В математике, более конкретно в топологии, открытая карта - это функция между двумя топологическими пространствами, которая отображает открытые наборы открытые наборы. То есть функция f: X → Y открыта, если для любого открытого множества U в X изображение f (U) открыто в Y. Аналогично, закрытое отображение является функция, которая отображает замкнутые множества в замкнутые множества. Карта может быть открытой, закрытой, обеими или ни одной; в частности, открытая карта не должна быть закрытой, и наоборот.
Открытые и закрытые карты не обязательно непрерывные. Кроме того, непрерывность не зависит от открытости и замкнутости в общем случае, и непрерывная функция может иметь одно, оба или ни одно свойство; этот факт остается верным, даже если ограничиться метрическими пространствами. Хотя их определения кажутся более естественными, открытые и закрытые карты гораздо менее важны, чем непрерывные карты. Напомним, что по определению функция f: X → Y является непрерывной, если прообраз каждого открытого множества Y открыт в X (эквивалентно, если прообраз каждого замкнутого множества Y замкнут в ИКС).
Первыми исследователями открытых карт были Симион Стойлов и Гордон Томас Уайберн.
Пусть f: X → Y - функция между топологическими пространствами.
Мы говорим, что f: X → Y является открытым отображением, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
и если ℬ является базисом для X, тогда мы можем добавить к этому списку:
Мы говорим, что f: X → Y является относительно открытым отображением, если f: X → Im f это открытая карта, где Im f - это диапазон или изображение f.
Мы говорим, что f: X → Y - это закрытая карта, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
Мы говорим, что f : X → Y - это относительно замкнутое отображение, если f: X → Im f - замкнутое отображение.
композиция двух открытых карт снова открыта; композиция двух замкнутых карт снова замкнута.
Категориальная сумма двух открытых карт открыта или двух замкнутых карт замкнута.
Категориальное произведение из две открытые карты открыты, однако категориальное произведение двух замкнутых карт не должно быть замкнутым.
Биективное отображение открыто тогда и только тогда, когда оно замкнуто. Обратным к биективному непрерывному отображению является биективное открытое / замкнутое отображение (и наоборот). Сюръективная открытая карта не обязательно является закрытой, и аналогично сюръективная закрытая карта не обязательно является открытой картой.
Лемма о замкнутом отображении - Каждая непрерывная функция f: X → Y из компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y замкнута и собственно (т.е. прообразы компактов компактны).
Вариант леммы о замкнутом отображении утверждает, что если непрерывная функция между локально компактными хаусдорфовыми пространствами является собственной, то она также замкнута.
В комплексном анализе, одноименная теорема об открытом отображении утверждает, что каждая непостоянная голоморфная функция, определенная на связном открытое подмножество комплексной плоскости - это открытая карта.
Теорема инвариантности области утверждает, что непрерывная и локально инъективная функция между двумя n-мерными топологическими многообразиями должна быть открытой.
Инвариантность домена - Если U является открытым подмножеством из ℝ и f: U → ℝ является инъективным непрерывным отображением, то V: = f (U) открыто в ℝ и f является гомеоморфизмом между U и V.
В функциональном анализе, теорема об открытом отображении утверждает, что каждый сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является открытой картой. Эта теорема была обобщена на топологические векторные пространства помимо банаховых пространств.
Каждый гомеоморфизм является открытым, замкнутым и непрерывным. Фактически, биективное непрерывное отображение является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно открыто, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда оно закрыто.
Если Y имеет дискретную топологию (т.е. все подмножества открыты и закрыты), то каждая функция является одновременно открытым и закрытым (но не обязательно непрерывным). Например, функция этажа от R до Z открыта и закрыта, но не непрерывна. Этот пример показывает, что изображение подключенного пространства под открытой или закрытой картой подключать не нужно.
Всякий раз, когда у нас есть произведение топологических пространств , естественные проекции открыты (а также непрерывны). Поскольку проекции пучков волокон и покрывающих карт являются локально естественными проекциями продуктов, они также являются открытыми картами. Однако закрывать прогнозы не нужно. Рассмотрим, например, проекцию на первом составная часть; тогда набор является закрыто в , но не закрывается в . Однако для компактного пространства Y проекция закрыта. По сути, это лемма о трубке.
С каждой точкой на единичной окружности мы можем связать угол положительной оси x с лучом, соединяющим точку с Происхождение. Эта функция от единичного круга до полуоткрытого интервала [0,2π) является биективной, открытой и замкнутой, но не непрерывной. Это показывает, что изображение компактного пространства при открытой или закрытой карте не обязательно должно быть компактным. Также обратите внимание, что если мы рассматриваем это как функцию от единичного круга до действительных чисел, то он не является ни открытым, ни закрытым. Необходимо указать кодомен .
Функция f: R→ Rс f (x) = x является непрерывной и замкнутой, но не открытой.
Пусть f: X → Y - непрерывная карта, которая либо открыта, либо закрыта. Тогда
. В первых двух случаях быть открытым или закрытым является просто достаточным условие для последующего результата. В третьем случае также необходим.