Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта

редактировать

В математике, более конкретно в теории алгебр Ли, теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта (или теорема PBW ) является результатом, дающим явное описание универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли. Он назван в честь Анри Пуанкаре, Гарретта Биркгофа и Эрнста Витта.

Термины теорема типа PBW и теорема PBW могут также относиться к различным аналогам исходной теоремы, сравнение фильтрованной алгебры с связанной с ней градуированной алгеброй, в частности, в области квантовых групп.

Содержание

1 Формулировка теоремы
2 Более общие контексты
3 История теоремы
4 Примечания
5 Ссылки

Формулировка теоремы

Напомним, что любое векторное пространство V над полем имеет основание ; это множество S такое, что любой элемент V является единственной (конечной) линейной комбинацией элементов S. В формулировке теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта мы рассматриваем базы, элементы которых полностью упорядочено некоторым соотношением, которое мы обозначим ≤.

Если L - алгебра Ли над полем K, пусть h обозначает каноническое K-линейное отображение из L в универсальную обертывающую алгебру U (L).

Теорема . Пусть L - алгебра Ли над K, а X - вполне упорядоченный базис в L. Канонический моном над X - это конечная последовательность (x 1, x 2..., x n) элементов X, который не убывает в порядке ≤, то есть x 1≤x2≤... ≤ x n. Расширьте h на все канонические мономы следующим образом: if (x 1, x 2,..., x n) канонический моном, пусть

h (x 1, x 2,…, xn) = h (x 1) ⋅ h (x 2) ⋯ h (xn). {\ displaystyle h (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = h (x_ {1}) \ cdot h (x_ {2}) \ cdots h (x_ {n}). }

h (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = h (x_ {1}) \ cdot h (x_ {2}) \ cdots h (x_ { n}).

Тогда h инъективен на множестве канонических одночленов и образ этого множества ${h (x 1,…, xn) | х 1 ≤... ≤ xn} {\ displaystyle \ {h (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) | x_ {1} \ leq... \ leq x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {h (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) | x_ {1} \ leq... \ leq x_ {n} \}}$ образует базис для U (L) как K -векторное пространство.

Иначе говоря, рассмотрим Y = h (X). Y полностью упорядочен индуцированным порядком из X. Множество мономов

y 1 k 1 y 2 k 2 ⋯ y ℓ k ℓ {\ displaystyle y_ {1} ^ {k_ {1}} y_ {2} ^ {k_ {2}} \ cdots y _ {\ ell} ^ {k _ {\ ell}}}

y_ {1} ^ {{k_ {1) }}} y_ {2} ^ {{k_ {2}}} \ cdots y _ {\ ell} ^ {{k _ {\ ell}}}

где y 1

Мультипликативная структура U (L) определяется структурными константами в базисе X, то есть коэффициентами $cu, vx {\ displaystyle c_ {u, v } ^ {x}}$ ${\ displaystyle c_ {u, v} ^ {x}}$ такое, что

[u, v] = ∑ x ∈ X cu, vxx. {\ displaystyle [u, v] = \ sum _ {x \ in X} c_ {u, v} ^ {x} \; x.}

{\ displaystyle [u, v] = \ sum _ {x \ in X} c_ {u, v} ^ {x} \; x.}

Это соотношение позволяет свести любое произведение y к линейной комбинации канонических одночленов: структурные константы определяют y iyj- y jyi, то есть что делать, чтобы изменить порядок двух элементов Y в продукте. Этот факт, по модулю индуктивного аргумента о степени (неканонических) мономов, показывает, что всегда можно получить продукты, в которых факторы упорядочены неубывающим образом.

Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта может быть интерпретирована как утверждение, что конечный результат этой редукции уникален и не зависит от порядка, в котором меняются местами соседние элементы.

Следствие . Если L - алгебра Ли над полем, каноническое отображение L → U (L) инъективно. В частности, любая алгебра Ли над полем изоморфна подалгебре Ли ассоциативной алгебры.

Более общие контексты

Уже на самых ранних этапах было известно, что K может быть заменено любым коммутативным кольцом при условии, что L является свободным K -модуль, т.е. имеет основание, как указано выше.

Чтобы распространиться на случай, когда L больше не является свободным K -модулем, нужно сделать переформулировку, которая не использует базисы. Это включает замену пространства одночленов в некотором базисе на симметрическую алгебру, S (L), на L.

В случае, когда K содержит поле рациональные числа, можно рассмотреть естественное отображение из S (L) в U (L), отправив одночлен $v 1 v 2 ⋯ vn {\ displaystyle v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {n}}$ $v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {n}$ . для $v i ∈ L {\ displaystyle v_ {i} \ in L}$ $v_ {i} \ in L$ , к элементу

1 n! ∑ σ ∈ S n v σ (1) v σ (2) ⋯ v σ (n). {\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} v _ {\ sigma (1)} v _ {\ sigma (2)} \ cdots v _ {\ sigma ( n)}.}

{\ frac {1} {n!}} \ Sum _ {{\ sigma \ in S_ {n}}} v _ {{\ sigma (1)}} v _ {{\ sigma (2)}} \ cdots v _ {{\ sigma (n)}}.

Тогда справедлива теорема о том, что это отображение является изоморфизмом K -модулей.

Еще более широко и естественно, можно рассматривать U (L) как фильтрованную алгебру, снабженную фильтрацией, заданной путем указания, что $v 1 v 2 ⋯ vn {\ displaystyle v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {n}}$ $v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {n}$ находится в отфильтрованной степени $≤ n {\ displaystyle \ leq n}$ $\ leq n$ . Отображение L → U (L) K -модулей канонически продолжается до отображения T (L) → U (L) алгебр, где T (L) - тензорная алгебра на L (например, благодаря универсальному свойству тензорных алгебр), и это фильтрованное отображение, снабжающее T (L) фильтрацией, переводящей L в степень один (фактически, T (L) градуируется). Тогда, переходя к ассоциированной градуированной, мы получаем канонический морфизм T (L) → grU (L), который убивает элементы vw - wv для v, w ∈ L и, следовательно, спускается к каноническому морфизму S (L) → grU (L). Тогда (градуированная) теорема PBW может быть переформулирована как утверждение, что при определенных условиях этот финальный морфизм является изоморфизмом коммутативных алгебр.

Это неверно для всех K и L (см., Например, последний раздел статьи Кона 1961 года), но верно во многих случаях. К ним относятся упомянутые выше, где либо L является свободным K -модулем (следовательно, всякий раз, когда K является полем), либо K содержит поле рациональных чисел. В более общем смысле теорема PBW, сформулированная выше, распространяется на такие случаи, как: (1) L - плоский K -модуль, (2) L не имеет кручения как абелева группа, (3) L является прямой суммой циклических модулей (или все ее локализации в простых идеалах K обладают этим свойством), или (4) K это дедекиндовский домен. См., Например, эти утверждения в статье Хиггинса 1969 года.

Наконец, стоит отметить, что в некоторых из этих случаев также получается более сильное утверждение, что канонический морфизм S (L) → grU (L) поднимается до K - модульный изоморфизм S (L) → U (L), не принимая ассоциированных градуированных. Это верно в первых упомянутых случаях, когда L - свободный K -модуль или K содержит поле рациональных чисел, используя описанную здесь конструкцию (фактически, результат является изоморфизмом коалгебры, а не просто изоморфизмом K -модулей, снабжая S (L) и U (L) их естественными структурами коалгебры такими, что $∆ (v) = v ⊗ 1 + 1 ⊗ v {\ displaystyle \ Delta (v) = v \ otimes 1 + 1 \ otimes v}$ $\ Delta (v) = v \ otimes 1 + 1 \ otimes v$ для v ∈ L). Однако это более сильное утверждение может не распространяться на все случаи, описанные в предыдущем абзаце.

История теоремы

В четырех статьях 1880-х годов Альфредо Капелли доказал, используя другую терминологию, то, что сейчас известно как теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта в случай $L = gln, {\ displaystyle L = {\ mathfrak {gl}} _ {n},}$ $L = {\ mathfrak {gl}} _ {n },$ , Общая линейная алгебра Ли ; в то время как Пуанкаре позже сформулировал это в более общем виде в 1900 году. Арман Борель говорит, что эти результаты Капелли были «полностью забыты почти на столетие», и он не предполагает, что Пуанкаре знал о результате Капелли

Тон-Тат и Тран исследовали историю этой теоремы. Они выяснили, что большинство источников до книги Бурбаки 1960 года называют ее теоремой Биркгофа-Витта. Следуя этой старой традиции, Фофанова в своей энциклопедической статье говорит, что Пуанкаре получил первый вариант теоремы. Далее она говорит, что теорема была впоследствии полностью продемонстрирована Виттом и Биркгофом. Похоже, что источники до Бурбаки не были знакомы с работой Пуанкаре.

Биркгоф и Витт не упоминают работу Пуанкаре в своих статьях 1937 года. Картан и Эйленберг называют теорему Пуанкаре-Витта теоремой и приписывают Витту полное доказательство. Бурбаки были первыми, кто использовал все три имени в своей книге 1960 года. Кнапп представляет собой яркую иллюстрацию меняющейся традиции. В своей книге 1986 года он называет это теоремой Биркгофа-Витта, а в своей более поздней книге 1996 года он переходит к теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта.

Неясно, был ли результат Пуанкаре полным. Тон-Тхат и Тран приходят к выводу, что «Пуанкаре открыл и полностью продемонстрировал эту теорему, по крайней мере, за тридцать семь лет до Витта и Биркгофа». С другой стороны, они указывают, что «Пуанкаре делает несколько утверждений, не утруждая себя их доказательством». Их собственные доказательства всех шагов, по их признанию, довольно длинные. Борель утверждает, что Пуанкаре «более или менее доказал теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта» в 1900 году.

Примечания

Ссылки

Биркгоф, Гаррет (апрель 1937). «Представимость алгебр Ли и групп Ли матрицами». Анналы математики. 38 (2): 526–532. doi : 10.2307 / 1968569. JSTOR 1968569.
Борел, Арманд (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп. История математики, Vol. 21. Американское математическое общество и Лондонское математическое общество. ISBN 978-0821802885.
Бурбаки, Николас (1960). "Глава 1: Альжебр де Ли". Groupes et algèbres de Lie. Éléments de mathématique. Пэрис: Герман.
Картан, Анри; Эйленберг, Сэмюэл (1956). Гомологическая алгебра. Принстонская математическая серия (PMS). 19 . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-04991-5.
Кон, П.М. (1963). «Замечание к теореме Биркгофа-Витта». J. London Math. Soc. 38 : 197–203. doi : 10.1112 / jlms / s1-38.1.197.
Фофанова, Т.С. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры и представления Ли: элементарное введение. Тексты для выпускников по математике. 222 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3319134666.
Хиггинс, П.Дж. (1969). «Инварианты Бэра и теорема Биркгофа-Витта». Журнал алгебры. 11 (4): 469–482. doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90086-6.
Хохшильд, Г. (1965). Теория групп Ли. Холден-Дэй.
Кнапп А. В. (1986). Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. Princeton University Press.
Кнапп, А. В. (1996). Группы лжи за пределами введения. Birkhäuser.
Пуанкаре, Анри (1900). "Sur les groupes continus". Пер. Camb. Филос. Soc. 18 : 220–225.
Ton-That, T.; Тран, Т.-Д. (1999). «Доказательство Пуанкаре так называемой теоремы Биркгофа-Витта» (PDF). Преподобный Histoire Math. 5 : 249–284. Также доступно на http://www.numdam.org/article/RHM_1999__5_2_249_0.pdf
Витт, Эрнст (1937). "Treue Darstellung Liescher Ringe". J. Reine Angew. Математика. 177 : 152–160.