Супералгебра Ли

редактировать

В математике супералгебра Ли является обобщением Ли алгебра, чтобы включить оценку Z2-. Супералгебры Ли важны в теоретической физике, где они используются для описания математики суперсимметрии. В большинстве этих теорий четные элементы супералгебры соответствуют бозонам, а нечетные элементы - фермионам (но это не всегда верно; например, суперсимметрия БРСТ наоборот).

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Инволюция
4 Примеры
5 Классификация
6 Классификация бесконечномерных простых линейно компактных супералгебр Ли
7 Теоретико-категорийная определение
8 См. также
9 Примечания
10 Ссылки
- 10.1 Исторические
11 Внешние ссылки

Определение

Формально супералгебра Ли неассоциативная Z2-алгебра или супералгебра над коммутативным кольцом (обычно R или C ), произведение [·, ·], называется суперкобкой Ли или суперкоммутатором, удовлетворяет двум условиям (аналогам обычной аксиомы алгебры Ли с градуировкой):

Супер перекос -симметрия:

[x, y] = - (- 1) | х | | y | [у, х]. {\ displaystyle [x, y] = - (- 1) ^ {| x || y |} [y, x]. \}

[x, y] = - (- 1) ^ {| x | | y |} [y, x]. \

Тождество супер-Якоби:

(- 1) | х | | z | [x, [y, z]] + (- 1) | y | | х | [y, [z, x]] + (- 1) | z | | y | [z, [x, y]] = 0, {\ displaystyle (-1) ^ {| x || z |} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| y || x | } [y, [z, x]] + (- 1) ^ {| z || y |} [z, [x, y]] = 0,}

{\ displaystyle (-1) ^ {| x || z |} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| y || x |} [y, [z, x]] + (- 1) ^ {| z || y |} [z, [x, y]] Знак равно 0,}

где x, y и z чисты в Z2-градуировка. Здесь | x | обозначает степень x (0 или 1). Степень [x, y] - это сумма степеней x и y по модулю 2.

Также иногда добавляют аксиомы $[x, x] = 0 {\ displaystyle [x, x] = 0}$ $[x, x] = 0$ для | x | = 0 (если 2 обратимо, это следует автоматически) и $[[x, x], x] = 0 {\ displaystyle [[x, x], x] = 0}$ $[[x, x], x] = 0$ для | x | = 1 (если 3 обратимо, это следует автоматически). Когда основное кольцо представляет собой целые числа или супералгебра Ли является свободным модулем, эти условия эквивалентны условию выполнения теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта (и, в общем случае, они являются необходимыми условиями для выполнения теорема).

Так же, как и для алгебр Ли, универсальная обертывающая алгебра супералгебры Ли может иметь структуру алгебры Хопфа.

A градуированная алгебра Ли (скажем, градуированная по Z или N ), которая является антикоммутативной, и Якоби в градуированном смысле также имеет $Z 2 {\ displaystyle Z_ {2}}$ $Z_ {2}$ оценка (которая называется «сворачиванием» алгебры на нечетные и четные части), но не упоминается как «супер». См. примечание к градуированной алгебре Ли для обсуждения.

Свойства

Пусть $g = g 0 ⊕ g 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ - супералгебра Ли. Изучая тождество Якоби, можно увидеть, что существует восемь случаев в зависимости от того, четные или нечетные аргументы. Они делятся на четыре класса, индексированные по количеству нечетных элементов:

Без нечетных элементов. Утверждается, что $g 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ - обычная алгебра Ли.
Один нечетный элемент. Тогда $g 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ - это $g 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ -модуль для действия $ada: b → [a, b], a ∈ g 0, b, [a, b] ∈ g 1 {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {a} : b \ rightarrow [a, b], \ quad a \ in {\ mathfrak {g}} _ {0}, \ quad b, [a, b] \ in {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {a}: b \ rightarrow [a, b], \ quad a \ in {\ mathfrak {g}} _ {0}, \ quad b, [a, б] \ ин {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ .
Два нечетных элемента. Тождество Якоби гласит, что скобка $g 1 ⊗ g 1 → g 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1} \ otimes {\ mathfrak {g}} _ {1} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1} \ otimes {\ mathfrak {g}} _ {1} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ - симметричная $g 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ -карта.
Три лишних элемента. Для всех $b ∈ g 1 {\ displaystyle b \ in {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ ${\ displaystyle b \ i п {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ , $[b, [b, b]] = 0 {\ displaystyle [b, [b, b]] = 0}$ ${\ displaystyle [b, [b, b]] = 0}$ .

Таким образом, четная подалгебра $g 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ супералгебры Ли образует (нормальную) алгебру Ли поскольку все знаки исчезают, и суперкобка становится нормальной скобкой Ли, а $g 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ является линейным представлением из $g 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ , и существует симметричный $g 0 {\ displaystyle { \ mathfrak {g}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ -эквивариантная линейная карта ${⋅, ⋅}: g 1 ⊗ g 1 → g 0 {\ displaystyle \ {\ cdot, \ cdot \}: {\ mathfrak {g}} _ {1} \ otimes {\ mathfrak {g}} _ {1} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ {\ cdot, \ cdot \}: {\ mathfrak {g}} _ {1} \ время от времени {\ mathfrak {g}} _ {1} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ такие, что

[{x, y}, z] + [{y, z}, x] + [{z, x}, y] = 0, x, y, z ∈ g 1. {\ Displaystyle [\ влево \ {х, у \ вправо \}, г] + [\ влево \ {у, г \ вправо \}, х] + [\ влево \ {г, х \ вправо \}, у] = 0, \ quad x, y, z \ in {\ mathfrak {g}} _ {1}.}

{\ displaystyle [\ left \ {x, y \ right \}, z] + [\ left \ {y, z \ right \}, x] + [\ left \ {z, x \ right \}, y] = 0, \ quad x, y, z \ in {\ mathfrak {g}} _ {1}.}

Условия (1) - (3) линейны и все могут быть поняты в терминах обычных алгебр Ли. Условие (4) нелинейно, и его сложнее всего проверить при построении супералгебры Ли, исходя из обычной алгебры Ли ( $g 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ) и представление ( $g 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ ).

Инволюция

A супералгебра Ли - это сложная супералгебра Ли, снабженная инволютивным антилинейным отображением от себя к себе, которое учитывает Z2градуировку и удовлетворяет [x, y] = [y, x] для всех x и y в супералгебре Ли. (Некоторые авторы предпочитают соглашение [x, y] = (−1) [y, x]; изменение * на - * переключает между двумя соглашениями.) Его универсальная обертывающая алгебра будет обычной -алгебра.

Примеры

Для любой ассоциативной супералгебры $A {\ displaystyle A}$ $A$ можно определить суперкоммутатор на однородных элементах с помощью

[x, y] = xy - (- 1) | х | | y | y x {\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx \}

[x, y] = xy - (-1) ^ {| x || y |} yx \

, а затем распространяется по линейности на все элементы. Алгебра $A {\ displaystyle A}$ $A$ вместе с суперкоммутатором тогда становится супералгеброй Ли. Самый простой пример этой процедуры - это, возможно, когда $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это пространство всех линейных функций $E nd (V) {\ displaystyle \ mathbf {End} (V) }$ ${\ displaystyle \ mathbf {End} (V)}$ супер векторного пространства $V {\ displaystyle V}$ $V$ самому себе. Когда $V = K p | q {\ displaystyle V = \ mathbb {K} ^ {p | q}}$ ${\ displaystyle V = \ mathbb {K} ^ {p | q}}$ , это пространство обозначается $M p | q {\ displaystyle M ^ {p | q}}$ ${\ displaystyle M ^ {p | q}}$ или $M (p | q) {\ displaystyle M (p | q)}$ ${\ displaystyle M (p | q)}$ . Используя скобку Ли, как указано выше, пространство обозначается $gl (p | q) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (p | q)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (p | q)}$ .

произведение Уайтхеда по гомотопии. group дает много примеров супералгебр Ли над целыми числами.

Классификация

Простые комплексные конечномерные супералгебры Ли были классифицированы Виктором Кацем.

Основные классические компактные супералгебры Ли (не являющиеся алгебрами Ли): [1]

SU (m / n) Это сверхунитарные алгебры Ли, у которых есть инварианты:

z. z ¯ + i w. w ¯ {\ displaystyle z. {\ overline {z}} + iw. {\ overline {w}}}

z. \ overline {z} + iw. \ overline {w}

Это дает два ортосимплектических (см. ниже) инварианта, если мы возьмем переменные mz и переменные nw не- коммутативным и берем действительную и мнимую части. Следовательно, мы имеем

SU (m / n) = OS p (2 m / 2 n) ∩ OS p (2 n / 2 m) {\ displaystyle SU (m / n) = OSp (2m / 2n) \ cap OSp (2n / 2m)}

SU (m / n) = OSp (2m / 2n) \ cap OSp (2n / 2m)

SU (n / n) / U (1) Частный случай сверхунитарных алгебр Ли, где мы убираем один образующий U (1), чтобы упростить алгебру.

OSp (m / 2n) Это ортосимплектические группы. У них есть инварианты:

x. х + у. z - z. y {\ displaystyle x.x + y.z-z.y}

x.x+yz-zy

для m коммутативных переменных (x) и n пар антикоммутативных переменных (y, z). Это важные симметрии в теориях супергравитации.

D(2/1; $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ) Это набор супералгебр, параметризованных переменной $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ . Он имеет размерность 17 и является подалгеброй OSp (9 | 8). Четная часть группы равна O (3) × O (3) × O (3). Таким образом, инварианты следующие:

A μ A μ + B μ B μ + C μ C μ + ψ α β γ ψ α ′ β ′ γ ′ ε α α ′ ε β β ′ ε γ γ ′ {\ displaystyle A_ {\ mu} A _ {\ mu} + B _ {\ mu} B _ {\ mu} + C _ {\ mu} C _ {\ mu} + \ psi ^ {\ alpha \ beta \ gamma} \ psi ^ {\ alpha ' \ beta '\ gamma'} \ varepsilon _ {\ alpha \ alpha '} \ varepsilon _ {\ beta \ beta'} \ varepsilon _ {\ gamma \ gamma '}}

A_\mu A_\mu+B_\mu B_\mu+C_\mu C_\mu +\psi^{\alpha \beta \gamma}\psi^{\alpha' \beta' \gamma'}\varepsilon_{\alpha \alpha'}\varepsilon_{\beta \beta'}\varepsilon_{\gamma \gamma'}

A {1 A 2 A 3} + B {1 B 2 B 3} + C {1 C 2 C 3} + A μ Γ μ α α ′ ψ ψ + B μ Γ μ β β ′ ψ ψ + C μ Γ μ γ γ ′ ψ ψ {\ Displaystyle A _ {\ {1} A_ {2} A_ {3 \}} + B _ {\ {1} B_ {2} B_ {3 \}} + C _ {\ {1} C_ {2} C_ {3 \}} + A _ {\ mu} \ Gamma _ {\ mu} ^ {\ alpha \ alpha '} \ psi \ psi + B _ {\ mu} \ Gamma _ {\ mu} ^ {\ beta \ beta'} \ psi \ psi + C _ {\ mu} \ Gamma _ {\ mu} ^ {\ gamma \ gamma '} \ psi \ psi}

A_{\{1}A_{2}A_{3\}}+B_{\{1}B_{2}B_{3\}}+C_{\{1}C_{2}C_{3\}}+A_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\alpha \alpha '}\psi \psi +B_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\beta \beta '}\psi \psi +C_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\gamma \gamma '}\psi \psi

для определенных констант $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ .

F(4) Это исключительное Супералгебра Ли имеет размерность 40 и является подалгеброй в OSp (24 | 16). Четная часть группы - это O (3) xSO (7), поэтому три инварианта:

B μ ν + B ν μ = 0 {\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} + B _ {\ nu \ mu} Знак равно 0}

B _ {\ mu \ nu} + B _ {\ nu \ mu} = 0

A μ A μ + B μ ν B μ ν + ψ {1 α ψ 2} α {\ displaystyle A _ {\ mu} A _ {\ mu} + B _ {\ mu \ nu} B _ {\ mu \ nu} + \ psi _ {\ {1} ^ {\ alpha} \ psi _ {2 \}} ^ {\ alpha}}

A_ \ mu A_ \ mu + B _ {\ mu \ nu } B _ {\ mu \ nu} + \ psi _ {\ {1} ^ \ alpha \ psi_ {2 \}} ^ \ alpha

A {1 A 2 A 3} + B {μ ν B ν τ В τ μ} + В μ ν σ μ ν α β ψ К α ψ К β + A μ Γ μ α β ψ α К ψ β К + (симв.) {\ Displaystyle A _ {\ {1} A_ {2 } A_ {3 \}} + B _ {\ {\ mu \ nu} B _ {\ nu \ tau} B _ {\ tau \ mu \}} + B _ {\ mu \ nu} \ sigma _ {\ mu \ nu} ^ {\ alpha \ beta} \ psi _ {k} ^ {\ alpha} \ psi _ {k} ^ {\ beta} + A _ {\ mu} \ Gamma _ {\ mu} ^ {\ alpha \ beta} \ psi _ {\ alpha} ^ {k} \ psi _ {\ beta} ^ {k} + ({\ text {sym.}})}

{\ displaystyle A _ {\ {1} A_ {2} A_ {3 \}} + B _ {\ {\ mu \ nu} B _ {\ nu \ tau} B _ {\ tau \ mu \}} + B _ {\ mu \ nu} \ sigma _ {\ mu \ nu} ^ {\ alpha \ beta} \ psi _ {k} ^ {\ alpha} \ psi _ {k} ^ {\ beta} + A _ {\ mu} \ Gamma _ {\ mu } ^ {\ alpha \ beta} \ psi _ {\ alpha} ^ {k} \ psi _ {\ beta} ^ {k} + ({\ text {sym.}})}

Эта группа связана с октонионами, рассматривая 16 компонентных спиноров как двухкомпонентные спиноры октонионов и гамма-матрицы, действующие на верхние индексы как единичные октонионы. Тогда мы имеем $е μ ν τ σ ν τ ≡ γ μ {\ displaystyle f ^ {\ mu \ nu \ tau} \ sigma _ {\ nu \ tau} \ Equiv \ gamma _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ mu \ nu \ tau} \ sigma _ {\ nu \ tau} \ Equiv \ gamma _ {\ mu} }$ где f - структурные константы умножения октонионов.

G(3) Эта исключительная супералгебра Ли имеет размерность 31 и является подалгеброй в OSp (17 | 14). Четная часть группы O (3) × G2. Инварианты аналогичны приведенным выше (это подалгебра в F (4)?), Поэтому первый инвариант:

A μ A μ + C α μ C α μ + ψ {1 μ ψ 2} ν { \ Displaystyle A _ {\ mu} A _ {\ mu} + C _ {\ alpha} ^ {\ mu} C _ {\ alpha} ^ {\ mu} + \ psi _ {\ {1} ^ {\ mu} \ psi _ {2 \}} ^ {\ nu}}

{\ Displaystyle A _ {\ mu} A _ {\ mu} + C _ {\ alpha} ^ {\ mu} C _ {\ alpha} ^ {\ mu} + \ psi _ {\ {1} ^ {\ mu} \ psi _ {2 \}} ^ {\ nu}}

Есть также две так называемые странные серии, называемые p (n) и q (n).

Классификация бесконечномерных простых линейно компактных супералгебр Ли

Классификация состоит из 10 серий W (m, n), S ( m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H (2m, n), K(2m + 1, n), HO (m, m) (m ≥ 2), SHO (m, m) (m ≥ 3), KO (m, m + 1), SKO (m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3) и пять исключительных алгебр:

E (1, 6), E (5, 10), E (4, 4), E (3, 6), E (3, 8)

Последние два особенно интересны (по словам Каца), потому что они имеют стандартную группу датчиков модели SU (3) × S U (2) × U (1) как их алгебра нулевого уровня. Бесконечномерные (аффинные) супералгебры Ли - важные симметрии в теории суперструн. В частности, алгебры Вирасоро с суперсимметрией $N {\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ mathcal {N}}$ равны $K (1, N) {\ displaystyle K (1, {\ mathcal {N }})}$ ${\ displaystyle K (1, {\ mathcal {N}})}$ которые имеют только центральные расширения до $N = 4 {\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 4}$ ${ \ Displaystyle {\ mathcal {N}} = 4}$ .

теоретико-категориальное определение

In теория категорий, супералгебра Ли может быть определена как неассоциативная супералгебра, произведение которой удовлетворяет

$[⋅, ⋅] ∘ (id + τ A, A) Знак равно 0 {\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ circ ({\ operatorname {id}} + \ tau _ {A, A}) = 0}$ ${\ displayst yle [\ cdot, \ cdot] \ circ ({\ operatorname {id}} + \ tau _ {A, A}) = 0}$
$[⋅, ⋅] ∘ ([⋅, ⋅ ] ⊗ идентификатор ∘ (id + σ + σ 2) знак равно 0 {\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ circ ([\ cdot, \ cdot] \ otimes {\ operatorname {id}} \ circ ({\ operatorname { id}} + \ sigma + \ sigma ^ {2}) = 0}$ ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot ] \ circ ([\ cdot, \ cdot] \ otimes {\ operatorname {id}} \ circ ({\ operatorname {id}} + \ sigma + \ sigma ^ {2}) = 0}$

где σ - плетение с циклической перестановкой $(id ⊗ τ A, A) ∘ (τ A, A ⊗ id) {\ displaystyle ({\ operatorname {id}} \ otimes \ tau _ {A, A}) \ circ (\ tau _ {A, A} \ otimes {\ operatorname {id}})}$ ${\ displaystyle ({\ operatorname {id}} \ otimes \ tau _ {A, A}) \ circ (\ tau _ {A, A} \ otimes {\ operatorname {id}})}$ . На схеме форма:

См. также

Примечания

Ссылки

Cheng, S.-J.; Ван, В. (2012). Двойственности и представления супералгебр Ли. Аспирантура по математике. 144 . стр.302с. ISBN 978-0-8218-9118-6. CS1 maint: ref = harv (link )
Freund, PGO (1983). Введение в суперсимметрию Кембриджские монографии по математической физике. Cambridge University Press. doi : 10.1017 / CBO9780511564017. ISBN 978-0521-356 -756. CS1 maint: ref = harv (link )
Грозман, П.; Лейтес, Д.; Щепочкина, И. (2005). «Супералгебры лжи в теории струн». Acta Mathamatica Vietnamica. 26 (2005): 27–63. arXiv : hep-th / 9702120. Bibcode : 1997hep.th.... 2120G. CS1 maint: ref = harv (link )
Kac, VG (1977). "Супералгебры Ли". Успехи в математике. 26 (1): 8–96. doi : 10.1016 / 0001-8708 (77) 90017-2. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Кац В.Г. (2010). "Классификация бесконечномерных простых групп суперсимметрий и квантовая теория поля". Видения в математике: 162–183. arXiv : math / 9912235. doi : 10.1007 / 978-3-0346-0422-2_6. ISBN 978-3-0346-0421-5. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Манин, Ю.И. (1997). Калибровочная теория поля и комплексная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-61378-7. CS1 maint: ref = harv (link )
Musson, IM (2012). Супералгебры Ли и охватывающие алгебры. Аспирантура по математике. 131 . pp. 488 стр. ISBN 978-0-8218-6867-6. CS1 maint: ref = harv (link )
Varadarajan, VS ( 2004). Суперсимметрия для математиков: Введение. Конспект лекций Куранта по математике. 11 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218- 3574-6. CS1 maint: ref = harv (link )

Historical

Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1956). "Теория векторнозначные дифференциальные формы. Часть I ". Indagationes Mathematicae. 59: 338–350. doi : 10.1016 / S1385-7258 (56) 50046-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка ).
Герстенхабер, М. (1963). «Структура когомологий ассоциативного кольца». Анналы математики. 78(2): 267–288. doi : 10.2307 / 1970343. JSTOR 1970343. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Герстенхабер, М. (1964). «О деформации колец и алгебр». Annals of Mathematics. 79 (1): 59–103. doi : 10.2307 / 1970484. JSTOR 1970484. CS1 maint: ref = harv (link )
Milnor, JW ; Moore, JC (1965). «О структуре алгебр Хопфа». Annals of Математика. 81 (2): 211–264. doi : 10.2307 / 1970615. JSTOR 1970615. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки

Ирвинг Каплански + Супералгебры Ли