Эндрю М. Глисон

редактировать

Американский математик и педагог
Эндрю М. Глисон
GleasonAndrewMattei Berlin1959.jpg Берлин, 1959
Родился(1921-11-04) 4 ноября 1921. Фресно, Калифорния
Умер17 октября 2008 (2008-10-17) (86 лет). Кембридж, Массачусетс
Alma materЙельский университет
Известен
Супруга ( s)Жан Берко Глисон ​​(m.1959) ​
Награды
Научная наука карьера
ПоляМатематика, криптография
УчрежденияГарвардский университет
Докторант Нет
Другие научные консультантыДжордж Макки
Докторантура студенты

Эндрю Маттей Глисон (1921–2008) был американским математиком, внесшим фундаментальный вклад в самые разные области математики, включая решение пятой проблемы Гильберта, и был лидером в реформировании и инновациях в преподавании математики на всех уровнях. Теорема Глисона в квантовой логике и граф Гринвуда – Глисона, важный пример в Теория Рэмси названа в его честь.

Будучи молодым военно-морским офицером времен Второй мировой войны, Глисон нарушил военные нормы Германии и Японии. После войны он провел всю свою академическую карьеру в Гарвардском университете, из которого он ушел на пенсию в 1992 году. Его многочисленные академические и научные руководящие должности включали председательство на кафедре математики Гарварда и Гарвардского общества стипендиатов и президентство Американского математического общества. Он продолжал консультировать правительство США по криптографической безопасности и Содружество Массачусетса по математическому образованию для детей почти до конца своей жизни.

Глисон получил премию Ньюкома Кливленда в 1952 году и премию Гунг-Ху за выдающиеся заслуги перед Американским математическим обществом в 1996 году. Он был членом Национальной академии наук и Американского философского общества, и занимал кафедру математики и естественной философии Холлиса в Гарварде.

Он любил говорить, что математические доказательства «на самом деле не для того, чтобы убедить вас, что что-то истинно» - «они нужны, чтобы показать вам, почему это правда». В The Notices Американского математического общества он был назван «одним из тихих гигантов математики двадцатого века, непревзойденным профессором, посвятившим себя науке, обучению и служению в равной мере».

Содержание

  • 1 Биография
  • 2 Реформа преподавания и образования
  • 3 Работа по криптоанализу
  • 4 Математические исследования
    • 4.1 Пятая проблема Гильберта
    • 4.2 Квантовая механика
    • 4.3 Теория Рамсея
    • 4.4 Теория кодирования
    • 4.5 Другие области
  • 5 Награды и награды
  • 6 Избранные публикации
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Биография

ВМС США, 1940-е годы

Глисон родился в Фресно, Калифорния, младший из троих детей; его отец Генри Глисон был ботаником и членом Общества Мэйфлауэр, а его мать была дочерью швейцарско-американского винодела Эндрю Маттеи. Его старший брат Генри-младший стал лингвистом. Он вырос в Бронксвилле, Нью-Йорк, где его отец был куратором Нью-Йоркского ботанического сада.

После непродолжительного посещения средней школы Беркли (Беркли, Калифорния) он окончил среднюю школу Рузвельта в Йонкерсе, получив стипендию Йельского университета. Хотя математическое образование Глисона дошло лишь до некоторой степени самостоятельного исчисления, математик из Йельского университета убедил его попробовать курс механики, обычно предназначенный для юниоров.

Итак, я выучил математику на первом году обучения и на втором году обучения и стал консультантом на одном конце всего Старого кампуса... Я выполнял все домашние задания по всем разделам [расчет первого года]. У меня было много практики в решении элементарных задач по исчислению. Я не думаю, что существует проблема - «классическая проблема псевдореальности, которую задают студентам первого и второго курса» - «которую я не видел».

Через месяц он записался на курс дифференциальных уравнений («в основном полно пожилых людей »). Когда Эйнар Хилле временно заменил обычного инструктора, Глисон обнаружил, что стиль Хилле «невероятно другой... У него был совершенно иной взгляд на математику... Это был очень важный опыт для меня. что я прошел много курсов у Хилле ", в том числе на втором курсе реального анализа для выпускников. «Начиная с этого курса с Хилле, я начал понимать, что такое математика».

В Йельском университете он трижды участвовал (1940, 1941 и 1942) в недавно основанном William Lowell Математический конкурс Патнэма, всегда входящий в пятерку лучших абитуриентов в стране (что делает его вторым трехкратным научным сотрудником Патнэма ).

После того, как японцы напали на Перл-Харбор на старшем курсе, Глисон подал заявку на поступление в ВМС США и по окончании учебы присоединился к команде, работавшей над взломом японских военно-морских кодексов (в эту команду входили также его будущий сотрудник и профессор Йельского университета Маршалл Холл младший ) Он также сотрудничал с британскими исследователями в атаке на немецкий шифр Enigma ; Алан Тьюринг, который провел много времени с Глисоном во время посещения Вашингтона, назвал его «блестящим молодым математиком-выпускником Йельского университета» в отчет о его посещении.

с Жан Берко, 1958

В 1946 году по рекомендации сотрудника ВМФ Дональда Ховарда Мензела, Глисон был назначен младшим научным сотрудником в Гарварде. Первой целью программы молодых стипендиатов было позволить молодым ученым, демонстрирующим необычайные перспективы, обойти длительный процесс получения докторской степени; четыре года спустя Гарвард назначил Глисона доцентом математики, хотя его почти сразу же отозвали в Вашингтон для работы по шифрованию, связанной с корейской войной. Он вернулся в Гарвард осенью 1952 г. и вскоре после этого опубликовал наиболее важные из своих результатов по пятой проблеме Гильберта (см. ниже). В следующем году Гарвард присвоил ему должность.

В январе 1959 года он женился на Жане Берко, с которым познакомился на вечеринке, посвященной музыке Тома Лерера. Берко, психолингвист, много лет проработал в Бостонском университете. У них было три дочери.

В 1969 году Глисон занял кафедру математики и естественной философии Холлиса. Основанная в 1727 году, это старейшая научная профессорская должность в США. Он ушел из Гарварда в 1992 году, но продолжал работать в Гарварде (например, в качестве председателя Общества стипендиатов ) и в математике: в частности, продвигал Гарвардский проект по реформе математического анализа и работал с Департамент образования Массачусетса.

Он умер в 2008 году от осложнений после операции.

Реформа преподавания и образования

Австралия, 1988

Глисон сказал, что ему «всегда нравилось помогать другим людям с математикой» - «Коллега сказал, что он« считает преподавание математики »-« как заниматься математикой »- как важным и по-настоящему забавным». В четырнадцать лет, во время своего непродолжительного посещения средней школы Беркли, он обнаружил, что ему не только скучно заниматься геометрией в первом семестре, но и он помогал другим студентам с домашними заданиями, включая тех, кто проходил вторую половину курса, который он вскоре начал одитировать. 218>

В Гарварде он «регулярно преподавал на всех уровнях», включая обременительные с административной точки зрения многопрофильные курсы. Один класс подарил Глисону гравюру с изображением Матери и ребенка Пикассо в рамке в знак признания его заботы о них.

В 1964 году он создал «первый из« мостовых »курсов, которые теперь повсеместно используются для математических специальностей, всего двадцать лет назад пора." Такой курс предназначен для обучения новых учеников, привыкших заучивать математику в средней школе, абстрактному мышлению и построению математических доказательств. Эти усилия привели к публикации его «Основ абстрактного анализа», о котором один рецензент написал:

Это самая необычная книга... Каждый работающий математик, конечно, знает разницу между безжизненной цепочкой формализованных предложений и «чувством» у кого-то есть (или он пытается получить) математическую теорию, и он, вероятно, согласится с тем, что помощь ученику в достижении этого «внутреннего» взгляда является конечной целью математического образования; но обычно он отказывается от любых попыток добиться успеха, кроме как посредством устного обучения. Оригинальность автора состоит в том, что он попытался достичь этой цели в учебнике, и, по мнению рецензента, ему удалось замечательно справиться с этой почти невыполнимой задачей. Большинство читателей, вероятно, будут счастливы (как и рецензент), найдя страницу за страницей кропотливые обсуждения и объяснения стандартных математических и логических процедур, всегда написанные в наиболее удачном стиле, который не щадит усилий для достижения максимальной ясности и без ошибок. в пошлость, которая так часто мешает подобным попыткам.

Сфинкс, 2001

Но «талант Глисона к экспозиции» не всегда означал, что читатель будет просветлен без его собственных усилий. Даже в меморандуме военного времени о чрезвычайно важной расшифровке немецкого шифра «Энигма» Глисон и его коллеги писали:

Читатель может задаться вопросом, почему так много осталось читателю. Книгу о плавательных движениях приятно читать, но нужно практиковать гребки, находясь на самом деле в воде, чтобы претендовать на звание пловца. Так что, если читатель действительно желает обладать знаниями для восстановления проводки с глубины, позвольте читателю взять бумагу и карандаши, используя, возможно, четыре цвета, чтобы избежать путаницы в соединительных звеньях, и приступайте к работе.

Его заметки и упражнения по вероятности и статистике, составленные для его лекций коллегам по взлому кодов во время войны (см. ниже), по-прежнему использовались на тренингах Агентства национальной безопасности для нескольких десятилетия; они были опубликованы открыто в 1985 году.

В статье Science 1964 года Глисон писал об очевидном парадоксе, возникающем при попытках объяснить математику нематематикам:

Известно, что трудно передать надлежащее впечатление о границах мира. математика неспециалистам. В конечном итоге сложность связана с тем, что математика - более легкий предмет, чем другие науки. Следовательно, многие важные первичные проблемы предмета - «то есть проблемы, которые могут быть поняты умному постороннему» - либо решены, либо доведены до такой степени, что явно требуется косвенный подход. Большая часть чисто математических исследований связана с проблемами вторичного, третичного или более высокого порядка, сама постановка которых едва ли может быть понятна до тех пор, пока кто-то не овладеет большим объемом технической математики.

«С неизбежным буфером обмена под ним. arm ", 1989

Глисон входил в состав школьной группы по изучению математики, которая помогла определить новую математику 1960-х годов ‍ - амбициозные изменения в преподавании математики в начальной и средней школе в Америке, подчеркивая понимание концепций над механическими алгоритмами. Глисон «всегда интересовался, как люди учатся»; В рамках программы «Новая математика» он большую часть утра в течение нескольких месяцев проводил со второклассниками. Несколько лет спустя он выступил с докладом, в котором описал свою цель:

выяснить, как много они могут выяснить для себя при соответствующих действиях и правильном руководстве. В конце его выступления кто-то спросил Энди, беспокоился ли он когда-нибудь о том, что преподавание математики маленьких детей - это не то, как преподаватели исследовательских институтов должны проводить свое время. [Его] быстрый и решительный ответ: «Нет, я совсем не думал об этом. Я был уверен!»

В 1986 году он помог основать, который опубликовал успешную и влиятельную серию «Реформы математического анализа». учебники для колледжей и старших классов, по предварительному исчислению, математическому анализу и другим областям. Его «кредо для этой программы, как и для всего его учения, заключалось в том, что идеи должны быть основаны на равных частях геометрии для визуализации концепций, вычислений для обоснования в реальном мире и алгебраических манипуляций для власти». Однако программа подверглась резкой критике со стороны математического сообщества за пропуск таких тем, как теорема о среднем значении, и за кажущееся отсутствие математической строгости.

Работа по криптоанализу

Отчет (1945) Глисона и его коллег относительно немецкой Enigma. «Извлечение проводки из глубины может быть очень интересной задачей. Пусть читатель окружит себя приятными условиями работы и попробует».

Во время Второй мировой войны Глисон был частью OP-20-G, группа разведки и криптоанализа ВМС США. Одной из задач этой группы в сотрудничестве с британскими криптографами из Блетчли Парк, такими как Алан Тьюринг, было проникновение в коммуникационные сети немецкой машины Энигмы. Британцы добились большого успеха с двумя из этих сетей, но третья, используемая для германо-японской военно-морской координации, осталась неразрывной из-за ошибочного предположения, что она использовала упрощенную версию Enigma. После того, как Маршалл Холл OP-20-G заметил, что некоторые метаданные в передачах из Берлина в Токио использовали наборы букв, не совпадающие с теми, которые используются в метаданных из Токио в Берлин, Глисон предположил, что соответствующие наборы незашифрованных букв были AM (в одном направлении) и NZ (в другом), затем были разработаны новые статистические тесты, с помощью которых он подтвердил эту гипотезу. Результатом стала обычная дешифровка этой третьей сети к 1944 году. (Эта работа также включала более глубокую математику, связанную с группами перестановок и проблемой изоморфизма графов.)

OP-20-G, затем обратился к японцам. шифр «Коралл» военно-морского флота. Ключевым инструментом для атаки на Корал был «костыль Глисона», разновидность границы Чернова на хвостовых распределениях сумм независимых случайных величин. Секретная работа Глисона по этой оценке предшествовала работе Чернова.

Ближе к концу войны он сосредоточился на документировании работы OP-20-G и разработке систем для обучения новых криптографов.

В 1950 году Глисон вернулся на действительную службу. для Корейской войны, служил лейтенант-командиром в комплексе на проспекте Небраска (который намного позже стал домом Подразделения кибербезопасности DHS ). Его криптографические работы того периода остаются засекреченными, но известно, что он нанимал математиков и обучал их криптоанализу. является. Он работал в консультативных советах Агентства национальной безопасности и Института оборонного анализа, и он продолжал набирать и консультировать военных по криптоанализу почти до конца своей

Математические исследования

Глисон внес фундаментальный вклад в самые разные области математики, включая теорию групп Ли, квантовую механику и комбинаторика. Согласно знаменитой классификации математиков Фримена Дайсона, относящейся к птицам или лягушкам, Глисон был лягушкой: он работал как решатель проблем, а не как провидец, формулирующий великие теории.

Пятое учение Гильберта. проблема

Запись в журнале (1949 г.): «10 июля. Сегодня утром мы развесили стирку, и Чарльз вымыл машину. Я немного поработал над Hilbert Friday».

В 1900 г. Дэвид Хилберт поставил 23 задачи, которые, по его мнению, станут центральными в исследованиях математики следующего века. Пятая проблема Гильберта касается характеристики групп Ли с помощью их действий на топологических пространствах : в какой степени их топология предоставляет информацию, достаточную для определения их геометрии?

«Ограниченная» версия пятой проблемы Гильберта (решенная Глисоном) спрашивает, более конкретно, каждая локально евклидова топологическая группа группа Ли. То есть, если группа G имеет структуру топологического многообразия, можно ли усилить эту структуру до вещественной аналитической структуры, чтобы в любой окрестности элемент группы G, групповой закон определяется сходящимся степенным рядом, и поэтому перекрывающиеся окрестности имеют совместимые определения степенного ряда? До работы Глисона частные случаи проблемы решали Луитцен Эгбертус, Ян Брауэр, Джон фон Нейман, Лев Понтрягин и Гаррет Биркгоф. и др.

Со своим наставником Джорджем Макки на 80-летие Элис Макки (2000).

Интерес Глисона к пятой задаче возник в конце 1940-х годов, вызванный его курсом. взято из Джорджа Маки. В 1949 году он опубликовал статью, в которой ввел свойство «немалых подгрупп» групп Ли (существование окрестности единицы, в пределах которой нет нетривиальной подгруппы), которая в конечном итоге будет иметь решающее значение для ее решения. Его статья 1952 года по этому вопросу вместе с статьей, опубликованной одновременно Дином Монтгомери и Лео Циппином, утвердительно решает ограниченную версию пятой проблемы Гильберта, показывая, что действительно каждая локально евклидова группа является группа Ли. Вклад Глисона состоял в том, чтобы доказать, что это верно, когда G обладает свойством отсутствия малых подгрупп; Монтгомери и Зиппин показали, что каждая локально евклидова группа обладает этим свойством. Как рассказал Глисон, ключевым моментом его доказательства было применение того факта, что монотонные функции дифференцируемы почти везде. Найдя решение, он взял недельный отпуск, чтобы написать его, и оно было напечатано в Annals of Mathematics вместе со статьей Монтгомери и Циппина; в другой статье, написанной годом позже Хидехико Ямабе, были удалены некоторые технические побочные условия из доказательства Глисона.

«Неограниченная» версия пятой проблемы Гильберта, более близкая к исходной формулировке Гильберта, рассматривает обе локально евклидовы проблемы. группа G и другое многообразие M, на котором G действует непрерывно. Гильберт спросил, можно ли в этом случае дать M и действию G реальную аналитическую структуру. Быстро стало понятно, что ответ отрицательный, после чего внимание сосредоточилось на ограниченной проблеме. Однако с некоторыми дополнительными предположениями о гладкости G и M, возможно, еще удастся доказать существование вещественной аналитической структуры для действия группы. Гипотеза Гильберта – Смита, все еще не решенная, заключает в себе оставшиеся трудности в этом случае.

Квантовая механика

С семейным котом Фредом около 1966 года

Правило Борна утверждает, что наблюдаемое свойство квантовой системы определяется эрмитовым оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве, что единственными наблюдаемыми значениями свойства являются собственные значения оператора, и что вероятность того, что система будет наблюдаться в конкретном собственном значении, равна квадрату абсолютного значения комплексного числа, полученного путем проецирования вектора состояния (точки в гильбертовом пространстве) на соответствующий собственный вектор. Джордж Макки спросил, является ли правило Борна необходимым следствием определенного набора аксиом квантовой механики, и, более конкретно, может ли каждая мера на решетке проекций гильбертова пространства быть определяется положительным оператором с единицей trace. Хотя Ричард Кадисон доказал, что это неверно для двумерных гильбертовых пространств, теорема Глисона (опубликована в 1957 г.) показывает, что это верно для более высоких измерений.

Теорема Глисона подразумевает отсутствие определенных типов теорий скрытых переменных для квантовой механики, что усиливает предыдущий аргумент Джона фон Неймана. Фон Нейман утверждал, что показал невозможность теорий скрытых переменных, но (как указала Грета Герман ) его демонстрация сделала предположение, что квантовые системы подчиняются форме аддитивности ожидания для некоммутирующих операторы, которые могут не выполняться априори. В 1966 году Джон Стюарт Белл показал, что теорема Глисона может быть использована для удаления этого дополнительного предположения из аргумента фон Неймана.

Теория Рамсея

Граф Гринвуда – Глисона

Число Рамсея R (k, l) - это наименьшее число r такое, что каждый граф с не менее r вершинами содержит либо k-вершину клику, либо l-вершину независимый набор. Числа Рамсея требуют огромных усилий для вычисления; когда max (k, l) ≥ 3, точно известно лишь конечное число из них, и точное вычисление R (6,6) считается недостижимым. В 1953 г. расчет R (3,3) был задан как вопрос в Конкурсе Патнэма ; в 1955 году, мотивированные этой проблемой, Глисон и его соавтор Роберт Э. Гринвуд добились значительного прогресса в вычислении чисел Рамсея, доказав, что R (3,4) = 9, R (3,5) = 14 и R (4,4) = 18. С тех пор было найдено только пять таких значений. В той же статье 1955 года Гринвуд и Глисон также вычислили многоцветное число Рамсея R (3,3,3): наименьшее число r такое, что если полный граф на r вершинах имеет ребра, окрашенные в три цветов, то он обязательно содержит однотонный треугольник. Как они показали, R (3,3,3) = 17; это остается единственным нетривиальным многоцветным числом Рамсея, точное значение которого известно. В рамках своего доказательства они использовали алгебраическую конструкцию, чтобы показать, что полный граф с 16 вершинами может быть разложен на три непересекающиеся копии треугольников 5-регулярного графа с 16 вершин и 40 ребер (иногда его называют графом Гринвуда – Глисона ).

Рональд Грэм пишет, что статья Гринвуда и Глисона «теперь признана классикой в ​​развитии теории Рэмси». В конце 1960-х годов, Глисон стал научным руководителем Джоэла Спенсера, который также стал известен своим вкладом в теорию Рэмси.

Теория кодирования

Вместе со своим братом, лингвистом Генри Аллан Глисон младший, в Торонто, 1969

Глисон опубликовал несколько статей по теории кодирования, но они были влиятельными и включали «многие основополагающие идеи и первые результаты» по алгебраической теории кодирования. В 1950-х и 1960-х годах он посещал ежемесячные встречи по теории кодирования с Верой Плесс и другими в Кембриджском исследовательском центре ВВС США. h Лаборатория. Плесс, который ранее работал в абстрактной алгебре, но за это время стал одним из ведущих мировых экспертов по теории кодирования, пишет, что «эти ежемесячные встречи были тем, ради чего я жил». Она часто задавала свои математические задачи Глисону и часто была вознаграждена быстрым и проницательным ответом.

Теорема Глисона – Прейнджа названа в честь работы Глисона с исследователем AFCRL Юджином Прейнджем ; он был первоначально опубликован в отчете об исследовании AFCRL 1964 г. Х. Ф. Маттсоном-младшим и Э. Ф. Ассмусом-младшим. Он касается квадратичного кода остатка порядка n, расширенного путем добавления одного бита проверки четности. Эта «замечательная теорема» показывает, что этот код очень симметричен, имея проективную линейную группу PSL 2 (n) в качестве подгруппы его симметрий.

Глисон является также тезка многочленов Глисона, системы многочленов, которые генерируют счетчики веса для линейных кодов. Эти многочлены принимают особенно простую форму для самодуальных кодов : в данном случае их всего два, два двумерных многочлена x + y и x + 14xy + y. Ученица Глисона Джесси МакВильямс продолжила работу Глисона в этой области, доказав взаимосвязь между весовыми счетчиками кодов и их двойниками, которая стала известна как идентичность Мак-Вильямса.

Другие области

Глисон основал теорию алгебр Дирихле и внес другие математические вклады, включая работу по конечной геометрии и по перечислительной комбинаторике перестановок. (В 1959 году он написал, что его исследования "побочные" включали "интенсивный интерес к комбинаторным задачам".) Кроме того, он был не против публикации исследований в более элементарной математике, таких как вывод множества многоугольников, которые могут быть построены с помощью циркуль, линейка и трисектор.

Награды и почести

В форме военно-морского резерва, 1960-е

В 1952 году Глисон был награжден Американской ассоциацией содействия развитию Премия Ньюкома Кливленда компании Science за его работу над пятой проблемой Гильберта. Он был избран членом Национальной академии наук и Американского философского общества, был членом Американской академии искусств и наук и принадлежал к Société Mathématique de France.

В 1981 и 1982 годах он был президентом Американского математического общества и в разное время занимал множество других должностей в профессиональных и научных организациях, в том числе председательствовал на математическом факультете Гарварда.. В 1986 году он председательствовал в оргкомитете Международного конгресса математиков в Беркли, Калифорния, и был президентом Конгресса

В 1996 году Гарвард Общество стипендиатов провело специальный симпозиум в честь Глисона в связи с его выходом на пенсию после семи лет работы его председателем; в том же году Американская математическая ассоциация присудила ему награду. Бывший президент Ассоциации писал:

Когда вы думаете о карьере Энди Глисона и восхищаетесь ею, ваша естественная ссылка - это вся профессия математика: разработка и преподавание курсов, консультирование по вопросам образования на всех уровнях, проведение исследований, консультирование для пользователи математики, выступающие в качестве лидеров своей профессии, развивающие математические способности и служащие своему учебному заведению. Энди Глисон - тот редкий человек, который проделал все это великолепно.

После его смерти 32-страничный сборник эссе в Уведомлениях Американского математического общества напомнил о «жизни и работе [этого] выдающегося американского математика», называя его «одним из тихих гигантов математики двадцатого века, непревзойденным профессором, посвятившим себя науке, обучению и служению в равной мере».

Избранные публикации

Научные статьи
Книги
  • Глисон, Эндрю М. (1966), Основы абстрактного анализа, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., MR 0202509. Исправленная перепечатка, Бостон: Джонс и Бартлетт, 1991, MR 1140189.
  • ——; Гринвуд, Роберт Э.; Келли, Лерой Милтон (1980), Математическое соревнование Уильяма Лоуэлла Патнэма: проблемы и решения, 1938–1964, Математическая ассоциация Америки, ISBN 978 -0-88385-462-4, MR 0588757.
  • ——; Пенни, Уолтер Ф.; Уиллис, Рональд Э. (1985), Элементарный курс вероятности для криптоаналитика, Лагуна-Хиллз, Калифорния: Aegean Park Press. Несекретное переиздание книги, первоначально опубликованной в 1957 году Агентством национальной безопасности, Управлением исследований и разработок, Отделом математических исследований.
  • ——; Hughes-Hallett, Deborah (1994), Calculus, Wiley. С момента первых публикаций эта книга была расширена до множества различных изданий и вариаций с дополнительными соавторами.
Фильм
  • Глисон, Эндрю М. (1966), Ним и другие игры с ориентированным графом, Mathematical Association Америки. 63 минуты, черно-белое. Произведено Ричардом Дж. Лонгом и направлено Алланом Хиндерстайном.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

На Wikimedia Commons есть материалы, связанные с Эндрю Глисоном.
Последняя правка сделана 2021-06-11 00:55:51
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте