор.

Все свойства, связанные с фильтрами, сохраняются при взаимном сопоставлении. Это означает, что если ℬ ⊆ ℘ (Y) и g: Y → Z - биекция, то ℬ является предварительным фильтром (соответственно ультра-предварительным фильтром, фильтром в X, ультрафильтром в X, подбазой фильтров, π-системой, идеальной на X, и т. д.) тогда и только тогда, когда то же самое верно для g (ℬ) на Z.

Отображение g: Y → Z инъективно тогда и только тогда, когда для всех предварительных фильтров ℬ на X, ℬ эквивалентно g (g (ℬ)).

Изображение под отображением f: X → Y ультрамножества ℬ ⊆ ℘ (X) снова является ультра, и если ℬ является ультра префильтром, то f (ℬ) тоже.. Свойство быть ультра сохраняется при биекциях. Однако прообраз ультрафильтра не обязательно ультра, даже если отображение сюръективно.

Изображения предварительных фильтров

Пусть ℬ ⊆ ℘ (Y). Многие из свойств, которыми может обладать, сохраняются под изображениями карт (за одним исключением является свойство быть замкнутым относительно конечных пересечений).

Явно, если одно из следующих свойств истинно для ℬ на Y, то оно обязательно будет также истинным для g (ℬ) на g (Y) (хотя, возможно, не на Z, если g не сюръективен):

• Свойства фильтра: ультра, ультрафильтр, фильтр, предварительный фильтр, суббаза фильтра, двойственный идеал, закрытый вверх, собственный / невырожденный.
• Идеальные свойства: идеальный, закрытый при конечных объединениях, закрытый вниз, направленный вверх.

Более того, если ℬ - предварительный фильтр на Y, то таковы и g (ℬ), и g (g (ℬ)). Замыкание вверх элемента g (ℬ) в Z равно

g (ℬ) = {S ⊆ Z: B ⊆ g (S) для некоторого B ∈ ℬ}

, где, если ℬ замкнуто вверх в Y (т. Е. filter), то это упрощается до:

g (ℬ) = {S ⊆ Z: g (S) ∈ ℬ}.

Если ℬ - фильтр, то g (ℬ) - фильтр в диапазоне g (Y), но это фильтр на Z тогда и только тогда, когда g сюръективен. В противном случае это просто предварительный фильтр на Z, и его восходящее закрытие должно быть взято в Z.

Если X then Y, то принятие g за естественное включение X → Y показывает, что любой предварительный фильтр (соответственно ультра предварительный фильтр, фильтр subbase) на S также является префильтром (соотв. ультра префильтром) на Y.

Прообразы префильтров

Пусть ℬ ⊆ ℘ (Y). В предположении, что f: X → Y сюръективно :

, f (ℬ) является предварительным фильтром (соответственно подбазой фильтра, π-системой, замкнутой относительно конечных объединений, собственно) тогда и только тогда, когда это верно для ℬ.

Если f: X → Y не сюръективно, то обозначим след на f (X) через ℬ ∩ f (X), где в этом частном случае след удовлетворяет ℬ ∩ f ( X) = f (f (ℬ)). Всегда выполняется следующее равенство:

f (ℬ) = f (ℬ ∩ f (X))

, след ℬ ∩ f (X), который является семейством подмножеств f (X), может использоваться вместо и f : X → f (X) может быть вместо f: X → Y для изучения f (ℬ). Например:

f (ℬ) предварительный предварительный фильтром (соответственно подбазой фильтров, π-системой, собственно) и только тогда, когда это верно для ℬ ∩ f (X).

Но даже если является предварительным фильтром, возможно, что ∅ ∈ ∩ f (X), что приведет к вырождению и f (ℬ). Следующая характеристика показывает, что единственным препятствием является вырождение. Если ℬ - предварительный фильтр, то следующие условия эквивалентны:

1. f (ℬ) - предварительный фильтр;
2. ℬ ∩ f (X) - предварительный фильтр;
3. ∅ ∉ ℬ ∩ f (X);
4. находится в зацеплении с {f (X)}

и, кроме того, если f (ℬ) предварительным фильтром, то f (f (ℬ)) тоже.

Если использовать ультразвуковой фильтром на Y, тогда даже если f сюръектив (что сделало бы f (Если) предварительный фильтром), предварительный фильтр f (ℬ) может быть ни ультра, ни фильтром на X.

Отображение f: X → Y является сюръекцией тогда и только тогда, когда предварительным фильтром (соответственно фильтром, ультра-предварительным фильтром, ультрафильтром) на Y, то то же самое верно и для f (ℬ) на X.. (Этот не требует леммы об ультрафильтре.)

Подчинение изображений сохранениями и прообразами

Отношение ≤ сохранение как под образами, так и прообразами семейств множеств. Это означает, что для любых семейств множеств 𝒞 и ℱ из

𝒞 ≤ ℱ следует g (𝒞) ≤ g (ℱ) и f (𝒞) ≤ f (ℱ).

и, более того, всегда выполняются следующие соотношения для любого семейства множеств 𝒞:

𝒞 ≤ f (f (𝒞)) и f (𝒞) = f (f (f (𝒞))) и g (𝒞) = g (g (g (𝒞))).

где если 𝒞 ⊆ ℘ (Y), то также

g (g (𝒞)) ≤ 𝒞.

На всем протяжении (X, τ) топологическое пространство.

Замечание об интуиции

Предположим, что ℱ - неглавный фильтр на бесконечном множестве X. ℱ имеет одно свойство «вверх» (свойство быть закрытым вверх) и одно свойство «вниз» (направление вниз при включении числа). Начиная с любого F 0 ∈ ℱ, всегда существует некоторый F 1 ∈ ℱ, который является собственным подмножеством F 0 ; это можно продолжать до бесконечности, чтобы получить последовательность F 0 ⊃ F 1 ⊃ F 2 наборов в ℱ с каждым F i + 1 является правильным подмножеством F i. То же самое не верно при движении «вверх», поскольку если F 0 = X ∈ ℱ, то в множестве, содержащего X как собственное подмножество. Таким образом, когда дело доходит до ограничивающего поведения (что является центральной темой в области топологии), движение «вверх» приводит к тупику, тогда как движение «вниз» обычно плодотворно. Таким образом, чтобы получить понимание и предварительное понимание того, как фильтры (и предварительный фильтр) соотносятся с концепциями в топологии, обычно следует сосредоточиться на своем «вниз». Вот почему так много топологических характеристик можно описать, используя только предварительные фильтры, вместо того, чтобы требовать фильтры (которые отличаются от предварительных фильтров только тем, что они закрыты вверх). Свойство фильтров «вверх» менее важно для топологической интуиции, но иногда полезно иметь его по техническим причинам.

Префильтры против фильтров

Что касается карт и подмножеств, свойство быть предварительным фильтром, как правило, лучше и лучше, чем свойство быть фильтром. Например, изображение предварительного фильтра под некоторой картой снова предварительным фильтром; но изображение фильтра при несюръективной карте никогда не является фильтром в кодене, хотя это будет предварительный фильтр. То же самое и с прообразами при неинъективных отображениях (даже если отображение сюръективно). Если S ⊆ X - правильное подмножество, то любой фильтр на S не будет фильтром на X, хотя он будет предварительным фильтром.

Одно из преимуществ фильтров состоит в том, что они являются яркими представлением своего эквивалентности (относительно ≤), что означает, что любой классности предварительных фильтров содержит уникальный фильтр. Это свойство может быть полезно при работе с классами предварительных предварительных фильтров (например, они полезны при построении фильтров Коши). Также могут быть полезны многие свойства, характеризующие ультрафильтры. Они используются, например, для построения компактификации Камня - Чеха. Использование ультрафильтров обычно требует выполнения леммы об ультрафильтрах. Но во многих областях, где аксиома выбора (или теорема Хана-Банаха ), лемма об ультрафильтре обязательно выполняется и не требует дополнительного предположения.

Пределы и точки кластеров предварительных фильтров

Следующее известное определение будет обобщено на предварительные фильтры.

Замыкание множества S ⊆ X равно объединению множества S вместе с множеством всех предельных точек S.

Обозначение: lim будет обозначать множество предельных точек в (X, τ).

Обозначение: Как обычно, lim ℬ = x определяется как означающее, что ℬ → x в (X, τ), а x - единственная предельная точка ℬ в (X, τ) (т.е. если ℬ → z × (X, τ), то z = x).

В приведенных выше определениях достаточно проверить, что ℬ тоньше некоторой (или, что эквивалентно, каждую) базы окрестности в (X, τ) точки x или S.Фильтр окрестности 𝒩 (x) - наименьший ( т.е. самый грубый) фильтр на X, сходящийся к x в (X, τ); любой фильтр, сходящийся к x в (X, τ), должен содержать 𝒩 (x) как подмножество. Другими словами, семейство фильтров, сходящихся к x, - это в точности фильтры на X, содержащие 𝒩 (x) в качестве подмножества.

Чем точнее топология на X, тем меньше существует префильтров, которые имеют какие-либо предельные точки в X.

В приведенных выше определениях достаточно проверить, что ℬ зацепляется с некоторыми (или, что то же самое, с каждым) база окрестности в (X, τ) точки x или S.

Более того, сходится к (соответственно кластерам в) x тогда и только тогда, когда ℬ сходится к (соответственно кластерам в) {x} тогда и только тогда, когда фильтр ℬ, порожденный, сходится к (соответственно кластерам в) x. Если x является предельной точкой, то x обязательно является предельной точкой семейства 𝒞, меньшего, чем ℬ (т.е. если 𝒩 (x) ≤ ℬ и ℬ ≤ 𝒞, то 𝒩 (x) ≤ 𝒞). Напротив, если x является точкой кластера ℬ, то x обязательно является точкой кластера любого семейства 𝒞 грубее, чем ℬ (т.е. если 𝒩 (x) и ℬ mesh и 𝒞 ≤ ℬ, то 𝒩 (x) и 𝒞 mesh).

Следующие результаты представляют собой аналогами предварительных фильтров для агентов, включающих подпоследовательности. Условие «𝒞 ≥ ℬ», которое также записывается как 𝒞 ⊢ ℬ, является аналогом «является подпоследовательностью». Итак, «лучше, чем» и «подчиненный» - это аналог префильтра «подпоследовательности».

Предложение - Пусть ℬ - предварительный фильтр на X, и пусть x ∈ X.

1. Предположим, что 𝒞 - предварительный фильтр, такой что 𝒞 ≥ ℬ.
   1. Если ℬ → x в X, то 𝒞 → x в X.
      • Это аналог «если последовательность сходится к x, то же самое происходит с каждой подпоследовательностью».
   2. Если x есть точка кластера в X, тогда x является точкой кластера в X.
      • Это аналог «если x является точкой кластера некоторой подпоследовательности, то x является точкой кластера исходной последовательности.. «
2. ℬ → x в X тогда и только тогда, когда для любого более тонкого предварительного фильтра 𝒞 ≥ ℬ существует еще более тонкий предварительный фильтр ℱ ≥ 𝒞 такой, что ℱ → x в X.
   • Это аналог «Последовательность сходится к x тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность обеспечивает подпоследовательность, сходящуюся к x.»
3. x является точкой кластера ℬ в X тогда и только тогда, когда существует некоторый более тонкий предварительный фильтр 𝒞 ≥ ℬ такой, что 𝒞 → x в X.
   • Это аналог «x является точкой кластера тогда и

Если предварительным фильтром X обеспечивает множество кластерных точек ℬ равно ∩B ∈ ℬ cl X B, это оправдывает обозначение cl ℬ Отсюда следует, что множество кластерных точек любого предварительного фильтра является замкнутым подмножеством X. Если S ⊆ X является предварительным фильтром на S, то каждая кластерная точка в X принадлежит cl X (S) и любая точка в cl X (S) является предельной точкой фильтра на S. Возможно, предварительный фильтр в топологическом исследовании бесконечной мощности не имеет кластерных точек или предельных точек.