Алгебра Каца – Муди

редактировать

В математике, алгебра Каца – Муди (названа в честь Виктор Кац и Роберт Муди, открывшие их независимо) - это алгебра Ли, обычно бесконечномерная, которая может быть определена генераторами и отношениями через обобщенная матрица Картана. Эти алгебры образуют обобщение конечномерных полупростых алгебр Ли и многих свойств, связанных со структурой алгебры Ли, таких как ее корневая система, неприводимые представления, и связь с многообразиями флагов имеют естественные аналоги в установке Каца – Муди.

Класс алгебр Каца – Муди, называемый аффинными алгебрами Ли, имеет особое значение в математике и теоретической физике, особенно двумерная конформная теория поля и теория точно решаемых моделей. Кац обнаружил элегантное доказательство некоторых комбинаторных тождеств, тождеств Макдональда, которое основано на теории представлений аффинных алгебр Каца – Муди. Ховард Гарланд и Джеймс Леповски продемонстрировали, что тождества Роджерса – Рамануджана можно получить аналогичным образом.

Содержание

1 История алгебр Каца – Муди
2 Определение
3 Разложение алгебры Каца – Муди в корневом пространстве
4 Типы алгебр Каца – Муди
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

История алгебр Каца – Муди

Первоначальная конструкция Эли Картана и Вильгельма Киллинга конечномерных простых алгебр Ли из Картана целые числа зависят от типа. В 1966 году Жан-Пьер Серр показал, что отношения Клода Шевалле и Хариш-Чандры с упрощениями, сделанными Натаном Якобсоном, дают определение представление для алгебры Ли. Таким образом, можно было бы описать простую алгебру Ли в терминах генераторов и отношений, используя данные из матрицы целых чисел Картана, которая естественно положительно определена.

"Почти одновременно в 1967 году Виктор Кац в СССР и Роберт Муди в Канаде разработали то, что впоследствии стало алгеброй Каца – Муди. Кац и Муди заметили, что если условия Вильгельма Киллинга были смягчены, то все еще можно было связать Матрица Картана алгебра Ли, которая обязательно будет бесконечномерной ". - А. Дж. Коулман

В своей диссертации 1967 года Роберт Муди рассмотрел алгебры Ли, матрица Картана которых больше не является положительно определенной. Это все еще привело к возникновению алгебры Ли, но теперь уже бесконечномерной. Одновременно Z-градуированные алгебры Ли изучались в Москве, где И. Л. Кантор представил и изучил общий класс алгебр Ли, включая то, что в конечном итоге стало известно как алгебры Каца – Муди . Виктор Кац также изучал простые или почти простые алгебры Ли с полиномиальный рост. Возникла богатая математическая теория бесконечномерных алгебр Ли. Описание предмета, которое также включает работы многих других, дано в (Kac 1990). См. Также (Seligman 1987).

Определение

Алгебра Каца – Муди может быть определена следующим образом:

Обобщенная матрица Картана n × n C = (c ij) rank r.
A векторного пространства $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ более комплексные числа размерности 2n - r.
Набор из n линейно независимых элементов $α i ∨ {\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {\ vee }}$ $\ alpha_i ^ \ vee$ из $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ и набора из n линейно независимых элементов $α i {\ displaystyle \ alpha _ { i}}$ $\ alpha _ {i}$ двойного пространства $h ∗ {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ ${\ mathfrak {h}} ^ {*}$ , такое что $α я (α J ∨) = cji {\ displaystyle \ alpha _ {i} \ left (\ alpha _ {j} ^ {\ vee} \ right) = c_ {ji}}$ ${\ displaystyle \ al пха _ {я} \ влево (\ альфа _ {j} ^ {\ vee} \ right) = c_ {ji}}$ . $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ являются аналогом простых корней полупростой алгебры Ли, а $α i ∨ {\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {\ vee}}$ $\ alpha_i ^ \ vee$ к простым сопутствующим корням.

Тогда алгебра Каца – Муди является алгеброй Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak { g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ определяется генераторами $ei {\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ и $fi (i ∈ {1,…, n}) {\ displaystyle f_ {i} \ left (i \ in \ {1, \ ldots, n \} \ right)}$ ${\ displaystyle f_ {i} \ left (i \ in \ {1, \ ldots, n \} \ справа)}$ и элементы $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ и отношения

$[h, h ′] = 0 {\ displaystyle \ left [h, h '\ right] = 0 \}$ $\left[h,h'\right]=0\$ для $час, час '∈ час {\ displaystyle h, h' \ in {\ mathfrak {h}}}$ $h,h' \in \mathfrak{h}$ ;
$[h, ei] = α я (час) ei {\ displaystyle \ left [h, e_ {i } \ right] = \ alpha _ {i} (h) e_ {i}}$ ${\ displaystyle \ left [h, e_ {i} \ right] = \ alpha _ {i} (h) e_ {i}}$ , для $h ∈ h {\ displaystyle h \ in {\ mathfrak {h}}}$ $h \ in \ mathfrak {h}$ ;
$[час, fi] = - α я (час) fi {\ displaystyle \ left [час, f_ {i} \ right] = - \ alpha _ {i} (h) f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ left [h, f_ {i} \ right] = - \ alpha _ {i} (h) f_ {i} }$ , для $h ∈ h {\ displaystyle h \ in {\ mathfrak {h}}}$ $h \ in \ mathfrak {h}$ ;
$[ei, fj] = δ ij α я ∨ {\ displaystyle \ left [e_ {i}, f_ {j} \ right] = \ delta _ {ij} \ alpha _ {i} ^ {\ vee} }$ ${\ displaystyle \ left [e_ {i}, f_ {j} \ right] = \ delta _ {ij} \ alpha _ {i} ^ {\ vee}}$ , где $δ ij {\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ {ij}$ - дельта Кронекера;
Если $i ≠ j {\ displaystyle i \ neq j}$ $i \ neq j$ (так $cij ≤ 0 {\ displaystyle c_ {ij} \ leq 0}$ $c _ {{ij}} \ leq 0$ ), затем $ad (ei) 1 - cij ( ej) = 0 {\ displaystyle {\ textrm {ad}} (e_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (e_ {j}) = 0}$ $\ textrm {ad} (e_i) ^ {1- c_ {ij}} (e_j) = 0$ и $ad ⁡ (fi) 1 - cij (fj) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {ad} (f_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (f_ {j}) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} (f_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (f_ {j}) = 0}$ , где $ad: g → End ⁡ (g), ad ⁡ (x) (y) = [x, y], {\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to \ operatorname { End} ({\ mathfrak {g}}), \ operatorname {ad} (x) (y) = [x, y],}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to \ operatorname {End} ({\ mathfrak {g}}), \ operatorname {ad} (x) (y) = [x, y],}$ - присоединенное представление из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

A вещественная (возможно, бесконечномерная) алгебра Ли также считается алгеброй Каца – Муди, если ее комплексификация является алгеброй Каца – Муди.

Разложение алгебры Каца – Муди в корневом пространстве

$h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ является аналогом подалгебры Картана для алгебры Каца – Муди $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Если $x ≠ 0 {\ displaystyle x \ neq 0}$ $x \ neq 0$ является элементом $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ такой, что

∀ h ∈ h, [h, x] = λ (h) x {\ displaystyle \ forall h \ in { \ mathfrak {h}}, [h, x] = \ lambda (h) x}

{\ displaystyle \ forall h \ in {\ mathfrak {h}}, [h, x] = \ lambda (h) x}

для некоторых $λ ∈ h ∗ ∖ {0} {\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} \ backslash \ {0 \}}$ $\ lambda \ in \ mathfrak {h} ^ * \ backslash \ {0 \}$ , тогда $x {\ displaystyle x}$ $x$ называется корневым вектором и $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - это корень из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . (Нулевой функционал не считается корнем по соглашению.) Набор всех корней $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ часто обозначается $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ , а иногда и $R {\ displaystyle R}$ $R$ . Для заданного корня $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ один обозначает $g λ {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda}}$ $\ mathfrak {g} _ \ lambda$ корневое пространство из $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ; то есть

g λ = {x ∈ g: ∀ h ∈ h, [h, x] = λ (h) x} {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda} = \ {x \ in {\ mathfrak {g}}: \ forall h \ in {\ mathfrak {h}}, [h, x] = \ lambda (h) x \}}

\ mathfrak {g} _ \ lambda = \ {x \ in \ mathfrak {g}: \ forall h \ in \ mathfrak {h}, [h, x] = \ lambda (h) x \}

Это следует из определяющих соотношений $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ что $ei ∈ g α я {\ displaystyle e_ {i} \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha _ { i}}}$ $e_i \ in \ mathfrak {g} _ {\ alpha_i}$ и $fi ∈ g - α i {\ displaystyle f_ {i} \ in {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha _ {i}}}$ $f_i \ in \ mathfrak {g} _ {- \ alpha_i}$ . Кроме того, если $x 1 ∈ g λ 1 {\ displaystyle x_ {1} \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1}}}$ $x_1 \ in \ mathfrak {g} _ {\ lambda_1}$ и $x 2 ∈ g λ 2 {\ displaystyle x_ {2} \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2}}}$ $x_2 \ in \ mathfrak {g} _ {\ lambda_2}$ , тогда $[x 1, x 2] ∈ g λ 1 + λ 2 {\ displaystyle \ left [x_ {1}, x_ {2} \ right] \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}$ ${\ displaystyle \ left [x_ {1}, x_ {2} \ right] \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}$ с помощью тождества Якоби.

Фундаментальный результат теории состоит в том, что любую алгебру Каца – Муди можно разложить в прямую сумму из $h {\ displaystyle { \ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ и его корневые пространства, то есть

g = h ⊕ ⨁ λ ∈ Δ g λ {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h} } \ oplus \ bigoplus _ {\ lambda \ in \ Delta} {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ lambda \ in \ Delta} {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda}}

и что каждый корень $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ можно записать как $λ = ∑ я = 1 nzi α я {\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ alpha _ {i}}$ $\ lambda = \ sum_ { я = 1} ^ n z_i \ alpha_i$ со всеми $zi {\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ , являющимися целыми числами одного и того же знака .

Типы алгебр Каца – Муди

Пропа Свойства алгебры Каца – Муди контролируются алгебраическими свойствами ее обобщенной матрицы Картана C. Чтобы классифицировать алгебры Каца – Муди, достаточно рассмотреть случай неразложимой матрицы C, т. е. предположить, что не существует разложение набора индексов I на непересекающееся объединение непустых подмножеств I 1 и I 2 таких, что C ij = 0 для всех i в I 1 и j в I 2. Любое разложение обобщенной матрицы Картана приводит к разложению в прямую сумму соответствующей алгебры Каца – Муди:

g (C) ≃ g (C 1) ⊕ g (C 2), {\ displaystyle {\ mathfrak {g} } (C) \ simeq {\ mathfrak {g}} \ left (C_ {1} \ right) \ oplus {\ mathfrak {g}} \ left (C_ {2} \ right),}

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} (C) \ simeq {\ mathfrak {g}} \ left (C_ {1} \ right) \ oplus {\ mathfrak {g}} \ left (C_ {2} \ right),}

где два Алгебры Каца – Муди в правой части связаны с подматрицами C, соответствующими индексным множествам I 1 и I 2.

. Важный подкласс алгебр Каца – Муди соответствует симметризуемым обобщенные матрицы Картана C, которые могут быть разложены как DS, где D - диагональная матрица с положительными целыми элементами, а S - симметричная матрица . В предположении, что C симметризуема и неразложима, алгебры Каца – Муди делятся на три класса:

A положительно определенная матрица S порождает конечномерную простую алгебру Ли.
A положительно полуопределенную матрицу S порождает бесконечномерную алгебру Каца – Муди аффинного типа или аффинную алгебру Ли.
неопределенную матрицу S порождает Алгебра Каца – Муди неопределенного типа .
Поскольку диагональные элементы C и S положительны, S не может быть отрицательно определенной или отрицательно полуопределенной.

Симметризуемые неразложимые обобщенные матрицы Картана конечных и аффинный тип полностью засекречен. Им соответствуют диаграммы Дынкина и аффинные диаграммы Дынкина. Мало что известно об алгебрах Каца – Муди неопределенного типа, хотя группы, соответствующие этим алгебрам Каца – Муди, были построены над произвольными полями Жаком Титсом.

Среди алгебр Каца – Муди неопределенного типа большинство работают сосредоточился на тех гиперболических типах, для которых матрица S неопределенна, но для каждого собственного подмножества I соответствующая подматрица является положительно определенной или положительно полуопределенной. Гиперболические алгебры Каца – Муди имеют ранг не выше 10 и полностью классифицированы. Существует бесконечно много рангов 2 и 238 рангов от 3 до 10.

См. Также

Примечания

Ссылки

Роберт В. Муди, Новый класс алгебр Ли, Journal of Algebra, 10(1968), 211–230. doi : 10.1016 / 0021-8693 (68) 90096-3 MR 0229687
Виктор Кац, Бесконечномерные алгебры Ли, 3-е издание, Cambridge University Press (1990) ISBN 0-521-46693-8 [1]
Энтони Вассерманн, Конспект лекций по алгебрам Каца – Муди и Вирасоро
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Виктор Г. Кац, Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста Math. Изв. СССР, 2 (1968) с. 1271–1311, Изв. Акад. АН СССР сер. Матем., 32 (1968) стр. 1923–1967
Шраван Кумар, Группы Каца – Муди, их многообразия флагов и теория представлений, 1-е издание, Биркхойзер (2002). ISBN 3-7643-4227-7.

Внешние ссылки

SIGMA: специальный выпуск по алгебрам Каца – Муди и приложениям