Диаграмма Дынкина

редактировать

Пикторальное представление симметрии

В поле математика раздела Теория Ли, диаграмма Дынкина, названная в честь Евгения Дынкина, представляет собой тип графа с некоторыми ребрами, удвоенными или утроенными (нарисованными как двойная или тройная линия). Множественные ребра, в пределах определенных ограничений, вовремя.

. Конечные диаграммы Дынкина.

. Аффинные (расширенные) диаграммы Дынкина.

Основной интерес к диаграммам Дынкина - это как средство классификации полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями. Это дает начало группам Вейля, то есть многим (хотя не всем) конечным группам отражений. Диаграммы Дынкина могут возникать и в других контекстах.

Термин «диаграмма Дынкина» может быть неоднозначным. В некоторых случаях диаграммы Дынкина предполагаются направленными, и в этом случае они соответствуют системам корней и полупростым алгебрам, в то время как в других случаях, что они неориентированы, и в этом случае они соответствуют Группам Вейля; ориентированные диаграммы $B n {\ displaystyle B_ {n}}$ $B_{n}$ и $C n {\ displaystyle C_ {n}}$ $C_{n}$ образуют одну и ту же неориентированную диаграмму с соответствующим название $BC сущ. {\ displaystyle BC_ {n}.}$ $BC_{n}.$ В этой статье «диаграмма Дынкина» означает направленную диаграмму Дынкина, неориентированные диаграммы Дынкина будут явно названы так.

Содержание

1 Классификация полупростых алгебр
2 Связанные классификации
- 2.1 Пример: A2
3 Ограничение из корневых систем
4 Ограничения
5 Связь с диаграммами Кокстера
6 Изоморфизмы
7 Автоморфизмы
- 7.1 Построение групп Ли с помощью диаграммных автоморфизмов
- 7.2 Складывание
8 Другие карты диаграмм
9 Простые кружева
10 Диаграммы Сатаке
11 История
12 Условные обозначения
13 Диаграммы Дынкина ранга 2
14 Конечные диаграммы Дынкина
15 Аффинные диаграммы Дынкина
16 Гиперболические и более высокие диаграммы Дынкина
- 16.1 Компактные гиперболические диаграммы Дынкина
- 16.2 Некомпактные расширенные формы)
- 16.3 238 Гиперболические группы (компактные и некомпактные)
- 16.4 Очень расширенные
17 См. также
18 Примечания
19 Ссылки
20 Внешние ссылки

Классификация полупростых Алгебры Ли

Фундаментальный интересный диаграммам Дынкина состоит в том, что они классифицируют полупростые алгебры Ли над алгеброй. только закрытые поля. Такие алгебры классифицируются по их системе , которая может быть представлена диаграммой Дынкина. Затем диаграммы Дынкина классифицируются в соответствии с ограничениями, которыми они должны удовлетворять, как указанные ниже.

Уменьшение направления на ребрах графа соответствует замене основной системы конечной группой отражений, которую она генерирует так называемой группой Вейля, и, следовательно, неориентированной Дынкиной диаграммы классифицируют группы Вейля.

У них есть следующее соответствие для алгебр Ли, связанных с классическими группами над комплексными числами:

$A n: {\ displaystyle A_ {n}:}$ $A_{n}:$ $sln + 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$ ${\mathfrak {sl}}_{{n+1}}$ , специальная линейная алгебра Ли .
$B n: {\ displaystyle B_ {n}:}$ $B_{n}:$ $итак 2 n + 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1}}$ ${\mathfrak {so}}_{{2n+1}}$ , нечетномерная специальная ортогональная алгебра Ли.
$C n: {\ displaystyle C_ {n}:}$ $C_{n}:$ $sp 2 n {\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n}}$ ${\mathfrak {sp}}_{{2n}}$ , симплектическая алгебра Ли.
$D n: {\ displaystyle D_ {n}:}$ $D_{n}:$ $итак 2 n {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n}}$ ${\mathfrak {so}}_{{2n}}$ , четномерная специальная ортогональная алгебра Ли ( $n>1 {\ displaystyle n>1}$ $n>1$ ).

Для исключительных групп алгебры Ли и свойств с ней диагр. совпадают.

Связанные классификации

Диаграммы Дынкина можно интерпретировать как класси множества различных связанных объектов, и обозначение «A n, B n,... "используется для обозначения всех таких интерпретаций, в зависимости от контекста; эта двусмысленность может сбивать с толку.

Основная классификация состоит в том, что простая алгебра Ли имеет корневую систему, с которой связана (ориентированная) диаграмма Дынкина ; все три из них могут быть обозначены, например, как B n.

Неориентированная диаграмма Дынки представляет собой диаграммы Кокстера и соответствует группе Вейля, которая является указанными конечными отражениями Таким образом, B n может относиться к неориентированной диаграмме (особый вид диаграммы Кокстера), группе Вейля (конкретной группе отражений) или абстрактной группе Кокстера.

Хотя группа Вейля абстрактно изоморфна группа Кокстера, конкретный изоморфизм зависит от упорядоченного выбора простых корней. Помните также, что, хотя изображения диаграммы Дынкина стандартизированы, диаграмма Кокстера и обозначенные группируются и иногд. а согласуются с обозначениями диаграммы Дынкина, а иногда нет.

Наконец, связанные объекты связаны одним и тем же обозначением, хотя это не всегда может быть сделано регулярно. Примеры включают:

корневую решетку , сгенерированную системную систему, как и в E8решетку. Это определено естественным образом, но не взаимно однозначно - например, A 2 и G 2 оба генерируют гексагональную решетку.
Связанный многогранник - например Многогранник Gosset 4 21 может называться «многогранником E 8 », поскольку его вершины являются производными от корня E 8 система и имеет группу Кокстера E 8 в качестве группы симметрии.
Соответствующая квадратичная форма или многообразие - например, E8имеет многообразие форму пересечения, заданный решеткой E 8.

Эти последние вместо обозначения в основном используются для объектов, связанных с исключительными диаграммами - объекты, связанные с обычными диаграммами (A, B, C, D), имеют традиционные имена.

Индекс (n) равен количеству узлов на диаграмме, количеству простых корней в базисе, размеру основного решетки и размаху основного системы, количеству генераторов Группа Кокстера и ранг алгебры Ли. Не равно размерности определяющего модуля (фундаментального представления ) алгебры Ли - индекс на диаграмме Дынкина не следует путать с индексом на алгебре Ли. Например, $B 4 {\ displaystyle B_ {4}}$ $B_{4}$ соответствует $, поэтому 2 ⋅ 4 + 1 = so 9, {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2 \ cdot 4 + 1} = {\ mathfrak {so}} _ {9},}$ ${\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},$ который естественным образом действует в 9-мерном пространстве, но имеет ранг 4 как алгебра Ли.

просто зашнурованные диаграммы Дынкина, те, у которых нет кратных ребер (A, D, E), классифицируют многие математические объекты; см. обсуждение на классификации ADE.

Пример: A2

Корневая система

A 2 {\ displaystyle A_ {2}}

A_{2}

Например, символ $A 2 {\ displaystyle A_ {2}}$ $A_{2}$ может относиться к:

диаграмме Дынкина с 2 соединенными узлами, , которую также можно интерпретировать как Диаграмма Кокстера.
Корневая система с двумя простыми корнями в $2 π / 3 {\ displaystyle 2 \ pi / 3}$ $2\pi /3$ (120 градусов) угол.
Алгебра Ли $sl 2 + 1 = sl 3 {\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2 + 1} = {\ mathfrak {sl}} _ { 3}}$ ${\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}$ ранга 2.
Группа Вейля симметрий корней (отражения в гиперплоскости, ортогональной к корням), изоморфная симметричная группа $S 3 {\ displaystyle S_ {3}}$ $S_{3}$ (порядок 6).
Аннотация Группа Кокстера, представленная образующими и соотношениями, $⟨r 1, r 2 ∣ (r 1) 2 = (r 2) 2 = ( rirj) 3 = 1⟩. {\ displaystyle \ left \ langle r_ {1}, r_ {2} \ mid (r_ {1}) ^ {2} = (r_ {2}) ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {3} = 1 \ right \ rangle.}$ $\left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle.$

Построение из корневых систем

Рассмотрим корневую систему, которая считается редуцированной и цельной (или «кристаллографической»). Во приложениях эта корневая система возникает полупростой алгебры Ли. Пусть $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ будет набором положительных простых корней. Затем мы строим диаграмму из $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ следующим образом. Сформируйте граф с одной вершиной для каждого элемента $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ . Затем вставьте ребра между каждой парой вершин по следующему рецепту. Если корни, соответствующие вершинам, ортогональны, между вершинами нет ребра. Если угол между двумя корнями составляет 120 градусов, мы помещаем одно ребро между вершинами. Если 135 градусов, мы ставим две кромки, а если угол 150 градусов, мы ставим три кромки. (Эти четыре случая исчерпывают все возможные углы между парами положительных простых корней.) Наконец, если есть какие-либо ребра между данной парой вершин, мы украшаем их стрелкой, указывающей от вершины, представляющей собой более длинное корню, к вершине, форме вершине короче. (Стрелка опускается, если корни имеет одинаковую длину.) Думая о стрелке как о знаке «больше чем», становится ясно, в каком направлении должна идти стрелка. Диаграммы Дынкина приводят к классификации корневых систем. Углы и отношения между корнями связаны с. Таким образом, ребра для неортогональных корней в качестве альтернативы можно описать как одно ребро для отношения длины 1, два ребра для отношения длины $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\sqrt {2}}$ и три ребра для Отношение длины $3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\sqrt {3}}$ . (Нет ребер, когда корни ортогональны, независимо от соотношения длин.)

В основной системе A2, показанной справа, корни, помеченные $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\beta$ образуют основу. Эти два корня установлены под углом 120 градусов (с отношением длины 1), диаграмма Дына состоит из двух вершин, соединенных одним ребром: .

Ограничения

Диаграммы Дынкина удовлетворять ограничения определеннымм; по сути, это те, которые удовлетворяют конечные диаграммы Кокстера - Дынкина вместе с дополнительным кристаллографическим ограничением.

Связь с диаграммами Кокстера

Диаграммы Дынки связаны с диаграммами Кокстера конечных групп Кокстера, и терминология часто объединяется.

Диаграммы Дынкина отличаются от диаграмм Кокстера конечных групп в двух важных отношениях:

Частично направлено: Диаграммы Дынкина частично задействовано - любое кратное ребро (в терминах Кокстера, помеченное с "4" или выше) имеет направление (стрелка, указывающая от одного узла к другому); таким образом, диаграммы Дынкина содержат больше данных, чем лежащая в их основе диаграмма Кокстера (неориентированный граф).; На уровне корневых систем направление соответствует направлению к более короткому вектору; ребра с меткой «3» не направления, поскольку соответствующие нормы должны иметь одинаковую длину.
Кристаллографическое ограничение: Диаграммы Дынки должны использовать дополнительное ограничение, а именно, что единственными допустимыми краевыми метками являются 2, 3, 4 и 6, ограничение, не разделяемое диаграмма Кокстера, поэтому не разделяемая диаграмма Кокстера конечной группы происходит от диаграммы Дынкина.; На уровне корневых систем это соответствует теорема о кристаллографическом ограничении, поскольку корни образуют решетку.

Еще одно отличие, которое носит чисто стилистический характер, состоит в том, что диаграммы Дынки обычно рисуются двойными или тройными ребрами между узлами (для p = 4, 6), а не чем край, помеченный буквой "p".

Термин «диаграмма Дынкина» иногда относится к ориентированному графу, иногда к неориентированному графу. Для точности в этой статье «диаграмма Дынкина» будет означать направленный, лежащий в основе неориентированный граф будет называться «неориентированной диаграммой Дынкина». Тогда диаграммы Дынкина и диаграммы Кокстера могут быть связаны следующим образом:

	кристаллографическая	точечная группа
направленная	диаграммы Дынкина
неориентированные	неориентированные диаграммы Дынкина	Диаграммы Кокстера конечных групп

Под этим подразумевается, что диаграммы Кокстера конечных групп соответствуют точечным группам <468, порожденным отражением, тогда как диаграммы Дынкина должны удовлетворить дополнительное ограничение, соответствующее теорема о кристаллографе ограничении, и что диаграммы Кокстера неориентированы, а диаграммы Дынкина (частично) возникли.

Соответствующие математические объекты, классифицируемые на диаграммах, следующие:

	кристаллографическая	точечная группа
направленная	корневые системы
неориентированные	группы Вейля	конечные Группы Кокстера

Пробел в верхней части, соответствующей ориентированным графам с нижним неориентированным графом любой диаграммой Кокстера (конечной группы), может быть определен формально, но мало обсуждается, похоже, не допускает простой интерпретации точки зрения интересующих математических объектов.

Внизу есть естественные карты - от диаграмм Дынкина до ненаправленных диаграмм Дынкина; соответственно, от корневых систем к ассоциированным группам Вейля - и справа - от неориентированных диаграмм Дынкина к диаграммам Кокстера; соответственно от групп Вейля к конечным группам Кокстера.

Нисходящая карта соответствует (по определению), но не взаимно однозначна, поскольку диаграммы B n и C n соответствуют одной и той же неориентированной диаграмме, с полученной диаграммой Кокстера и группой Вейля, таким образом, иногда обозначаемой BC n.

Правое отображение - это просто включение - неориентированные диаграммы Дынки являются частными случаями отдельных диаграмм Кокстера, а группы Вейля являются частными случаями конечных групп Кокстера - и не каждая особая диаграмма Кокстера неориентированной диаграммой Дынкина (пропущенные диаграммы: H 3, H 4 и I 2 (p) для p = 5 p ≥ 7), и, соответственно, не всякая конечная группа Кокстера является группой Вейля.

Изоморфизмы

Исключительные изоморфизмы связанных диаграмм Дынкина.

Диаграммы Дынкина условно нумеруются так, чтобы список не был избыточным: $n ≥ 1 {\ displaystyle n \ geq 1}$ $n\geq 1$ для $A n, {\ displaystyle A_ {n}, }$ $A_{n},$ $n ≥ 2 {\ displaystyle n \ geq 2}$ $n\geq 2$ для $В n, {\ displaystyle B_ {n},}$ $B_{n},$ $n ≥ 3 {\ displaystyle n \ geq 3 }$ $n\geq 3$ для $C n, {\ displaystyle C_ {n},}$ $C_{n},$ $n ≥ 4 {\ displaystyle n \ geq 4}$ $n\geq 4$ для $D n, {\ displaystyle D_ {n},}$ $D_{n},$ и $E n {\ displaystyle E_ {n}}$ $E_{n}$ начиная с $n = 6. {\ displaystyle n = 6.}$ $n=6.$ Однако семейства могут быть для меньшего n, что дает исключительные изоморфизмы диаграммы и соответствующие исключительные изоморфизмы алгебр Ли и ассоциированных групп Ли.

Тривиально можно начать семью с $n = 0 {\ displaystyle n = 0}$ $n=0$ или $n = 1, {\ displaystyle n = 1,}$ $n=1,$ , которые в этом случае изоморфны, поскольку имеется уникальная пустая диаграмма и уникальная 1-узелая диаграмма. Другие изоморфизмы связных диаграмм Дынкина:

$A 1 ≅ B 1 ≅ C 1 {\ displaystyle A_ {1} \ cong B_ {1} \ cong C_ {1}}$ $A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}$
$B 2 ≅ C 2 {\ displaystyle B_ { 2} \ cong C_ {2}}$ $B_{2}\cong C_{2}$
$D 2 ≅ A 1 × A 1 {\ displaystyle D_ {2} \ cong A_ {1} \ times A_ {1}}$ $D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}$
$D 3 ≅ A 3 {\ displaystyle D_ {3} \ cong A_ {3}}$ $D_{3}\cong A_{3}$
$E 3 ≅ A 1 × A 2 {\ displaystyle E_ {3} \ cong A_ {1} \ times A_ {2}}$ $E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}$
$E 4 ≅ A 4 {\ displaystyle E_ {4} \ cong A_ {4}}$ $E_{4}\cong A_{4}$
$E 5 ≅ D 5 {\ displaystyle E_ {5} \ cong D_ {5}}$ $E_{5}\cong D_{5}$

Эти изоморфизмы соответствуют изоморфизму простых и полупростые алгебры Ли, которые также соответствуют некоторым изоморфизмам их групповых форм Ли. Они также содержат контекст семейству En.

Автоморфизмы

Самая симметричная диаграмма Дынкина - это D 4, что дает начало тройственности.

в дополнение к изоморфизму между различными диаграммами, некоторыми диаграммы также имеют самоизоморфизмы или «автоморфизмы ». Диаграммные автоморфизмы соответствуют внешним автоморфизмам алгебры Ли, что означает, что группа внешних автоморфизмов Out = Aut / Inn равна группе диаграммных диаграмм.

Диаграммы, которые имеют нетривиальные автоморфизмы, представляют собой A n( $n>1 {\ displaystyle n>1}$ $n>1$ ), D n( $n>1 {\ displaystyle n>1}$ $n>1 » class =$ ) и E 6. Во всех этих случаях, за исключением D 4, имеется единственный нетривиальный автоморфизм (Out = C 2, циклическая группа порядка 2), а для D 4, группа автоморфизмов - это симметрическая группа на трех буквах (S 3, порядок 6) - это явление известно как «тройственность ». Бывает, что все эти автоморфизмы диаграмм могут быть реализованы как евклидовы симметрии того, как диаграммы обычно рисуются на плоскости, но это просто артефакт того, как они нарисованы, а не внутренняя структура.

An.

Для A n автоморфизм диаграммы переворачивает диаграмму, которая является линией. Узлы диаграммы индексируют фундаментальные веса, которые (для A n - 1) равны $⋀ i C n {\ displaystyle \ bigwedge ^ {i} C ^ {n}}$ $\bigwedge ^{i}C^{n}$ для $i = 1,…, n {\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$ $i=1,\dots,n$ , автоморфизм диаграммы соответствует двойственности $⋀ i C n ↦ ⋀ n - i C n. {\ displaystyle \ bigwedge ^ {i} C ^ {n} \ mapsto \ bigwedge ^ {ni} C ^ {n}.}$ $\bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.$ Реализован как алгебра Ли $sln + 1, {\ displaystyle { \ mathfrak {sl}} _ {n + 1},}$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1},$ внешний автоморфизм может быть выражен как отрицательное транспонирование, $T ↦ - TT {\ displaystyle T \ mapsto -T ^ {\ mathrm {T }}}$ $T\mapsto -T^{\mathrm {T} }$ , как действует двойное представление.

Dn.

Для D n автоморфизм диаграммы переключает два узла в конце Y и соответствует для переключения двух представлений спина хирала . Реализованный как алгебра Ли $, поэтому 2 n, {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n},}$ ${\mathfrak {so}}_{2n},$ внешний автоморфизм может быть выражен как сопряжение с помощью матрицы в O (2n) с определителем −1. $A 3 ≅ D 3, {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {3} \ cong \ mathrm {D} _ {3},}$ $\mathrm {A} _{3}\cong \mathrm {D} _{3},$ , поэтому их автоморфизмы совпадают, а $D 2 ≅ A 1 × A 1, {\ displaystyle \ mathrm {D} _ {2} \ cong \ mathrm {A} _ {1} \ times \ mathrm {A} _ {1},}$ $\mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1},$ который отключен, и автоморфизм соответствует переключению двух узлов.

Для D 4 фундаментальное представление изоморфно двум представлениям спинов, и результирующая симметрическая группа состоит из трех букв (S 3, или, альтернативно, группа диэдра порядка 6, Dih 3) соответствует как автоморфизмам алгебры Ли, так и автоморфизмам диаграммы.

E6.

Группа автоморфизмов E 6 соответствует переворачиванию диаграммы и может быть выражена с помощью йордановых алгебр.

Несвязные диаграммы соответствуют полупростым автоморфизмам, которые имеют компоненты обмена компонентами диаграммы.

В характеристике 2 стрелку на F 4 можно игнорировать, что дает дополнительные автоморфизм диаграммы и соответствующие группы Сузуки - Ри.

В положительной характеристике имеются дополнительные «диаграммные морфизмы» »- грубо говоря, в характеристике p иногда разрешается игнорировать стрелку в диаграмме Дынкина при взятии диаграммных автоморфизмов. Таким образом, в характеристике 2 имеется автоморфизм порядка 2 для $B 2 ≅ C 2 {\ displaystyle \ mathrm {B} _ {2} \ cong \ mathrm {C} _ {2}}$ $\mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}$ и из F 4, а в характеристике 3 имеется автоморфизм порядка 2 из G 2. Но не во всех случаях: например, такие автоморфизмы не должны возникать как автоморфизмы алгебраической группы, а скорее на уровне точек, оцененных в конечном поле.

Построение групп Ли с помощью автоморфизмов диаграмм

Диаграммные автоморфизмы, в свою очередь, приводят к дополнительным группам Ли и группам лиева типа, которые имеют центральное значение в классификации конечных простых группы.

Конструкция Группа Шевалле групп Ли в терминах их диаграммы Дынкина не дает некоторых классических групп, а именно унитарных групп и не расщепляемых ортогональных групп. Группы Стейнберга образуют унитарные группы A n, в то время как другие ортогональные группы строятся как D n, где в обоих случаях это относится к объединению автоморфизма диаграммы с Полевым автоморфизмом. Это также дает дополнительные экзотические группы Ли E 6 и D 4, последние только над полями с автоморфизмом третьего порядка.

Дополнительные автоморфизмы в положительной характеристике дают группы Сузуки - Ри, B 2, F 4 и G 2.

Складывание.

Конечные свертки групп Кокстера.

Аффинные сворачивания групп Кокстера с международным соглашением об именах: во-первых, исходный расширенный набор; второй используется в контексте графиков колчана ; и последний - Виктор Кац для скрученных аффинных алгебр Ли.

Диаграмма Дынкина (конечная или аффинная ), имеющая симметрию (удовлетворяющую одному условию, ниже) может быть разделено по симметрии, давая новую, как правило, многократно зашнурованную диаграмму с процессом, называемым сворачиванием (из-за того, что большинство симметрий является двукратной). На уровне алгебр Ли это соответствует включению инвариантной подалгебры в группу внешних автоморфизмов, и процесс может быть определен исключительно со ссылкой на корневые системы, без использования диаграмм. Кроме того, любая диаграмма с множеством шнуров (конечная или бесконечная) может быть получена путем сворачивания диаграммы с простыми шнурами.

Единственное условие автоморфизма для возможности сворачивания состоит в том, чтобы различные узлы графа на одном орбите (при автоморфизме) не были соединены ребром; на уровне корневых систем корни на одной орбите должны быть ортогональными. На уровне диаграмм это необходимо, так как в этом случае имеется состояние фактора-диаграмма будет иметь цикл из-за идентификационных данных двух, но существующие ребро между ними, а циклы не допускаются в диаграммах Дынкина.

Узлы и ребра факторной («сложенной») диаграммы - это орбиты узлов и ребер исходной диаграммы; ребра являются одиночными, если два инцидентных ребра не имеют на одно и то же ребро (особенно в узлах с валентностью больше 2) - «точкавления» карты, и в этом случае вес - это количество инцидентных ребер, а стрелка указывает в сторону узел, в котором они инцидентны - «точка ветвления отображается в неоднородную точку». Например, в D 4, складывающемся в G 2, край в G 2 указывает от класса 3 внешних узлов (валентность 1) к классу центрального узла (валентность 3).

Складки конечных диаграмм:

$A 2 n - 1 → C n {\ displaystyle A_ {2n-1} \ to C_ {n}}$ $A_{2n-1}\to C_{n}$

(Автоморфизм A 2n (не приводит к сворачиванию, поскольку два средних узла соединены ребром), но находятся на одной орбите.)

$D n + 1 → B n {\ displaystyle D_ {n + 1} \ to B_ {n}}$ $D_{n+1}\to B_{n}$
$D 4 → G 2 {\ displaystyle D_ {4} \ to G_ {2}}$ $D_{4}\to G_{2}$ (если частное по полной группе или по трем циклам, в дополнение к $D 4 → B 3 {\ displaystyle D_ { 4} \ to B_ {3}}$ $D_{4}\to B_{3}$ разными способами, если частное по инволюции)
$E 6 → F 4 {\ displaystyle E_ {6} \ to F_ {4}}$ $E_{6}\to F_{4}$

Аналогично свертки существуют для аффинных диаграмм, в том числе:

$A ~ 2 n - 1 → C ~ n {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2n-1} \ to {\ tilde {C}} _ {N}}$ ${\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}$
$D ~ n + 1 → B ~ n {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n + 1} \ to {\ tilde {B}} _ {n}}$ ${\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}$
$D ~ 4 → G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4} \ to {\ tilde {G}} _ {2}}$ ${\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}$
$E ~ 6 → F ~ 4 {\ displaystyle {\ тильда {E}} _ {6} \ to {\ tilde {F }} _ {4}}$ ${\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}$

Понятие сворачивания также может быть применено переход к диаграммам Кокстера - в частности, можно обобщить допустимые частные диаграммы Дынкина на H n и I 2 (п). Геометрически это соответствует проекциям однородных многогранников . Примечательно, что любую просто зашнурованную диаграмму Дынкина можно сложить до I 2 (h), где h - это число Кокстера, которое геометрически проекции на плоскость Кокстера.

Складывание может использоваться для сведения вопросов о (полупростых) алгебрах Ли к вопросам об алгебрах с простыми связями вместе с автоморфизмом, что может быть проще, чем непосредственное наблюдение алгебр с кратными связями; это можно сделать, например, при построении полупростых алгебр Ли. См. Math Overflow: Folding by Automorphisms для дальнейшего обсуждения.

Другие карты диаграмм

. A2корневая система

. G2корневая система

Некоторые дополнительные карты диаграмм имеют значимые интерпретации, как подробно описаны ниже. Однако не все карты корневых систем представляют как карты диаграмм.

Например, есть два включения корневых систем A 2 в G 2, либо как шесть длинных корней или шесть коротких корней. Однако узлы на диаграмме G 2 соответствуют одному длинному корню и одному короткому корню, тогда как узлы на диаграмме A 2 соответствуют корням одинаковой длины, и, таким образом, эта карта корневых систем нельзя выразить в виде карты диаграмм.

Некоторые включения корневых систем могут быть выражены как одна диаграмма, являющаяся индуцированным подграфом другой, что означает «подмножество узлов со всеми ребрами между ними». Это удаление узла из схемы Дынкина соответствует удаленному простому корня из нижеприведенной системы, что вызывает корневую систему ранга на единицу. Напротив, удаление ребра (или изменение кратности ребра) при сохранении неизменных узлов соответствует изменению углов между корнями, что невозможно сделать без изменений всей системы. Таким образом, можно осмысленно удалять узлы, но не ребра. Удаление узла из связной диаграммы может дать связную диаграмму (простую алгебру Ли), если узел является листом, или несвязную диаграмму (полупростую, но не простую алгебру Ли) с двумя или тремя компонентами (последней для D n и E n). На уровне алгебр Ли эти включения соответствуют сублиевским алгебрам.

Максимальные подграфы следующие; подграфы, связанные автоморфизмом диаграммы, помеча как "сопряженные":

An + 1 : A n двумя сопряженными способами.
Bn + 1 : A n, B n.
Cn + 1 : A n, C n.
Dn + 1 : A n (2 сопряженных методов), D n.
En + 1 : A n, D n, E n.
- Для E 6 два из них совпадают: $D 5 ≅ E 5 {\ displaystyle \ mathrm {D} _ {5} \ cong \ mathrm {E} _ {5}}$ $\mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}$ и являются сопряженными.
F4: B 3, C 3.
G2: A 1, двумя несопряженными способами (как длинный корень или короткий корень).

Наконец, двойственность диаграмм соответствует изменению направления стрелок, если они есть: B n и C n двойные, а F 4 и G 2 - собственные -двойные, как и простые схемы ADE.

Простые кружева

Простые ажурные диаграммы Дынкина классифицируют различные математические объекты; это называется классификацией ADE.

Диаграмма Дынкина без кратных ребер просто зашнурованной, как и соответствующая алгебра Ли и группа Ли. Это диаграммы $A n, D n, E n {\ displaystyle A_ {n}, D_ {n}, E_ {n}}$ $A_{n},D_{n},E_{n}$ , и явления, которые классифицируются на таких диаграммах, называются по классификации ADE. В этом случае диаграммы Дынкина совпадают с диаграммами Кокстера, так как кратных ребер нет.

Диаграммы Сатаке

Диаграммы Дынкина классифицируют комплексные полупростые алгебры Ли. Вещественные полупростые алгебры могут быть классифицированы как вещественные формы комплексных полупростых алгебр Ли, и они классифицируются по диаграммам Сатаке, которые получаются из диаграмм Дынкина пометки некоторых вершин черным (заполненным), а некоторые другие вершины попарно соединяются стрелками по определенным правилам.

История

Евгений Дынкин.

Диаграммы Дынкина названы в честь Евгения Дынкина, который использовал их в двух статьях (1946, 1947), упрощая классификацию полупростых алгебр Ли; см. (Dynkin 2000) harv error: нет цели: CITEREFDynkin2000 (help ). Когда Дынкин покинул Советский Союз в 1976 году, что в то время считалось равносильным измене, советским математикам было рекомендовано обращаться к «диаграммам простых корней», а не использовать его имя.

Ненаправленные графы использовались раньше. Кокстером (1934) для классификации групп отражений, где узлы соответствуют стандартным отражениям; графы были использованы (с информацией о длине) Виттом (1941) применительно к корневым системам с узлами, используемыми сегодня корням, как они используются сегодня. Затем Дынкин использовал их в 1946 и 1947 годах, признав Кокстера и Витта в статье 1947 года.

Условные обозначения

Диаграммы Дынкина нарисованы способами; Применяемое здесь соглашение является обычным, с углами 180 ° на узлах валентности 2, углами 120 ° на узле валентности 3 D n и углами 90 ° / 90 ° / 180 ° на узле валентности 3 из E n, с кратностью, обозначенной 1, 2 или 3 параллельными кромками, и длиной корня, указанной стрелкой на кромке для ориентации. Помимо этого, одним преимуществом этого соглашения является то, что автомизмы диаграмм реализуются евклидовыми изометриями диаграмм.

Альтернативное соглашение включает запись числа у края для обозначения множественности (обычно используется в диаграммах Кокстера), затемнение узлов для обозначения длины корня или использование углов 120 ° на узлах валентности 2, чтобы сделать узлы более различимыми.

Существуют также соглашения о нумерации узлов. Наиболее распространенное современное соглашение было разработано к 1960-м годам и проиллюстрировано в (Бурбаки 1968).

Диаграммы Дынкина 2 ранга

Диаграммы Дынкина эквивалентны обобщенным матрицам Картана, как показано в этой таблица диаграмм Дынкина ранга 2 с размером матрицами Картана 2x2.

Для ранга 2 матрицаана имеет вид:

A = [2 a 12 a 21 2] {\ displaystyle A = \ left [{\ begin { matrix} 2 a_ {12} \\ a_ {21} 2 \ end {matrix}} \ right]}

A=\left[{\begin{matrix}2a_{12}\\a_{21}2\end{matrix}}\right]

Многогранная диаграмма соответствует недиагональным элементам матрицы Картана -a 21, -a 12, с первыми нарисованными краев равным max (-a 21, -a 12) и стрелка, указывающая на элементы неединства.

A обобщенная матрица Картана представляет собой квадратную матрицу $A = (aij) {\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ $A=(a_{ij})$ такую, что:

для диагональные элементы, $aii = 2 {\ displaystyle a_ {ii} = 2}$ $a_{ii}=2$ .
для недиагональных элементов, $a ij ≤ 0 {\ displaystyle a_ {ij} \ leq 0}$ $a_{ij}\leq 0$ .
$aij = 0 {\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ $a_{ij}=0$ тогда и только тогда, когда $aji = 0 {\ displaystyle a_ {ji} = 0}$ $a_{ji}=0$

Матрица Картана определяет, принадлежит ли группа конечному типу (если это положительно-определенная матрица, т.е. все собственные значения положительны) аффинного типа (если он не положительно-определенный, а положительно-полуопределенный, т. Е. Все собственные значения неотрицательны) или неопределенного типа . Неопределенный тип часто дополнительно подразделяется, например, группа Кокстера является лоренцианской, если она имеет одно отрицательное собственное значение, а все остальные собственные значения положительны. Более того, несколько источников относятся к гиберболическим группам Кокстера, но есть несколько неэквивалентных определений для этого термина. В обсуждении ниже гиперболические группы Кокстера являются частным случаем лоренцевой группы, удовлетворяющей дополнительному условию. Для ранга 2 все отрицательные детерминантные матрицы Картана соответствуют гиперболической группе Кокстера. Но в целом большинство отрицательных детерминантных матриц не являются ни гиперболическими, ни лоренцевыми.

Конечные ветви имеют (-a 21, -a 12) = (1,1), (2,1), (3,1) и аффинные ветви (с нулевым определителем) имеют (-a 21, -a 12) = (2,2) или (4,1).

Ранг 2 Диаграммы Дынкина
Группа. имя	Диаграмма Дынкина			Матрица Картана		Симметрия. порядок	Связанные. простая. группа
Группа. имя	(стандартная). многогранная. диаграмма.	оцененная. диаграмма	диаграмма Кокстера.	$[2 a 12 a 21 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 2 a_ {12} \\ a_ {21} 2 \ end {matrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{matrix}2a_{12}\\a_{21}2\end{matrix}}\right]$	Определитель. (4-a 21*a12)	Симметрия. порядок	Связанные. простая. группа
Конечное (Определитель>0)
A1xA1				$[2 0 0 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 0 \\ 0 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}20\\02\end{smallmatrix}}\right]$	4	2
A2. ( неориентированный)				$[2 - 1 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 1 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-1\\-12\end{smallmatrix}}\right]$	3	3
B2				$[2 - 2 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 1 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-2\\-12\end{smallmatrix}}\right]$	2	4	$A 3 {\ displaystyle {A} _ {3}}$ ${A}_{3}$
C2				$[2–1–2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 2 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-1\\-22\end{smallmatrix}}\right]$	2	4	$A 3 {\ displaystyle {A} _ {3}}$ ${A}_{3}$
BC2. (неориентированный)				$[2–2–2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - {\ sqrt {2}} \ \ - {\ sqrt {2}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}2\end{smallmatrix}}\right]$	2	4
G2				$[2 - 1 - 3 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallm atrix} 2 -1 \\ - 3 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-1\\-32\end{smallmatrix}}\right]$	1	6	$D 4 {\ displaystyle {D} _ {4}}$ ${D}_{4}$
G2. (неориентированный)				$[2–3–3 2] {\ displaystyle \ left [ {\ begin {smallmatrix} 2 - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}2\end{smallmatrix}}\right]$	1	6
Аффинный (Детерминант = 0)
A1				$[2–2–2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 2 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-2\\-22\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	$A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ ${\tilde {A}}_{3}$
A2				$[2–1–4 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 4 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-1\\-42\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	$D ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$ ${\tilde {D}}_{4}$
Гиперболический (определитель <0)
				$[2–1–5 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 5 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-1\\-52\end{smallmatrix}}\right]$	-1	-
				$[2 - 2 - 3 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 3 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-2\\-32\end{smallmatrix}}\right]$	-2	-
				$[2 - 1 - 6 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 6 2 \ end {smallmatrix }} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-1\\-62\end{smallmatrix}}\right]$	-2	-
				$[2 - 1 - 7 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 7 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-1\\-72\end{smallmatrix}}\right]$	-3	-
				$[2 - 2–4 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 4 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-2\\-42\end{smallmatrix}}\right]$	-4	-
				$[2 - 1 - 8 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 8 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-1\\-82\end{smallmatrix}}\right]$	-4	-
				$[2-3-3 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -3 \\ - 3 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-3\\-32\end{smallmatrix}}\right]$	-5	-
				$[2 - b - a 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin { smallmatrix} 2 -b \\ - a 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}2-b\\-a2\end{smallmatrix}}\right]$	4-ab <0	-
Примечание: для гиперболических групп (a 12*a21>4) от стиля multiedge отказываются в пользу явной маркировки (a 21, a 12) на краю. Обычно они не применяются к конечным и аффинным графам. Примечание: для неориентированных групп диаграммы Кокстера взаимозаменяемы. Обычно они помечаются в соответствии с их порядком симметрии, причем порядок-3 подразумевается без метки. Примечание: многие многогранные группы могут быть получены из группы с более высоким рангом и простым шнуровкой путем применения подходящей операции сворачивания.

конечных диаграмм Дынкина

конечных графов Дынкина с 1–9 узлами
Ранг	Классические группы Ли				Исключительные группы Ли
Ранг	$A 1 + {\ displaystyle {A} _ {1+}}$ ${A}_{1+}$	$B 2 + {\ displaystyle {B} _ {2+}}$ ${B}_{2+}$	$С 2 + {\ displaystyle {C} _ {2+}}$ ${C}_{2+}$	$D 2 + {\ displaystyle {D} _ {2+}}$ ${D}_{2+}$	$E 3–8 {\ displaystyle {E} _ {3-8}}$ ${E}_{3-8}$	$G 2 {\ displaystyle {G} _ {2}}$ ${G}_{2}$ / $F 4 {\ displaystyle {F} _ {4}}$ ${F}_{4}$
1	A1.
2	A2.	B2.	C2=B2.	D2=A1A1.		G2.
3	A3.	B3.	C3.	D3=A3.	E3=A2A1.
4	A4.	B4.	C4.	D4.	E4=A4.	F4.
5	A5.	B5.	C5.	D5.	E5=D5.
6	A6.	B6.	C6.	D6.	E6.
7	A7.	B7.	C7.	D7.	E7.
8	A8.	B8.	C8.	D8.	E8.
9	A9.	B9.	C9.	D9.
10+	..	..	..	..

Аффинные диаграммы Дынкина

Существуют расширения диаграмм Дынкина, а именно аффинные диаграммы Дынкина ; они классифицируют матрицы Картана аффинных алгебр Ли. Они классифицированы в (Kac 1994, Chapter 4, pp. 47– ) harv error: нет цели: CITEREFKac1994 (help ), конкретно на (Kac 1994, pp. 53–55 ) harv error: нет цели: CITEREFKac1994 (help ). Аффинные диаграммы обозначаются как $X l (1), X l (2), {\ displaystyle X_ {l} ^ {(1)}, X_ {l} ^ {(2)},}$ $X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},$ или $X l (3), {\ displaystyle X_ {l} ^ {(3)},}$ $X_{l}^{(3)},$ где X - буква получения конечной диаграммы, а показатель степени зависит от того, какой они находятся в серии аффинных диаграмм. Первые из них, $X l (1), {\ displaystyle X_ {l} ^ {(1)},}$ $X_{l}^{(1)},$ , наиболее распространенными и называются расширенные диаграммы Дынкина и обозначены тильдой , а также иногда отмечены надстрочным индексом + . как в $A ~ 5 = A 5 (1) = A 5 + {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5} = A_ {5} ^ {(1)} = A_ {5} ^ { +}}$ ${\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}$ . С помощью (2) и (3) называются скрученными аффинными диаграммами .

См. генератор диаграмм Дынкина для получения информации о диаграммах.

. Набор расширенных аффинных диаграмм Дынкина с добавленными узлами зеленого цвета (

n ≥ 3 {\ displaystyle n \ geq 3}

n\geq 3

для

B n {\ displaystyle B_ {n}}

B_{n}

n ≥ 4 {\ displaystyle n \ geq 4}

n\geq 4

для

D n {\ displaystyle D_ {n}}

D_{n}

)

. «скрученные» аффинные формы называются надстрочными индексами (2) или (3).. (Подстрочный индекс k всегда подсчитывает желтых узлов в графе, то есть общее количество узлов минус 1.)

Вот все графы Дынкина для аффинных групп до 10. Расширенные графы Дынкина представленная в Другие варианты ориентированных графов даются с надстрочными значениями (2) или (3), измени свертки групп более высокого порядка.

Связанные категории скрученных аффинных диаграмм. аффинные графы Дынкина до (от 2 до 10 узлов). (сгруппированы как неориентированные графы)
Ранг	$A ~ 1 + {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ { 1+}}$ ${\tilde {A}}_{1+}$	$В ~ 3 + {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3+}}$ ${\tilde {B}}_{3+}$	$С ~ 2 + {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {2 +}}$ ${\tilde {C}}_{2+}$	$D ~ 4 + {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4+}}$ ${\tilde {D}}_{4+}$	E / F / G
2	$A ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$ ${\tilde {A}}_{1}$ или $A 1 (1) {\ displaystyle {A} _ {1} ^ {(1)}}$ ${A}_{1}^{(1)}$ .		$A 2 (2) {\ displaystyle {A } _ {2} ^ {(2)}}$ ${A}_{2}^{(2)}$ :
3	$A ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ ${\tilde {A}}_{2}$ или $A 2 (1) {\ displaystyle {A} _ {2} ^ {(1)}}$ ${A}_{2}^{(1)}$ .		$C ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {2}}$ ${\tilde {C}}_{2}$ или $C 2 (1) {\ Displaystyle {C} _ {2} ^ {(1)}}$ ${C}_{2}^{(1)}$ . . $D 5 (2) {\ displaystyle {D } _ {5} ^ {(2)}}$ ${D}_{5}^{(2)}$ : . $A 4 (2) {\ displaystyle {A} _ {4} ^ {(2)}}$ ${A}_{4}^{(2)}$ :		$G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde { G}} _ {2}}$ ${\tilde {G}}_{2}$ или $G 2 (1) {\ displaystyle {G} _ {2} ^ {(1)}}$ ${G}_{2}^{(1)}$ . . $D 4 (3) {\ displaystyle {D} _ {4} ^ {(3)}}$ ${D}_{4}^{(3)}$ ..
4	$A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ ${\tilde {A}}_{3}$ или $A 3 (1) {\ displaystyle {A} _ {3} ^ {(1)}}$ ${A}_{3}^{(1)}$ .	$B ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ ${\tilde {B}}_{3}$ или $B 3 (1) {\ displaystyle {B} _ {3} ^ {(1)}}$ ${B}_{3}^{(1)}$ . . $A 5 (2) {\ displaystyle {A} _ {5} ^ {(2)}}$ ${A}_{5}^{(2)}$ :	$C ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {3 }}$ ${\tilde {C}}_{3}$ или $C 3 (1) {\ displaystyle {C} _ {3} ^ {(1)}}$ ${C}_{3}^{(1)}$ . . $D 6 (2) {\ displaystyle {D} _ { 6} ^ {(2)}}$ ${D}_{6}^{(2)}$ : . $A 6 (2) {\ displaystyle {A} _ {6} ^ {(2)}}$ ${A}_{6}^{(2)}$ :
5	$A ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ ${\tilde {A}}_{4}$ или $A 4 (1) {\ displaystyle {A} _ {4} ^ {(1)}}$ ${A}_{4}^{(1)}$ . .	$B ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde { B}} _ {4}}$ ${\tilde {B}}_{4}$ или $B 4 (1) {\ displaystyle {B} _ {4} ^ {(1)}}$ ${B}_{4}^{(1)}$ . . $A 7 (2) {\ displaystyle {A} _ {7} ^ {(2)}}$ ${A}_{7}^{(2)}$ :	$C ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {4}}$ ${\tilde {C}}_{4}$ или $C 4 (1) {\ displaystyle {C} _ {4} ^ {(1)}}$ ${C}_{4}^{(1)}$ . . $D 7 (2) {\ displaystyle {D} _ {7} ^ {(2)}}$ ${D}_{7}^{(2)}$ : . $A 8 (2) {\ displaystyle {A} _ {8} ^ {(2)}}$ ${A}_{8}^{(2)}$ :	$D ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$ ${\tilde {D}}_{4}$ или $D 4 (1) {\ displaystyle {D} _ {4} ^ {(1)}}$ ${D}_{4}^{(1)}$ .	$F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\tilde {F}}_{4}$ или $F 4 (1) {\ displaystyle {F} _ {4} ^ {(1)}}$ ${F}_{4}^{(1)}$ . . $E 6 (2) {\ displaystyle {E} _ {6} ^ {(2)}}$ ${E}_{6}^{(2)}$ ..
6	$A ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$ ${\tilde {A}}_{5}$ или $A 5 (1) {\ displaystyle {A} _ {5} ^ {(1) }}$ ${A}_{5}^{(1)}$ .	$В ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$ ${\tilde {B}}_{5}$ или $B 5 (1) {\ displaystyle {B} _ {5} ^ {(1)}}$ ${B}_{5}^{(1)}$ . . $A 9 (2) {\ displaystyle {A} _ {9} ^ {(2)}}$ ${A}_{9}^{(2)}$ :	$C ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {5}}$ ${\tilde {C}}_{5}$ или $C 5 (1) {\ displaystyle {C} _ {5} ^ {(1)}}$ ${C}_{5}^{(1)}$ . . $D 8 (2) {\ displaystyle {D} _ {8} ^ {(2)}}$ ${D}_{8}^{(2)}$ : . $A 10 (2) {\ displaystyle {A} _ {10} ^ {(2)}}$ ${A}_{10}^{(2)}$ :	$D ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$ ${\tilde {D}}_{5}$ или $D 5 (1) {\ displaystyle { D} _ {5} ^ {(1)}}$ ${D}_{5}^{(1)}$ .
7	$A ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$ ${\tilde {A}}_{6}$ или $A 6 (1) { \ displaystyle {A} _ {6} ^ {(1)}}$ ${A}_{6}^{(1)}$ .	$B ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}$ ${\tilde {B}}_{6}$ или $B 6 ( 1) {\ displaystyle {B} _ {6} ^ {(1)}}$ ${B}_{6}^{(1)}$ . . $A 11 (2) {\ displaystyle {A} _ {11} ^ {(2)}}$ ${A}_{11}^{(2)}$ :	$C ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {6}}$ ${\tilde {C}}_{6}$ или $C 6 (1) {\ displaystyle {C} _ {6} ^ {(1)}}$ ${C}_{6}^{(1)}$ . . $D 9 (2) {\ displaystyle {D} _ {9} ^ {(2)}}$ ${D}_{9}^{(2)}$ : . $A 12 (2) {\ displaystyle {A} _ {12} ^ {(2)}}$ ${A}_{12}^{(2)}$ :	$D ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}$ ${\tilde {D}}_{6}$ или $D 6 (1) {\ displaystyle {D} _ {6} ^ {(1)}}$ ${D}_{6}^{(1)}$ .	$E ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ { 6}}$ ${\tilde {E}}_{6}$ или $E 6 (1) {\ displaystyle {E} _ {6} ^ {(1)}}$ ${E}_{6}^{(1)}$ .
8	$A ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {A} } _ {7}}$ ${\tilde {A}}_{7}$ или $A 7 (1) {\ displaystyle {A} _ {7} ^ {(1)}}$ ${A}_{7}^{(1)}$ .	$B ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {7}}$ ${\tilde {B}}_{7}$ или $B 7 (1) {\ displaystyle {B} _ {7} ^ {(1)}}$ ${B}_{7}^{(1)}$ . . $A 13 (2) { \ displaystyle {A} _ {13} ^ {(2)}}$ ${A}_{13}^{(2)}$ :	$C ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {7}}$ ${\tilde {C}}_{7}$ или $C 7 ( 1) {\ displaystyle {C} _ {7} ^ {(1)}}$ ${C}_{7}^{(1)}$ . . $D 10 (2) {\ displaystyle {D} _ {10} ^ {(2)}}$ ${D}_{10}^{(2)}$ : . $A 14 ( 2) {\ displaystyle {A} _ {14} ^ {(2)}}$ ${A}_{14}^{(2)}$ :	$D ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {7}}$ ${\tilde {D}}_{7}$ или $D 7 (1) {\ displaystyle {D} _ {7} ^ {(1)}}$ ${D}_{7}^{(1)}$ .	$E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$ ${\tilde {E}}_{7}$ или $E 7 (1) {\ displaystyle {E} _ {7} ^ {(1)}}$ ${E}_{7}^{(1)}$ .
9	$A ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}$ ${\tilde {A}}_{8}$ или $A 8 (1) {\ displaystyle {A} _ {8} ^ {(1)}}$ ${A}_{8}^{(1)}$ .	$B ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {8}}$ ${\tilde {B}}_{8}$ или $B 8 (1) {\ displaystyle {B} _ {8} ^ {(1)}}$ ${B}_{8}^{(1)}$ . . $A 15 (2) {\ displaystyle {A} _ {15} ^ {(2)}}$ ${A}_{15}^{(2)}$ :	$C ~ 8 {\ displaystyl е {\ тильда {C}} _ {8}}$ ${\tilde {C}}_{8}$ или $C 8 (1) {\ displaystyle {C} _ {8} ^ {(1)}}$ ${C}_{8}^{(1)}$ . . $D 11 (2) {\ displaystyle {D} _ {11} ^ {(2)}}$ ${D}_{11}^{(2)}$ : . $A 16 (2) {\ displaystyle {A} _ {16} ^ {(2)}}$ ${A}_{16}^{(2)}$ :	$D ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {8}}$ ${\tilde {D}}_{8}$ или $D 8 (1) {\ displaystyle {D} _ {8} ^ {(1)}}$ ${D}_{8}^{(1)}$ .	$E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$ ${\tilde {E}}_{8}$ или $E 8 (1) {\ displaystyle {E} _ {8} ^ {(1)} }$ ${E}_{8}^{(1)}$ .
10	$A ~ 9 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {9}}$ ${\tilde {A}}_{9}$ или $A 9 (1) {\ displaystyle {A} _ {9 } ^ {(1)}}$ ${A}_{9}^{(1)}$ .	$B ~ 9 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {9}}$ ${\tilde {B}}_{9}$ или $B 9 (1) {\ displaystyle {B} _ {9} ^ {(1)}}$ ${B}_{9}^{(1)}$ . . $А 17 (2) {\ displaystyle {A} _ {17} ^ {(2)}}$ ${A}_{17}^{(2)}$ :	$C ~ 9 {\ displaystyle {\ tilde {C }} _ {9}}$ ${\tilde {C}}_{9}$ или $C 9 (1) {\ displaystyle {C} _ {9} ^ {(1)}}$ ${C}_{9}^{(1)}$ . . $D 12 (2) {\ displaystyle {D} _ {12} ^ {(2)}}$ ${D}_{12}^{(2)}$ : . $A 18 (2) {\ displaystyle {A} _ {18} ^ {(2)}}$ ${A}_{18}^{(2)}$ :	$D ~ 9 {\ displaystyle {\ тильда {D}} _ {9}}$ ${\tilde {D}}_{9}$ или $D 9 (1) {\ displaystyle {D} _ {9} ^ {(1)}}$ ${D}_{9}^{(1)}$ .
11	...	...	...	...

Гиперболические и высшие диаграммы Дынкина

Перечислено множество компактных и некомпактных гиперболических графов Дынкина. Все гиперболические графы ранга 3 компактны. Компактные гиперболические диаграммы Дынкина существуют до ранга 5, а некомпактные гиперболические графы - до ранга 10.

Резюме
Ранг	Компактное	Некомпактное	Итого
3	31	93	123
4	3	50	53
5	1	21	22
6	0	22	22
7	0	4	4
8	0	5	5
9	0	5	5
10	0	4	4

Компактные гиперболические диаграммы Дынкина

Компактные гиперболические графы
Ранг 3		Ранг 4	Ранг 5
Линейные графики (6 4 2): H100 : H101 : H105 : H106 : (6 6 2): H114 : H115 : H116 :	Циклические графы (4 3 3): H 1: (4 4 3): 3 формы... (4 4 4) : 2 формы... (6 3 3): H 3: (6 4 3): 4 формы... (6 4 4): 4 формы... (6 6 3): 3 формы... (6 6 4): 4 формы... (6 6 6): 2 формы...	(4 3 3 3): H8: H13: (4 3 4 3): H14:	(4 3 3 3 3): H7:

Некомпактный (сверхрасширенные формы)

Некоторые обозначения используется в теоретической физике, такой как M-теория, используйте верхний индекс «+» для расширенных групп вместо «~», и это позволяет группы будут определены.

Расширенные диаграммы Дынкина (аффинные) помечены знаком «+» и представляют один добавленный узел. (То же, что и "~")
Чрезмерно расширенные диаграммы Дынкина (гиперболические) имеют символы "^" или "++" и представляют два добавленных узла.
Очень расширенные диаграммы Дынкина с 3 добавленным узлам присваивается "+++".

Некоторые примеры чрезмерно расширенных (гиперболических) диаграмм Дынкина
Ранг	$AE n {\ displaystyle {AE} _ {n}}$ ${AE}_{n}$ = A n-2	$BE n {\ displaystyle {BE} _ {n}}$ ${BE}_{n}$ = B n-2. $CE n {\ displaystyle {CE} _ { n}}$ ${CE}_{n}$	Cn-2	$DE n {\ displaystyle {DE} _ {n}}$ ${DE}_{n}$ = D n-2	E / F / G
3	$AE 3 {\ displaystyle {AE} _ {3}}$ ${AE}_{3}$ :
4	$AE 4 {\ displaystyle {AE} _ {4}}$ ${AE}_{4}$ : . . . .		C2. . A4. . A4. . D3.		G2. . D4.
5	$AE 5 {\ displaystyle {AE} _ {5}}$ ${AE}_{5}$ : . .	$BE 5 {\ displaystyle {BE} _ {5}}$ ${BE}_{5}$ . . $CE 5 {\ displaystyle {CE} _ {5}}$ ${CE}_{5}$ .	C3. . A6. . A6. . D5.
6	$AE 6 {\ displaystyle {AE} _ {6}}$ ${AE}_{6}$ .	$BE 6 {\ displaystyle {BE} _ {6}}$ ${BE}_{6}$ . . $CE 6 {\ displaystyle {CE} _ {6}}$ ${CE}_{6}$ .	C4. . A8. . A8. . D7.	$DE 6 {\ displaystyle {DE} _ {6}}$ ${DE}_{6}$ .	F4. . E6.
7	$AE 7 {\ displaystyle { AE} _ {7}}$ ${AE}_{7}$ .	$BE 7 {\ displaystyle {BE} _ {7}}$ ${BE}_{7}$ . . $CE 7 {\ displaystyle {CE} _ {7}}$ ${CE}_{7}$ .		$DE 7 {\ displaystyle {DE} _ {7}}$ ${DE}_{7}$ .
8	$AE 8 {\ dis playstyle {AE} _ {8}}$ ${AE}_{8}$ .	$BE 8 {\ displaystyle {BE} _ {8}}$ ${BE}_{8}$ . . $CE 8 {\ displaystyle {CE} _ {8}}$ ${CE}_{8}$ .		$DE 8 {\ displaystyle { DE} _ {8}}$ ${DE}_{8}$ .	E6.
9	$AE 9 {\ displaystyle {AE} _ {9}}$ ${AE}_{9}$ .	$BE 9 {\ displaystyle {BE} _ {9}}$ ${BE}_{9}$ . . $CE 9 {\ displaystyle {CE} _ {9}}$ ${CE}_{9}$ .		$DE 9 {\ displaystyle {DE} _ {9}}$ ${DE}_{9}$ .	E7.
10		$BE 10 {\ displaystyle {BE} _ {10}}$ ${BE}_{10}$ . . $CE 10 {\ displaystyle { CE} _ {10}}$ ${CE}_{10}$ .		$DE 10 {\ displaystyle {DE} _ {10}}$ ${DE}_{10}$ .	$E 10 {\ displaystyle {E} _ {10}}$ ${E}_{10}$ =E8.

238 Гиперболические группы (компактные и некомпактные)

238 гиперболических групп (компактных и некомпактных) ранга $n ≥ 3 {\ displaystyle n \ geq 3}$ $n\geq 3$ названы как $H i (n) {\ displaystyle H_ {i} ^ {(n)}}$ $H_{i}^{(n)}$ и указано как $i = 1, 2, 3... {\ displaystyle i = 1,2,3...}$ $i=1,2,3...$ для каждого ранга.

Очень расширенные

Очень расширенные группы - это группы Лоренца, определенные путем добавления трех узлов к конечным группам. E 8, E 7, E 6, F 4 и G 2 предлагают окончание шести серий как очень расширенные группы. Другие не показанные расширенные серии могут быть определены из A n, B n, C n и D n, как разные серии для каждый п. Определитель связанной матрицы Картана определяет, где последовательность изменяется от конечной (положительной) до аффинной (ноль) до некомпактной гиперболической группы (отрицательной) и заканчивается как группа Лоренца, которую можно определить с помощью одного временноподобного измерения и используется в M теории.

расширенной серии ранга 2
Finite	$A 2 {\ displaystyle A_ {2}}$ $A_{2}$	$C 2 {\ displaystyle C_ {2}}$ $C_{2}$	$G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$
2	A2	C2	G2
3	A2= $A ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ ${\tilde {A}}_{2}$ .	C2= $C ~ 2 { \ displaystyle {\ tilde {C}} _ {2}}$ ${\tilde {C}}_{2}$ .	G2= $G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ ${\tilde {G}}_{2}$ .
4	A2.	C2.	G2.
5	A2.	C2.	G2.
Det (M n)	3 (3-n)	2 (3-n)	3-n

Расширенные серии 3-го и 4-го рангов
Конечное	$A 3 {\ displaystyle A_ {3}}$ $A_{3}$	$B 3 {\ displaystyle B_ {3}}$ $B_{3}$	$C 3 {\ displaystyle C_ {3}}$ $C_{3}$	$A 4 {\ displaystyle A_ {4}}$ $A_{4}$	$B 4 {\ displaystyle B_ {4}}$ $B_{4}$	$С 4 {\ displaystyle C_ {4}}$ $C_{4}$	$D 4 {\ displaystyle D_ {4}}$ $D_{4}$	$F 4 {\ displaystyle F_ {4}}$ $F_{4}$
2		A1.						A2.
3	A3.	B3.	C3.		B2A1.		A1.
4	A3= $A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ ${\tilde {A}}_{3}$ .	B3= $B ~ 3 {\ disp laystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ ${\tilde {B}}_{3}$ .	C3= $C ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {3}}$ ${\tilde {C}}_{3}$ .	A4.	B4.	C4.	D4.	F4.
5	A3.	B3.	C3.	A4= $A ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ ${\tilde {A}}_{4}$ .	B4= $В ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$ ${\tilde {B}}_{4}$ .	C4= $C ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {4}}$ ${\tilde {C}}_{4}$ .	D4= $D ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$ ${\tilde {D}}_{4}$ .	F4= $F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\tilde {F}}_{4}$ .
6	A3.	B3.	C3.	A4.	B4.	C4.	D4.	F4.
7				A4.	B4.	C4.	D4.	F4.
Det (M n)	4 ( 4-n)	2 (4-n)		5 (5-n)	2 (5-n)		4 (5- n)	5-n

5-й и 6-й ранги, расширенные серии
Конечное	$A 5 {\ displaystyle A_ {5}}$ $A_{5}$	$B 5 {\ displaystyle B_ {5}}$ $B_{5}$	$D 5 {\ displaystyle D_ {5}}$ $D_{5}$	$A 6 {\ displaystyle A_ {6}}$ $A_{6}$	$B 6 {\ displaystyle B_ {6}}$ $B_{6}$	$D 6 {\ displaystyle D_ {6 }}$ $D_{6}$	$E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_{6}$
4		B3A1.	A3A1.				A2.
5	A5.		D5.		B4A1.	D4A1.	A5.
6	A5= $A ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$ ${\tilde {A}}_{5}$ .	B5= $B ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {B }} _ {5}}$ ${\tilde {B}}_{5}$ .	D5= $D ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$ ${\tilde {D}}_{5}$ .	A6.	B6.	D6.	E6.
7	A5.	B5.	D5.	A6= $A ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$ ${\tilde {A}}_{6}$ .	B6= $В ~ 6 {\ Displaystyle {\ тильда {B}} _ {6}}$ ${\tilde {B}}_{6}$ .	D6= $D ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}$ ${\tilde {D}}_{6}$ .	E6= $E ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$ ${\tilde {E}}_{6}$ .
8	A5.	B5.	D5.	A6.	B6.	D6.	E6.
9				A6.	B6.	D6.	E6.
Дет ( M n)	6 (6-n)	2 (6-n)	4 (6-n)	7 (7-n)	2 (7-n)	4 (7-n)	3 (7-n)

Некоторые расширенные серии ранга 7 и выше
Конечные	A7	B7	D7	E7	E8
3					E3=A2A1.
4				A3A1.	E4=A4.
5				A5.	E5=D5.
6		B5A1.	D5A1.	D6.	E6.
7	A7.	B7.	D7.	E7.	E7.
8	A7= $A ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$ ${\tilde {A}}_{7}$ .	B7= $B ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {7}}$ ${\tilde {B}}_{7}$ .	D7= $D ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {7}}$ ${\tilde {D}}_{7}$ .	E7= $E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$ ${\tilde {E}}_{7}$ .	E8.
9	A7.	B7.	D7.	E7.	E9=E8= $E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8} }$ ${\tilde {E}}_{8}$ .
10	A7.	B7.	D7.	E7.	E10=E8.
11					E11=E8.
Det (M n)	8 (8-n)	2 (8-n)	4 (8-n)	2 (8-n)	9-n

См. Также

На Викискладе есть материалы, связанные с диаграммами Дынкина.

Список диаграмм Сатаке
несводимых индексов Титса
Klassifikation von Wurzelsystemen (Классификация корневых систем) (на немецком языке)

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

== знак равно !!! === <2>C_ {3} <2><3>Dyn-v12.png <3><4>{E} _ {8} ^ {(1)} <4><5>E_ {n} <5><6>Dyn-branch4br.png <6><7>C_ {4} <7><8>{B} _ {8} ^ {(1)} <8><9>{ C} _ {7} ^ {(1)} <9><10>E_ {4} \ cong A_ {4} <10><11>{A} _ {4} ^ {(1)} <11><12>{DE}_{10}<12><13>{\ tilde {A}} _ {3} <13><14>Dyn-v51.png <14><15>{C} _ {6 } ^ {(1)} <15><16>Rank6HyperbolicDynkins199-205bw.svg <16><17>Dyn-v32.png <17><18>{AE} _ {8} <18><19>{\ sqrt {3}} <19><20>Dyn2-6b.png <20><21>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <21><22>{C} _ {4} ^ {(1)} <22><23>B_ {5} <23><24>n = 6. <24><25>BC_ {n}. <25><26>D_ {3} \ cong A_ {3} <26><27>Rank6HyperbolicDynkins213-220bw.svg <27><28>Dyn-branch6.png <28><29>{BE} _ {10} <29><30>{\ sqrt {2}} <30><31>T \ mapsto -T ^ {\ mathrm {T}} <31><32>Dyn -4.png <32><33>Dyn-4a.png <33><34>{AE} _ {4} <34><35>Dyn2-loop2g.png <35><36>D_ {4} \ кому: G_ {2} <36><37>{A} _ {12} ^ {(2)} <37><38>{A} _ {16} ^ {(2)} <38><39>Dyn -loop2g.png <39><40>D_ {6} <40><41>Dyn-v21.png <41><42>{BE} _ {9} <42><43>{AE} _ {n } <43><44>Dyn2-4b.png <44><45>Rank3NonCompactHyperbolicDynkins76-123bw.svg <45><46>{B} _ {9} ^ {(1)} <46><47>{\ tilde {A}} _ {9} <47><48>{\ tilde {G}} _ {2} <48><49>CDel 4.png <49><50>E_ {6} \ to F_ {4} <50><51>A_ {6} <51><52>{\ tilde {C}} _ {4} <52><53>Dyn-branch.png <53><54>n \ geq 3 <54><55>{BE} _ {n} <55><56>E_ {5} \ cong D_ {5} <56><57>{\ mathfrak {sl }} _ {2 + 1} = {\ mathfrak {sl}} _ {3} <57><58>{A} _ {1+} <58><59>{\ tilde {C}} _ {5 } <59><60>{A} _ {5} ^ {(2)} <60><61>Dyn-4c.png <61><62>{\ tilde {A}} _ {1 +} <62><63>{\ tilde {B}} _ {6} <63><64>{\ tilde {D}} _ {n + 1} \ to {\ tilde {B}} _ {n} <64><65>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 0 \\ 0 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <65><66>A_ {2n-1} \ to C_ {n} <66><67>A_ {2} <67><68>{C} _ {2} ^ {(1)} <68><69>{CE} _ {6} <69><70>S_ {3} <70><71>{A} _ {7} ^ {(2)} <71><72>{BE} _ {8} <72><73>{\ tilde {C}} _ {7} <73><74>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 4 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <74><75>{\ tilde {A}} _ {5} <75><76>Dyn -3.png <76><77>D_ {n}, <77><78>{A} _ {9} ^ {(1)} <78><79>{\ mathfrak {sl}} _ {n +1}, <79><80>E_ {3} \ cong A_ {1} \ times A_ {2} <80><81>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -3 \\ - 3 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <81><82>{A} _ {8} ^ {(1)} <82><83>Dyn-nodes.png <83><84>\ left [{\ begin { smallmatri x} 2 -1 \\ - 2 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <84><85>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 4 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <85><86>{A} _ {3} ^ {(1)} <86><87>{C} _ {3} ^ {(1)} <87><88>Dyn2-branch.png <88><89>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - {\ sqrt {2}} \\ - {\ sqrt {2}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <89><90>{C } _ {9} ^ {(1)} <90><91>{\ tilde {A}} _ {2n-1} \ to {\ tilde {C}} _ {n} <91><92>{ \ mathfrak {sl}} _ {{n + 1}} <92><93>{\ tilde {B}} _ {9} <93><94>{\ tilde {D}} _ {8} <94><95>{\ tilde {C}} _ {8} <95><96>{D} _ {4} ^ {(1)} <96><97>{E} _ {7} ^ {( 1)} <97><98>Finite Dynkin diagrams.svg <98><99>{A} _ {1} ^ {(1)} <99><100>a_ {ij} \ leq 0 <100><101>{B} _ {7} ^ {(1)} <101><102>A_ {n}: <102><103>{\ tilde {D}} _ {4} \ to {\ tilde {G }} _ {2} <103><104>\ mathrm {D} _ {2} \ cong \ mathrm {A} _ {1} \ times \ mathrm {A} _ {1}, <104><105>n \ geq 2 <105><106>Dyn2-loop1.png <106><107>C_ {2} <107><108>Dyn-branch1.png <108><109>{D} _ {11} ^ {(2)} <109><110>{CE} _ {10} <110><111>{G} _ {2} <111><112>Dyn-2.png <112><113>{G } _ {2} ^ {(1)} <113><114>{\ mathfrak {sp}} _ {{2n}} <114><115>{CE} _ {n} <115><116>{ A} _ {14} ^ {(2)} <116><117>Dyn-loop2.png <117><118>D_ {n}: <118><119>\ bigwedge ^ {i} C ^ {n} <119><120>A_ {n}, D_ {n}, E_ {n} <120><121>{\ tilde {F}} _ {4} <121><122>Dyn-v14.png <122><123>{C} _ {2+} <123><124>Rank3NonCompactHyperbolicDynkins32-75bw.svg <124><125>Dyn-branch4al.png <125><126>{A} _ {4} ^ {(2)} <126><127>A_ {5} <127><128>{\ tilde {C}} _ {2 } <128><129>Корневая система A2.svg <129><130>{\ tilde {A}} _ {6} <130><131>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 3 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <131><132>Rank7HyperbolicDynkins221-224bw.svg <132><133>Dyn-brancdiv class="ht".png <133><134>{\ tilde {A}} _ {2} <134><135>Dyn-triplebranch1.png <135><136>A_ {4} <136><137>CDel node.png <137><138>Dynkin affine D3 fold.png <138><139>F_ { 4} <139><140>Dyn-v81.png <140><141>{D} _ {8} ^ {(1)} <141><142>B_ {n}: <142><143>a_ {ji} = 0 <143><144>{E} _ {6} ^ {(2)} <144><145>Dyn-6a.png <145><146>Dyn-loop1.png <146><147>{A} _ {18} ^ {(2)} <147><148>\ mathrm {A} _ {3} \ cong \ mathrm {D} _ {3}, <148><149>{AE } _ {6} <149><150>Dyn-v42.png <150><151>C_ {n}: <151><152>Dyn-nodesyg.png <152><153>CDel 6.png <153><154>B_ {n}, <154><155>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 1 2 \ end {smal lmatrix}} \ right] <155><156>{D} _ {6} ^ {(1)} <156><157>Affine Dynkin diagrams.png <157><158>{A} _ {9} ^ {(2)} <158><159>X_ {l} ^ {(1)}, X_ {l} ^ {(2)}, <159><160>{DE} _ {9} <160><161>{B} _ {2+} <161><162>{\ tilde {C}} _ {6} <162><163>{DE} _ {7} <163><164>\ left [{ \ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 7 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <164><165>D_ {4} <165><166>{D} _ {9} ^ {(2)} <166><167>{\ tilde {B}} _ {3+} <167><168>{\ tilde {C}} _ {9} <168><169>{D} _ {7} ^ { (2)} <169><170>Dyn-node.png <170><171>{B} _ {3} ^ {(1)} <171><172>{\ tilde {E}} _ {6 } <172><173>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 1 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <173><174>Корневая система G2.svg <174><175>A_ {n}, <175><176>\ Delta <176><177>{\ mathfrak {so}} _ {2 \ cdot 4 + 1} = {\ mathfrak {so}} _ {9}, <177><178>CDel 2.png <178><179>{D} _ {6} ^ {(2)} <179><180>A = (a_ {ij}) <180><181>{A} _ {8} ^ {(2)} <181><182>{D} _ {7} ^ {(1)} <182><183>Dyn-v61.png <183><184>{\ tilde {C }} _ {3} <184><185>{A} _ {6} ^ {(1)} <185><186>a_ {ij} = 0 <186><187>Dyn-v71.png <187><188>{BE} _ {6} <188><189>Dyn-vab.png <189><190>{D} _ {4} <190><191>{\ tilde {A}} _ { 5} = A_ {5} ^ {(1)} = A_ {5} ^ {+} <191><192>{AE} _ {9 } <192><193>B_ {n} <193><194>B_ {6} <194><195>a_ {ii} = 2 <195><196>{A} _ {5} ^ {(1)} <196><197>{\ mathfrak {so}} _ {2n}, <197><198>G_ {2} <198><199>n \ geq 1 <199><200>{A} _ {3} <200><201>{\ displaystyle i = 1,2,3...} <201><202>Dyn-6.png <202><203>{F} _ {4} ^ {( 1)} <203><204>Rank6HyperbolicDynkins206-212bw.svg <204><205>CDel 3.png <205><206>{A} _ {6} ^ {(2)} <206><207>{ \ tilde {A}} _ {4} <207><208>Dynkin affine A3 fold.png <208><209>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 6 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <209><210>{CE} _ {5} <210><211>{E} _ {10} <211><212>Dyn-nodeg.png <212><213>{\ tilde { D}} _ {5} <213><214>{C} _ {8} ^ {(1)} <214><215>{D} _ {4} ^ {(3)} <215><216>\ mathrm {B} _ {2} \ cong \ mathrm {C} _ {2} <216><217>{\ tilde {E}} _ {7} <217><218>n \ geq 4 <218><219>{DE} _ {6} <219><220>\ left [{\ begin {matrix} 2 a_ {12} \\ a_ {21} 2 \ end {matrix}} \ right] <220><221>Dyn-v22.png <221><222>\ beta <222><223>{\ tilde {D}} _ {6} <223><224>n = 0 <224><225>\ left [ {\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 3 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <225><226>D_ {n} <226><227>{\ tilde {A}} _ {8} <227><228>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 5 2 \ en d {smallmatrix}} \ right] <228><229>Rank5HyperbolicDynkins177-198bw.svg <229><230>Dyn-6b.png <230><231>{D} _ {10} ^ {(2)} <231><232>{A} _ {2} ^ {(2)} <232><233>2 \ pi / 3 <233><234>A = \ left [{\ begin {matrix} 2 a_ {12} \\ a_ {21} 2 \ end {matrix}} \ right] <234><235>B_ {2} \ cong C_ {2} <235><236>Dyn2-2.png <236><237>{ \ tilde {D}} _ {9} <237><238>{\ tilde {D}} _ {4} <238><239>{DE} _ {8} <239><240>A_ {3} <240><241>Rank10HyperbolicDynkins235-238bw.svg<241><242>{\ tilde {B}} _ {8} <242><243>{\ tilde {A}} _ {7} <243><244>D_ {2} \ cong A_ {1} \ times A_ {1} <244><245>{\ tilde {B}} _ {5} <245><246>{E} _ {6} ^ {( 1)} <246><247>{CE} _ {7} <247><248>{\ tilde {B}} _ {3} <248><249>{\ tilde {E}} _ {8} <249><250>A_ {1} \ cong B_ {1} \ cong C_ {1} <250><251>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 8 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <251><252>C_ {n} <252><253>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ -2 2 \ end {smallmatrix}} \ right] <253><254>C_ {n}, <254><255>Rank4HyperbolicDynkins124-176bw.svg <255><256>D_ {n + 1} \ to B_ {n} <256><257>{B} _ {4} ^ {( 1)} <257><258>Rank3CompactHyperbolicDynkins1-31bw.svg <258><259>Dyn2-node.png <259><260>{\ tild e {D}} _ {4+} <260><261>CDel infin.png <261><262>{A} _ {10} ^ {(2)} <262><263>Dyn-4ab.png <263><264>{E}_{3-8}<264><265>{A}_{17}^{(2)}<265><266>{A} _ {11} ^ {( 2)} <266><267>n>1 <267><268>{A} _ {15} ^ {(2)} <268><269>{D} _ {5} ^ {(2)} <269><270>{D}_{8}^{(2)}<270><271>Dyn-branch1yg.png<271><272>{\ mathfrak {so}} _ {{2n}} <272><273>{\ tilde {E}} _ {6} \ to {\ tilde {F}} _ {4} <273><274>Dyn2-node n1.png <274><275>{C} _ {5} ^ {(1)} <275><276>{\ mathfrak {so}} _ {{2n + 1}} <276><277>{CE} _ {8} <277><278>Dyn2-nodeg.png <278><279>Dynkin affine D4 fold.png <279><280>B_ {4} <280><281>\ mathrm {D} _ {5} \ cong \ mathrm {E} _ {5} <281><282>{DE} _ {n} <282><283>Rank9HyperbolicDynkins230-234bw.svg <283><284>D_ {5} <284><285>{\ tilde {C}} _ {2+} <285><286>{F} _ {4} <286><287>{\ displaystyle H_ {i} ^ {(n)}} <287><288>E_ {6} <288><289>{D} _ {2+} <289><290>Dyn-brancdiv class="ht"gy.png <290><291>\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -b \\ - a 2 \ end {smallmatrix} } \ right] <291><292>Rank8HyperbolicDynkins225-229bw.svg <292><293>i = 1, \ dots, n <293><294>Dyn2-nodes.png <294><295>X_ {l} ^ {(1)}, <295><296>{\ tilde {B}} _ {7} <296><297>{\ tilde {B}} _ {4} <297><298>{D} _ {12} ^ {(2)} <298><299>Скрученный аффинный Dynkin diagrams.png <299><300>{AE} _ {3} <300><301>{CE} _ {9} <301><302>Dyn-v33.png <302><303>Dyn2-node n2.png <303><304>B_ {3} <304><305>{B} _ {5} ^ {(1)} <305><306>{A} _ {7} ^ {(1)} <306><307>X_ {l } ^ {(3)}, <307><308>{D} _ {9} ^ {(1)} <308><309>Dyn2-6a.png <309><310>Dyn2-4a.png <310><311>Dyn2-3.png <311><312>{B} _ {6} ^ {(1)} <312><313>{A} _ {2} ^ {(1)} <313><314>D_ {4} \ to B_ {3} <314><315>{\ tilde {D}} _ {7} <315><316>\ left \ langle r_ {1}, r_ {2} \ mid (r_ {1}) ^ {2} = (r_ {2}) ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {3} = 1 \ right \ rangle. <316><317>{AE} _ {5} <317><318>Dyn-4b.png <318><319>Dyn2-3s.png <319><320>{A} _ {13} ^ {(2)} <320><321>Dyn-branch4ar.png <321><322>n = 1, <322><323>{BE} _ {7} <323><324>{AE} _ {7} <324><325>{D} _ {5} ^ {(1)} <325><326>{BE} _ {5} <326><327>Dyn-3s.png <327><328>\ bigwedge ^ {i } C ^ {n} \ mapsto \ bigwedge ^ {ni} C ^ {n}. <328><329>\ alpha <329><330>{\ tilde {A}} _ {1} <330><331>Dyn-v13.png <331>html