Тождество Якоби

Свойство некоторых бинарных операций, таких как перекрестное произведение и коммутатор любого кольца

В математике, тождество Якоби является свойством бинарной операции, которое описывает, как порядок оценки (размещение скобок в нескольких продуктах) влияет на результат операции. Напротив, для операций с ассоциативным свойством любой порядок оценки дает тот же результат (скобки в нескольких продуктах не нужны). Идентификатор назван в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби.

Перекрестное произведение $a\; \times \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; times\; b\}$и Операция скобки Ли $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$обе удовлетворяют тождеству Якоби. В аналитической механике тождество Якоби удовлетворяется скобками Пуассона. В квантовой механике ему удовлетворяют операторы коммутаторы в гильбертовом пространстве и, что то же самое, в формулировке фазового пространства квантовой механики скобкой Мойял.

• 1 Определение
• 2 Форма скобки коммутатора
• 3 Присоединенная форма
• 4 Связанные идентификаторы
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Рассмотрим набор A с двумя бинарными операциями + и × с аддитивным тождеством 0. Это удовлетворяет тождеству Якоби, если:

$x\; \times \; (y\; \times \; z)\; +\; z\; \times \; (x\; \times \; y)\; +\; y\; \times \; (z\; \times \; x)\; =\; 0\; \forall \; x,\; y,\; z\; \in \; A.\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; \backslash \; раз\; (у\; \backslash \; раз\; г)\; \backslash \; +\; \backslash \; г\; \backslash \; раз\; (х\; \backslash \; раз\; у)\; \backslash \; +\; \backslash \; у\; \backslash \; раз\; (г\; \backslash \; раз\; х)\; \backslash \; =\; \backslash \; 0\; \backslash \; квад\; \backslash \; форалл\; \backslash \; \{х,\; у,\; z\}\; \backslash \; in\; A.\}$

Левая часть представляет собой сумму всех четных перестановок x × (y × z): то есть мы оставляем круглые скобки фиксированными и меняем буквы местами четное количество раз.

Простейший пример алгебры Ли состоит из (ассоциативного) кольца $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\; \}$матрицы, которые можно рассматривать как бесконечно малые движения n-мерного векторного пространства. Операция × - это коммутатор , который измеряет отказ коммутативности при умножении матриц; вместо $X\; \times \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; Y\}$используется обозначение скобок Ли:

$[X,\; Y]\; =\; X\; Y\; -\; Y\; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; XY-YX.\}$

В этой записи тождество Якоби выглядит так:

$[X,\; [Y,\; Z]]\; +\; [Y,\; [Z,\; X]]\; +\; [\; Z,\; [X,\; Y]]\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; [X,\; [Y,\; Z]]\; +\; [Y,\; [Z,\; X]]\; +\; [Z,\; [X,\; Y]]\; \backslash \; =\; \backslash \; 0.\}$

Это легко проверить вычислением.

В более общем смысле, предположим, что A - ассоциативная алгебра, а V - подпространство A, которое закрывается операцией скобок: $[X,\; Y]\; =\; XY\; -\; YX\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; XY-YX\}$принадлежит V для всех $X,\; Y\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; X,\; Y\; \backslash \; in\; V\}$. Тогда тождество Якоби продолжает сохраняться на V. Таким образом, если бинарная операция $[X,\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\}$удовлетворяет тождеству Якоби, мы можем сказать, что она ведет себя как если бы он был задан как $XY\; -\; YX\; \{\backslash \; displaystyle\; XY-YX\}$в некоторой ассоциативной алгебре, даже если это фактически не определено таким образом.

Использование свойства антисимметрии $[X,\; Y]\; =\; -\; [Y,\; X]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; -\; [Y,\; X]\}$, тождество Якоби можно переписать как модификацию ассоциативного свойства :

$[[X,\; Y],\; Z]\; =\; [X,\; [Y,\; Z]]\; -\; [Y,\; [X,\; Z]\; ]].\; \{\backslash \; displaystyle\; [[X,\; Y],\; Z]\; =\; [X,\; [Y,\; Z]]\; -\; [Y,\; [X,\; Z]]\; ~.\}$

Учитывая $[X,\; Z]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Z]\}$как действие бесконечно малого движения X на Z, это можно выразить как:

действие Y, за которым следует X (оператор $[X,\; [Y,\; \cdot ]]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; [Y,\; \backslash \; cdot\; \backslash ]]\}$), за вычетом действия X, за которым следует Y (оператор $([Y,\; [X,\; \cdot ]]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; ([Y,\; [X,\; \backslash \; cdot\; \backslash ]]\}$), равно действию $[X,\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\}$, (оператор $[[X,\; Y],\; \cdot ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [[X,\; Y],\; \backslash \; cdot\; \backslash ]\}$).

Также существует множество дифференцированные тождества Якоби с участием антикоммутаторов $\{X,\; Y\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{X,\; Y\; \backslash \}\}$, например:

$[\{\; X,\; Y\},\; Z]\; +\; [\{Y,\; Z\},\; X]\; +\; [\{Z,\; X\},\; Y]\; =\; 0,\; [\{X,\; Y\},\; Z]\; +\; \{[Z,\; Y],\; X\}\; +\; \{[Z,\; X],\; Y\}\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; \{X,\; Y\; \backslash \},\; Z]\; +\; [\backslash \; \{Y,\; Z\; \backslash \},\; X]\; +\; [\backslash \; \{Z,\; X\; \backslash \},\; Y]\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; [\backslash \; \{X,\; Y\; \backslash \},\; Z]\; +\; \backslash \; \{[Z,\; Y],\; X\; \backslash \}\; +\; \backslash \; \{[Z,\; X],\; Y\; \backslash \}\; =\; 0.\}$

Большинство о f общие примеры тождества Якоби происходят от умножения скобок $[x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\}$на алгебрах Ли и кольцах Ли. Тождество Якоби записывается как:

$[x,\; [y,\; z]]\; +\; [z,\; [x,\; y]]\; +\; [y,\; [z,\; x]]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; [y],\; z]]\; +\; [z,\; [x,\; y]]\; +\; [y,\; [z,\; x]]\; =\; 0.\}$

Поскольку умножение скобок антисимметрично, тождество Якоби допускает два эквивалентных переформулировки. Определение сопряженного оператора $ad\; x:\; y\; \mapsto \; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; \_\; \{x\}:\; y\; \backslash \; mapsto\; [x,\; y]\}$, тождество становится:

$ad\; x\; \; [y,\; z]\; =\; [ad\; x\; \; y,\; z]\; +\; [y,\; ad\; x\; \; z].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; \_\; \{x\}\; [y,\; z]\; =\; [\backslash \; operatorname\; \{ad\}\; \_\; \{x\}\; y,\; z]\; +\; [y,\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; \_\; \{x\}\; z].\}$

Таким образом, тождество Якоби для алгебр Ли утверждает, что действие любого элемента на алгебре является производным. Эта форма тождества Якоби также используется для определения понятия алгебры Лейбница.

Другая перестановка показывает, что тождество Якоби эквивалентно следующему тождеству между операторами присоединенного представления:

$ad\; [x,\; y]\; =\; [ad\; x,\; ad\; y].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; \_\; \{[x,\; y]\}\; =\; [\backslash \; operatorname\; \{ad\}\; \_\; \{x\},\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; \_\; \{y\}].\}$

Здесь скобка с левой стороны - операция исходной алгебры, скобка справа - это коммутатор композиции операторов, а тождество утверждает, что карта $ad\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ad\}\}$отправляет каждый элемент к его присоединенному действию является гомоморфизмом алгебры Ли.

Тождество Холла – Витта является аналогичным тождеством для операции коммутатора в a группа.

Следующее тождество следует из антикоммутативности и тождества Якоби и имеет место в произвольной алгебре Ли:

$[x,\; [y,\; [z,\; w]]]]\; +\; [y,\; [x,\; [w,\; z]]]\; +\; [z,\; [w,\; [x,\; y]]]\; +\; [w,\; [z,\; [y,\; x]]]]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; [y,\; [z,\; w]]\; ]\; +\; [y,\; [x,\; [w,\; z]]]\; +\; [z,\; [w,\; [x,\; y]]]\; +\; [w,\; [z,\; [y,\; x]]]\; =\; 0.\}$

• Структурные константы
• Супер-Якоби-тождество
• Лемма о трех подгруппах (тождество Холла – Витта)

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.

• Вайсштейн, Эрик У. «Якоби личности». MathWorld.