В топологии и связанных разделах математики, замыкание Куратовского аксиомы - это набор аксиом, который можно использовать для определения топологической структуры на наборе. Они эквивалентны более часто используемому определению открытого набора. Впервые были формализованы Казимежем Куратовским, и эта идея они были изучены математиками, такими как Вацлав Серпинский и Антонио Монтейро, других.
Аналогичный набор аксиом можно использовать для определения топологической структуры, используя двойное понятие только внутреннего оператора.
Содержание
- 1 Определение
- 1.1 Операторы замыкания Куратовского и ослабления
- 1.2 Альтернативные аксиоматизации
- 2 Аналогичные структуры
- 2.1 Внутренние, внешние и граничные операторы
- 2.2 Абстрактные операторы
- 3 Связь с другими аксиоматизацией топологии
- 3.1 Индукция топологии из топологии
- 3.2 Индукция замыкания из топологии
- 3.3 Точное соответствие между двумя структурами
- 4 Примеры
- 5 Свойства
- 6 Топологические концепции в терминах замыкания
- 6.1 Уточнения и подпространства
- 6.2 Непрерывные отображения, замкнутые отображения и гомеоморфизмы
- 6.3 Аксиомы разделения
- 6.4 Близость и разделение
- 7 См. также
- 8 Примечания
- 9 Ссылки
- 10 Внешние ссылки
Определение
Операторы замыкания Куратовского и ослабления
Пусть будет произвольным множеством и его набор мощности. A оператор замыкания Куратовского - это унарная операция со своими свойствами:
[K1] Сохраняет пустой набор:
;
[K2] Он обширен: для всех , ;
[K3] Идемпотент: для всех , ;
[K4] Он сохраняет двоичные объединения: для всех , .
Следующее действие сохранение двоичных объединений является следующим состоянием:
[K4 '] Изотонично:
.
Фактически, если мы перепишем равенство в [K4] как включение, что дает более слабую аксиому [K4 ''] (субаддитивность):
[K4 ''] Это субаддитив: для всех
,
,
тогда легко увидеть, что аксиомы [K4 '] и [K4' '] вместе эквивалентны [K4] (см. Предпоследний абзац доказательства 2 ниже).
Куратовски (1966) включает пятую (необязательную) аксиому, требуемую, чтобы одноэлементные наборы были стабильными при закрытии: для всех , . Он называет топологические пространства, удовлетворяющие всем пяти аксиомам, T 1 -пространства в отличие от общих пространств, которые удовлетворяют только четырем перечисленным аксиомам. Действительно, эти пространства точно соответствуют топологическим T 1 -пространствам обычным обычным соответствием (см. Ниже).
Если требование [K3] опущено, то аксиомы определяют оператор замыкания Чеха . Если [K1] вместо этого опущен, то считается, что оператор удовлетворяет [K2], [K3] и [K4 '] быть оператором замыкания Мура . Пара называется Куратовский, Чех или . Пространство замыкания Мура в зависимости от аксиом, которым удовлетворяет .
Альтернативные аксиоматизации
Четыре аксиомы замыкания Куратовского могут быть заменены одним условием, если Автор: Первин:
[P] Для всех
,
.
Аксиомы [K1] - [K4] могут быть выведены как следствие этого требования:
- Выберите . Тогда или . Это сразу подразумевает [K1] .
- Выбрать произвольный и . Затем применяется аксиому [K1], , подразумевая [K2] .
- Выберите и произвольный . Затем применяется аксиому [K1], , то есть [K3] .
- Произвольно . Применяя аксиомы [K1] - [K3], получаем [K4] .
В качестве альтернативы, Монтейро (1945) ошибка harvp: нет цели: CITEREFMonteiro1945 (help ) использует более слабую аксиому, которая влечет только [K2] - [K4] :
[M] Для всех
,
.
Требование [K1] не зависит от [M] : действительно, если , оператор определяется присвоением константы удовлетворяет [M], но не сохраняет пустое множество, поскольку . Обратите внимание, что по определению любой оператор, удовлетворяющий [M], является оператором замыкания Мура.
Более симметричная альтернатива [M] была также доказана МО Ботельо и М.Х. Тейшейрой как подразумевающая аксиомы [K2] - [K4] :
[BT] Для всех
,
.
Аналогичные структуры
Внутренние, внешние и граничные операторы
Понятие, двойное операторам замыкания Куратовского, - это внутренний оператор Куратовского, который представляет собой карту удовлетворяющий следующие аналогичные требования:
[I1] Сохраняет все пространство:
;
[I2] Это интенсивно: для всех , ;
[I3] Он идемпотентен: для всех , ;
[ I4] Он поддерживает двоичные пересечения: для всех , .
Для этих операторов можно прийти к выводам, которые полностью аналогично тому, что предполагалось для замыканий Куратовского. Например, все внутренние операторы Куратовского изотонны, т.е. они удовлетворяют [K4 '], и из-за интенсивности [I2] можно ослабить равенство в [I3] к простому.
Двойственность между замыканиями Куратовского и внутренне обеспечивается естественным оператором дополнения на , карта отправка . Эта карта является ортодополнением на решетке набора степеней, что означает, что она удовлетворяет законам Де Моргана : if - произвольный набор индексов, а ,
Применяя эти законы вместе с определяющими свойствами
, можно показать, что любой интерьер Куратовского вызывает замыкание Куратовского (и наоборот), через определяющее отношение
(и
). Каждый результат, полученный относительно
, может быть преобразован в результат относительно
с помощью этих отношений в сочетании со свойствами ортодополнения
.
Первин (1964) использует аналогичные аксиомы для внешних операторов Куратовского и граничные операторы Куратовского, которые также вызывают замыкания Куратовского через отношения и .
Абстрактные операторы
Обратите внимание, что аксиомы [K1] - [K4] могут быть адаптированы для абстрактной унарной операции на общей ограниченной решетке , формально подставив теоретико-множественное включение с частичным порядком, созданной решеткой, теоретико-множественное объединение с операцией соединения и теоретико-множественные пересечения с операцией встречи; аналогично для аксиом [I1] - [I4] . Если решетка ортодополняема, эти две абстрактные операции индуцируют друг друга обычным образом. Возвратное задание или внутренние операторы Введение в систему обобщенной топологии на решетке.
Ни определения, ни пустое множество не фигурируют в требовании для определения оператора Мура, определение может быть адаптировано для абстрактного унарного оператора на произвольном poset .
Связь с другими аксиоматизацией топологии
Индукция топологии из закрытие
Оператор замыкания естественным образом индуцирует топологию следующим образом. Пусть будет произвольным набором. Мы будем говорить, что подмножество является закрытым по отношению к оператору замыкания Куратовского тогда и только тогда, когда это фиксированная точка поставил, или другими словами он стабилен при , т.е. . Утверждение включает в себя, что семейство подмножеств общего пространства, включая дополнения замкнутыми множеств, удовлетворяет трем обычным требованиям для топологии, или, что эквивалентно, семейство всех замкнутых множеств удовлетворяет следующему:
[T1] Это ограниченная
подрешетка в
, т.е.
;
[T2] Он является полным при произвольных пересечениях, то есть если - произвольный набор индексов и , тогда ;
[ T3] Он является полным при конечных объединениях, то есть если - конечный набор индексов и , тогда .
Обратите внимание, что по идемпотентности [K3] можно к ратко написать .
Доказательство 1. |
---|
[T1] По экстенсивности [K2], и возникновение замыкания отображает набор степеней из в себя (то есть изображение любого подмножества является подмножеством ), мы имеем . Таким образом, . Сохранение пустого множества [K1] легко влечет .
[T2 ] Затем пусть будет произвольным набором индексов и пусть быть закрытым для каждого . По экстенсивности [K2], . Кроме того, по изотоничности [K4 '], если для всех индексов , для всех , что означает . Следовательно, , что означает .
[T3] Наконец, пусть будет конечным набором индексов, и пусть будет закрытым для каждый . Из сохранения двоичных объединений [K4] и использования индукции по количеству подмножеств, из которых мы берем объединение, имеем . Таким образом, . |
Индукция замыкания из топологии
И наоборот, для семейства , удовлетворяющего аксиомам [T1] - [T3], можно построить оператор замыкания Куратовского следующим образом: если и это включение затем расстроено из ,
определяет оператор замыкания Куратовского
на
..
Доказательство 2. |
---|
[K1] Бук , сводится к пересечению всех множеств в семействе ; но по аксиоме [T1], поэтому пересечение схлопывается до нулевого числа и [K1] следует.
[K2] По определению , мы имеем, что для всех , и, следовательно, должен находиться на пересечении всех таких множеств. Отсюда следует экстенсивность [K2] .
[K3] Обратите внимание, что для всех , семейство содержит как минимальный элемент относительно включения. Следовательно, , что является идемпотентностью [K3] .
[K4 '] Пусть : тогда , и, следовательно, . Последнее время последнее семейство может содержать больше элементов, чем первое, мы находим , что означает изотоничность [K4 '] . Обратите внимание, что изотоничность подразумевает и , что вместе означает .
[K4] Наконец, исправьте . Аксиома [T2] подразумевает ; кроме того, аксиома [T2] подразумевает, что . По экстенсивности [K2] каждый имеет и , поэтому что . Но , так что в итоге . С тех пор является минимальным элементом при включении, мы находим . Пункт 4. обеспечивает аддитивность [K4] . |
Точное соответствие между двумя структурами
Фактически, эти две дополнительные конструкции противоположны друг другу: if - это набор всех закрывающих операторов Куратовского на и - это совокупность всех семейств, состоящая из дополнений всех множеств в топологии, то есть совокупность всех семейств, удовлетворяющих [ T1] - [T3], затем такой, что - биекция, обратная которой дается присваиванием .
Доказательство 3. |
---|
Сначала докажем, что , оператор идентичности на . Для данного замыкания Куратовского определите ; тогда, если , его закрытие со штрихом - это пересечение всех -стабильных наборов, содержащих . Его закрытие без начертания удовлетворяет этому описанию: по экстенсивности [K2] мы имеем , и по идемпотентности [K3] мы имеем , и, следовательно, . Теперь пусть такое, что : по изотонности [K4 ' ] у нас есть , и поскольку мы заключаем, что . Следовательно, является минимальным элементом по включение, подразумевая .
Теперь мы докажем, что . Если и - это семейство всех наборов, устойчивых при , результат будет, если оба и . Пусть : следовательно, . Поскольку является пересечением произвольного подсемейства , и последнее завершается при произвольных пересечениях на [T2], тогда . И наоборот, если , то - это минимальное надмножество , которое содержится в . Но это банально |
Мы замечаем, что можно также расширить bijection S {\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}в коллекцию C ls C ˇ (X) {\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {\ check {C} } (X)}всех операторов замыкания Чеха, который строго содержит C ls K (X) {\ displaystyle \ mathrm {Cls} _ {K} (X)}; это расширение S ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {S}}}}также сюръективно, что означает, что все операторы замыкания Чеха на X {\ displaystyle X}также создать топологию на X {\ displaystyle X}. Однако это означает, что S ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {S}}}}больше не является биекцией.
Примеры
- Как обсуждалось выше, с учетом топологического пространства X {\ displaystyle X}мы можем определить закрытие любого подмножества A ⊆ X {\ displaystyle A \ substeq X}быть множеством c (A) = ⋂ {C замкнутым подмножеством X | A ⊆ C} {\ displaystyle \ mathbf {c} (A) = \ bigcap \ {C {\ text {замкнутое подмножество}} X | A \ substeq C \}}, то есть пересечение всех закрытых наборов X {\ displaystyle X}, которые содержат A {\ displaystyle A}. Набор c (A) {\ displaystyle \ mathbf {c} (A)}является наименьшим замкнутым набором X {\ displaystyle X}, содержащим A {\ displaystyle A}и оператор c: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}- оператор замыкания по Куратовски.
- Если X {\ displaystyle X}- любое множество, операторы c ⊤, с ⊥: ℘ (Икс) → ℘ (Икс) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ top}, \ mathbf {c} _ {\ bot}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}такая, что c ⊤ (A) = {∅ A = ∅, XA ≠ ∅, c ⊥ (A) = A ∀ A ∈ ℘ (X), {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ top} (A) = {\ begin {cases} \ varnothing A = \ varnothing, \\ XA \ neq \ varnothing, \ end {ases}} \ qquad \ mathbf {c} _ {\ bot} (A) = A \ quad \ forall A \ in \ wp (X),}- замыкания Куратовского. Первый индуцирует недискретную топологию {∅, X} {\ displaystyle \ {\ varnothing, X \}}, а второй индуцирует дискретную топологию ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}.
- Исправьте произвольное S ⊊ X {\ displaystyle S \ subsetneq X}, и пусть c S: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}быть таким, чтобы с S (A): знак равно A ∪ S {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S} (A): = A \ cup S}для всех A ∈ ℘ (X) { \ Displaystyle А \ в \ WP (X)}. Тогда c S {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {S}}определяет замыкание Куратовского; соответствующее семейство замкнутых множеств S [c S] {\ displaystyle {\ mathfrak {S}} [\ mathbf {c} _ {S}]}совпадает с S ↑ { \ displaystyle S ^ {\ uparrow}}, семейство всех подмножеств, содержащих S {\ displaystyle S}. Когда S = ∅ {\ displaystyle S = \ varnothing}, мы снова получаем дискретную топологию ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}(т.е. c ∅ = c ⊥ {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ varnothing} = \ mathbf {c} _ {\ bot}}, как видно из определений).
- Если λ {\ displaystyle \ lambda}- такое кардинальное число, что λ ≤ crd (X) {\ displaystyle \ lambda \ leq \ operatorname {crd} (X)}, затем оператор c λ: ℘ (X) → ℘ (X) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {\ lambda}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}такое, что c λ (A) = {A crd (A) < λ, X crd ( A) ≥ λ {\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A\operatorname {crd} (A)<\lambda,\\X\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}}удовлетворяет всем четырем аксиомам Куратовского. В случае, когда crd (X)>ℵ 1 {\ displaystyle \ operatorname {crd} (X)>\ aleph _ {1}}, если λ = ℵstyle 0 {\ display \ lambda = \ aleph _ {0}}, этот оператор индуцирует кофинитную топологию на X {\ displaystyle X}; если λ = ℵ 1 {\ displaystyle \ lambda = \ aleph _ {1}}, он индуцирует сосчетную топологию.
Свойства
- Поскольку любое замыкание Куратовского изотонично, а значит, очевидно любое отображение включения имеет (изотоническую) связь Галуа ⟨c: ℘ (X) → im (c); ι: im (c) ↪ ℘ (X)⟩ {\ displaystyle \ langle \ mathbf {c}: \ wp (X) \ to \ mathrm {im} (\ mathbf {c}); \ iota: \ mathrm {im} (\ mathbf {c}) \ hookrightarrow \ wp (X) \ rangle}, при условии, что ℘ (X) {\ displaystyle \ wp (X)}рассматривается как объект для включения, и i m ( c) {\displaystyle \mathrm {im} (\mathbf {c})}as a subposet of ℘ ( X) {\displaystyle \wp (X)}. Indeed, it can be easily verified that, for all A ∈ ℘ ( X) {\displaystyle A\in \wp (X)}and C ∈ i m ( c) {\displaystyle C\in \mathrm {im} (\mathbf {c})}, c ( A) ⊆ C {\displaystyle \mathbf {c} (A)\subseteq C}if and only if A ⊆ ι ( C) {\displaystyle A\subseteq \iota (C)}.
- If { A i } i ∈ I {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}is a subfamily of ℘ ( X) {\displaystyle \wp (X)}, then ⋃ i ∈ I c ( A i) ⊆ c ( ⋃ i ∈ I A i), c ( ⋂ i ∈ I A i) ⊆ ⋂ i ∈ I c ( A i). {\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).}
- If A, B ∈ ℘ ( X) {\displaystyle A,B\in \wp (X)}, then c ( A) ∖ c ( B) ⊆ c ( A ∖ B) {\displaystyle \mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)}.
Topological concepts in terms of closure
Refinements and subspaces
A pair of Kuratowski closures c 1, c 2 : ℘ ( X) → ℘ ( X) {\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)}such that c 2 ( A) ⊆ c 1 ( A) {\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}for all A ∈ ℘ ( X) {\displaystyle A\in \wp (X)}induce topologies τ 1, τ 2 {\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}such that τ 1 ⊆ τ 2 {\displaystyl e \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}, and vice versa. In other words, c 1 {\displaystyle \mathbf {c} _{1}}dominates c 2 {\displaystyle \mathbf {c} _{2}}if and only if the topology induced by the latter is a refinement of the topology induced by the former, or equivalently S [ c 1 ] ⊆ S [ c 2 ] {\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]}. For example, c ⊤ {\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}clearly dominates c ⊥ {\displaystyle \mathbf {c} _{\bot }}(the latter just being the identity on ℘ ( X) {\displaystyle \wp (X)}). Since the same conclusion can be reached substituting τ i {\displaystyle \tau _{i}}with the family κ i {\displaystyle \kappa _{i}}containing the complements of all its members, if C l s K ( X) {\displaystyle \mathrm {Cls} _{K}(X)}is endowed with the partial order c ≤ c ′ ⟺ c ( A) ⊆ c ′ ( A) {\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A) \ substeq \ mathbf {c} '(A)}для всех A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}и A tp (X) {\ displaystyle \ mathrm {Atp} (X)}наделен порядком уточнения, тогда мы можем сделать вывод, что S {\ displaystyle {\ mathfrak {S}} }- это антитоническое отображение между посетами.
В любой индуцированной топологии (относительно подмножества A) замкнутые множества индуцируют новый оператор замыкания, который является просто исходным оператором замыкания, ограниченным до A: c A (B) = A ∩ c X ( B) {\ displaystyle \ mathbf {c} _ {A} (B) = A \ cap \ mathbf {c} _ {X} (B)}, для всех B ⊆ A { \ displaystyle B \ substeq A}.
Непрерывные отображения, замкнутые отображения и гомеоморфизмы
Функция f: (X, c) → (Y, c ′) {\ displaystyle f: (X, \ mathbf {c}) \ to (Y, \ mathbf {c} ')}непрерывно в точке p {\ displaystyle p}если и только если p ∈ c (A) ⇒ f (p) ∈ c ′ (f (A)) {\ displaystyle p \ in \ mathbf {c} (A) \ Rightarrow f (p) \ in \ mathbf { c} '(f (A))}, и он непрерывен всюду, если и только если
f (c (A)) ⊆ c ′ (f (A)) {\ displaystyle f (\ mathbf { c} (A)) \ substeq \ mathbf {c} '(f (A))}для всех подмножеств
A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}. Отображение
f {\ displaystyle f}является замкнутым отображением, если выполняется обратное включение, и
гомеоморфизмом, если и только если оно непрерывно и замкнуто, т. Е. Если и только если выполняется равенство.
Аксиомы разделения
Пусть (X, c) {\ displaystyle (X, \ mathbf {c})}будет замкнутым пространством Куратовского. Тогда
- X {\ displaystyle X}является T0-пространством тогда и только тогда, когда x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y}подразумевает с ({x}) ≠ с ({y}) {\ displaystyle \ mathbf {c} (\ {x \}) \ neq \ mathbf {c} (\ {y \})};
- X {\ displaystyle X}- это T1-пространство iff c ({x}) = {x} {\ displaystyle \ mathbf {c} (\ {x \}) = \ {x \}}для всех x ∈ X {\ displaystyle x \ in X};
- X {\ displaystyle X}является T2-пространством iff x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y}подразумевает, что существует набор A ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A \ in \ wp (X)}так, чтобы как x ∉ c (A) {\ displaystyle x \ notin \ mathbf {c} (A)}, так и y ∉ c (n (A)) {\ displaystyle y \ notin \ mathbf {c} (\ mathbf {n} (A))}, где n {\ displaystyle \ mathbf {n}}- оператор дополнения множества.
Близость и разделение
Точка p {\ displaystyle p}близка к подмножеству A {\ displaystyle A}, если p ∈ c (А). {\ displaystyle p \ in \ mathbf {c} (A).}Это может использоваться для определения отношения близости для точек и подмножеств набора.
Два набора A, B ∈ ℘ (X) {\ displaystyle A, B \ in \ wp (X)}разделены, если (A ∩ c (B)) ∪ (В ∩ с (A)) знак равно ∅ {\ Displaystyle (A \ cap \ mathbf {c} (B)) \ чашка (B \ cap \ mathbf {c} (A)) = \ varnothing}. Пространство X {\ displaystyle X}связано, если оно не может быть записано как объединение двух отдельных подмножеств.
См. Также
Примечания
Литература
- Куратовский, Казимеж (1922) [1920], «Sur l'opération A de l'Analysis Situs» [Об операции A в Analysis Situs] (PDF), Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 3, стр. 182–199, краткое содержание - Перевод Марка Боурона (2010).
- Куратовски, Казимеж (1966) [1958], Топология, I, перевод Jaworowski, J., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1, LCCN 66029221.
- Первин, Уильям Дж. (1964), Боас, Ральф П. мл. (Редактор), Основы общей топологии, Academic Press, ISBN 9781483225159, LCCN 64-17796.
- Архангельский А.В.; Федорчук, В. (1990) [1988], Гамкрелидзе, Р.В.; Архангельский, А.В.; Понтрягин, Л. (ред.), Общая топология I, Энциклопедия математических наук, 17, перевод О'Ши, DB, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3- 642-64767-3, LCCN 89-26209.
- Монтейро, Антонио (сентябрь 1943 г.), «Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul аксиома " [Характеристика операции замыкания одной аксиомой], Portugaliae mathematica (на французском языке) (опубликовано в 1945 г.), 4 (4), стр. 158–160, Zbl 0060.39406.
Внешние ссылки