Фильтрованная алгебра

В математике фильтрованная алгебра является обобщением понятия градуированная алгебра. Примеры встречаются во многих разделах математики, особенно в гомологической алгебре и теории представлений.

фильтрованной алгебре над полем $k\; \{\; \backslash \; displaystyle\; k\}$- это алгебра $(A,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; \backslash \; cdot)\}$над $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$с возрастающей последовательностью $\{0\}\; \subseteq \; F\; 0\; \subseteq \; F\; 1\; \subseteq \; \cdots \; \subseteq \; F\; я\; \subseteq \; \cdots \; \subseteq \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; substeq\; F\_\; \{0\}\; \backslash \; substeq\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; substeq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; substeq\; F\_\; \{i\}\; \backslash \; substeq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; substeq\; A\}$подпространств $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$таких, что

$A\; =\; \bigcup \; i\; \in \; NF\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; F\_\; \{i\}\}$

и это совместимо с умножением в следующем смысле:

$\forall \; m,\; n\; \in \; N,\; F\; m\; \cdot \; F\; n\; \subseteq \; F\; n\; +\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; m,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\; \backslash \; qquad\; F\_\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; F\_\; \{n\}\; \backslash \; substeq\; F\_\; \{n\; +\; m\}.\}$

• 1 Ассоциированная градуированная алгебра
• 2 Примеры
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

В общем, существует следующая конструкция, которая производит градуированную алгебру из фильтрованной алгебры.

Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является фильтрованной алгеброй, то ассоциированная градуированная алгебра $G\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (A)\}$определяется следующим образом:

• Как векторное пространство

  $G\; (A)\; =\; ⨁\; n\; \in \; NG\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; G\}\}\; (A)\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; G\_\; \{n\}\; \backslash ,,\}$

  где,

  $G\; 0\; =\; F\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{0\}\; =\; F\_\; \{0\},\}$и

  $\forall \; n>0,\; G\; n\; =\; F\; n\; /\; F\; n\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; n>0,\; \backslash \; quad\; G\_\; \{n\}\; =\; F\_\; \{\; n\}\; /\; F\_\; \{n-1\}\; \backslash ,,\}$

• умножение определяется как

  $(x\; +\; F\; п\; -\; 1)\; (Y\; +\; F\; м\; -\; 1)\; знак\; равно\; Икс\; \cdot \; Y\; +\; F\; N\; +\; м\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х\; +\; F\_\; \{п-1\})\; (у\; +\; F\_\; \{м-1\})\; =\; х\; \backslash \; CDOT\; y\; +\; F\_\; \{n\; +\; m-1\}\}$

  для всех $x\; \in \; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; F\_\; \{n\}\}$и $y\; \in \; F\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; F\_\; \{m\}\}$. (Точнее, карта умножения $G\; (A)\; \times \; G\; (A)\; \to \; G\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (A)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (A)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (A)\}$объединены из карт

  $(F\; n\; /\; F\; n\; -\; 1)\; \times \; (F\; m\; /\; F\; m\; -\; 1)\; \to \; F\; n\; +\; m\; /\; F\; n\; +\; m\; -\; 1,\; (x\; +\; F\; n\; -\; 1,\; y\; +\; F\; м\; -\; 1)\; \mapsto \; Икс\; \cdot \; Y\; +\; F\; N\; +\; M\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; (F\_\; \{n\}\; /\; F\_\; \{n-1\})\; \backslash \; times\; (F\_\; \{m\}\; /\; F\_\; \{m-1\})\; \backslash \; to\; F\_\; \{\; n\; +\; m\}\; /\; F\_\; \{n\; +\; m-1\},\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; left\; (x\; +\; F\_\; \{n-1\},\; y\; +\; F\_\; \{m-1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mapsto\; x\; \backslash \; cdot\; y\; +\; F\_\; \{n\; +\; m-1\}\}$

  для всех $n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 0\}$и $m\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; 0\}$.)

Умножение хорошо определено и наделяет $G\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (A)\}$структурой градуированной алгебры с градацией $\{G\; n\}\; n\; \in \; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{G\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}.\}$Кроме того, если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$равно ассоциативный, то так же и $G\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (A)\}$. Также, если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является единицей, так что единица измерения находится в $F\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{0\}\}$, тогда $G\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (A)\}$также будет иметь единицу.

Как алгебры $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $G\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (A)\}$различны (за исключением тривиального случая, когда $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$оценивается), но как векторные пространства они изоморфны.

Любая градуированная алгебра с оценкой ℕ, например $A\; =\; ⨁\; n\; \in \; NA\; n\; \{\backslash \; textstyle\; A\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; A\_\; \{n\}\}$, имеет фильтрацию, заданную как $F\; n\; =\; ⨁\; i\; =\; 0\; n\; A\; i\; \{\backslash \; textstyle\; F\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; A\_\; \{i\}\}$.

Примером фильтрованной алгебры является алгебра Клиффорда $Клифф\; \; (V,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cliff\}\; (V,\; q)\}$вектора пробел $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, наделенный квадратичной формой $q.\; \{\backslash \; displaystyle\; q.\}$Соответствующая градуированная алгебра - это $\bigwedge \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigwedge\; V\}$, внешняя алгебра из $V.\; \{\backslash \; displaystyle\; V.\}$

Симметрическая алгебра на двойственном аффинном пространстве - это фильтрованная алгебра многочленов; в векторном пространстве вместо этого получается градуированная алгебра.

универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$также естественно фильтрованный. Теорема PBW утверждает, что ассоциированная градуированная алгебра просто $S\; ym\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Sym\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$.

скалярная дифференциальные операторы на многообразии $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$образуют фильтрованную алгебру, где фильтрация задается степенью дифференциальных операторов. Соответствующая градуированная алгебра - это коммутативная алгебра гладких функций на кокасательном расслоении $T\; \ast \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{*\}\; M\}$, полиномиальных вдоль слоев проекции $\pi \; :\; T\; \ast \; M\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; двоеточие\; T\; ^\; \{*\}\; M\; \backslash \; rightarrow\; M\}$.

Групповая алгебра группы с функцией длины является фильтрованная алгебра.

• Фильтрация (математика)
• Функция длины

• Abe, Eiichi (1980). Алгебры Хопфа. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22240-0.

Эта статья включает материал из Filtered algebra на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share- Аналогичная лицензия.