Функция длины

редактировать

В математической области геометрической теории групп функция длины - это функция, которая присваивает номер каждому элементу группа.

Определение

A функция длины L: G → R в группе G - это функция, удовлетворяющая:

L (e) = 0, L (g - 1) = L (g) L (g 1 g 2) ≤ L (g 1) + L (g 2), ∀ g 1, g 2 ∈ G. {\ Displaystyle {\ begin {align} L (e) = 0, \\ L (g ^ {- 1}) = L (g) \\ L (g_ {1} g_ {2}) \ leq L (g_ {1}) + L (g_ {2}), \ quad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ in G. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} L (e) = 0, \\ L (g ^ {- 1}) = L (g) \\ L (g_ {1} g_ {2 }) \ leq L (g_ {1}) + L (g_ {2}), \ quad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ in G. \ end {align}}}

Сравните с аксиомами для метрика и фильтрованная алгебра.

Словесная метрика

Важным примером длины является словесная метрика : дано представление группы по образующим и отношениям длина элемента - это длина кратчайшего слова, выражающего его.

Группы Кокстера (включая симметрическую группу ) имеют важные комбинаторные функции длины с использованием простых отражений в качестве генераторов (таким образом, каждое простое отражение имеет длину 1). См. Также: длина элемента группы Вейля.

A самый длинный элемент группы Кокстера одновременно важен и уникален вплоть до сопряжения (до различного выбора простых отражений).

Свойства

Группа с функцией длины не образует фильтрованную группу, что означает, что подуровень устанавливает $S i: = {g ∣ L (g) ≤ i} {\ displaystyle S_ {i}: = \ {g \ mid L (g) \ leq i \}}$ ${\ displaystyle S_ {i}: = \ {g \ mid L (g) \ leq i \}}$ вообще не образуют подгруппы.

Однако групповая алгебра группы с функциями длины образует фильтрованную алгебру : аксиома $L (gh) ≤ L (g) + L (h) {\ displaystyle L (gh) \ leq L (g) + L (h)}$ ${\ displaystyle L (gh) \ leq L (g) + L (h)}$ соответствует аксиоме фильтрации.

Эта статья включает материал из функции Length на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.