Транзитивные бинарные отношения | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Все определения неявно требуют, чтобы однородное отношение было транзитивным : « ✓ » указывает, что свойство столбца требуется в определении строки. Например, определение отношения эквивалентности требует, чтобы оно было симметричным. Упомянутые здесь дополнительные свойства, что однородное отношение может удовлетворять. |
Симметричное отношение представляет собой тип бинарного отношения. Примером может служить отношение «равно», потому что если a = b истинно, то b = a также истинно. Формально бинарное отношение R над множеством X является симметричным, если:
где обозначение означает, что.
Если Р Т представляет собой обратное из R, то R является симметричным тогда и только тогда, когда R = R T.
Симметрия, наряду с рефлексивностью и транзитивностью, являются тремя определяющими свойствами отношения эквивалентности.
По определению непустое отношение не может быть одновременно симметричным и асимметричным (где, если a связано с b, то b не может быть связано с a (таким же образом)). Однако отношение не может быть ни симметричным, ни асимметричным, как в случае «меньше или равно» и «жертва»).
Симметричные и антисимметричные (где единственный способ могут быть связаны с б и б быть связано с, если = б) на самом деле являются независимыми друг от друга, как показывают эти примеры.
Симметричный | Не симметричный | |
Антисимметричный | равенство | "меньше или равно" |
Не антисимметричный | сравнение в модульной арифметике | "делится на" по набору целых чисел |
Симметричный | Не симметричный | |
Антисимметричный | "такой же человек, как и женат" | "множественное число" |
Не антисимметричный | "является полным биологическим братом" | "охотится на" |