Абсолютная группа Галуа

Абсолютная группа Галуа действительных чисел является циклической группой порядка 2, созданной комплексным сопряжением, поскольку Cявляется разделимым замыканием Rи [C:R] = 2.

В математике, абсолютная группа ГалуаGKполя K является группой Галуа. K над K, где K - сепарабельное замыкание K. В качестве альтернативы, это группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания K, фиксирующая K. Абсолютное Галуа группа четко определена от до внутреннего автоморфизма. Это проконечная группа.

(когда K является совершенным полем, K совпадает с алгебраическим замыканием K из K. Это верно, например, для K из нулевой показатель, или K конечное поле.)

• 1 Примеры
• 2 Проблемы
• 3 Некоторые общие результаты
• 4 Ссылки
  • 4.1 Источники

• Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
• Абсолютная группа Галуа действительных чисел представляет собой циклическую группу из двух элементов (комплексных сопряжение и тождественная карта), поскольку Cявляется отделимым замыканием Rи [C:R] = 2.
• Абсолютная группа Галуа конечное поле K изоморфно группе

$Z\; ^\; =\; lim\; \leftarrow \; \; Z\; /\; n\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\}\; =\; \backslash \; varprojlim\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; n\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}.\}$

(Обозначения см. в Обратный предел.)

Автоморфизм Фробениуса Fr является каноническим (топологическим) образующим G K. (Напомним, что Fr (x) = x для всех x в K, где q - количество элементов в K.)

• Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами свободна (как проконечная группа). Этот результат принадлежит Адриану Дуади и берет свое начало в теореме существования Римана.
• В более общем смысле, пусть C - алгебраически замкнутое поле, а x - переменная. Тогда абсолютная группа Галуа группы K = C (x) не имеет ранга, равного мощности группы C. Этот результат получен благодаря Дэвиду Харбэтеру и Флориану Попу, и он также был доказан. позже и Моше Джарден с использованием алгебраических методов.
• Пусть K будет конечным расширением p-адических чисел Qp. При p ≠ 2 ее абсолютная группа Галуа порождается [K: Qp] + 3 элементами и имеет явное описание образующими и отношениями. Это результат Уве Яннсена и Кая Вингберг. Некоторые результаты известны в случае p = 2, но структура для Q2неизвестна.
• Другой случай, в котором была определена абсолютная группа Галуа, - для наибольшего полностью реального подполе поля алгебраических чисел.

• Прямого описания абсолютной группы Галуа рациональных чисел не известно. В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа точно действует на детских рисунках из Гротендика (карты на поверхностях), позволяя нам «увидеть» теорию Галуа полей алгебраических чисел.
• Пусть K будет максимальным абелевым расширением рациональных чисел. Затем гипотеза Шафаревичаутверждает, что абсолютная группа Галуа группы K является свободной проконечной группой.

• Каждая проконечная группа встречается как группа Галуа некоторого расширения Галуа, однако не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа. Например, теорема Артина – Шрейера утверждает, что единственные конечные абсолютные группы Галуа либо тривиальны, либо имеют порядок 2, то есть только два класса изоморфизма.
• Каждая проективная проконечная группа может быть реализован как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически замкнутого поля. Этот результат получен благодаря Александру Любоцкому и Лу ван ден Дризу.

Источники

• Дуади, Адриан (1964), «Détermination d'un groupe de Galois. ", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 258: 5305–5308, MR 0162796
• Fried, Michael D.; Джарден, Моше (2008), Полевая арифметика, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 11(3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001
• Харан, Дан; Джарден, Моше (2000), «Абсолютная группа Галуа для C (x)», Pacific Journal of Mathematics, 196(2): 445–459, doi : 10.2140 / pjm.2000.196.445, MR 1800587
• Харбатер, Дэвид, «Фундаментальные группы и проблемы вложения в характеристику p», Последние разработки в обратной задаче Галуа, Современная математика, 186, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество, стр. 353–369, MR 1352282
• Яннсен, Уве; Вингберг, Кей (1982), «Die Struktur der absoluten Galoisgruppe $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$-adischer Zahlkörper», Inventiones Mathematicae, 70: 71– 78, Bibcode : 1982InMat..70... 71J, doi : 10.1007 / bf01393199
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
• Поп, Флориан (1995), «Этальские покрытия Галуа аффинных гладких кривых. Геометрический случай гипотезы Шафаревича. О гипотезе Абхьянкара ", Inventiones Mathematicae, 120(3): 555–578, Bibcode : 1995InMat.120..555P, doi :10.1007/bf01241142, MR 1334484