Универсальная обертывающая алгебра

В математике универсальная обертывающая алгебра является наиболее общей (унитальная, ассоциативная ) алгебра, содержащая все представления алгебры Ли.

Универсальные обертывающие алгебры, используемые в теории представ групп Ли и алгебр Ли. Например, модули Верма могут быть построены как частные универсальные обертыва алгебры. Кроме того, обертывающая алгебра дает точное определение для операторов Казимира. Операторы Казимира коммутируют со всеми элементами алгебры Ли, можно использовать для использования представлений. Точное определение также позволяет импортировать операторы Казимира в другие области математики, в частности, те, которые имеют дифференциальную алгебру. Они также играют центральную роль в некоторых недавних достижениях в математике. В частности, их дуальный представляет собой коммутативный пример объектов, изучаемых в некоммутативной геометрии, квантовых групп. Это двойное может быть показано с помощью теоремы Гельфанда - Наймарка, что оно содержит C * -алгебру форм группы Ли. Это соотношение обобщает идею двойственности Таннаки - Крейна между компактными топологическими группами и их представлениями.

С аналитической точки зрения универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли группы Ли может быть отождествлена ​​с алгеброй левоинвариантных операторов в группе.

• 1 Неформальная конструкция
  • 1.1 Свободная ассоциативная алгебра
  • 1.2 Генераторы и отношения
  • 1.3 Поиск базиса
  • 1.4 Формальности
• 2 Формальное определение
  • 2.1 Супералгебры и другие обобщения
• 3 Универсальное свойство
  • 3.1 Другие алгебры
• 4 Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта
  • 4.1 Использование базисных элементов
  • 4.2 Безкоординатный
  • 4.3 Другие алгебры
• 5 Левоинвариантный дифференциал операторы
• 6 Алгебра символов
• 7 Теория представ
• 8 Операторы Казимира
  • 8.1 Ранг
  • 8.2 Пример: группа вращения SO (3)
  • 8.3 Пример: Псевдодифференциальные операторы
• 9 Примеры частных случаев
• 10 Алгебры Хопфа и квантовые группы
• 11 См.
• 12 Ссылки

Идея универсальной обертывающей алгебры, состоящей во вложении алгебры $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$в ассоциативную алгебру $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$с идентичностью в такой как абстрактная скобка или операция в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$соответствует коммутатору $xy\; -\; yx\; \{\backslash \; displaystyle\; xy-yx\}$в $А\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$. Может быть много способов сделать такое вложение, но есть один «самый большой», такой как $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$, называемый универсальной обертывающей алгеброй $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$.

Свободная ассоциативная алгебра

Вспомните определение сначала свободной ассоциативной алгебры, созданное $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$элементы $x\; 1,\dots \; xn.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots\; x\_\; \{n\}.\}$Он состоит из всех виновных линейных комбинаций конечных последовательностей $ximxjn\; \cdots \; xkp\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; ^\; \{m\}\; x\_\; \{\; j\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{k\}\; ^\; \{p\}\}$для произвольных (неотрицательных) целых степеней $m,\; n,\; \cdots ,\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; m,\; n,\; \backslash \; cdots,\; p\}$и индекс, взятый из генератора, т. е. $1\; \le \; i,\; j,\; \cdots ,\; k\; \le \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; i,\; j,\; \backslash \; cdots,\; k\; \backslash \; leq\; n.\}$Других ограничений на индексы нет; их можно повторять и располагать в произвольном порядке. Так, например, $x\; 1\; 2\; x\; 2\; x\; 1\; 6\; x\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{6\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}$может быть допустимым элементом. Других алгебраических ограничений (по определению) нет. В частности, $x\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$не может (не должен) рассматриваться как матрицы или другие алгебраические объекты; они всего лишь символы, лишенные других свойств. Строки символов, например $x\; 1\; 2\; x\; 2\; x\; 1\; 6\; x\; 3\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{6\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\},\}$не может быть меньше уменьшен. Неформальная конструкция будет их использовать.

В формальном определении под свободной ассоциативной алгеброй будет понимать тензорная алгебра, а ассоциативным произведением будет теневое произведение. Обратите внимание, что тензорная алгебра все еще свободна, и элементы тензорной алгебры имеют общий вид, кроме выше. Для текущих практических целей две алгебры фактически одинаковы, и разные могут быть скрыты (для этого неформального введения).

Генераторы и отношения

Пусть $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$будет алгеброй Ли, предполагаемой предназначенной для простоты, с основа $Икс\; 1,\dots \; Икс\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots\; X\_\; \{n\}\}$. Пусть $cijk\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{ijk\}\}$будет структурными константами для этого базиса, так что

$[X\; i,\; X\; j]\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; ncijk\; Х\; к.\; \{\backslash \; displaystyle\; [X\_\; \{i\},\; X\_\; \{j\}]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{ijk\}\; X\_\; \{k\}.\}$

Тогда универсальная обертывающая алгебра - это ассоциативная алгебра (с идентичностью), генерируются элементы $x\; 1,\dots \; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots\; x\_\; \{n\}\}$с учетом отношений

$xixj\; -\; xjxi\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; ncijkxk\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; x\_\; \{j\}\; -x\_\; \{j\}\; x\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{ijk\}\; x\_\; \{k\}\}$

и никаких других отношений.

Рассмотрим, например, алгебру Ли sl (2, C), натянутую на матрицы

$X\; =\; (0\; 1\; 0\; 0)\; Y\; =\; (0\; 0\; 1\; 0)\; ЧАС\; =\; (\; 1\; 0\; 0\; -\; 1),\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; qquad\; Y\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; qquad\; H\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ~,\}$

, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям $[H,\; X]\; Знак\; равно\; 2\; Икс\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; X]\; =\; 2X\}$, $[H,\; Y]\; =\; -\; 2\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; Y]\; =\; -\; 2Y\}$и $[\; X,\; Y]\; =\; H\; \{\backslash \; Displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; H\}$. Универсальная обертывающая алгебра для sl (2, C) является алгеброй, порожденной тогда элементами $x,\; y,\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y,\; h\}$с учетом применений

$hx\; -\; xh\; =\; 2\; x,\; hy\; -\; yh\; =\; -\; 2\; y,\; xy\; -\; yx\; =\; h,\; \{\backslash \; displaystyle\; hx-xh\; =\; 2x,\; \backslash \; quad\; hy-yh\; =\; -2y,\; \backslash \; quad\; xy-yx\; =\; h,\}$

и никаких других отношений. Три элемента $x,\; y,\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y,\; h\}$не имеют дополнительных алгебраических свойств, что согласуется с исходной точкой свободной ассоциативной алгебры. В частности, $x,\; y,\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y,\; h\}$не (не должны) рассматриваться как матрицы; они всего лишь символы. Так, например, $x\; 6\; y\; 2\; x\; h\; 3\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{6\}\; y\; ^\; \{2\}\; xh\; ^\; \{3\}\; y\}$является допустимым представителем ассоциативной алгебры. Его нельзя уменьшить, кроме как путем применения указанных выше соединений. То есть, можно сказать, что

$x\; 6\; y\; 2\; xh\; 3\; y\; =\; x\; 6\; y\; (yx)\; h\; 3\; y\; =\; x\; 6\; y\; (xy\; -\; h)\; h\; 3\; y\; =\; x\; 6\; yxyh\; 3\; y\; -\; x\; 6\; yh\; 4\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{6\}\; y\; ^\; \{2\}\; xh\; ^\; \{3\}\; y\; =\; x\; ^\; \{6\}\; y\; (yx)\; h\; ^\; \{3\}\; y\; =\; x\; ^\; \{6\}\; y\; (xy-h)\; h\; ^\; \{3\}\; y\; =\; x\; ^\; \{6\}\; yxyh\; ^\; \{3\}\; yx\; ^\; \{6\}\; yh\; ^\; \{4\}\; y\}$

, потому что это следует из последнего коммутационного соотношения. Можно свободно применять любые коммутационные препараты в любом порядке и сколь угодно часто. Чего нельзя делать, так это «умножать» символы.

Поиск базиса

В общем, элементы универсальной огибающей алгебры представляют собой линейные комбинации произведений образующих во всех исполнителей порядков. Используя определяющие соотношения универсальной обертывающей алгебры, мы всегда можем переупорядочить эти продукты в определенном порядке, например, сначала со всеми множителями $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$, множители $x\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\}$и т. д. Например, всякий раз, когда у нас есть терминатор $x\; 2\; x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\}$(в «неправильном» порядке), мы можем использовать отношения, чтобы переписать это как $x\; 1\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\}$плюс линейная комбинация из $xj\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{j\}\; \}$. В конечном итоге преобразует любой элемент в линейную комбинацию терминов в возрастающем порядке. Таким образом, элементы вида

$x\; 1\; k\; 1\; x\; 2\; k\; 2\; \cdots \; xnkn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{k\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{k\_\; \{n\}\}\}$

с $kj\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{j\}\}$, являющиеся неотрицательными целыми числами, охватывают охватывающую алгебру. (Мы разрешаем $kj\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{j\}\; =\; 0\}$, что означает, что мы разрешаем термины, в которых нет факторов $xj\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{j\}\}$.) Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта, обсуждаемая утверждает, что эти элементы линейно независимы и, таким образом, составляют основу универсальной обертывающей алгебры. В частности, универсальная обертывающая алгебра всегда бесконечномерна.

Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта подразумевает, в частности, что элементы $x\; 1,\dots ,\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\}$сами линейно независимы. Поэтому часто - если это может сбивать с толку - решения $xj\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{j\}\}$с генераторами $X\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{j\}\}$исходной алгебры Ли. Иными словами, мы идентифицируем исходную алгебру, как подпространство ее универсальной обертыва алгебры, натой на образующие алгебру. Хотя $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$может быть алгеброй $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$матриц, универсальная оболочка $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$не состоит из (конечных) матриц. В частности, не существует конечной алгебры, являющейся универсальной оболочкой $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$; универсальная обертывающая алгебра всегда бесконечномерна. Таким образом, в случае sl (2, C), если мы идентифицируем нашу алгебру как подпространство ее универсальной обертывающей алгебры, мы не должны интерпретировать $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$как матрицы $2\; \times \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; times\; 2\}$, а как символы с другими свойствами (кроме коммутационных системений).

Формальности

Формальная конструкция универсальной обертывающей алгебры берет вышеупомянутые идеи и обертывает их нотациями и терминологией, что делает ее более удобной для работы. Наиболее важным отличием является то, что представляет собой свободная ассоциативная алгебра, представленная в приведенном выше примере сужена до тензорной алгебры, так что представленная символами тензорное произведение. Коммутационные соотношения устанавливаются путем фактора-пространства дифференцированного по наименьшему двустороннему идеалу, содержащему элементы вида $xixj\; -\; xjxi\; -\; \Sigma \; cijkxk\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; x\_\; \{j\; \}\; -x\_\; \{j\}\; x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; Sigma\; c\_\; \{ijk\}\; x\_\; \{k\}\}$. Универсальная обертывающая алгебра - это самая общая унитальная ассоциативная алгебра со скобкой Ли, совместимая с исходной алгеброй Ли.

Напомним, что каждая алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, в частности, векторным пространством. Таким образом, можно построить из нее тензорную алгебру $T\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$. Тензорная алгебра - это свободная алгебра : она просто содержит все возможные тензорные произведения всех векторов в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, без каких-либо ограничений на эти продукты.

То есть строится пространство

$T\; (g)\; =\; K\; \oplus \; g\; \oplus \; (g\; \otimes \; g)\; \oplus \; (g\; \otimes \; g\; \otimes \; g)\; \oplus \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; =\; K\; \backslash ,\; \backslash \; oplus\; \backslash ,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; oplus\; \backslash ,\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash ,\; \backslash \; oplus\; \backslash ,\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash ,\; \backslash \; oplus\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\}$

где $\otimes \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; otimes\}$- тензорное произведение, а $\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oplus\}$- прямая сумма векторных пространств. Здесь K - поле, над которым определена алгебра Ли. Отсюда и до конца этой статьи тензорное произведение всегда отображается явно. Многие авторы опускают его, поскольку на практике его местоположение обычно можно вывести из контекста. Здесь используется очень явный подход, чтобы свести к минимуму любую возможную путаницу в значениях выражений.

Первый шаг в построении - это «поднять» скобку Ли с алгебры Ли (где она определена) до тензорной алгебры (где ее нет), чтобы можно было согласованно работать с алгеброй Ли. скобка двух тензоров. Подъем осуществляется следующим образом. Во-первых, напомним, что операция скобок на алгебре Ли - это любое билинейное отображение $g\; \times \; g\; \to \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\}\}$, который является билинейным, кососимметричным и удовлетворяет тождеству Якоби. Мы хотим определить скобку Ли [-, -], которая является отображением $T\; (g)\; \otimes \; T\; (g)\; \to \; T\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash \; otimes\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash \; to\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$, который также является билинейным, кососимметричным и подчиняется тождеству Якоби.

Подъем можно выполнять поэтапно. Начните определение скобок на $g\; \otimes \; g\; \to \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$как

$a\; \otimes \; b\; -\; b\; \otimes \; a\; =\; [a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; otimes\; bb\; \backslash \; otimes\; a\; =\; [a,\; b]\}$

Это последовательное, связное определение, поскольку обе стороны билинейны, и обе стороны кососимметричны ( тождество Якоби будет вскоре выполнено). Выше указана указанная скобка на $T\; 2\; (g)\; =\; g\; \otimes \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\; \}\}$; теперь его нужно поднять до $T\; n\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{n\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$для произвольного $n.\; \{\backslash \; displaystyle\; n.\}$Это делается рекурсивно путем определения

$[a\; \otimes \; b,\; c]\; =\; a\; \otimes \; [b,\; c]\; +\; [a,\; c]\; \otimes \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; [a\; \backslash \; otimes\; b,\; c]\; =\; a\; \backslash \; otimes\; [b,\; c]\; +\; [a,\; c]\; \backslash \; otimes\; b\}$

и аналогично

$[a,\; b\; \otimes \; c]\; =\; [a,\; b]\; \otimes \; c\; +\; b\; \otimes \; [\; a,\; c]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b\; \backslash \; otimes\; c]\; =\; [a,\; b]\; \backslash \; otimes\; c\; +\; b\; \backslash \; otimes\; [a,\; c]\}$

Несложно проверить, что приведенное выше определение билинейным, и кососимметрична; можно также показать, что он подчиняется тождеству Якоби. Конечный результат состоит в том, что имеется скобка Ли, которая определена на всем $T\; (g);\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\});\}$один говорит, что он «поднял» до всех $T\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$в обычном смысле слова «подъем» с базового пространства (здесь алгебра Ли) на накрывающее пространство (здесь тензорная алгебра).

Результатом этого подъема явным образом является алгебра Пуассона. Это ассоциативная алгебра с единицей со скобкой Ли, которая соответствуета со скобкой алгебры Ли; сведение по конструкции. Однако это не самая маленькая такая алгебра; он содержит гораздо больше элементов, чем нужно. Можно получить что-то меньшее, спроецировав назад. Универсальная обертывающая алгебра $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$из $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$определяется как фактор-пространство

$U\; (g)\; =\; T\; (g)\; /\; \sim \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; =\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; /\; \backslash \; sim\}$

где отношение эквивалентности $\sim \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sim\}$задается как

$a\; \otimes \; b\; -\; b\; \otimes \; a\; =\; [a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; otimes\; bb\; \backslash \; otimes\; a\; =\; [a,\; b]\}$

То есть скобка Ли определяет отношение эквивалентности, используемое для выполнения факторизации. Результатом ассоциативной алгебраической системы, и можно взять скобку любых двух членов. Вычислить результат очень просто, если учесть, что каждый элемент $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$может понять как coset : просто берется скобка, как обычно, и ищется дополнительный класс, отличный результат. Это самая маленькая из таких алгебр; нельзя найти ничего меньшего, что все еще подчинялось бы аксиомам ассоциативной алгебры.

Универсальная обертывающая алгебра - это то, что осталось от тензорной алгебры после модификации структуры алгебры Пуассона. (Это нетривиальное утверждение; тензорная алгебра имеет довольно сложную структуру: это, помимо прочего, алгебра Хопфа ; алгебра Пуассона также довольно сложна со своеобразными свойствами. Согласов с тензорной алгеброй, и поэтому может быть выполнена модификация. это приводит к ее многочисленным новым приложениям, например, в теории формального, не имеет особого значения.)

для некоторых $a,\; b,\; c,\; d,\; f,\; g\; \in \; g.\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c,\; d,\; f,\; g\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}.\}$Все элементы I получаются как линейные комбинации элементов этой. Ясно, что $I\; \subset \; T\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; subset\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$является подпространством. Это идеал в том смысле, что если $j\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; I\}$и $x\; \in \; T\; (g),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}),\}$, затем $j\; \otimes \; x\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; otimes\; x\; \backslash \; in\; I\}$и $x\; \otimes \; j\; \in \; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; otimes\; j\; \backslash \; in\; I.\}$Установление того, что это идеал, важно, потому что это идеалы - это именно те вещи, с которыми можно соотноситься; идеалы лежат в ядре факторного отображения. То есть имеется короткая точная последовательность

$0\; \to \; I\; \to \; T\; (g)\; \to \; T\; (g)\; /\; I\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; I\; \backslash \; to\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash \; to\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; /\; I\; \backslash \; to\; 0\}$

где каждая стрелка является линейной картой, а ядро ​​карты задается изображением предыдущей карты. Тогда универсальная обертывающая алгебра может быть определена как

$U\; (g)\; =\; T\; (g)\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; =\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; /\; I\}$

Супералгебры и другие обобщения

Приведенная конструкция сосредоточена на алгебрах Ли и скобке Ли, а также ее асимметрии и антисимметрии. В какой-то степени эти свойства присущи конструкции. Вместо этого рассмотрим некоторую (произвольную) алгебру (не алгебру Ли) над векторным пространством, то есть внутреннее пространство $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, наделенное умножение $m:\; V\; \times \; V\; \to \; V\; \{\; \backslash \; displaystyle\; m:\; V\; \backslash \; times\; V\; \backslash \; to\; V\}$, который принимает элементы $a\; \times \; b\; \mapsto \; m\; (a,\; b).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; times\; b\; \backslash \; mapsto\; m\; (a,\; b).\}$Если умножение является билинейным, то можно использовать ту же конструкцию и определения. Начинают с подъема $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$до $T\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (V)\}$так, чтобы поднятое $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$подчиняется всем тем же свойствам, что и основание $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- симметрии или антисимметрии или чему-то еще. Подъем выполняется точно так же, как и раньше, начиная с

$m:\; V\; \otimes \; V\; \to \; V\; a\; \otimes \; b\; \mapsto \; m\; (a,\; b)\; \{\backslash \; displayst\; yle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; m:\; V\; \backslash \; otimes\; V\; \backslash \; to\; V\; \backslash \backslash \; a\; \backslash \; otimes\; b\; \backslash \; mapsto\; m\; (a,\; b)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это согласовано именно потому, что тензорное произведение билинейно, а умножение билинейно. Остальная часть подъема выполняется, чтобы сохранить умножение как гомоморфизм . По определению, пишут

$m\; (a\; \otimes \; b,\; c)\; =\; a\; \otimes \; m\; (b,\; c)\; +\; m\; (a,\; c)\; \otimes \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (a\; \backslash \; otimes\; b,\; c)\; =\; a\; \backslash \; otimes\; m\; (b,\; c)\; +\; m\; (a,\; c)\; \backslash \; otimes\; b\}$

, а также то, что

$m\; (a,\; b\; \otimes \; c)\; =\; m\; (a,\; b)\; \otimes \; c\; +\; b\; \otimes \; m\; (\; a,\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (a,\; b\; \backslash \; otimes\; c)\; =\; m\; (a,\; b)\; \backslash \; otimes\; c\; +\; b\; \backslash \; otimes\; m\; (a,\; c)\}$

Это расширение совместимо благодаря апелляции к лемме о свободные объекты : поскольку тензорная алгебра является свободной алгеброй, любой гомоморфизм на ее порождающем множестве может быть расширен на всю алгебру. Все остальное происходит так, как показано выше: по завершении мы получаем ассоциативную алгебру с единицей; можно взять частное любым из двух способов, описанных выше.

Именно так построена универсальная обертывающая алгебра для супералгебр Ли. Нужно только внимательно следить за знаком при перестановке элементов. В этом случае (анти) коммутатор супералгебры поднимается до (анти) коммутирующей скобки Пуассона.

Другая возможность - использовать что-то другое, кроме тензорной алгебры, в качестве покрывающей алгебры. Одна из таких возможностей - использовать внешнюю алгебру ; то есть заменить каждое вхождение тензорного произведения на внешнее произведение. Если базовая алгебра является алгеброй Ли, результатом будет алгебра Герстенхабера ; это внешняя алгебра создает группы Ли. Как и раньше, он имеет оценку , естественно, полученную в результате оценки по внешней алгебре. (Алгебру Герстенхабера не следует путать с супералгеброй Пуассона ; обе вызывают антикоммутации, но по-разному.)

Конструкция также была обобщена для алгебр Мальцева, алгебры Бола и левоальтернативные алгебры.

Универсальная обертывающая алгебра, точная универсальная обертывающая алгебра вместе с каноническим отображением $h:\; g\; \to \; U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$, обладает универсальным свойством . Предположим, у нас есть любые алгебры Ли

$\phi :\; g\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; A\}$

в ассоциативную алгебру A с единицей (со скобкой Ли в A, заданной коммутатор). Более явно, это означает, что мы предполагаем, что

$\phi \; ([X,\; Y])\; =\; \phi \; (X)\; \phi \; (Y)\; -\; \phi \; (Y)\; \phi \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; ([X,\; Y\; ])\; =\; \backslash \; varphi\; (X)\; \backslash \; varphi\; (Y)\; -\; \backslash \; varphi\; (Y)\; \backslash \; varphi\; (X)\}$

для всех $X,\; Y\; \in \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; X,\; Y\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\}\}$. Тогда существует единственный унитальный гомоморфизм алгебры

$\phi \; ^:\; U\; (g)\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; varphi\}\}:\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash \; to\; A\}$

такой, что

$\phi \; =\; \phi \; ^\; \circ \; час\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; circ\; h\}$

, где $h:\; g\; \to \; U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; :\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$- каноническая карта. (Карта $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$получается путем встраивания $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$в его тензорную алгебру, а затем составление с помощью фактор-представления универсальной обертывающей алгебры. Это отображение является вложением по теореме Пуанкаре - Биркгофа - Витта.)

Другими словами, если $\phi :\; g\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; rightarrow\; A\}$- линейное отображение в алгебру с единицей $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$удовлетворение $\phi \; ([X,\; Y])\; знак\; равно\; \phi \; (Икс)\; \phi \; (Y)\; -\; \phi \; (Y)\; \phi \; (X)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; ([X,\; Y])\; =\; \backslash \; varphi\; (X)\; \backslash \; varphi\; (Y)\; -\; \backslash \; varphi\; (Y)\; \backslash \; varphi\; (X)\}$, тогда $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$расширяется до гомоморфизма алгебры $\phi \; ^:\; U\; (g)\; \to \; От\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; varphi\}\}:\; от\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash \; до\; A\}$. <Время $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$получает элементы $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, карта $\phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}$должна однозначно определяться требованием, чтобы

$\phi \; ^\; (X\; i\; 1\; \cdots \; X\; i\; N)\; знак\; равно\; \phi \; (\; Икс\; я\; 1)\; \cdots \; \phi \; (Икс\; я\; N),\; Икс\; ij\; \in \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; varphi\}\}\; (X\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{i\_\; \{N\}\})\; =\; \backslash \; varphi\; (X\_\; \{i\_\; \{1\}\})\; \backslash \; cdots\; \backslash \; varphi\; (X\_\; \{i\_\; \{N\}\}),\; \backslash \; quad\; X\_\; \{i\_\; \{j\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$.

Точка состоит в том, поскольку в универсальной обертывающей алгебре нет других отношений, кроме тех, которые используются из новых коммутации $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, отображения $\phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}$хорошо определен независимо от того, как записывается данный элемент $x\; \in \; U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$как линейная комбинация произведений элементов алгебры Ли.

Универсальное свойство обертывающей алгебры сразу означает, что представление $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, действующее в векторном пространстве $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \}$уникально расширяется до представления $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$. (Возьмем $A\; =\; E\; nd\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; mathrm\; \{End\}\; (V)\}$.) Это наблюдение важно, потому что оно позволяет (как обсуждается ниже) элементам Казимира действовать на $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$. Эти операторы (из центра $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$) как скаляры и требуют информацию о представлении. В этом отношении особенно важен квадратичный элемент Казимира .

тензорная алгебра вектор в векторном пространстве - это свободный функтор из категории векторных пространств Vect в категории алгебр Alg, который сопряжение забывчивым функтором, предоставляющее каждую алгебру в ее базовом пространстве и каждый гомоморфизм алгебры в лежащее в основе линейное отображение. Единицей этого присоединения является естественное преобразование каждого включения каждого пространства V в качестве тензорного произведения первого ранга самого себя в его тензорную алгебру T (V); счетчик - это уникальный гомоморфизм алгебры из свободной алгебры T (Y) на базовом векторном пространстве алгебры Y в Y, полученный вычислением произведений и сумм элементов Y в соответствии с правилами Y умножения.

Пусть T - функтор, набор как композиция функтора тензорной алгебры на векторных пространств, составленная с помощью забывчивого функтора основных пространств алгебр Ли.

Это универсальное свойство универсальных обертывающих алгебр следует из тензорной алгебры как естественное преобразование. То есть существует функтор T из категории алгебр Ли над K в категории унитальных ассоциативных K-алгебр, переводящий алгебру Ли в соответствующую свободную Ли алгебра. Точно так же существует функтор U, переводящий ту же категорию алгебр Ли в ту же категорию ассоциативных K-алгебр с единицей. (Это универсальный обертывающий функтор, более подробно определенно.) Эти два элемента связаны между естественным отображением, которое переводит T в U: это естественное отображение является факторным анализом. Универсальное свойство проходит через естественную карту.

Если A - любая ассоциативная алгебра с единицей, она естественным образом порождает алгебру Ли A L, стандартку Ли за коммутатор на A. Это функтор Ли из категории алгебр Alg в категории алгебр Ли LieAlg над некоторыми основным полем - по сути, это свободный функтор. Функтор U универсальных обертывающих алгебр сопряжен слева с функтором Lie, который отображает алгебру A в алгебру Ли A L. Эти два элемента являются сопряженными, но определенно не обратными : если мы начнем с ассоциативной алгебры A, то U (A L) не равно A; он вообще намного больше. (Если, однако, A является коммутативной алгеброй, A L является тривиальной алгеброй Ли, и ее универсальная обертывающая алгебра вырождается в A.) Единица присоединения - это естественное вложение A в A L. Счетчик присоединения - это фактор универсальной обертывающей алгебры алгебры g с коммутаторной скобкой Ли по любому другому правилу алгебры Ли, например, что X = 0 в sl (2, C) выше. Посредством композиции функторов универсальная обертывающая алгебра строит присоединение между свободной алгеброй Ли на векторном пространстве и забывчивым функтором из алгебр Ли в пространстве пространства.

Другие алгебры

Хотя каноническая конструкция, данное выше, может быть применена к другим алгебрам, результат, как правило, не обладает универсальным свойством. Так, например, когда конструкция применяется к йордановым алгебрам, результирующая обертывающая алгебра содержит специальные йордановы алгебры, но не исключительные: то есть, она не охватывает Альбертовые алгебры. Точно так же теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта, приведенная ниже, строит базис для обертывающей алгебры; это просто не будет универсальным. Аналогичные замечания справедливы для супералгебр Ли.

Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта дает точное описание $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \}\})\}$. Это может быть сделано одним из двух способов: либо ссылаться на явный базис на алгебре Ли, либо безкоординатным способом.

Использование базисных элементов

Один из способов предположить, что алгебре может быть дан полностью упорядоченный базис, то есть это свободное пространство полностью заказанного набора. Напомним, что свободное пространство определяется как пространство всех функций с конечным носителем из множества X в поле K (конечный носитель означает, что только конечное число значений ненулевое); ему может быть дана основа $ea:\; X\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{a\}:\; X\; \backslash \; to\; K\}$такая, что $ea\; (b)\; =\; \delta \; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{\; a\}\; (b)\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ab\}\}$- это индикаторная функция для $a,\; b\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\; \backslash \; in\; X\}$. Пусть $h:\; g\; \to \; T\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$будет инъекцией в тензорную алгебру; это также используется, чтобы дать тензорной алгебре основу. Для произвольной установки $ea\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{a\}\}$is extension $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$быть

$час\; (ea\; \otimes \; eb\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; ec)\; =\; час\; (ea)\; \otimes \; час\; (eb)\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; час\; (ec)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (e\_\; \{a\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{b\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{c\})\; =\; h\; (e\_\; \{a\})\; \backslash \; otimes\; h\; (e\_\; \{b\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; h\; (e\_\; \{c\})\}$

Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта, тогда говорится, что можно получить основу для $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$из приведенного выше, применяя общий порядок X в алгебре. То есть $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$имеет основу

$ea\; \otimes \; eb\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; ec\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{a\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{b\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{c\}\}$

где $a\; \le \; b\; \le \; \cdots \; \le \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; leq\; b\; \backslash \; leq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; leq\; c\}$, причем порядок соответствует полному порядку на множестве X. Доказательство теоремы включает в себя отметку, что если начать с неупорядоченных базисных элементов, их всегда можно поменять местами с помощью коммутатора (вместе с структурные константы ). Сложная часть доказательства состоит в том, чтобы установить, что конечный результат уникален и не зависит от порядка, в котором были выполнены перестановки.

Этот базис следует легко распознать как основу симметрической алгебры. То есть базовые векторные пространства $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$и симметрической алгебры изоморфны, и именно теорема PBW показывает что это так. См., Однако, раздел об алгебре символов ниже для более точного определения природы изоморфизма.

Возможно, полезно разделить процесс на два этапа. На первом этапе конструируется свободная алгебра Ли : это то, что он получает, если модифицируется всеми коммутаторами, без указания значений коммутаторов. Второй шаг - применить определенные коммутационные соотношения из $g.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}.\}$Первый шаг универсален и не зависит от конкретного $g.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}.\}$Его также можно точно определить: базовые элементы задаются словами Холла, частным случаем которых являются Слова Линдона ; они явно построены так, чтобы вести себя соответствующим образом как коммутаторы.

Безкоординатный

Можно также сформулировать теорему безкоординатным способом, избегая использования общих порядков и базисных элементов. Это удобно, когда есть трудности с определением базисных векторов, как это может быть для бесконечномерных алгебр Ли. Это также дает более естественную форму, которую легче распространить на другие виды алгебр. Это достигается путем построения фильтрации $U\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, пределом которого является универсальная обертывающая алгебра $U\; (\; грамм).\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}).\}$

Во-первых, необходимо обозначить восходящую последовательность подпространств тензорной алгебры. Пусть

$T\; mg\; =\; K\; \oplus \; g\; \oplus \; T\; 2\; g\; \oplus \; \cdots \; \oplus \; T\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; =\; K\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; oplus\; T\; ^\; \{2\; \}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; cdots\; \backslash \; oplus\; T\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$

где

$T\; mg\; =\; T\; \otimes \; mg\; =\; g\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; =\; T\; ^\; \{\backslash \; otimes\; m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$

- это m-кратное тензорное произведение $g.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}.\}$$T\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$образуют фильтрация :

$К\; \subset \; g\; \subset \; T\; 2\; g\; \subset \; \cdots \; \subset \; T\; mg\; \subset \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; subset\; T\_\; \{2\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; cdots\; \backslash \; subset\; T\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; cdots\}$

Точнее, это фильтрованная алгебра, поскольку фильтрация сохраняет алгебраические свойства подпространств. Обратите внимание, что предел этой фильтрации - это тензорная алгебра $T\; (g).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}).\}$

Выше уже было установлено, что факторизация по идеалу - это естественное преобразование, которое берет единицу из $T\; (g)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$до $U\; (г).\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}).\}$Это также естественно работает с подпространствами, поэтому получается фильтрация $U\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \}$, предел которой является универсальной обертывающей алгебра $U\; (g).\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}).\}$

Затем определите пространство

$G\; mg\; =\; U\; mg\; /\; U\; m\; -\; 1\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; =\; U\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; /\; U\_\; \{m-1\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$

Это пространство $U\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \}$по модулю всех подпространств $U\; ng\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{n\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$со строго меньшей степенью фильтрации. Обратите внимание, что $G\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$совсем не то же самое, что t ведущий член $U\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$фильтрация, как можно наивно предположить. Он не создается с помощью механизма вычитания множества, связанного с фильтрацией.

Quotienting $U\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$по $U\; m\; -\; 1\; г\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m-1\; \}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$имеет эффект установки всех коммутаторов Ли, определенных в $U\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$в ноль. Это можно увидеть, заметив, что коммутатор пары элементов, продукты которых лежат в $U\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, фактически дает элемент в $U\; м\; -\; 1\; г\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m-1\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Возможно, это не сразу очевидно: чтобы получить такой результат, нужно многократно применить коммутационные соотношения и крутить рукоятку. Суть теоремы Пуанкаре - Биркгофа - Витта заключается в том, что всегда можно сделать и что результат уникален.

Смесаторы элементов, продукты которые используются в $U\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, лежат в $U\; m\; -\; 1\; г\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{m-1\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, частное, определяющее $G\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$приводит к обнулению всех коммутаторов. PBW утверждает, что коммутатор элементов в $G\; m\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$обязательно равенство нулю. Остались элементы, которые нельзя выразить как коммутаторы.

Таким образом, можно сразу перейти к симметрической алгебре. Это алгебра, в которой все коммутаторы обращаются в нуль. Его можно определить как фильтрацию $S\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$симметричных тензорных произведений $Sym\; m\; \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Сим\}\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Его предел - симметричная алгебра $S\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$. Он построен на апелляции к тому же понятию естественности, что и раньше. Каждый начинает с той же тензорной алгебры и просто использует, идеал, который заставляет все элементы сделать:

$S\; (g)\; =\; T\; (g)\; /\; (a\; \otimes \; b\; -\; b\; \otimes \; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\; \backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; =\; T\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; /\; (a\; \backslash \; otimes\; bb\; \backslash \; otimes\; a)\}$

Таким образом, можно рассматривать теорему Пуанкаре - Биркгофа - Витта как утверждающую, что <222 G (g) {\ displaystyle G ({\ mathfrak {g}})}изоморфна симметричной алгебре $S\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$, и как векторное пространство, и как коммутативная алгебра.

$G\; m\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$также образуют фильтрованную алгебру; его предел равенства $G\; (г).\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}).\}$Это связанная градуированная алгебра фильтрация.

Конструкция, приведенная выше, из-за использования в ней частного, подразумевает, что предел $G\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$равенство изоморфна $U\; (г).\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}).\}$В более общих настройках при ослабленных условиях обнаруживается, что $S\; (g)\; \to \; G\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash \; to\; G\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$- это проекция, и затем получаются теоремы типа PBW для собственной градуированной алгебры отфильтрованной алгебра. Чтобы подчеркнуть это, обозначение $gr\; \; U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{gr\}\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$иногда используется для $G\; (g),\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}),\}$служит для напоминания о том, что это отфильтрованная алгебра.

Другие алгебры

Теорема, примененная к йордановым алгебрам, дает внешнюю алгебру, а не симметрическую алгебру. По сути, конструкция обнуляет антикоммутаторы. Полученная алгебра является обертывающей алгеброй, но не универсальной. Как упоминалось выше, он не может охватывать исключительные йордановы алгебры.

Предположим, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- действующая группа Ли с алгеброй Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\}\}$. Следуя современному подходу, мы идентифицировали $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$с пространством левоинвариантных векторных полей (т. Е. Левоинвариантных разных операторов первого оператора). В частности, если мы изначально думаем о $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$как о касательном пространстве к $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$в identity, то каждый вектор в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$имеет уникальное левоинвариантное расширение. Затем мы отождествляем вектор в касательном пространстве с соответствующим левоинвариантным векторным полем. Теперь коммутатор двух левоинвариантных векторных полей снова является векторным полем и снова левоинвариантным. Затем мы можем определить скобку для $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$как коммутатор для связанных левоинвариантных векторных полей. Это определение согласуется с любым другим стандартным определением структуры скобок на алгебре Ли группы Ли.

Затем мы рассматриваем левоинвариантные дифференциальные операторы произвольного порядка. Каждый такой оператор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$может быть выражен (не однозначно) как линейная комбинация произведений левоинвариантных векторных полей. Набор всех левоинвариантных операторов $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$образует алгебру, обозначенную $D\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (G)\}$. Можно показать, что $D\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (G)\}$изоморфен универсальной обертывающей алгебре $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$.

В случае, когда $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$возникает алгебра Ли действительной группы Ли, можно использовать левоинвариантный дифференциал операторы для аналитического доказательства теоремы Пуанкаре - Биркгофа - Витта. В частности, алгебра $D\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (G)\}$левоинвариантных дифференциальных операторов включает элементы (левоинвариантными векторными полями), которые удовлетворяют коммутационным соотношениям $г\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Таким образом, по универсальному своемуству обертывающей алгебры $D\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (G)\}$является частным от $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}))\})\}$. Таким образом, если базисные элементы PBW линейно независимой в $D\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (G)\}$- что можно установить аналитически - они обязательно должны быть линейно в $U\; (ж)\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$. (И в этот момент изоморфизм $D\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (G)\}$с $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$очевидно.)

Базовое векторное пространство $S\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$можно сделать новую структуру алгебры, чтобы $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$и $S\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\; \backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$изоморфны как ассоциативные алгебры. Это приводит к концепции алгебры символов $\star \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$: симметричные многочлены, наделенные произведением $\star \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\}$, помещает алгебраическую форму алгебры, что в остальном является стандартной ассоциативной алгеброй. То есть то, что затмевает теорема PBW (коммутационные соотношения), алгебрационные возвращает в центр внимания.

Алгебра происходит путем взятия элементов $S\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$и замены каждого генератора $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$неопределенной коммутирующей стандартной $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$для достижений пространства симметричных многочленов $K\; [ti]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [t\_\; \{\; i\}]\}$над полем $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$. Действительно, соответствие тривиально: просто заменяют символ $t\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$на $e\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$. Полученный многочлен называется символом соответствующий элемент $S\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$. Обратное отображение:

$w:\; \star \; (g)\; \to \; U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; w:\; \backslash \; star\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \backslash \; к\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$

который заменяет каждый символ $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$на $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$. Алгебраическая структура получается путем требований, чтобы произведение $\star \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\}$действовало как изоморфизм, то есть так, чтобы

$w\; (p\; \star \; q)\; =\; w\; (p)\; \otimes \; вес\; (\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (p\; \backslash \; star\; q)\; =\; w\; (p)\; \backslash \; otimes\; w\; (q)\}$

для многочленов $p,\; q\; \in \; \star \; (g).\; \{\backslash \; displaystyle\; p,\; q\; \backslash \; in\; \backslash \; star\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}).\}$

Основная проблема с этой конструкцией заключается в том, что $w\; (p)\; \otimes \; w\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (p)\; \backslash \; otimes\; w\; (q)\}$нетривиально, по сути является членом $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$, как написано, и что нужно выполнить утомительную перестановку базовых элементов (применяя структурные константы по мере необходимости), чтобы получить элемент $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$в должным образом упорядоченный виде. Для этого продукта можно дать явное выражение: это формула Березина . По это следует из существа формулы Бейкера - Кэмпбелла - Хаусдорфа для произведений двух элементов группы Ли.

Выражение в замкнутой форме задается следующим образом:

$p\; (t)\; \star \; q\; (t)\; =\; exp\; \; (t\; i\; m\; i\; (\partial \; \partial \; u,\; \partial \; \partial \; v))\; p\; (u)\; q\; (v)\; |\; U\; знак\; равно\; v\; знак\; равно\; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; р\; (т)\; \backslash \; звезда\; q\; (т)\; =\; \backslash \; влево.\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (t\_\; \{i\}\; m\; ^\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; u)\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; p\; (u)\; q\; (v)\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; \_\; \{u\; =\; v\; =\; t\}\}$

где

$м\; (A,\; B)\; знак\; равно\; журнал\; \; (е\; A\; е\; В)\; -\; A\; -\; B\; \{\; \backslash \; displaystyle\; m\; (A,\; B)\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{A\}\; e\; ^\; \{B\}\; \backslash \; right)\; -AB\}$

и $mi\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; ^\; \{i\}\}$равно $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$в выбранном базисе.

Универсальной обертывающей алгеброй алгебры Гейзенберга является алгебра Вейля (по модулю отношения, согласно которому центр является единицей); здесь продукт $\star \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\}$называется произведением Мойала.

Универсальная охватывающая алгебра сохраняя теорию представлений: представления из $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$взаимно однозначно соответствуют модулям над $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\})\})\}$. Говоря более абстрактно, абелева категория всех представлений из $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$является изоморфной к абелевой категории всех левых модулей над $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$.

Теория представлений полупростых алгебр Ли основана на наблюдении изоморфизма, известного как произведение Кронекера :

$U\; (g\; 1\; \oplus \; g\; 2)\; \cong \; U\; (g\; 1)\; \otimes \; U\; (g\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \}\}\; \_\; \{2\})\; \backslash \; cong\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{1\})\; \backslash \; иногда\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{2\})\}$

для алгебр Ли $г\; 1,\; г\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{1\},\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{2\}\}$. Изоморфизм следует из подъема вложения

$i\; (g\; 1\; \oplus \; g\; 2)\; =\; i\; 1\; (g\; 1)\; \otimes \; 1\; \oplus \; 1\; \otimes \; i\; 2\; (g\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{2\})\; =\; i\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{1\})\; \backslash \; otimes\; 1\; \backslash \; oplus\; 1\; \backslash \; otimes\; i\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \}\}\; \_\; \{2\})\}$

где

$i:\; g\; \to \; U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; i:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$

- это просто каноническое вложение (с индексами соответственно для первой и второй алгебр). Легко проверить, что это вложение поднимается, приведенный выше рецепт. См., Однако, обсуждение структуры биалгебры в статье о тензорных алгебрах для обзора некоторых тонкостей этого: в частности, произведение тасования, используемое там, соответствует коэффициентам Вигнера-Рака, т.е. 6j и 9j-символы и т. д.

Также важно, что универсальная обертывающая алгебра свободная Ли алгебра изоморфна свободная ассоциативной алгебре.

Построение представлений обычно осуществляется путем построения модулей Verma из наивысших весов.

В типичном контексте, где $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$действует посредством бесконечно малых преобразований, элементов $U\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$как дифференциальные операторы всех порядков. (См. Например, Операционной универсальной обертывающей алгебры как левоинвариантных дифференциальных операторов на ассоциированной группе, как обсуждалось выше.)