Аксиомы замыкания Куратовского

редактировать

В топологии и связанных разделах математики, замыкание Куратовского аксиомы - это набор аксиом, который можно использовать для определения топологической структуры на наборе. Они эквивалентны более часто используемому определению открытого набора. Впервые были формализованы Казимежем Куратовским, и эта идея они были изучены математиками, такими как Вацлав Серпинский и Антонио Монтейро, других.

Аналогичный набор аксиом можно использовать для определения топологической структуры, используя двойное понятие только внутреннего оператора.

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Операторы замыкания Куратовского и ослабления
    • 1.2 Альтернативные аксиоматизации
  • 2 Аналогичные структуры
    • 2.1 Внутренние, внешние и граничные операторы
    • 2.2 Абстрактные операторы
  • 3 Связь с другими аксиоматизацией топологии
    • 3.1 Индукция топологии из топологии
    • 3.2 Индукция замыкания из топологии
    • 3.3 Точное соответствие между двумя структурами
  • 4 Примеры
  • 5 Свойства
  • 6 Топологические концепции в терминах замыкания
    • 6.1 Уточнения и подпространства
    • 6.2 Непрерывные отображения, замкнутые отображения и гомеоморфизмы
    • 6.3 Аксиомы разделения
    • 6.4 Близость и разделение
  • 7 См. также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Определение

Операторы замыкания Куратовского и ослабления

Пусть X {\ displaystyle X}X будет произвольным множеством и ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} его набор мощности. A оператор замыкания Куратовского - это унарная операция c: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ wp ( X)} со своими свойствами:

[K1] Сохраняет пустой набор: c (∅) = ∅ {\ displaystyle \ mathbf {c} (\ varnothing) = \ varnothing}{\ displaystyle \ mathbf {c} (\ varnothing) = \ varnothing} ;

[K2] Он обширен: для всех A ⊆ X {\ displaystyle A \ substeq X}A \ substeq X , A ⊆ c (A) {\ displaystyle A \ Substeq \ mathbf { c} (A)}{\ displaystyle A \ substeq \ mathbf {c} ( A)} ;

[K3] Идемпотент: для всех A ⊆ X {\ displaystyle A \ substeq X}A \ substeq X , c (A) = c (c (A)) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A) = \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (A))}{\ displaystyle \ mathbf {c} (А) = \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (A))} ;

[K4] Он сохраняет двоичные объединения: для всех A, В ⊆ Икс {\ displaystyle A, B \ substeq X}{\ displaystyle A, B \ substeq X} , с (A ∪ B) = c (A) ∪ c (B) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A \ cup B) = \ mathbf {c} ( A) \ cup \ mathbf {c} (B)}{\ Displaystyle \ mathbf {с } (A \ чашка B) = \ mathbf {c} (A) \ cup \ mathbf {c} (B)} .

Следующее действие c {\ displaystyle \ mathbf {c}}\ mathbf {c} сохранение двоичных объединений является следующим состоянием:

[K4 '] Изотонично: A ⊆ B ⇒ c (A) ⊆ c (B) {\ displaystyle A \ substeq B \ Rightarrow \ mathbf {c} (A) \ substeq \ mathbf {c} (B)}{\ displaystyle A \ substeq B \ Rightarrow \ mathbf {c} (A) \ substeq \ mathbf {c} (B)} .

Фактически, если мы перепишем равенство в [K4] как включение, что дает более слабую аксиому [K4 ''] (субаддитивность):

[K4 ''] Это субаддитив: для всех A, В ⊆ Икс {\ displaystyle A, B \ substeq X}{\ displaystyle A, B \ substeq X} , с (A ∪ B) ⊆ c (A) ∪ c (B) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A \ cup B) \ substeq \ mathbf {c} (A) \ cup \ mathbf {c} (B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A \ чашка B) \ substeq \ mathbf {c} (A) \ cup \ mathbf {c} (B)} ,

тогда легко увидеть, что аксиомы [K4 '] и [K4' '] вместе эквивалентны [K4] (см. Предпоследний абзац доказательства 2 ниже).

Куратовски (1966) включает пятую (необязательную) аксиому, требуемую, чтобы одноэлементные наборы были стабильными при закрытии: для всех x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}x \ in X , c ({x }) = {х} {\ displaystyle \ mathbf {c} (\ {x \}) = \ {x \}}{\ displaystyle \ mathbf {c} (\ {x \}) = \ {x \}} . Он называет топологические пространства, удовлетворяющие всем пяти аксиомам, T 1 -пространства в отличие от общих пространств, которые удовлетворяют только четырем перечисленным аксиомам. Действительно, эти пространства точно соответствуют топологическим T 1 -пространствам обычным обычным соответствием (см. Ниже).

Если требование [K3] опущено, то аксиомы определяют оператор замыкания Чеха . Если [K1] вместо этого опущен, то считается, что оператор удовлетворяет [K2], [K3] и [K4 '] быть оператором замыкания Мура . Пара (X, c) {\ displaystyle (X, \ mathbf {c})}{\ displaystyle (X, \ mathbf {c})} называется Куратовский, Чех или . Пространство замыкания Мура в зависимости от аксиом, которым удовлетворяет c {\ displaystyle \ mathbf {c}}\ mathbf {c} .

Альтернативные аксиоматизации

Четыре аксиомы замыкания Куратовского могут быть заменены одним условием, если Автор: Первин:

[P] Для всех A, B ⊆ X {\ displaystyle A, B \ substeq X}{\ displaystyle A, B \ substeq X} , A ∪ c (A) ∪ c (c (B)) = с (A ∪ В) ∖ с (∅) {\ Displaystyle A \ чашка \ mathbf {c} (A) \ чашка \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (B)) = \ mathbf {c} (A \ чашка B) \ setminus \ mathbf {c} (\ varnothing)}{\ displaystyle A \ cup \ mathbf {c} (A) \ cup \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (B)) = \ mathbf {c} (A \ cup B) \ setminus \ mathbf {c} (\ varnothing)} .

Аксиомы [K1] - [K4] могут быть выведены как следствие этого требования:

  1. Выберите A = B = ∅ {\ displaystyle A = B = \ varnothing}{\ displaystyle A = B = \ varnothing} . Тогда ∅ ∪ c (∅) ∪ c (c (∅)) = c (∅) ∖ c (∅) = ∅ {\ displaystyle \ varnothing \ cup \ mathbf {c} (\ varnothing) \ cup \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (\ varnothing)) = \ mathbf {c} (\ varnothing) \ setminus \ mathbf {c} (\ varnothing) = \ varnothing}{\ displaystyle \ varnothing \ cup \ mathbf {c} (\ varnothing) \ cup \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (\ varnothing)) = \ mathbf {c} (\ varnothing) \ setminus \ mathbf {c} ( \ varnothing) = \ varnothing} или с (∅) ∪ с (с (∅)) знак равно ∅ {\ Displaystyle \ mathbf {c} (\ varnothing) \ cup \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (\ varnothing)) = \ varnothing}{\ displaystyle \ mathbf {c} (\ varnothing) \ cup \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (\ varnothing)) = \ varnothing} . Это сразу подразумевает [K1] .
  2. Выбрать произвольный A ⊆ X {\ displaystyle A \ substeq X}A \ substeq X и B = ∅ {\ displaystyle B = \ varnothing}{\ displaystyle B = \ varnothing} . Затем применяется аксиому [K1], A ∪ c (A) = c (A) {\ displaystyle A \ cup \ mathbf {c} (A) = \ mathbf {c} (A)}{\ displaystyle A \ cup \ mathbf {c} (A) = \ mathbf {c} (A)} , подразумевая [K2] .
  3. Выберите A = ∅ {\ displaystyle A = \ varnothing}{\ displaystyle A = \ varnothing} и произвольный B ⊆ X {\ Стиль отображения B \ substeq X}B \ substeq X . Затем применяется аксиому [K1], c (c (B)) = c (B) {\ displaystyle \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (B)) = \ mathbf {c} (B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (B)) = \ mathbf {c} (B)} , то есть [K3] .
  4. Произвольно A, B ⊆ X {\ displaystyle A, B \ substeq X}{\ displaystyle A, B \ substeq X} . Применяя аксиомы [K1] - [K3], получаем [K4] .

В качестве альтернативы, Монтейро (1945) ошибка harvp: нет цели: CITEREFMonteiro1945 (help ) использует более слабую аксиому, которая влечет только [K2] - [K4] :

[M] Для всех A В ⊆ Икс {\ Displaystyle А, В \ substeq X}{\ displaystyle A, B \ substeq X} , A ∪ с (А) ∪ с (с (В)) ⊆ с (А ∪ В) {\ textstyle А \ чашка \ mathbf {с} ( A) \ cup \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (B)) \ substeq \ mathbf {c} (A \ cup B)}{\ textstyle A \ чашка \ mathbf {c} (A) \ чашка \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (B)) \ substeq \ mathbf {c} (A \ cup B) } .

Требование [K1] не зависит от [M] : действительно, если X ≠ ∅ {\ displaystyle X \ neq \ varnothing}X \ neq \ varnothing , оператор c ⋆: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c} ^ {\ star}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c} ^ {\ star}: \ wp (X) \ to \ wp (X)} определяется присвоением константы A ↦ c ⋆ (A): = X { \ displaystyle A \ mapsto \ mathbf {c} ^ {\ star} (A): = X}{\ displaystyle A \ mapsto \ mathbf {c} ^ {\ star} (A): = X} удовлетворяет [M], но не сохраняет пустое множество, поскольку с ⋆ (∅) знак равно Икс {\ Displaystyle \ mathbf {с} ^ {\ звезда} (\ varnothing) = X}{\ displaystyle \ mathbf {c} ^ {\ star} (\ varnothing) = X} . Обратите внимание, что по определению любой оператор, удовлетворяющий [M], является оператором замыкания Мура.

Более симметричная альтернатива [M] была также доказана МО Ботельо и М.Х. Тейшейрой как подразумевающая аксиомы [K2] - [K4] :

[BT] Для всех A, B ⊆ X {\ displaystyle A, B \ substeq X}{\ displaystyle A, B \ substeq X} , A ∪ B ∪ c (c (A)) ∪ c (c (B)) = с (A ∪ В) {\ textstyle A \ чашка B \ чашка \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (A)) \ чашка \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (B)) = \ mathbf {c} (A \ cup B)}{\ textstyle A \ cup B \ cup \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (A)) \ cup \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (B)) = \ mathbf {c} (A \ чашка B)} .

Аналогичные структуры

Внутренние, внешние и граничные операторы

Понятие, двойное операторам замыкания Куратовского, - это внутренний оператор Куратовского, который представляет собой карту i: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {i} : \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {i}: \ wp (X) \ to \ wp (X)} удовлетворяющий следующие аналогичные требования:

[I1] Сохраняет все пространство: i (X) = X {\ displaystyle \ mathbf {i} (X) = X}{\ displaystyle \ mathbf {i} (X) = X} ;

[I2] Это интенсивно: для всех A ⊆ X {\ displaystyle A \ substeq X}A \ substeq X , i (A) ⊆ A {\ displaystyle \ mathbf {i} (A) \ substeq A}{\ displaystyle \ mathbf {i} (A) \ substeq A} ;

[I3] Он идемпотентен: для всех A ⊆ X {\ Displaystyle A \ s ubsteq X}A \ substeq X , я (я (A)) = я (A) {\ displaystyle \ mathbf {i} (\ mathbf {i} (A)) = \ mathbf {i} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {i} (\ mathbf {i} (A)) = \ mathbf {i} (A)} ;

[ I4] Он поддерживает двоичные пересечения: для всех A, B ⊆ X {\ displaystyle A, B \ substeq X}{\ displaystyle A, B \ substeq X} , i (A ∩ B) = i (A) ∩ i (B) { \ displaystyle \ mathbf {i} (A \ cap B) = \ mathbf {i} (A) \ cap \ mathbf {i} (B)}{\ displaystyle \ mathbf {i} (A \ cap B) = \ mathbf { я} (A) \ cap \ mathbf {i} (B)} .

Для этих операторов можно прийти к выводам, которые полностью аналогично тому, что предполагалось для замыканий Куратовского. Например, все внутренние операторы Куратовского изотонны, т.е. они удовлетворяют [K4 '], и из-за интенсивности [I2] можно ослабить равенство в [I3] к простому.

Двойственность между замыканиями Куратовского и внутренне обеспечивается естественным оператором дополнения на ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} , карта n: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {n}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {n}: \ wp (X) \ to \ wp (X)} отправка A ↦ n (A): знак равно Икс ∖ A {\ Displaystyle A \ mapsto \ mathbf {n} (A): = X \ setminus A}{\ displaystyle A \ mapsto \ mathbf {n} (A): = X \ setminus A} . Эта карта является ортодополнением на решетке набора степеней, что означает, что она удовлетворяет законам Де Моргана : if I {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}{\ mathcal {I}} - произвольный набор индексов, а {A i} i ∈ I ⊆ ℘ (X) {\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ substeq \ wp (X)}{\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ {я \ in {\ mathcal {I}}} \ substeq \ wp (X)} ,

n (i ∈ IA i) = ⋂ i ∈ I n (A i), n (⋂ i ∈ IA i) = ⋃ i ∈ I n (A i). {\ Displaystyle \ mathbf {n} {\ Big (} \ bigcup _ {я \ in {\ mathcal {I}}} A_ {i} {\ Big)} = \ bigcap _ {я \ in {\ mathcal {I }}} \ mathbf {n} (A_ {i}), \ qquad \ mathbf {n} {\ Big (} \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} A_ {i} {\ Big) } = \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ mathbf {n} (A_ {i}).}{\ displaystyle \ mathbf {n} {\ Big (} \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} A_ {i} { \ Big)} = \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ mathbf {n} (A_ {i}), \ qquad \ mathbf {n} {\ Big (} \ bigcap _ {i \ в {\ mathcal {I}}} A_ {i} {\ Big)} = \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ mathbf {n} (A_ {i}).} Применяя эти законы вместе с определяющими свойствами n {\ displaystyle \ mathbf { n}}\ mathbf {n} , можно показать, что любой интерьер Куратовского вызывает замыкание Куратовского (и наоборот), через определяющее отношение c: = nin {\ displaystyle \ mathbf {c}: = \ mathbf {nin} }{\ displaystyle \ mathbf {c}: = \ mathbf {nin}} i: = ncn {\ displaystyle \ mathbf {i}: = \ mathbf {ncn}}{\ displaystyle \ mathbf {i}: = \ mathbf {ncn}} ). Каждый результат, полученный относительно c {\ displaystyle \ mathbf {c}}\ mathbf {c} , может быть преобразован в результат относительно i {\ displaystyle \ mathbf {i}}\ mathbf {i} с помощью этих отношений в сочетании со свойствами ортодополнения n {\ displaystyle \ mathbf {n}}\ mathbf {n} .

Первин (1964) использует аналогичные аксиомы для внешних операторов Куратовского и граничные операторы Куратовского, которые также вызывают замыкания Куратовского через отношения c: = ne {\ displaystyle \ mathbf {c}: = \ mathbf {ne}}{\ displaystyle \ mathbf {c} : = \ mathbf {ne}} и c ( A): = A ∪ b (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A): = A \ cup \ mathbf {b} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A): = A \ cup \ mathbf {b} (A)} .

Абстрактные операторы

Обратите внимание, что аксиомы [K1] - [K4] могут быть адаптированы для абстрактной унарной операции c: L → L {\ displaystyle \ mathbf {c}: L \ to L}{\ displaystyle \ mathbf {c}: L \ to L} на общей ограниченной решетке (L, ∧, ∨, 0, 1) {\ displaystyle (L, \ land, \ lor, \ mathbf {0}, \ mathbf {1})}{\ displaystyle (L, \ land, \ lor, \ mathbf {0}, \ mathbf {1})} , формально подставив теоретико-множественное включение с частичным порядком, созданной решеткой, теоретико-множественное объединение с операцией соединения и теоретико-множественные пересечения с операцией встречи; аналогично для аксиом [I1] - [I4] . Если решетка ортодополняема, эти две абстрактные операции индуцируют друг друга обычным образом. Возвратное задание или внутренние операторы Введение в систему обобщенной топологии на решетке.

Ни определения, ни пустое множество не фигурируют в требовании для определения оператора Мура, определение может быть адаптировано для абстрактного унарного оператора c: S → S {\ displaystyle \ mathbf {c}: S \ to S}{\ displaystyle \ mathbf { c}: S \ to S} на произвольном poset S {\ displaystyle S}S .

Связь с другими аксиоматизацией топологии

Индукция топологии из закрытие

Оператор замыкания естественным образом индуцирует топологию следующим образом. Пусть X {\ displaystyle X}X будет произвольным набором. Мы будем говорить, что подмножество C ⊆ X {\ displaystyle C \ substeq X}С \ substeq X является закрытым по отношению к оператору замыкания Куратовского c :) (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ wp ( X)} тогда и только тогда, когда это фиксированная точка поставил, или другими словами он стабилен при c {\ displaystyle \ mathbf {c}}\ mathbf {c} , т.е. с (C) = C {\ displaystyle \ mathbf {c} (C) = C}{\ displaystyle \ mathbf {c} (C) = C} . Утверждение включает в себя, что семейство подмножеств общего пространства, включая дополнения замкнутыми множеств, удовлетворяет трем обычным требованиям для топологии, или, что эквивалентно, семейство S [c] {\ displaystyle {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} всех замкнутых множеств удовлетворяет следующему:

[T1] Это ограниченная подрешетка в ℘ (X) {\ displaystyle \ wp ( X)}{\ displaystyle \ wp (X)} , т.е. X, ∅ ∈ S [c] {\ displaystyle X, \ varnothing \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle X, \ varnothing \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} ;

[T2] Он является полным при произвольных пересечениях, то есть если I {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}{\ mathcal {I}} - произвольный набор индексов и {С я} я ∈ я ⊆ S [с] {\ Displaystyle \ { C_ {я} \} _ {я \ in {\ mathcal {I}}} \ substeq {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle \ {C_ {i} \} _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ substeq {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} , тогда ⋂ i ∈ IC я ∈ S [c] {\ displaystyle \ bigcap _ {я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle \ bigcap _ { я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ i п {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} ;

[ T3] Он является полным при конечных объединениях, то есть если I {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}{\ mathcal {I}} - конечный набор индексов и {C i} i ∈ Я ⊆ S [c] {\ displaystyle \ {C_ {i} \} _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ substeq {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle \ {C_ {i} \} _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ substeq {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} , тогда ⋃ i ∈ IC i ∈ S [c] {\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ in {\ mathfrak {S}} [ \ mathbf {c}]}{\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ in {\ mathfrak {S}} [ \ mathbf {c}]} .

Обратите внимание, что по идемпотентности [K3] можно к ратко написать S [c] = им ⁡ (c) {\ displaystyle {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}] = \ operatorname {im} (\ mathbf {c})}{\ displaystyle {\ mathfrak {S} } [\ mathbf {c}] = \ operatorname {im} (\ mathbf {c})} .

Доказательство 1.

[T1] По экстенсивности [K2], X ⊆ c (X) {\ displaystyle X \ substeq \ mathbf {c} (X)}{\ displaystyle X \ substeq \ mathbf {c} (X)} и возникновение замыкания отображает набор степеней из X {\ displaystyle X}X в себя (то есть изображение любого подмножества является подмножеством X {\ displaystyle X}X ), с (Икс) ⊆ Икс {\ displaystyle \ mathbf {c} (X) \ substeq X}{\ displaystyle \ mathbf {c} (X) \ substeq X} мы имеем X = c (X) {\ displaystyle X = \ mathbf {c} (X)}{\ displaystyle X = \ mathbf {c} (X) } . Таким образом, X ∈ S [c] {\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} . Сохранение пустого множества [K1] легко влечет ∅ ∈ S [c] {\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} .

[T2 ] Затем пусть I {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}{\ mathcal {I}} будет произвольным набором индексов и пусть C i {\ displaystyle C_ {i}}C_ {i} быть закрытым для каждого i ∈ I {\ displaystyle i \ in {\ mathcal {I}}}я \ in {\ mathcal {I}} . По экстенсивности [K2], ⋂ i ∈ IC i ⊆ c (⋂ i ∈ IC i) {\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i } \ substeq \ mathbf {c} {\ Big (} \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} {\ Big)}}{\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ substeq \ mathbf {c} { \ Big (} \ bigcap _ {я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} {\ Big)}} . Кроме того, по изотоничности [K4 '], если ⋂ i ∈ IC i ⊆ C i {\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ subteq C_ {i}}{\ displaystyle \ bigcap _ { я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ substeq C_ {i}} для всех индексов i ∈ I {\ displaystyle i \ in {\ mathcal {I}}}{\ displaystyle i \ in {\ mathcal {I}}} , c (⋂ i ∈ IC я) ⊆ с (С я) знак равно С я {\ Displaystyle \ mathbf {с} {\ Big (} \ bigcap _ {я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} {\ Big)} \ substeq \ mathbf {c} (C_ {i}) = C_ {i}}{\ displaystyle \ mathbf {c} {\ Big (} \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}} } C_ {i} {\ Big)} \ substeq \ mathbf {c} (C_ {i}) = C_ {i}} для всех i ∈ I {\ displaystyle i \ in {\ mathcal {I}}}{\ displaystyle i \ in {\ mathcal {I}}} , что означает c (⋂ i ∈ IC i) ⊆ ⋂ i ∈ IC i {\ displaystyle \ mathbf {c} {\ Big (} \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I) }}} C_ {i} {\ Big)} \ substeq \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i}}{\ displaystyle \ mathbf {c} {\ Big (} \ bigcap _ {я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} {\ Big)} \ substeq \ bigcap _ {я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i}} . Следовательно, ⋂ i ∈ IC i = c (⋂ i ∈ IC i) {\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} = \ mathbf {c} {\ Big (} \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} {\ Big)}}{\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} = \ mathbf {c} {\ Big (} \ bigcap _ { я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} {\ Big)}} , что означает ⋂ i ∈ IC i ∈ S [c] { \ displaystyle \ bigcap _ {я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle \ bigcap _ { я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ i п {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} .

[T3] Наконец, пусть I {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}{\ mathcal {I}} будет конечным набором индексов, и пусть C i {\ displaystyle C_ {i}}C_ {i} будет закрытым для каждый я ∈ I {\ Displaystyle I \ in {\ mathcal {I}}}я \ in {\ mathcal {I}} . Из сохранения двоичных объединений [K4] и использования индукции по количеству подмножеств, из которых мы берем объединение, имеем ⋃ i ∈ IC i = c (⋃ я ∈ IC я) {\ Displaystyle \ bigcup _ {я \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} = \ mathbf {c} {\ Big (} \ bigcup _ {я \ in {\ mathcal {I}}} C_ { i} {\ Big)}}{\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} = \ mathbf {c} {\ Big (} \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} {\ Big)}} . Таким образом, ⋃ i ∈ IC i ∈ S [c] {\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ in {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} C_ {i} \ in {\ mathfrak {S}} [ \ mathbf {c}]} .

Индукция замыкания из топологии

И наоборот, для семейства κ {\ displaystyle \ kappa}\ kappa , удовлетворяющего аксиомам [T1] - [T3], можно построить оператор замыкания Куратовского следующим образом: если A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} и A ↑ = {B ∈ ℘ (X) | A ⊆ B} {\ displaystyle A ^ {\ uparrow} = \ {B \ in \ wp (X) \ | \ A \ substeq B \}}{\ displaystyle A ^ {\ uparrow} = \ {B \ in \ wp (X) \ | \ A \ substeq B \}} это включение затем расстроено из A {\ displaystyle A}A ,

c κ (A): Знак равно ⋂ В ∈ (κ ∩ A ↑) B {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A): = \ bigcap _ {B \ in (\ kappa \ cap A ^ {\ uparrow})} B }{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A): = \ bigcap _ {B \ in (\ kappa \ cap A ^ {\ uparrow})} B} определяет оператор замыкания Куратовского c κ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa}} на ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} ..
Доказательство 2.

[K1] Бук ∅ ↑ = ℘ (Икс) {\ displaystyle \ varnothing ^ {\ uparrow} = \ wp (X)}{\ displaystyle \ varnothing ^ {\ uparrow} = \ wp (X)} , с κ (∅) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (\ varnothing)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (\ varnothing)} сводится к пересечению всех множеств в семействе κ {\ displaystyle \ kappa}\ kappa ; но ∅ ∈ κ {\ displaystyle \ varnothing \ in \ kappa}{\ displaystyle \ varnothing \ in \ kappa} по аксиоме [T1], поэтому пересечение схлопывается до нулевого числа и [K1] следует.

[K2] По определению A ↑ {\ displaystyle A ^ {\ uparrow}}{ \ displaystyle A ^ {\ uparrow}} , мы имеем, что A ⊆ B {\ displaystyle A \ substeq B }A \ substeq B для всех B ∈ (κ ∩ A ↑) {\ displaystyle B \ in (\ kappa \ cap A ^ {\ uparrow})}{\ displaystyle B \ in (\ kappa \ cap A ^ {\ uparrow})} , и, следовательно, A {\ displaystyle A}A должен находиться на пересечении всех таких множеств. Отсюда следует экстенсивность [K2] .

[K3] Обратите внимание, что для всех A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} , семейство c κ (A) ↑ ∩ κ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) ^ {\ uparrow} \ cap \ kappa}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) ^ {\ uparrow} \ cap \ kappa} содержит c κ (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A)} как минимальный элемент относительно включения. Следовательно, c κ 2 (A) = ⋂ B ∈ c κ (A) ↑ ∩ κ B = c κ (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} ^ {2} (A) = \ bigcap _ {B \ in \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) ^ {\ uparrow} \ cap \ kappa} B = \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} ^ {2} (A) = \ bigcap _ {B \ in \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) ^ {\ uparrow} \ cap \ kappa} B = \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A)} , что является идемпотентностью [K3] .

[K4 '] Пусть A ⊆ B ⊆ X {\ displaystyle A \ substeq B \ substeq X}{\ displaystyle A \ Substeq B \ substeq X} : тогда B ↑ ⊆ A ↑ {\ displaystyle B ^ {\ uparrow} \ substeq A ^ {\ uparrow}}{\ displaystyle B ^ {\ uparrow} \ substeq A ^ {\ uparrow}} , и, следовательно, κ ∩ B ↑ ⊆ κ ∩ A ↑ {\ displaystyle \ kappa \ cap B ^ {\ uparrow} \ substeq \ kappa \ cap A ^ {\ uparrow}}{\ displaystyle \ kappa \ cap B ^ {\ uparrow} \ substeq \ kappa \ cap A ^ {\ uparrow}} . Последнее время последнее семейство может содержать больше элементов, чем первое, мы находим c κ (A) ⊆ c κ (B) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B)} , что означает изотоничность [K4 '] . Обратите внимание, что изотоничность подразумевает c κ (A) ⊆ c κ (A ∪ B) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ чашка B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ каппа} (A \ чашка B)} и c κ (B) ⊆ c κ (A ∪ B) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ cup B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ cup B)} , что вместе означает c κ (A) ∪ c κ (B) ⊆ c κ (A ∪ B) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ cup \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ cup B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ cup \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ cup B)} .

[K4] Наконец, исправьте A, B ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A, B \ in \ wp (X)}{\ displaystyle A, B \ in \ wp (X)} . Аксиома [T2] подразумевает c κ (A), c κ (B) ∈ κ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A), \ mathbf {c} _ {\ каппа} (B) \ in \ kappa}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A), \ mathbf {c} _ {\ kappa} ( В) \ in \ kappa} ; кроме того, аксиома [T2] подразумевает, что c κ (A) ∪ c κ (B) ∈ κ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ cup \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ in \ kappa}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ чашка \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ in \ kappa} . По экстенсивности [K2] каждый имеет c κ (A) ∈ A ↑ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ in A ^ {\ uparrow}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ in A ^ {\ uparrow }} и c κ (B) ∈ B ↑ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ in B ^ {\ uparrow}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ in B ^ {\ uparrow}} , поэтому что с κ (A) ∪ c κ (B) ∈ (A ↑) ∩ (B ↑) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ cup \ mathbf {c} _ { \ kappa} (B) \ in (A ^ {\ uparrow}) \ cap (B ^ {\ uparrow})}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ cup \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ in (A ^ {\ uparrow}) \ cap (B ^ {\ uparrow})} . Но (A ↑) ∩ (B ↑) = (A ∪ B) ↑ {\ displaystyle (A ^ {\ uparrow}) \ cap (B ^ {\ uparrow}) = (A \ cup B) ^ { \ uparrow}}{\ displaystyle (A ^ {\ uparrow}) \ cap (B ^ {\ uparrow}) = (A \ cup B) ^ { \ uparrow}} , так что в итоге c κ (A) ∪ c κ (B) ∈ κ ∩ (A ∪ B) ↑ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ каппа } (A) \ чашка \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ in \ kappa \ cap (A \ cup B) ^ {\ uparrow}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ cup \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) \ in \ kappa \ cap (A \ cup B) ^ {\ uparrow}} . С тех пор c κ (A ∪ B) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ cup B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ cup B)} является минимальным элементом κ ∩ (A ∪ B) ↑ {\ displaystyle \ kappa \ cap (A \ cup B) ^ {\ uparrow}}{\ displaystyle \ kappa \ cap (A \ cup B) ^ { \ uparrow}} при включении, мы находим c κ (A ∪ B) ⊆ c κ (A) ∪ с κ (В) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ cup B) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ cup \ mathbf {c} _ {\ kappa } (B)}{\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A \ чашка B) \ substeq \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) \ cup \ mathbf {c} _ {\ kappa} (B) } . Пункт 4. обеспечивает аддитивность [K4] .

Точное соответствие между двумя структурами

Фактически, эти две дополнительные конструкции противоположны друг другу: if C ls K (X) { \ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {K} (X)}{\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {K} (X)} - это набор всех закрывающих операторов Куратовского на X {\ displaystyle X}X и A tp (X) {\ displaystyle \ mathrm {Atp} (X)}{\ displaystyle \ mathrm {Atp} (X)} - это совокупность всех семейств, состоящая из дополнений всех множеств в топологии, то есть совокупность всех семейств, удовлетворяющих [ T1] - [T3], затем S: C ls K (X) → A tp (X) {\ displaystyle {\ mathfrak {S}}: \ mathrm {Cls} _ {K} (X) \ to \ mathrm {Atp} (X)}{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}: \ mathrm {Cls} _ {K} (X) \ to \ mathrm {Atp} (X)} такой, что c ↦ S [c] {\ displaystyle \ mathbf {c} \ mapsto {\ mathfrak {S }} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle \ mathbf {c} \ mapsto {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}] } - биекция, обратная которой дается присваиванием C: κ ↦ c κ {\ displaystyle {\ mathfrak {C}}: \ kappa \ mapsto \ mathbf {c} _ {\ kappa}}{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}: \ kappa \ mapsto \ mathbf {c} _ {\ kappa}} .

Доказательство 3.

Сначала докажем, что C ∘ S = 1 C l s К (Икс) {\ Displaystyle {\ mathfrak {C}} \ circ {\ mathfrak {S}} = {\ mathfrak {1}} _ {\ mathrm {Cls} _ {K} (X)}}{\ displaystyle {\ mathfrak {C}} \ circ {\ mathfrak {S}} = {\ mathfrak {1}} _ {\ mathrm {Cls} _ {K} (X)}} , оператор идентичности на C ls K (X) {\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {K} (X)}{\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {K} (X)} . Для данного замыкания Куратовского c ∈ C ls K (X) {\ displaystyle \ mathbf {c} \ in \ mathrm {Cls} _ {K} (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c} \ in \ mathrm {Cls} _ {K} (X)} определите c ′: = С [S [c]] {\ displaystyle \ mathbf {c} ': = {\ mathfrak {C}} [{\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]]}{\displaystyle \mathbf {c} ':={\mathfrak {C}}[{\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]]}; тогда, если A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} , его закрытие со штрихом c ′ (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} '( A)}{\displaystyle \mathbf {c} '(A)}- это пересечение всех c {\ displaystyle \ mathbf {c}}\ mathbf {c} -стабильных наборов, содержащих A {\ displaystyle A}A . Его закрытие без начертания c (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A)} удовлетворяет этому описанию: по экстенсивности [K2] мы имеем A ⊆ c (A) {\ displaystyle A \ substeq \ mathbf {c} (A)}{\ displaystyle A \ substeq \ mathbf {c} ( A)} , и по идемпотентности [K3] мы имеем c (c (A)) = c (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (A)) = \ mathbf {c} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (\ mathbf {c} (A)) = \ mathbf {c} (A)} , и, следовательно, c (A) ∈ (A ↑ ∩ S [c]) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A) \ in (A ^ {\ uparrow} \ cap {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}])}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A) \ in (A ^ {\ uparrow} \ cap {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}])} . Теперь пусть C ∈ (A ↑ ∩ S [c]) {\ displaystyle C \ in (A ^ {\ uparrow} \ cap {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}])}{\ displaystyle C \ in (A ^ {\ uparrow} \ cap {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}])} такое, что A ⊆ C ⊆ c (A) {\ displaystyle A \ substeq C \ substeq \ mathbf {c} (A)}{\ displaystyle A \ substeq C \ substeq \ mathbf {c} (A)} : по изотонности [K4 ' ] у нас есть c (A) ⊆ c (C) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A) \ substeq \ mathbf {c} (C)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A) \ substeq \ mathbf {c} (C)} , и поскольку c (C) = C {\ displaystyle \ mathbf {c} (C) = C}{\ displaystyle \ mathbf {c} (C) = C} мы заключаем, что C = c (A) {\ displaystyle C = \ mathbf {c} (А)}{\ displaystyle C = \ mathbf {c} (A)} . Следовательно, c (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A)} является минимальным элементом A ↑ ∩ S [c] {\ displaystyle A ^ {\ uparrow} \ cap {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]}{\ displaystyle A ^ {\ uparrow} \ cap {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c}]} по включение, подразумевая c ′ (A) = c (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} '(A) = \ mathbf {c} (A)}{\displaystyle \mathbf {c} '(A)=\mathbf {c} (A)}.

Теперь мы докажем, что S ∘ С = 1 A tp (X) {\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ circ {\ mathfrak {C}} = {\ mathfrak {1}} _ {\ mathrm {Atp} (X)}}{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ circ {\ mathfrak {C}} = {\ mathfrak {1}} _ {\ mathrm {Atp} (X)}} . Если κ ∈ A tp (X) {\ displaystyle \ kappa \ in \ mathrm {Atp} (X)}{\ displaystyle \ kappa \ in \ mathrm {Atp} (X)} и κ ′: = S [C [κ]] {\ displaystyle \ kappa ': = {\ mathfrak {S}} [{\ mathfrak {C}} [\ kappa]]}{\displaystyle \kappa ':={\mathfrak {S}}[{\mathfrak {C}}[\kappa ]]}- это семейство всех наборов, устойчивых при c κ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa}} , результат будет, если оба κ ′ ⊆ κ {\ displaystyle \ kappa '\ substeq \ kappa}{\displaystyle \kappa '\subseteq \kappa }и κ ⊆ κ ′ {\ displaystyle \ kappa \ substeq \ kappa '}{\displaystyle \kappa \subseteq \kappa '}. Пусть A ∈ κ ′ {\ displaystyle A \ in \ kappa '}{\displaystyle A\in \kappa '}: следовательно, c κ (A) = A {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} ( А) = А}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) = A} . Поскольку c κ (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A)} является пересечением произвольного подсемейства κ {\ displaystyle \ kappa}\ kappa , и последнее завершается при произвольных пересечениях на [T2], тогда A = c κ (A) ∈ κ {\ displaystyle A = \ mathbf {c} _ {\ каппа} (А) \ ин \ каппа}{\ displaystyle A = \ mathbf {c} _ {\ каппа} (A) \ in \ kappa} . И наоборот, если A ∈ κ {\ displaystyle A \ in \ kappa}A \ in \ kappa , то c κ (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A) }{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ kappa} (A)} - это минимальное надмножество A {\ displaystyle A}A , которое содержится в κ {\ displaystyle \ kappa}\ kappa . Но это банально само по себе A {\ displaystyle A}A , что подразумевает A ∈ κ ′ {\ displaystyle A \ in \ kappa '}{\displaystyle A\in \kappa '}.

Мы замечаем, что можно также расширить bijection S {\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}{\ mathfrak {S}} в коллекцию C ls C ˇ (X) {\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {\ check {C} } (X)}{\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {\ check {C}} (X)} всех операторов замыкания Чеха, который строго содержит C ls K (X) {\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {K} (X)}{\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {K} (X)} ; это расширение S ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {S}}}}{\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {S}}}} также сюръективно, что означает, что все операторы замыкания Чеха на X {\ displaystyle X}X также создать топологию на X {\ displaystyle X}X . Однако это означает, что S ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {S}}}}{\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {S}}}} больше не является биекцией.

Примеры

  • Как обсуждалось выше, с учетом топологического пространства X {\ displaystyle X}X мы можем определить закрытие любого подмножества A ⊆ X {\ displaystyle A \ substeq X}A \ substeq X быть множеством c (A) = ⋂ {C замкнутым подмножеством X | A ⊆ C} {\ displaystyle \ mathbf {c} (A) = \ bigcap \ {C {\ text {замкнутое подмножество}} X | A \ substeq C \}}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A) = \ bigcap \ {C {\ text {замкнутое подмножество}} X | A \ substeq C \ }} , то есть пересечение всех закрытых наборов X {\ displaystyle X}X , которые содержат A {\ displaystyle A}A . Набор c (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A)} является наименьшим замкнутым набором X {\ displaystyle X}X , содержащим A {\ displaystyle A}A и оператор c: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ wp ( X)} - оператор замыкания по Куратовски.
  • Если X {\ displaystyle X}X - любое множество, операторы c ⊤, с ⊥: ℘ (Икс) → ℘ (Икс) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ top}, \ mathbf {c} _ {\ bot}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ top} \ mathbf {c} _ {\ bot}: \ wp (X) \ to \ wp (X)} такая, что c ⊤ (A) = {∅ A = ∅, XA ≠ ∅, c ⊥ (A) = A ∀ A ∈ ℘ (X), {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ top} (A) = {\ begin {cases} \ varnothing A = \ varnothing, \\ XA \ neq \ varnothing, \ end {ases}} \ qquad \ mathbf {c} _ {\ bot} (A) = A \ quad \ forall A \ in \ wp (X),}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ top} (A) = {\ begin {cases} \ varnothing A = \ varnothing, \\ XA \ neq \ varnothing, \ end { case}} \ qquad \ mathbf {c} _ {\ bot} (A) = A \ quad \ forall A \ in \ wp (X),} - замыкания Куратовского. Первый индуцирует недискретную топологию {∅, X} {\ displaystyle \ {\ varnothing, X \}}{\ displaystyle \ {\ varnothing, X \}} , а второй индуцирует дискретную топологию ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} .
  • Исправьте произвольное S ⊊ X {\ displaystyle S \ subsetneq X}{\ displaysty ле S \ subsetneq X} , и пусть c S: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S}: \ wp (X) \ to \ wp (X)} быть таким, чтобы с S (A): знак равно A ∪ S {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S} (A): = A \ cup S}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S} (A): = A \ cup S} для всех A ∈ ℘ (X) { \ Displaystyle А \ в \ WP (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} . Тогда c S {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S}} определяет замыкание Куратовского; соответствующее семейство замкнутых множеств S [c S] {\ displaystyle {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c} _ {S}]}{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c} _ {S}]} совпадает с S ↑ { \ displaystyle S ^ {\ uparrow}}{\ displaystyle S ^ {\ uparrow}} , семейство всех подмножеств, содержащих S {\ displaystyle S}S . Когда S = ∅ {\ displaystyle S = \ varnothing}{\ displaystyle S = \ varnothing} , мы снова получаем дискретную топологию ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} (т.е. c ∅ = c ⊥ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ varnothing} = \ mathbf {c} _ {\ bot}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ varnothing} = \ mathbf {c} _ {\ bot}} , как видно из определений).
  • Если λ {\ displaystyle \ lambda}\ lambda - такое кардинальное число, что λ ≤ crd ⁡ (X) {\ displaystyle \ lambda \ leq \ operatorname {crd} (X)}{\ displaystyle \ lambda \ leq \ operatorname {crd} (X)} , затем оператор c λ: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ lambda}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ lambda}: \ wp (X) \ к \ wp (X)} такое, что c λ (A) = {A crd ⁡ (A) < λ, X crd ⁡ ( A) ≥ λ {\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A\operatorname {crd} (A)<\lambda,\\X\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ lambda} (A) = {\ begin {cases} A \ operatorname {crd} (A) <\ lambda, \\ X \ OperatorName {crd} (A) \ geq \ lambda \ end {cases}}} удовлетворяет всем четырем аксиомам Куратовского. В случае, когда crd ⁡ (X)>ℵ 1 {\ displaystyle \ operatorname {crd} (X)>\ aleph _ {1}}{\displaystyle \operatorname {crd} (X)>\ aleph _ {1}} , если λ = ℵstyle 0 {\ display \ lambda = \ aleph _ {0}}{\ displaystyle \ lambda = \ aleph _ {0}} , этот оператор индуцирует кофинитную топологию на X {\ displaystyle X}X ; если λ = ℵ 1 {\ displaystyle \ lambda = \ aleph _ {1}}{\ displaystyle \ lambda = \ Алеф _ {1}} , он индуцирует сосчетную топологию.

Свойства

  • Поскольку любое замыкание Куратовского изотонично, а значит, очевидно любое отображение включения имеет (изотоническую) связь Галуа ⟨c: ℘ (X) → im (c); ι: im (c) ↪ ℘ (X)⟩ {\ displaystyle \ langle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ mathrm {im} (\ mathbf {c}); \ iota: \ mathrm {im} (\ mathbf {c}) \ hookrightarrow \ wp (X) \ rangle}{\ displaystyle \ langle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ mathrm {im} (\ m athbf {c}); \ iota: \ mathrm {im} (\ mathbf {c}) \ hookrightarrow \ wp (X) \ rangle} , при условии, что ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} рассматривается как объект для включения, и i m ( c) {\displaystyle \mathrm {im} (\mathbf {c})}{\ displaystyle \ mathrm {im} (\ mathbf {c})} as a subposet of ℘ ( X) {\displaystyle \wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} . Indeed, it can be easily verified that, for all A ∈ ℘ ( X) {\displaystyle A\in \wp (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} and C ∈ i m ( c) {\displaystyle C\in \mathrm {im} (\mathbf {c})}{\ displaystyle C \ in \ mathrm {im} (\ mathbf {c})} , c ( A) ⊆ C {\displaystyle \mathbf {c} (A)\subseteq C}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A) \ substeq C} if and only if A ⊆ ι ( C) {\displaystyle A\subseteq \iota (C)}{\ displaystyle A \ substeq \ iota (C)} .
  • If { A i } i ∈ I {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}{\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ { я \ in {\ mathcal {I}}}} is a subfamily of ℘ ( X) {\displaystyle \wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} , then ⋃ i ∈ I c ( A i) ⊆ c ( ⋃ i ∈ I A i), c ( ⋂ i ∈ I A i) ⊆ ⋂ i ∈ I c ( A i). {\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).}{\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ mathbf {c} (A_ {i}) \ substeq \ mathbf {c} \ left (\ bigcup _ {i \ in {\ mathcal {I}}} A_ {i} \ справа), \ qquad \ mathbf {c} \ left (\ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I}}} A_ {i} \ right) \ substeq \ bigcap _ {i \ in {\ mathcal {I} }} \ mathbf {c} (A_ {i}).}
  • If A, B ∈ ℘ ( X) {\displaystyle A,B\in \wp (X)}{\ displaystyle A, B \ in \ wp (X)} , then c ( A) ∖ c ( B) ⊆ c ( A ∖ B) {\displaystyle \mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} (A) \ setminus \ mathbf {c} (B) \ substeq \ mathbf {c} (A \ setminus B)} .

Topological concepts in terms of closure

Refinements and subspaces

A pair of Kuratowski closures c 1, c 2 : ℘ ( X) → ℘ ( X) {\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {1}, \ mathbf {c} _ {2}: \ wp (X) \ to \ wp (X)} such that c 2 ( A) ⊆ c 1 ( A) {\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {2} (A) \ substeq \ mathbf {c} _ {1} (A)} for all A ∈ ℘ ( X) {\displaystyle A\in \wp (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} induce topologies τ 1, τ 2 {\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}\ tau_1, \ tau_2 such that τ 1 ⊆ τ 2 {\displaystyl e \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}\ tau _ {1} \ substeq \ tau _ {2 } , and vice versa. In other words, c 1 {\displaystyle \mathbf {c} _{1}}\ mathbf {c} _ { 1} dominates c 2 {\displaystyle \mathbf {c} _{2}}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {2}} if and only if the topology induced by the latter is a refinement of the topology induced by the former, or equivalently S [ c 1 ] ⊆ S [ c 2 ] {\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]}{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c} _ {1}] \ substeq {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c} _ {2}]} . For example, c ⊤ {\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ top}} clearly dominates c ⊥ {\displaystyle \mathbf {c} _{\bot }}{\ displaystyle \ mathbf {c } _ {\ bot}} (the latter just being the identity on ℘ ( X) {\displaystyle \wp (X)}{\ displaystyle \ wp (X)} ). Since the same conclusion can be reached substituting τ i {\displaystyle \tau _{i}}\ tau _ {i} with the family κ i {\displaystyle \kappa _{i}}\ каппа _ {я} containing the complements of all its members, if C l s K ( X) {\displaystyle \mathrm {Cls} _{K}(X)}{\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {K} (X)} is endowed with the partial order c ≤ c ′ ⟺ c ( A) ⊆ c ′ ( A) {\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A) \ substeq \ mathbf {c} '(A)}{\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)}для всех A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} и A tp (X) {\ displaystyle \ mathrm {Atp} (X)}{\ displaystyle \ mathrm {Atp} (X)} наделен порядком уточнения, тогда мы можем сделать вывод, что S {\ displaystyle {\ mathfrak {S}} }{\ mathfrak {S}} - это антитоническое отображение между посетами.

В любой индуцированной топологии (относительно подмножества A) замкнутые множества индуцируют новый оператор замыкания, который является просто исходным оператором замыкания, ограниченным до A: c A (B) = A ∩ c X ( B) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {A} (B) = A \ cap \ mathbf {c} _ {X} (B)}{\ displaystyle \ mathbf {c} _ {A} (B) = A \ cap \ mathbf {c} _ {X} (B)} , для всех B ⊆ A { \ displaystyle B \ substeq A}{\ displaystyle B \ substeq A} .

Непрерывные отображения, замкнутые отображения и гомеоморфизмы

Функция f: (X, c) → (Y, c ′) {\ displaystyle f: (X, \ mathbf {c}) \ to (Y, \ mathbf {c} ')}{\displaystyle f:(X,\mathbf {c})\to (Y,\mathbf {c} ')}непрерывно в точке p {\ displaystyle p}p если и только если p ∈ c (A) ⇒ f (p) ∈ c ′ (f (A)) {\ displaystyle p \ in \ mathbf {c} (A) \ Rightarrow f (p) \ in \ mathbf { c} '(f (A))}{\displaystyle p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))}, и он непрерывен всюду, если и только если

f (c (A)) ⊆ c ′ (f (A)) {\ displaystyle f (\ mathbf { c} (A)) \ substeq \ mathbf {c} '(f (A))}{\displaystyle f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))}для всех подмножеств A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} . Отображение f {\ displaystyle f}f является замкнутым отображением, если выполняется обратное включение, и гомеоморфизмом, если и только если оно непрерывно и замкнуто, т. Е. Если и только если выполняется равенство.

Аксиомы разделения

Пусть (X, c) {\ displaystyle (X, \ mathbf {c})}{\ displaystyle (X, \ mathbf {c})} будет замкнутым пространством Куратовского. Тогда

  • X {\ displaystyle X}X является T0-пространством тогда и только тогда, когда x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y}x \ neq y подразумевает с ({x}) ≠ с ({y}) {\ displaystyle \ mathbf {c} (\ {x \}) \ neq \ mathbf {c} (\ {y \})}{\ displaystyle \ mathbf {c} (\ {x \}) \ neq \ mathbf {c} (\ {y \})} ;
  • X {\ displaystyle X}X - это T1-пространство iff c ({x}) = {x} {\ displaystyle \ mathbf {c} (\ {x \}) = \ {x \}}{\ displaystyle \ mathbf {c} (\ {x \}) = \ {x \}} для всех x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}x \ in X ;
  • X {\ displaystyle X}X является T2-пространством iff x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y}x \ neq y подразумевает, что существует набор A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}{\ displaystyle A \ in \ wp (X)} так, чтобы как x ∉ c (A) {\ displaystyle x \ notin \ mathbf {c} (A)}{\ displaystyle x \ notin \ mathbf {c} (A)} , так и y ∉ c (n (A)) {\ displaystyle y \ notin \ mathbf {c} (\ mathbf {n} (A))}{\ displaystyle y \ notin \ mathbf {c} (\ mathbf {n} (A))} , где n {\ displaystyle \ mathbf {n}}\ mathbf {n} - оператор дополнения множества.

Близость и разделение

Точка p {\ displaystyle p}p близка к подмножеству A {\ displaystyle A}A , если p ∈ c (А). {\ displaystyle p \ in \ mathbf {c} (A).}{\ displaystyle p \ in \ mathbf {c} (A).} Это может использоваться для определения отношения близости для точек и подмножеств набора.

Два набора A, B ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A, B \ in \ wp (X)}{\ displaystyle A, B \ in \ wp (X)} разделены, если (A ∩ c (B)) ∪ (В ∩ с (A)) знак равно ∅ {\ Displaystyle (A \ cap \ mathbf {c} (B)) \ чашка (B \ cap \ mathbf {c} (A)) = \ varnothing}{\ displaystyle (A \ cap \ mathbf {c} (B)) \ cup (B \ cap \ mathbf {c} (A)) = \ varnothing} . Пространство X {\ displaystyle X}X связано, если оно не может быть записано как объединение двух отдельных подмножеств.

См. Также

Примечания

Литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-26 03:33:25
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте