Натуральное число

редактировать

Вид числа, используемого для подсчета

Натуральные числа могут использоваться для подсчета (одно яблоко, два яблока, три яблока,...)

В математике натуральные числа используются для подсчета (например, «есть шесть монеты на столе ») и упорядочивание (например,« это третий по величине город в стране »). В общей математической терминологии для подсчета в просторечии используются слова «кардинальные числа », а слова, используемые для упорядочивания, - «порядковые числа ». Натуральные числа иногда могут выступать в виде удобного набора кодов (ярлыков или «имен»); то есть, как то, что лингвисты называют номинальными числами, отказываясь от многих или всех свойств числа в математическом смысле. Набор натуральных чисел часто обозначается символом $N {\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ .

В некоторых определениях, включая стандарт ISO 80000-2, натуральные числа начинаются с 0, что соответствует неотрицательным целым числам 0, 1, 2, 3,... (вместе обозначаются символом $N 0 {\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ $\ mathbb {N} _ {0}$ ), тогда как другие начинаются с 1, что соответствует целым положительным числам 1, 2, 3,... (все вместе обозначаются символом $N 1 {\ displaystyle \ mathbb {N} _ {1}}$ $\ mathbb {N} _ {1}$ ).

Тексты, исключающие ноль из натуральных чисел, иногда относятся к натуральным числам вместе с нулем как к целым числам, в то время как в других письменных источниках этот термин используется вместо целые числа (включая отрицательные целые числа).

Натуральные числа являются основой, на основе которой могут быть построены многие другие числовые наборы путем расширения: целые числа (группа Гротендика ), включив (если еще не добавлен) нейтральный элемент 0 и additi ve обратный (−n) для каждого ненулевого натурального числа n; рациональные числа, включая мультипликативную обратную величину (⁄ n) для каждого ненулевого целого числа n (а также произведение этих обратных чисел на целые числа); действительные числа путем включения с рациональными числами пределов (сходящихся) последовательностей Коши рациональных чисел; комплексные числа, путем включения в действительные числа неразрешенного квадратного корня из минус единицы (а также их суммы и произведения); и так далее. Эти цепочки расширений делают натуральные числа канонически встроенными (идентифицированными) в другие системы счисления.

Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение простых чисел, изучаются в теории чисел. Проблемы, связанные с подсчетом и упорядочением, такие как разбиение и перечисления, изучаются в комбинаторике.

на обычном языке, особенно в начальной школе образование, натуральные числа могут называться подсчетом чисел, чтобы интуитивно исключить отрицательные целые числа и ноль, а также противопоставить дискретность числа подсчета с непрерывностью из измерения - отличительная черта вещественных чисел.

Содержание

1 История
- 1.1 Древние корни
- 1.2 Современные определения
2 Обозначение
3 Свойства
- 3.1 Бесконечность
- 3.2 Сложение
- 3.3 Умножение
- 3.4 Связь между сложением и умножением
- 3.5 Порядок
- 3.6 Деление
- 3.7 Алгебраические свойства, которым удовлетворяют натуральные числа
4 Обобщения
5 Формальные определения
- 5.1 Аксиомы Пеано
- 5.2 Конструкции на основе теории множеств
  - 5.2.1 Порядковые числа фон Неймана
  - 5.2.2 Порядковые числа Цермело
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Библиография
10 Внешние ссылки

История

Древние корни

Кость Ишанго (на выставке в Королевском бельгийском институте естественных наук ), как полагают, 20 000 лет назад использовался для арифметики натуральных чисел.

Самый примитивный метод представления натурального числа - это поставить отметку для каждого объекта. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток - вычеркнув отметку и удалив объект из набора.

Первым крупным достижением в абстракции стало использование цифр для представления чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали мощную систему цифр с четкими иероглифами для 1, 10 и всеми степенями от 10 до более чем 1 миллиона. На каменной резьбе из Карнака, датируемой примерно 1500 г. до н.э. и ныне находящейся в Лувре в Париже, 276 изображены как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622. У вавилонян была система разрядов, основанная в основном на цифрах для 1 и 10, с использованием шестидесяти, так что символ для шестидесяти был таким же, как и символ для одного - его значение определяется из контекста.

Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что 0 можно рассматривать как число с собственной цифрой. Использование цифры 0 в обозначении места (в других числах) восходит к 700 г. до н.э. вавилонянами, которые опускали такую цифру, когда она была последним символом в числе. Цивилизации ольмеков и майя использовали 0 как отдельное число еще в I веке до н.э., но это использование не распространилось за пределы Мезоамерики. Использование цифры 0 в наше время возникло у индийского математика Брахмагупты в 628 году нашей эры. Однако 0 использовалось как число в средневековом computus (вычисление даты Пасхи ), начиная с Дионисия Экзигууса в 525 г. обозначается цифрой (стандартные римские цифры не имеют символа 0). Вместо этого nulla (или родительный падеж nullae) от nullus, латинского слова, означающего «нет», использовался для обозначения значения 0.

Первое систематическое изучение чисел как абстракций - это обычно приписывается греческим философам Пифагору и Архимеду. Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, иногда даже не как к числу вообще. Евклид, например, сначала определил единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом, и здесь нет уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного множества единиц равны 2).

Независимые исследования чисел также проводились примерно в то же время в Индии, Китай и Мезоамерика.

Современные определения

В 19 веке Европа существовали математические и философские обсуждение точной природы натуральных чисел. Школа натурализма утверждала, что натуральные числа являются прямым следствием человеческой психики. Анри Пуанкаре был одним из ее защитников, как и Леопольд Кронекер, который резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека».

В противовес натуралистам конструктивисты увидели необходимость улучшить логическую строгость в основаниях математики. В 1860-х годах Герман Грассман предложил рекурсивное определение натуральных чисел, таким образом заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Позже были построены два класса таких формальных определений; позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге. Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, включая парадокс Рассела. Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, и любой набор, который может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов.

Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом, уточнен Ричардом Дедекиндом и дополнительно исследован Джузеппе Пеано ; этот подход теперь называется арифметика Пеано. Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел : каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равно согласована с несколькими слабыми системами теории множеств. Одной из таких систем является ZFC, в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. Теоремы, которые могут быть доказаны в ZFC, но не могут быть доказаны с использованием аксиом Пеано, включают теорему Гудстейна.

Со всеми этими определениями удобно включать 0 (соответствующий пустому множеству ) в качестве натуральное число. Включение 0 сейчас является обычным условием среди теоретиков множеств и логиков. Другие математики также включают 0, и компьютерные языки часто начинаются с нуля при перечислении таких элементов, как счетчики циклов и строка- или элементы-массивы. С другой стороны, многие математики сохранили старую традицию считать 1 первым натуральным числом.

Поскольку с токенами 0 и 1 обычно связаны различные свойства (например, нейтральные элементы для сложения и умножения, соответственно), важно знать, какая версия натуральных чисел, обычно обозначаемая $N, {\ displaystyle \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N},}$ , используется в рассматриваемом случае. Это можно сделать с помощью пояснения в прозе, явного написания набора или определения универсального идентификатора надстрочным или нижним индексом (см. Также в #Notation), например, следующим образом:

Naturals с нулем: ${0, 1, 2,... } = N 0 знак равно N ∪ {0} {\ displaystyle \; \ {0,1,2,... \} = \ mathbb {N} _ {0} = {\ mathbb {N}} \ чашка \ { 0 \}}$ ${\ displaystyle \; \ {0, 1,2,... \} = \ mathbb {N} _ {0} = {\ mathbb {N}} \ cup \ {0 \}}$
Натуральные числа без нуля: ${1, 2,... } = N ∗ = N ∖ {0}. {\ displaystyle \ {1,2,... \} = \ mathbb {N} ^ {*} = \ mathbb {N} \ smallsetminus \ {0 \}.}$ ${\ displaystyle \ {1,2,... \} = \ mathbb {N } ^ {*} = \ mathbb {N} \ smallsetminus \ {0 \}.}$

Обозначение

заглавная буква N с двойным зачеркиванием, часто используется для обозначения набора всех натуральных чисел (см. Список математических символов ).

Математики используют N или ℕ (N в blackboard bold ) для ссылки на набор всех натуральных чисел. В старых текстах также иногда использовался J в качестве символа для этого набора.

Чтобы однозначно указать, включен ли 0 или нет, иногда в первом случае добавляется нижний индекс (или верхний индекс) «0», а во втором случае - верхний индекс «*» (или нижний индекс «1»):

ℕ0= ℕ = ℕ ∪ {0 } = {0, 1, 2,...}

ℕ = ℕ = ℕ 1 = ℕ>0 = {1, 2, 3,...}.

В качестве альтернативы, поскольку натуральные числа естественным образом включают в целые числа, они могут называться положительными или неотрицательными целыми числами соответственно.

{1, 2, 3,…} = Z + {\ displaystyle \ {1,2,3, \ dots \} = \ mathbb {Z} ^ {+}}

{\ displaystyle \ {1,2,3, \ dots \} = \ mathbb {Z} ^ {+}}

{0, 1, 2,…} = Z ≥ 0 {\ displaystyle \ {0,1,2, \ dots \} = \ mathbb {Z} ^ {\ geq 0}}

{\ displaystyle \ {0,1,2, \ dots \} = \ mathbb {Z} ^ { \ geq 0}}

Свойства

Infinity

Набор натуральных чисел - это бесконечное множество. По определению этот вид бесконечности называется счетной бесконечностью. Говорят, что все множества, которые могут быть помещены в биективное отношение к натуральным числам, имеют такую бесконечность. Это также выражается в том, что кардинальное число набора равно aleph-naught (ℵ0).

Addition

Можно рекурсивно определить сложение оператор для натуральных чисел, установив a + 0 = a и a + S (b) = S (a + b) для всех a, b. Здесь S следует читать как «преемник ». Это превращает натуральные числа (ℕ, +) в коммутативный моноид с элементом идентичности 0, так называемый свободный объект с один генератор. Этот моноид удовлетворяет свойству сокращения и может быть встроен в группу (в смысле слова теории групп ). Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, - это целые числа.

. Если 1 определяется как S (0), то b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b). То есть b + 1 - это просто преемник b.

Умножение

Аналогично, учитывая, что сложение было определено, можно определить оператор умножения $× {\ displaystyle \ times}$ $\ times$ через a × 0 = 0 и a × S (b) = (a × b) + a. Это превращает (ℕ, ×) в свободный коммутативный моноид с единицей 1; генераторная установка для этого моноида - это набор простых чисел.

Связь между сложением и умножением

Сложение и умножение совместимы, что выражается в законе распределения : × (b + c) = (a × b) + (a × c). Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа экземпляром коммутативного полукольца. Полукольца - это алгебраическое обобщение натуральных чисел, в котором умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие аддитивных обратных чисел, которое эквивалентно тому факту, что <не закрыто при вычитании (то есть вычитание одного натурального числа из другого не всегда приводит к другому натуральному числу), означает, что ℕ не является кольцо ; вместо этого это полукольцо (также известное как риг).

Если натуральные числа приняты как «исключая 0» и «начиная с 1», определения + и × такие же, как указано выше, за исключением того, что они начинаются с a + 1 = S (a) и a × 1 = а.

Порядок

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab, указывают произведение a × b, и предполагается стандартный порядок операций.

A общий порядок натуральных чисел определяется тем, что a ≤ b тогда и только тогда, когда существует другое натуральное число c, где a + c = b. Этот порядок совместим с арифметическими операциями в следующем смысле: если a, b и c - натуральные числа и a ≤ b, то a + c ≤ b + c и ac ≤ bc.

Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо упорядочены : каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди хорошо упорядоченных наборов выражается порядковым номером ; для натуральных чисел это обозначается как ω (омега).

Деление

Хотя, как правило, невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, процедура деления с остатком доступна в качестве замены: для любых двух натуральных чисел Для чисел a и b с b ≠ 0 существуют натуральные числа q и r такие, что

a = bq + r и r < b.

Число q называется частным, а r называется остаток от деления a на b. Числа q и r однозначно определяются a и b. Это евклидово деление является ключом к нескольким другим свойствам (делимость ), алгоритмам (например, алгоритм Евклида ) и идеям теории чисел.

Алгебраические свойства, которым удовлетворяют натуральные числа

Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, как определено выше, имеют несколько алгебраических свойств:

Замыкание при сложении и умножение: для всех натуральных чисел a и b оба a + b и a × b являются натуральными числами.
Ассоциативность : для всех натуральных чисел a, b и c a + (b + c) = (a + b) + c и a × (b × c) = (a × b) × c.
Коммутативность : для всех натуральных чисел a и b, a + b = b + a и a × b = b × a.
Наличие элементов идентичности : для каждого натурального числа a, a + 0 = a и a × 1 = a.
Дистрибутивность умножения по сложению для всех натуральных чисел a, b и c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
Нет ненулевых делителей нуля : если a и b натуральные числа такие, что a × b = 0, то a = 0 или b = 0 (или оба).

Обобщения

Два важных обобщения натуральных чисел возникают из двух применений подсчет и порядок: кардинальные числа и порядковые числа.

Натуральное число может использоваться для выражения размера конечного набора; точнее, количественное число - это мера размера множества, которая подходит даже для бесконечных множеств. Эта концепция «размера» основана на отображении между наборами, так что два набора имеют одинаковый размер, в точности если между ними существует биекция. Сам набор натуральных чисел и любое его биективное изображение называется счетно бесконечным и имеет мощность aleph-null (ℵ0).
Также используются натуральные числа. как лингвистические порядковые номера : «первый», «второй», «третий» и т. д. Таким образом, они могут быть отнесены к элементам полностью упорядоченного конечного множества, а также к элементам любого хорошо упорядоченного счетно бесконечного множества. Это присвоение можно обобщить на общие порядки, мощность которых превышает счетность, чтобы получить порядковые числа. Порядковый номер может также использоваться для описания понятия «размер» для хорошо упорядоченного набора в смысле, отличном от количества элементов: если существует изоморфизм порядка (более чем взаимное соответствие!) Между двумя хорошо упорядоченные наборы, они имеют одинаковый порядковый номер. Первое порядковое число, не являющееся натуральным числом, выражается как ω; это также порядковый номер самого набора натуральных чисел.

Наименьший порядковый номер мощности ℵ 0 (то есть начальный порядковый номер числа ℵ 0) равно ω, но многие упорядоченные множества с кардинальным числом ℵ 0 имеют порядковый номер больше ω.

Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует взаимно однозначное соответствие между порядковыми и количественными числами; следовательно, они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом - количеством элементов множества. Это число также можно использовать для описания положения элемента в более крупной конечной или бесконечной последовательности.

Счетная нестандартная модель арифметики, удовлетворяющая арифметике Пеано (то есть, аксиомы Пеано первого порядка) была разработана Сколемом в 1933 году. сверхъестественные числа представляют собой несчетную модель, которую можно построить из обычных натуральных чисел с помощью сверхстепенной конструкции.

Жорж Риб имел обыкновение провокационно утверждать, что наивные целые числа не заполняют ℕ. Другие обобщения обсуждаются в статье о числах.

Формальные определения

аксиомы Пеано

Многие свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано :

0 - натуральное число.
Каждое натуральное число имеет преемника, который также является натуральным числом.
0 не является преемником какого-либо натурального числа.
Если преемник $x {\ displaystyle x}$ $x$ равен преемнику $y {\ displaystyle y}$ $y$ , затем $x {\ displaystyle x}$ $x$ равно $y {\ displaystyle y}$ $y$ .
аксиома индукции : если утверждение истинно для 0, и если истинность этого утверждения для числа подразумевает его истинность для преемник этого числа, то утверждение верно для любого натурального числа.

Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названные в его честь. В некоторых формах аксиом Пеано 1 вместо 0. В обычной арифметике преемником $x {\ displaystyle x}$ $x$ является $x + 1 {\ displaystyle x + 1}$ ${\ displaystyle x + 1}$ . Заменяя аксиому 5 схемой аксиом, мы получаем (более слабую) теорию первого порядка, которая называется арифметика Пеано.

Конструкции, основанные на теории множеств

ординалы фон Неймана

В области математики, называемой теория множеств, особая конструкция из-за Джона фон Неймана определяет натуральные числа следующим образом:

Set 0 = {}, пустой набор,
Define S (a) = a ∪ {a} для любого множества a. S (a) является преемником a, а S называется функцией-преемником .
По аксиоме бесконечности существует множество, которое содержит 0 и замкнуто относительно функции-преемника. Такие множества называются индуктивными. Пересечение всех таких индуктивных множеств определяется как множество натуральных чисел. Можно проверить, что набор натуральных чисел удовлетворяет аксиомам Пеано.
Отсюда следует, что каждое натуральное число равно множеству всех натуральных чисел, меньших его:

0 = {},
1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{}},
2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{}, {{}}},
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}},
n = n − 1 ∪ {n − 1} = {0, 1,..., n − 1} = {{}, {{}},..., {{}, {{}},...} } и т. д.

Согласно этому определению, натуральное число n - это конкретный набор из n элементов, и n ≤ m тогда и только тогда, когда n является подмножеством из m. Стандартное определение, теперь называемое определением ординалов фон Неймана, гласит: «каждый ординал - это упорядоченный набор всех меньших ординалов».

Кроме того, с этим определением совпадают различные возможные интерпретации таких обозначений, как (n-кортежи в сравнении с отображениями n в).

Даже если не принимает аксиому бесконечности и, следовательно, не может принять, что набор всех натуральных чисел существует, все же можно определить любой из этих наборов.

Порядковые числа Цермело

Хотя стандартная конструкция полезна, это не единственная возможная конструкция. Конструкция Эрнста Цермело выглядит следующим образом:

Установить 0 = {}
Определить S (a) = {a},
Отсюда следует, что

0 = {},
1 = {0} = {{}},
2 = {1} = {{{}}},
n = {n − 1} = {{{...}}} и т. д.

Тогда каждое натуральное число равно множеству, содержащему только предшествующее ему натуральное число. Это определение порядковых номеров Цермело . В отличие от конструкции фон Неймана, порядковые числа Цермело не учитывают бесконечные порядковые числа.

См. Также

Математический портал

Проблема идентификации Бенасеррафа
Каноническое представление положительного целого числа
Счетное множество
Число # Классификация для других систем счисления (рациональные, действительные, комплексные и т. Д.)
Порядковое число
Теоретико-множественное определение натуральных чисел

Примечания

Ссылки

Библиография

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, связанные с Натуральными числами.

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
«Аксиомы и построение натуральных чисел». apronus.com.