Свойство конечного пересечения

В общей топологии, ветвь математики, коллекция A подмножеств набор X, как говорят, имеет свойство конечного пересечения (FIP), если пересечение по любой конечной подгруппе A непусто. У него есть свойство сильного конечного пересечения (SFIP), если пересечение по любому конечному поднабору A бесконечно.

A центрированная система множеств - это совокупность множеств со свойством конечного пересечения.

• 1 Определение
• 2 Обсуждение
• 3 Приложения
• 4 Примеры
• 5 Теоремы
• 6 Вариантов
• 7 Ссылки

Пусть $Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\}$будет набором, и пусть $A\; =\; \{A\; i\}\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; =\; \backslash \; \{A\_\; \{i\}\; \backslash \; \}\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$семейство подмножеств $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, проиндексированных произвольным набором $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. Коллекция $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$имеет свойство конечного пересечения (FIP), если любая конечная подколлекция имеет непустое пересечение, т. Е. $\bigcap \; i\; \in \; JA\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; J\}\; A\_\; \{i\}\}$- непустое подмножество $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$для каждого конечного $J\; \subseteq \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \backslash \; substeq\; I\}$.

Пустое множество не может принадлежать ни одной коллекции со свойством конечного пересечения. Условие тривиально выполняется, если пересечение по всей коллекции непусто (в частности, если сама коллекция пуста), а также тривиально выполняется, если коллекция вложена, что означает, что коллекция полностью упорядочена включением (эквивалентно, для любой конечной подколлекции конкретный элемент подколлекции содержится во всех других элементах подколлекции), например вложенная последовательность интервалов (0, 1 / n). Однако это не единственные возможности. Например, если X = (0, 1) и для каждого положительного целого числа i, X i - это набор элементов X, имеющих десятичное расширение с цифрой 0 в i-м десятичном разряде, то любое конечное пересечение непусто (просто возьмите 0 в этих конечных местах и ​​1 в остальных), но пересечение всех X i для i ≥ 1 пусто, так как ни один элемент (0, 1) не имеет все нулевые цифры.

Свойство конечного пересечения полезно при формулировке альтернативного определения компактности : пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый набор замкнутых множеств, имеющих свойство конечного пересечения, имеет непустое пересечение. Эта формулировка компактности используется в некоторых доказательствах теоремы Тихонова и несчетности действительных чисел (см. Следующий раздел).

Теорема. Пусть X - непустое компактное хаусдорфово пространство, удовлетворяющее тому свойству, что ни одно одноточечное множество не открыть. Тогда X несчетно.

Доказательство. Мы покажем, что если U ⊆ X непусто и открыто, и если x является точкой X, то существует окрестность V ⊂ U, замыкание которого не содержит x (x может быть или не быть в U). Выберите y в U, отличный от x (если x находится в U, то должен существовать такой y, иначе U будет открытым одноточечным набором; если x не находится в U, это возможно, поскольку U не пусто). Затем по условию Хаусдорфа выберем непересекающиеся окрестности W и K точек x и y соответственно. Тогда K ∩ U будет окрестностью y, содержащейся в U, замыкание которой не содержит x, как хотелось бы.

Теперь предположим, что f: N → X является биекцией, и пусть {x i : i ∈ N } обозначают изображение f. Пусть X - первое открытое множество, и выберем окрестность U 1 ⊂ X, замыкание которой не содержит x 1. Во-вторых, выберем окрестность U 2 ⊂ U 1, замыкание которой не содержит x 2. Продолжаем этот процесс, выбирая окрестность U n + 1 ⊂ U n, замыкание которой не содержит x n + 1. Тогда набор {U i : i ∈ N } удовлетворяет свойству конечного пересечения, и, следовательно, пересечение их замыканий непусто в силу компактности X. Следовательно, существует точка x на этом пересечении. Никакой x i не может принадлежать этому пересечению, потому что x i не принадлежит замыканию U i. Это означает, что x не равно x i для всех i, а f не является сюръективным ; противоречие. Следовательно, X несчетно.

Все условия в формулировке теоремы обязательны:

1. Мы не можем устранить условие Хаусдорфа; счетное множество (по крайней мере, с двумя точками) с недискретной топологией компактно, имеет более одной точки и удовлетворяет свойству, что ни один набор точек не является открытым, но не является несчетным.

2. Мы не можем исключить условие компактности, как показывает набор рациональных чисел.

3. Мы не можем исключить условие, что одноточечные множества не могут быть открытыми, как показывает любое конечное пространство с дискретной топологией .

Следствие. Каждый закрытый интервал [a, b] с < b is uncountable. Therefore, Rнеисчислим.

Следствие. Всякое совершенное, локально компактное хаусдорфово пространство несчетно.

Доказательство. Пусть X - совершенное компактное хаусдорфово пространство, тогда из теоремы сразу следует, что X несчетно. Если X - совершенное локально компактное хаусдорфово пространство, которое не компактно, то одноточечная компактификация пространства X является совершенным компактным хаусдорфовым пространством. Следовательно, одноточечная компактификация X несчетна. Поскольку удаление точки из несчетного набора по-прежнему оставляет несчетное множество, X также является несчетным.

Правильный фильтр на множестве имеет свойство конечного пересечения.

Пусть X непусто, F ⊆ 2, F обладает свойством конечного пересечения. Тогда существует U ультрафильтр (в 2) такой, что F ⊆ U.

См. Подробности и доказательства в Csirmaz Hajnal (1994). Этот результат известен как лемма об ультрафильтрации.

Семейство множеств A обладает свойством сильного конечного пересечения (SFIP), если каждое конечное подсемейство A имеет бесконечное пересечение.

1. ^Мункрес, Джеймс (2004). Топология. Нью-Дели: Прентис-Холл Индии. п. 169. ISBN 978-81-203-2046-8.
2. ^«Пространство компактно, если и только если любое семейство замкнутых множеств, имеющих fip, имеет непустое пересечение». PlanetMath.
3. ^Чирмаз, Ласло; Хайнал, Андраш (1994), Matematikai logika (на венгерском), Будапешт: Университет Этвёша Лоранда.

• «Свойство конечного пересечения». PlanetMath.