Банаховый коллектор

В математике банахово многообразие - это многообразие, смоделированное на банаховых пространствах. Таким образом, это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет соседство , гомеоморфное открытому множеству в банаховом пространстве (более сложное и формальное определение дано ниже). Банаховы многообразия - одна из возможностей расширения многообразий до бесконечных размерностей.

Дальнейшее обобщение - на многообразия Фреше, замена банаховых пространств на пространства Фреше. С другой стороны, гильбертово многообразие является частным случаем банахова многообразия, в котором многообразие локально моделируется на гильбертовых пространствах.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Классификация до гомеоморфизма
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Пусть X будет набором. Атлас класса C, r ≥ 0, на X представляет собой набор пар (называемых charts ) (U i, φ i), i ∈ I, такой, что

1. каждый U i является подмножеством X и объединением из U i представляет собой весь X;
2. каждый φ i является биекцией из U i на открытое подмножество φi(Ui) некоторого банахова пространства E i, и для любых i и j φ i(Ui∩ U j) открыто в E i;
3. карта кроссовера

$\phi \; j\; \circ \; \phi \; i\; -\; 1:\; \phi \; i\; (U\; i\; \cap \; U\; j)\; \to \; \phi \; j\; (U\; i\; \cap \; U\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{-\; 1\}:\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\})\; \backslash \; to\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\})\}$

является непрерывно дифференцируемой в r раз функцией для любых i и j в I, т. Е. R-й производной Фреше

$dr\; (\phi \; j\; \circ \; \phi \; i\; -\; 1):\; \phi \; i\; (U\; я\; \cap \; U\; j)\; \to \; L\; в\; (E\; ir;\; E\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{-\; 1\; \}\; \{\backslash \; big)\}:\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\})\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{Lin\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; E\_\; \{i\}\; ^\; \{r\};\; E\_\; \{j\}\; \{\backslash \; big)\}\}$

существует и является продолжением ную функцию относительно топологии E i-norm на подмножествах E i и топологии operator norm на Lin (E i ; E j.)

Затем можно показать, что существует уникальная топология на X, такая, что каждый U i открыт и каждый φ i является гомеоморфизм. Очень часто это топологическое пространство считается хаусдорфовым пространством, но это не обязательно с точки зрения формального определения.

Если все банаховы пространства E i равны одному и тому же пространству E, атлас называется E -атласом . Однако не a priori обязательно, чтобы банаховы пространства E i были тем же пространством или даже изоморфны как топологические векторные пространства. Однако, если две карты (U i, φ i) и (U j, φ j) таковы, что U i и U j имеют непустое пересечение, быстрый анализ производной карты кроссовера

$\phi \; j\; \circ \; \phi \; я\; -\; 1:\; \phi \; я\; (U\; я\; \cap \; U\; J)\; \to \; \phi \; J\; (U\; я\; \cap \; U\; J)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; \_\; \{я\}\; ^\; \{-\; 1\}:\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\; i\}\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\})\; \backslash \; to\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\})\}$

показывает, что E i и E j действительно должен быть изоморфен как топологические векторные пространства. Кроме того, множество точек x ∈ X, для которых существует карта (U i, φ i) с x в U i и E i, изоморфное данному банахову пространству E, одновременно открыто и закрыто. Следовательно, без ограничения общности можно предположить, что на каждой компоненте связности множества X атлас является E-атласом для некоторого фиксированного E.

Новая карта (U, φ) называется совместимым с данным атласом {(U i, φ i) | i ∈ I}, если карта кроссовера

$\phi \; i\; \circ \; \phi \; -\; 1:\; \phi \; (U\; \cap \; U\; i)\; \to \; \phi \; i\; (U\; \cap \; U\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; ^\; \{-\; 1\}:\; \backslash \; varphi\; (U\; \backslash \; cap\; U\_\; \{i\})\; \backslash \; to\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (U\; \backslash \; cap\; U\_\; \{i\})\}$

- функция, непрерывно дифференцируемая в r раз для любого i ∈ I. Два атласы называются совместимыми, если каждая карта в одном атласе совместима с другим атласом. Совместимость определяет отношение эквивалентности в классе всех возможных атласов на X. Затем определяется структура

AC -многообразия на X как выбор класса эквивалентности атласов на X класса C.Если все банаховы пространства E i изоморфны как топологические векторные пространства (что гарантированно будет иметь место, если X связно ), то эквивалентный атлас может быть найдено, для которого все они равны некоторому банаховому пространству E. Тогда X называется E -многообразием, или говорят, что X смоделирован на E.

• Если (X, || ⋅ ||) - банахово пространство, то X - банахово многообразие с атласом, содержащим единственную глобально определенную карту (тождественное отображение ).
• Аналогично, если U - открытое подмножество некоторого банахова пространства, то U - банахово многообразие. (См. классификационную теорему ниже.)

Ни в коем случае не верно, что конечномерное многообразие размерности n глобально гомеоморфно R или даже ope n подмножество R . Однако в бесконечномерном окружении можно довольно хорошо классифицировать банаховы многообразия «с хорошим поведением » с точностью до гомеоморфизма. Теорема Дэвида Хендерсона 1969 года утверждает, что каждая бесконечномерная сепарабельная, метрика банахова многообразия X может быть вложена как открытое подмножество бесконечномерного, сепарабельное гильбертово пространство, H (с точностью до линейного изоморфизма существует только одно такое пространство, обычно идентифицируемое как $\ell \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\}$). На самом деле результат Хендерсона сильнее: тот же вывод верен для любого метрического многообразия, смоделированного на сепарабельном бесконечномерном пространстве Фреше .

Гомеоморфизм вложения может использоваться как глобальная карта для X. Таким образом, в бесконечномерном пространстве Фреше.

В мерном, сепарабельном, метрическом случае «единственные» банаховы многообразия - это открытые подмножества гильбертова пространства.

• Многообразие Фреше

• Хендерсон, Дэвид У. (1969). «Бесконечномерные многообразия - открытые подмножества гильбертова пространства». Бык. Амер. Математика. Soc. 75 (4): 759–762. doi : 10.1090 / S0002-9904-1969-12276-7. MR 0247634.
• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия. Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Эддисон-Уэсли Паблишинг Ко., Инк.
• Цейдлер, Эберхард (1997). Нелинейный функциональный анализ и его приложения. Том 4. Springer-Verlag New York Inc.
• Абрахам, Ральф; Marsden, J. E.; Ратиу, Тюдор (1988). Многообразия, тензорный анализ и приложения. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-96790-7.