Теория Ли

редактировать

Изучение групп Ли, алгебр Ли и дифференциальных уравнений

В математике, исследователь Софус Ли () инициировал направления исследований, включающие интегрирование дифференциальных уравнений, групп преобразований, и контакт из сфер, которые стали называть теорией Ли . Например, последняя тема - геометрия сферы Ли. В этой статье рассматривается его подход к группам преобразований, который является одной из областей математики, и был разработан Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном.

. теория - это экспоненциальное отображение, связывающее алгебры Ли с группами Ли, которое называется соответствием группа Ли – алгебра Ли. Предмет является частью дифференциальной геометрии, поскольку группы Ли являются дифференцируемыми многообразиями. Группы Ли развиваются из тождества (1), и касательные векторы к однопараметрическим подгруппам порождают алгебру Ли. Структура группы Ли неявно заложена в ее алгебре, а структура алгебры Ли выражается корневыми системами и корневыми данными.

Теория Ли была особенно полезна в математике. физика, поскольку она описывает стандартные группы преобразований: группу Галилея, группу Лоренца, группу Пуанкаре и конформную группу пространства-времени.

Содержание

  • 1 Элементарная теория Ли
  • 2 История и область применения
  • 3 Три теоремы Ли
  • 4 Аспекты теории Ли
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания и ссылки
  • 7 Дополнительная литература
  • 8 Внешние ссылки

Элементарная теория Ли

Однопараметрические группы являются первым примером теории Ли. Случай компактный возникает благодаря формуле Эйлера в комплексной плоскости. Другие однопараметрические группы встречаются в плоскости комплексных чисел с разбиением как гипербола единиц

{exp ⁡ (it) = cosh ⁡ (t) + i sinh ⁡ (t): t ∈ R}, {\ displaystyle \ lbrace \ exp (it) = \ cosh (t) + i \ sinh (t): t \ in R \ rbrace,}{ \ displaystyle \ lbrace \ exp (it) = \ cosh (t) + i \ sinh (t): t \ in R \ rbrace,}

и в двойном числе плоскость как прямая {exp ⁡ (ε t) = 1 + ε t: t ∈ R}. {\ displaystyle \ lbrace \ exp (\ varepsilon t) = 1 + \ varepsilon t: t \ in R \ rbrace.}{\ displaystyle \ lbrace \ exp (\ varepsilon t) = 1 + \ varepsilon t: t \ in R \ rbrace.} В этих случаях параметры алгебры Ли имеют имена: угол, гиперболический угол и наклон. Используя соответствующий «угол» и радиальный вектор, любой из этих плоскостей можно задать полярное разложение . Любое из этих разложений или визуализаций алгебры Ли может быть необходимо для визуализации подалгебры Ли вещественной матрицы 2 × 2..

Существует классическая 3-параметрическая пара группы Ли и алгебры: кватернионы единичной длины, который можно отождествить с 3-сферой. Его алгебра Ли является подпространством кватернионных векторов . Поскольку коммутатор ij - ji = 2k, скобка Ли в этой алгебре вдвое больше перекрестного произведения обычного векторного анализа.

Дан еще один элементарный пример с 3 параметрами. группой Гейзенберга и ее алгеброй Ли. Стандартные трактовки теории Ли часто начинаются с классических групп.

История и область применения

Ранние выражения теории Ли можно найти в книгах, составленных Софусом Ли с Фридрихом. Энгель и Георг Схефферс с 1888 по 1896 год.

В ранней работе Ли идея заключалась в построении теории непрерывных групп, чтобы дополнить теорию дискретных групп., разработанные в теории модульных форм, в руках Феликса Кляйна и Анри Пуанкаре. Первоначальное приложение, которое имел в виду Ли, было к теории дифференциальных уравнений. На модели теории Галуа и полиномиальных уравнений движущей концепцией была теория, способная объединить посредством изучения симметрии всю область обыкновенные дифференциальные уравнения.

Согласно историку Томасу У. Хокинсу, именно Эли Картан сделал теорию Ли такой, какая она есть:

Хотя у Ли было много плодотворных идей, Картан был в первую очередь ответственен за расширения и приложения его теории, которые сделали ее основным компонентом современной математики. Именно он с некоторой помощью Вейля развил основополагающие, по существу алгебраические идеи Киллинга в теории структуры и представления полупростых алгебр Ли это играет такую ​​фундаментальную роль в современной теории Ли. И хотя Ли предполагал применение своей теории к геометрии, именно Картан фактически создал их, например, с помощью своих теорий симметричных и обобщенных пространств, включая все сопутствующие аппараты (движущиеся системы отсчета, внешние дифференциальные формы и т. д.)

Три теоремы Ли

В своей работе над группами преобразований Софус Ли доказал три теоремы, связывающие группы и алгебры, носящие его имя. Первая теорема продемонстрировала основу алгебры посредством бесконечно малых преобразований. Вторая теорема показала структурные константы алгебры как результат коммутаторных произведений в алгебре. третья теорема показала, что эти константы антисимметричны и удовлетворяют тождеству Якоби. Как писал Роберт Гилмор:

Три теоремы Ли обеспечивают механизм для построения алгебры Ли, связанной с любой группой Ли. Они также характеризуют свойства алгебры Ли. ¶ Обратное к трем теоремам Ли делает противоположное: они обеспечивают механизм для связывания группы Ли с любой конечномерной алгеброй Ли... Теорема Тейлора позволяет построить каноническую аналитическую структурную функцию φ (β, α) из алгебры Ли. ¶ Эти семь теорем - три теоремы Ли и их обратные, а также теорема Тейлора - обеспечивают существенную эквивалентность между группами Ли и алгебрами.

Аспекты теории Ли

Теория Ли часто строится на изучении классические линейные алгебраические группы. К особым ответвлениям относятся группы Вейля, группы Кокстера и здания. Классический предмет был расширен до групп лиева типа.

В 1900 Дэвид Гильберт бросил вызов теоретикам Ли своей Пятой проблемой, представленной на Международном конгрессе математиков. в Париже.

См. Также

Примечания и ссылки

  • Джон А. Коулман (1989) «Величайший математический документ всех времен», The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38.

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-27 08:43:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте