Действительное замкнутое поле

редактировать

Неалгебраически замкнутое поле, расширение которого с помощью sqrt (–1) алгебраически замкнуто

В математике, действительное закрытое поле - это поле F, которое имеет те же свойства первого порядка, что и поле вещественных чисел. Некоторыми примерами являются поле действительных чисел, поле действительных алгебраических чисел и поле гиперреальных чисел.

Содержание

1 Определения
2 Разрешимость и исключение кванторов
- 2.1 Сложность принятия решения $T rcf {\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$
3 Свойства порядка
4 Обобщенная гипотеза континуума
5 Примеры реальных закрытые поля
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Определения

Настоящее закрытое поле - это поле F, в котором выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

F элементарно эквивалентен действительным числам. Другими словами, он имеет те же свойства первого порядка, что и вещественные числа: любое предложение на языке полей первого порядка истинно в F тогда и только тогда, когда оно истинно в вещественных числах.
Существует общий порядок на F, что делает его упорядоченным полем таким, что в этом порядке каждый положительный элемент F имеет квадратный корень в F и любой многочлен нечетного степень с коэффициентами в F имеет по крайней мере один корень в F.
F является формально реальным полем, например что каждый многочлен нечетной степени с коэффициентами из F имеет по крайней мере один корень из F, и для каждого элемента a из F существует b в F такое, что a = b или a = −b.
F не является алгебраически замкнутый, но его алгебраическое замыкание является конечным расширением.
F не алгебраически замкнуто, но расширение поля $F (- 1) {\ displaystyle F ({\ sqrt {-1}})}$ $F ({\ sqrt {-1}})$ алгебраически замкнут.
Существует порядок на F, который не распространяется на порядок на любой правильной алгебре c расширение поля F.
F является формально вещественным полем, такое что никакое собственное алгебраическое расширение F не является формально вещественным. (Другими словами, поле является максимальным в алгебраическом замыкании относительно свойства быть формально реальным.)
Существует порядок на F, делающий его упорядоченным полем, так что в этом порядке теорема о промежуточном значении верна для всех многочленов над F со степенью ≥ 0.
F - слабо o-минимальное упорядоченное поле.

Если F - упорядоченное поле, теорема Артина – Шрейера утверждает, что F имеет алгебраическое расширение, называемое вещественным замыканием K поля F, такое, что K является вещественным замкнутым полем, порядок которого является расширением данного упорядочение на F и уникально с точностью до единственного изоморфизма полей, идентичных на F (обратите внимание, что каждый кольцевой гомоморфизм между действительными замкнутыми полями автоматически сохраняет порядок, потому что x ≤ y, если только если ∃zy = x + z). Например, реальное замыкание упорядоченного поля рациональных чисел - это поле $R alg {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ mathrm {alg}}}$ ${\ mathbb {R}} _ {{\ mathrm {alg}}}$ вещественных алгебраических числа. Теорема названа в честь Эмиля Артина и Отто Шрайера, которые доказали ее в 1926 году.

Если (F, P) - упорядоченное поле, а E - Расширение Галуа поля F, то по лемме Цорна существует максимальное упорядоченное расширение поля (M, Q) с подполем M, содержащим F, и порядком на M, расширяющим P. Это M вместе с его порядком Q называется относительным вещественным замыканием из (F, P) в E. Мы называем (F, P) вещественно замкнутым относительно E, если M является просто F. Когда E является алгебраическим замыканием F, относительное действительное замыкание F в E на самом деле является действительным замыканием F, описанным ранее.

Если F равно поле (не предполагается, что порядок, совместимый с полевыми операциями, и не предполагается, что F можно упорядочить), тогда F все еще имеет реальное замыкание, которое может больше не быть полем, а просто реальным замкнутым кольцом. Например, реальное закрытие поля $Q (2) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ ${\ mathbb {Q}} ({\ sqrt 2})$ - это кольцо $R alg × R alg {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ mathrm {alg}} \ times \ mathbb {R} _ {\ mathrm {alg}}}$ ${\ mathbb {R} } _ {{\ mathrm {alg}}} \ times {\ mathbb {R}} _ {{\ mathrm {alg}}}$ (две копии соответствуют двум порядкам $Q (2) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ ${\ mathbb {Q}} ({\ sqrt 2})$ ). С другой стороны, если $Q (2) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ ${\ mathbb {Q}} ({\ sqrt 2})$ рассматривается как упорядоченное подполе $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , его реальным закрытием снова является поле $R alg {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ mathrm {alg}}}$ ${\ mathbb {R}} _ {{\ mathrm {alg}}}$ .

Разрешимость и исключение квантора

язык реальных закрытых полей $L rcf {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$ включает символы для операций сложения и умножения используются константы 0 и 1 и отношение порядка ≤ (а также равенство, если это не считается логическим символом). На этом языке теория (первого порядка) реальных замкнутых полей, $T rcf {\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$ , состоит из следующее:

аксиомы упорядоченных полей ;
аксиома, утверждающая, что каждое положительное число имеет квадратный корень;
для каждого нечетного числа $d {\ displaystyle d}$ $d$ , аксиома, утверждающая, что все многочлены степени $d {\ displaystyle d}$ $d$ имеют по крайней мере один корень.

Все вышеперечисленные аксиомы могут быть выражены в first- логика порядка (т.е. количественная оценка распространяется только на элементы поля).

Тарский доказал (ок. 1931), что $T rcf {\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$ является полным, что означает, что для любого предложения $L rcf {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$ оно может быть доказано либо верно, либо неверно из вышеприведенных аксиом. Кроме того, $T rcf {\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$ является разрешимым, что означает, что существует алгоритм для определения истинность или ложность любого такого предложения.

Теорема Тарского – Зайденберга расширяет этот результат до разрешимого исключения квантора. То есть существует алгоритм , который при любой $L rcf {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$ -формуле, который может содержать свободные переменные, производит эквивалентную бескванторную формулу в тех же свободных переменных, где эквивалент означает, что две формулы верны для точно таких же значений переменных. Теорема Тарского – Зайденберга является расширением теоремы о разрешимости, поскольку ее можно легко проверить, истинна или ложна бескванторная формула без свободных переменных.

Эта теорема может быть расширена до следующей теоремы о проекции. Если R является действительным замкнутым полем, формула с n свободными переменными определяет подмножество R, набор точек, удовлетворяющих формуле. Такое подмножество называется полуалгебраическим множеством. Учитывая подмножество k переменных, проекция из R на R - это функция , которая отображает каждый набор из n в набор из k компонентов, соответствующих подмножество переменных. Теорема о проекции утверждает, что проекция полуалгебраического множества является полуалгебраическим множеством, и что существует алгоритм, который, учитывая бескванторную формулу, определяющую полуалгебраическое множество, производит бескванторную формулу для его проекции.

Фактически, проекционная теорема эквивалентна исключению квантора, поскольку проекция полуалгебраического множества, определяемого формулой p (x, y), определяется как

(∃ x) P (x, y), {\ displaystyle (\ exists x) P (x, y),}

{\ displaystyle (\ существует x) P (x, y),}

где x и y представляют соответственно набор исключенных переменных и набор сохраняемых переменных.

Разрешимость теории действительных чисел первого порядка сильно зависит от рассматриваемых примитивных операций и функций (здесь сложение и умножение). Добавление других символов функций, например, синуса или экспоненциальной функции, может дать неразрешимые теории; см. теорему Ричардсона и Разрешимость теорий первого порядка действительных чисел.

Сложность принятия решения $T rcf {\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf }}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$
Исходный алгоритм Тарского для исключения квантора имеет неэлементарную вычислительную сложность, что означает, что нет башни
$2 2 ⋅ ⋅ ⋅ n {\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {n}}}}}}$ $2 ^ {{2 ^ {{\ cdot ^ {{\ cdot ^ {{\ cdot ^ {n}}}}}}}}}$
может ограничить время выполнения алгоритма, если n - размер входной формулы. цилиндрическое алгебраическое разложение, представленное Джорджем Коллинзом, обеспечивает гораздо более практичный алгоритм сложности
$d 2 O (n) {\ displaystyle d ^ {2 ^ { O (n)}}}$ ${\ displaystyle d ^ {2 ^ {O (n)}}}$
где n - общее количество переменных (свободных и связанных), d - произведение степеней многочленов, входящих в формулу, а O (n) - большой Обозначение O.

Давенпорт и Хайнц (1988) доказали, что эта сложность наихудшего случая почти оптимальна для исключения квантора, создав семейство Φ n формул длины O (n), с n кванторами и многочленами постоянной степени, так что любая бескванторная формула, эквивалентная Φ n, должна включать многочлены степени $2 2 Ω (n) {\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ Omega (n)}}}$ $2 ^ {{2 ^ {{\ Omega (n)}}}}$ и длина $2 2 Ω (n) {\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ Omega (n)}}}$ $2 ^ {{2 ^ {{\ Omega (n)}}}}$ , где $Ω (n) {\ displaystyle \ Omega (n)}$ $\ Omega (n)$ - это большое обозначение Ω.

Это показывает, что и временная сложность, и пространство c Сложности исключения квантора по сути своей двойной экспоненциальной. Однако известны более сложные проблемы решения проблемы: Бен-Ор, Козен и Рейф (1986) доказали, что теория вещественных замкнутых полей разрешима в экспоненциальном пространстве. и, следовательно, в двойном экспоненциальном времени. Более того, параметр, который появляется во втором показателе степени, - это не размер формулы или количество переменных (как в случае с цилиндрической алгебраической декомпозицией), а количество изменений квантора (с $∃ {\ displaystyle \ exists} От$ $\ существует$ до $∀ {\ displaystyle \ forall}$ $\ forall$ и наоборот) в предварительной нормальной форме входной формулы.

Для чисто экзистенциальных формул, то есть для формул вида
∃x1,..., ∃x kP1(x1,..., x k) ⋈ 0 ∧... ∧ P s(x1,..., x k) ⋈ 0,
, где ⋈ означает либо <,>, либо =, сложность ниже. Басу и Рой (1996) предоставили хорошо отработанный алгоритм для определения истинности такой простой формулы со сложностью арифметических операций SD и полиномиальным пространством.
Свойства порядка
Критически важным свойством действительных чисел является то, что это архимедово поле, то есть оно имеет архимедово свойство, что для любого действительного числа в абсолютном значении есть целое число, большее его. Эквивалентное утверждение состоит в том, что для любого действительного числа есть целые числа как большие, так и меньшие. Такие реальные закрытые поля, которые не являются архимедовыми, являются неархимедовыми упорядоченными полями. Например, любое поле гиперреальных чисел действительно замкнуто и неархимедово.

Архимедово свойство связано с концепцией cofinality. Множество X, содержащееся в упорядоченном множестве F, является конфинальным в F, если для каждого y в F существует x в X такой, что y < x. In other words, X is an unbounded sequence in F. The cofinality of F is the size of the smallest cofinal set, which is to say, the size of the smallest cardinality giving an unbounded sequence. For example, natural numbers are cofinal in the reals, and the cofinality of the reals is therefore $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ .

Следовательно, следующие инварианты, определяющие природу реального замкнутого поля F:
Мощность F.
Конфинальность F.
К этому мы можем добавить
Вес F, который является минимальный размер плотного подмножества F.
Эти три кардинальных числа многое говорят нам о свойствах порядка любого реального замкнутого поля, хотя может быть сложно обнаружить, что они из себя представляют, особенно если мы не хотим использовать гипотеза обобщенного континуума. Есть также определенные свойства, которые могут или не могут иметь место:
Поле F полное, если нет упорядоченного поля K, должным образом содержащего F, такого, что F плотно в K. Если конфинальность F равна κ, это эквивалентно утверждению, что последовательности Коши, индексированные κ, сходятся в F.
Упорядоченное поле F имеет свойство eta set η α для порядкового номера число α, если для любых двух подмножеств L и U из F мощности меньше $ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha}$ таких, что каждый элемент L меньше, чем каждый элемент для U есть элемент x в F, причем x больше, чем каждый элемент L, и меньше, чем каждый элемент U. Это тесно связано с теоретико-модельным свойством быть насыщенной моделью ; любые два действительных замкнутых поля являются η α тогда и только тогда, когда они $ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha}$ -насыщенные, и, более того, два η α вещественные замкнутые поля обеих мощностей $ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha}$ изоморфны по порядку.
Гипотеза обобщенного континуума
Характеристики реальных замкнутых полей становятся намного проще, если мы готовы принять обобщенную гипотезу континуума. Если гипотеза континуума верна, все вещественные замкнутые поля с мощностью континуума и обладающие свойством η 1 изоморфны по порядку. Это уникальное поле Ϝ может быть определено с помощью сверхстепени, как $RN / M {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} / {\ mathbf {M}} }$ ${\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {\ mathbb {N}} / {\ mathbf {M}}}$ , где M - максимальный идеал, не ведущий к порядку поля, изоморфному $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Это наиболее часто используемое поле гиперреальных чисел в нестандартном анализе, и его уникальность эквивалентна гипотезе континуума. (Даже без гипотезы континуума мы имеем, что если мощность континуума равна $ℵ β {\ displaystyle \ aleph _ {\ beta}}$ $\ aleph _ {\ beta}$ , то у нас есть уникальное поле ηβ размера η β.)

Более того, нам не нужны сверхспособности для построения Ϝ, мы можем делать гораздо более конструктивно, чем подполе рядов со счетным числом ненулевых членов поле $R ((G)) {\ displaystyle \ mathbb {R} ((G))}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ((G))}$ из формального степенного ряда на полностью упорядоченной абелевой делимой группе G, которая является группа η1 мощности $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ (Alling 1962).

Ϝ однако не является полным полем; если мы возьмем его завершение, мы получим поле Κ большей мощности. Ϝ имеет мощность континуума, которая по гипотезе равна $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ , Κ имеет мощность $ℵ 2 {\ displaystyle \ aleph _ {2 }}$ $\ aleph _ {2}$ и содержит Ϝ как плотное подполе. Это не сверхмощность, но гиперреальное поле, а значит, подходящее поле для использования в нестандартном анализе. Можно увидеть, что это многомерный аналог действительных чисел; с мощностью $ℵ 2 {\ displaystyle \ aleph _ {2}}$ $\ aleph _ {2}$ вместо $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ , cofinality $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ вместо $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ , а вес $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ вместо $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ , а с η 1 вместо свойства η 0 (что просто означает, что между любыми двумя действительными числами мы можем найти другое).
Примеры реальных закрытых полей
вещественных алгебраических чисел
вычислимых чисел
определяемых чисел
вещественных чисел
сверхреальные числа
гиперреальные числа
серия Пюизо с действительными коэффициентами
сюрреалистические числа
Примечания
Ссылки
Alling, Норман Л. (1962), «О существовании вещественно-замкнутых полей, которые являются η α -множествами мощности ℵ α.», Trans. Амер. Математика. Soc., 103 : 341–352, doi : 10.1090 / S0002-9947-1962-0146089-X, MR 0146089
Басу, Саугата, Ричард Поллак и Мари-Франсуаза Рой (2003) «Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии» в разделе «Алгоритмы и вычисления в математике». Springer. ISBN 3-540-33098-4 (онлайн-версия )
Майкл Бен-Ор, Декстер Козен и Джон Рейф, Сложность элементарная алгебра и геометрия, Journal of Computer and Systems Sciences 32 (1986), № 2, стр. 251–264.
Caviness, BF, and Jeremy R. Johnson, eds. (1998) Исключение кванторов и цилиндрическое алгебраическое разложение. Springer. ISBN 3-211-82794-3
Чен Чунг Чанг и Говард Джером Кейслер (1989) Model Theory. North-Holland.
Dales, HG, и W. Hugh Woodin (1996) Super-Real Fields. Oxford Univ. Press.
Давенпорт, Джеймс Х. ; Heintz, Joos (1988). «Исключение действительного квантора является дважды экспоненциальным». J. Symb. Comput. 5 (1-2): 29-35. doi : 10.1016 / s0747-7171 (88) 80004-x. Zbl 0663.03015.
Эфрат, Идо (2006). Оценки, порядки и K-теория Милнора. Математические обзоры и монографии. 124 . Providence, RI: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002.
Макферсон Д., Маркер Д. и Стейнхорн К. Слабо о-минимальные структуры и вещественные замкнутые поля // Тр. американской математики. Soc., Vol. 352, No. 12, 1998.
Мишра, Бхубанешвар (1997) «Вычислительная вещественная алгебраическая геометрия » в Справочнике по дискретной и вычислительной геометрии. CRC Press. Издание 2004 г., стр. 743. ISBN 1-58488-301-4
Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Пассмор, Грант (2011). Комбинированные процедуры принятия решений для нелинейной арифметики, вещественной и сложной (PDF) (PhD). Эдинбургский университет.
Альфред Тарски (1951) Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии. Univ. of California Press.
Erdös, P.; Gillman, L.; Хенриксен, М. (1955), «Теорема об изоморфизме для вещественно-замкнутых полей», Ann. of Math., 2, 61 (3): 542–554, doi : 10.2307 / 1969812, JSTOR 1969812, MR 0069161
Внешние ссылки
Викискладе есть материалы, связанные с Реальным закрытым полем.
Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии
Сервер препринтов теории моделей