Верхний комплект

Диаграмма Хассе из набора мощности множества {1,2,3,4} с верхним набором ↑ {1} цветной зеленый. Белые наборы образуют нижний набор ↓ {2,3,4}.

В математике, верхний набор (также называется вверх замкнутое множество, в расстройство, или изотонный множество в X) продукта в виде частично упорядоченного множества ( X, ≤) представляет собой подмножество S ⊆ X со следующим свойством: если ы находится в S и если х в X больше, чем с (то есть, если с ≤ х), то х находится в s. На словах, это означает, что любой х элемент X, который является ≥ к некоторому элементу из S обязательно также элемент S. Термин низший набор (также называемый вниз замкнутое множество, вниз набор, уменьшая набор, начальный сегмент, или полуидеальным) определяется аналогично как подмножество S из X со свойством, что любой элемент х из X, который ≤ некоторым элемент S обязательно также элемент S.

• 1 Определение
• 2 свойства
• 3 Верхняя застежка и нижняя застежка
• 4 Порядковые числа
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Позвольте быть заранее упорядоченным набором. Верхний набор в (также называется вверх замкнутое множество, расстройство, или изотонно множество) представляет собой подмножество такое, что если и, если удовлетворяет тогда То есть, удовлетворяет условию: ${\ Displaystyle (Х, \ leq)}$ ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle U \ substeq X}$${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle и \ leq х,}$${\ Displaystyle х \ в U.}$${\ displaystyle U}$

для всех и всех, если тогда${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ Displaystyle и \ leq х}$${\ Displaystyle х \ в U.}$

Двойное понятие является ниже, множество (также называется вниз замкнутое множество, вниз набор, уменьшая набор, начальный сегмент, или полуидеальным), который является подмножеством таким образом, что, что если и, если удовлетворяет тогда То есть, удовлетворяет: ${\ Displaystyle L \ substeq X}$${\ displaystyle l \ in L}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle х \ leq l,}$${\ displaystyle x \ in L.}$${\ displaystyle L}$

для всех и всех, если тогда${\ displaystyle l \ in L}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ Displaystyle х \ leq l}$${\ displaystyle x \ in L.}$

Термины « идеальный порядок» или « идеальный» иногда используются как синонимы для нижнего набора. Такой выбор терминологии не отражает понятие идеала решетки, потому что нижний набор решетки не обязательно является подрешеткой.

• Каждый частично упорядоченный набор сам по себе является верхним набором.
• Пересечение и объединение любого семейства наборов верхних снова верхний набор.
• Дополнение любого верхнего набора является нижним набором, и наоборот.
• Для частично упорядоченного множества ( X, ≤) семейство верхних множеств X, упорядоченных с отношением включения, является полной решеткой, решеткой верхнего множества.
• Для произвольного подмножества Y частично упорядоченного множества X наименьшее верхнее множество, содержащее Y, обозначается стрелкой вверх как ↑ Y (см. Верхнее замыкание и нижнее замыкание).
  • Двойственно, наименьшее множество, содержащее нижний Y обозначается с помощью стрелки вниз, как ↓ Y.
• Более низкий набор называется главным, если она имеет вид ↓ { х }, где х представляет собой элемент X.
• Каждый нижний набор Y конечного частично упорядоченное множество Х равно наименьшему нижний набор, содержащий все максимальные элементы из Y: Y  = ↓ Max ( Y), где Макс ( Y) обозначает набор, содержащий максимальные элементы Y.
• Направлено ниже, множество называется порядковым идеалом.
• Эти минимальные элементы любого верхнего множества образуют антицепь.
  • Наоборот, любая антицепь A определяет верхнее множество { x: x ≥ y для некоторого y в A }. Для частичных порядков, удовлетворяющих условию нисходящей цепи, это соответствие между антицепями и верхними множествами равно 1-1, но для более общих частичных порядков это неверно.

Принимая во внимание элемент частично упорядоченного множества определим верхнюю крышку или вверх замыкание в обозначаться или определяется по формуле: ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (Х, \ leq),}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle x ^ {\ uparrow X},}$ ${\ displaystyle x ^ {\ uparrow},}$${\ displaystyle \ uparrow x,}$

${\ displaystyle x ^ {\ uparrow X} = \ uparrow x = \ left \ {u \ in X: x \ leq u \ right \}}$

в то время как нижние запорный или вниз замыкание из х, обозначается или определяются по формуле: ${\ displaystyle x ^ {\ downarrow X},}$ ${\ displaystyle x ^ {\ downarrow},}$${\ displaystyle \ downarrow x,}$

${\ displaystyle x ^ {\ downarrow X} = \ downarrow x = \ left \ {l \ in X: l \ leq x \ right \}.}$

Наборы и являются, соответственно, наименьшими верхними и нижними наборами, содержащимися в качестве элементов. В более общем смысле, дано подмножество определить верхние / вверх закрытия и нижние / нисходящие затворы из A, обозначаемых и соответственно, как ${\ displaystyle \ uparrow x}$${\ displaystyle \ downarrow x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A \ substeq X,}$${\ displaystyle A ^ {\ uparrow X}}$${\ displaystyle A ^ {\ downarrow X}}$

${\ displaystyle A ^ {\ uparrow X} = A ^ {\ uparrow} = \ bigcup _ {a \ in A} \ uparrow \! a}$      а также      ${\ displaystyle A ^ {\ downarrow X} = A ^ {\ downarrow} = \ bigcup _ {a \ in A} \ downarrow \! a.}$

Таким образом, ↑ x = ↑ { x } и ↓ x = ↓ { x }, где верхние и нижние множества этого вида называются главными. Верхняя и нижняя крышки набора являются, соответственно, наименьшим верхним набором и нижним набором, содержащим его.

Верхнее и нижнее замыкания, если рассматривать их как функцию от множества степеней X к самому себе, являются примерами операторов замыкания, поскольку они удовлетворяют всем аксиомам замыкания Куратовского. В результате верхнее замыкание набора равно пересечению всех верхних наборов, содержащих его, и аналогично для нижних наборов. В самом деле, это общий феномен операторов замыкания. Например, топологическое замыкание множества - это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих его; оболочка из набора векторов есть пересечение всех подпространств, содержащих его; подгруппа, порожденная подмножеством из в группе является пересечением всех подгрупп, содержащих его; идеал, порожденный подмножество кольца является пересечением всех идеалов, содержащих его; и так далее.

Можно также говорить о строгом закрытии сверху элемента, определяемого как { y ∈ X  : x lt; y }, и в более общем плане о строгом закрытии сверху подмножества, которое определяется как объединение строгих замыканий сверху его элементов, и мы можем сделать аналогичные определения для строгих замыканий снизу. Однако обратите внимание, что эти «замыкания» на самом деле не являются операторами замыкания, поскольку, например, строгое закрытие сверху одноэлементного набора { x } не содержит { x }. ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle A \ substeq X,}$

Порядковый номер, как правило, отождествляется с множеством всех меньших порядковых чисел. Таким образом, каждое порядковое число образует нижний набор в классе всех порядковых чисел, которые полностью упорядочены по включению множества.

• Конечное множество - подмножество U частично упорядоченного множества ( X, ≤), которое содержит для каждого элемента некоторый элемент y такой, что${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle x \ leq y.}$

• Бланк, Дж. (2000). «Доменные представления топологических пространств» (PDF). Теоретическая информатика. 247 (1–2): 229–255. DOI : 10.1016 / s0304-3975 (99) 00045-6.
• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии. Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN   978-981-4571-52-4. OCLC   945169917.
• Хоффман, К. Х. (2001), Аксиомы низкого разделения (T 0) и (T 1)