Гильбертово многообразие

В математике гильбертово многообразие - это многообразие, смоделированное на гильбертовых пространствах. Таким образом, это разделимое хаусдорфово пространство, в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную бесконечномерному гильбертову пространству. Концепция гильбертова многообразия дает возможность распространить теорию многообразий на бесконечномерный контекст. Аналогично конечномерной ситуации можно определить дифференцируемое гильбертово многообразие, рассматривая максимальный атлас, в котором отображения переходов дифференцируемы.

• 1 Свойства
• 2 Примеры
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Многие базовые конструкции теории многообразий, такие как поскольку касательное пространство многообразия и трубчатая окрестность подмногообразия (конечной коразмерности) переносятся из конечномерной ситуации в гильбертову изменение. Однако в утверждениях, касающихся отображений между многообразиями, часто приходится ограничиваться рассмотрением фредгольмовых отображений, т.е. отображений, дифференциал которых в каждой точке равен фредгольмову. Причина этого в том, что лемма Сарда верна для фредгольмовых отображений, но не в общем. Несмотря на это различие, гильбертовы многообразия обладают несколькими очень хорошими свойствами.

• Теорема Койпера : Если X является компактным топологическим пространством или имеет гомотопический тип CW комплекса, то всякое (действительное или комплексное) гильбертово пространство расслоение над X тривиально. В частности, каждое гильбертово многообразие распараллеливаем.
• Каждое гладкое гильбертово многообразие можно гладко вложить в открытое подмножество модельного гильбертова пространства.
• Всякая гомотопическая эквивалентность между двумя гильбертовыми многообразие гомотопно диффеоморфизму . В частности, любые два гомотопически эквивалентных гильбертовых многообразия уже диффеоморфны. Это контрастирует с линзовыми пространствами и экзотическими сферами, которые демонстрируют, что в конечномерной ситуации гомотопическая эквивалентность, гомеоморфизм и диффеоморфизм многообразий являются разными свойствами.
• Хотя теорема Сарда в общем случае не выполняется, всякое непрерывное отображение f: X → R из гильбертова многообразия может быть произвольно близко аппроксимировано гладким отображением g: X → R, которое не имеет критических точек

• Любое гильбертово пространство H является гильбертовым многообразием с единственной глобальной картой, заданной тождественной функцией на H. Более того, поскольку H является векторным пространством, касательное пространство T p H к H в любой точке p ∈ H канонически изоморфно самой H и, следовательно, имеет естественный внутренний продукт, «такой же», как и на H. Таким образом, H может быть учитывая структуру риманова многообразия с метрикой

$g\; (v,\; w)\; (p):\; =\; ⟨v,\; w⟩\; H\; для\; v,\; w\; \in \; T\; p\; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (v,\; w)\; (p):\; =\; \backslash \; langle\; v,\; w\; \backslash \; rangle\; \_\; \{H\}\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; v,\; w\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; \_\; \{p\}\; H,\}$

где ⟨·, ·⟩ H обозначает скалярное произведение в H.

• Аналогично, любое открытое подмножество гильбертова пространства является гильбертовым многообразием и римановым многообразием под действием та же конструкция, что и для всего пространства.
• Существует несколько пространств отображения между многообразиями, которые можно рассматривать как гильбертовы пространства, рассматривая только карты подходящего класса Соболева. Например, мы можем рассматривать пространство LM всех H, отображающих единичную окружность S в многообразие M. Это можно топологизировать с помощью компактной открытой топологии как подпространство пространства все непрерывные отображения из окружности в M, то есть в свободное пространство петель в M. Описанное выше пространство отображений соболевского типа LM гомотопически эквивалентно свободному пространству петель. Это делает его пригодным для изучения алгебраической топологии пространства свободных петель, особенно в области строковой топологии . Мы можем сделать аналогичную конструкцию Соболева для пространства петель, сделав его гильбертовым подмногообразием коразмерности d в LM, где d - размерность M.

• Банахово многообразие

• Клингенберг, Вильгельм (1982), Риманова геометрия, Берлин: W. de Gruyter, ISBN 978-3-11-008673-7. Содержит общее введение в гильбертовы многообразия и многие подробности о пространстве свободных петель.
• Lang, Serge (1995), Differential and Riemannian Manifolds, New York: Springer, ISBN 978-0387943381. Еще одно введение с более дифференциальной топологией.
• Н. Койпер, Гомотопический тип унитарной группы гильбертовых пространств ", Топология 3, 19-30
• Дж. Эллс, К.Д. Элворти," О дифференциальной топологии гильбертовых многообразий ", Глобальный анализ. Труды симпозиумов в Pure Mathematics, Volume XV 1970, 41-44.
• Дж. Иллс, К.Д. Элворти, "Открытые вложения некоторых банаховых многообразий", Annals of Mathematics 91 (1970), 465-485
• Д. Чатаур, "Подход бордизма к строковой топологии", препринт https://arxiv.org/abs/math.at/0306080

• Гильбертово многообразие в Атласе многообразий