E₈решетка

В математике E8решетка - это специальная решетка в R . Ее можно охарактеризовать как уникальную положительно-определенную, даже унимодулярную решетку ранга 8. Название происходит от того факта, что это корневая решетка корневой системы E8..

Норма решетки E 8 (деленная на 2) является положительно определенной четной унимодулярной квадратичной формой от 8 переменных, и, наоборот, такая квадратичная форма может использоваться для построения положительно определенная четная унимодулярная решетка ранга 8. Существование такой формы впервые было показано Х. Дж. С. Смит в 1867 г., и первое явное построение этой квадратичной формы было дано А. Коркин и Г. Золотарёва в 1873 году. Решетка E 8 также называется решеткой Госсета в честь Торольда Госсета, который одним из первых изучал геометрию сама решетка около 1900 года.

• 1 Точки решетки
• 2 Свойства
• 3 Группа симметрии
• 4 Геометрия
• 5 Сферы и числа поцелуев
• 6 Тета-функция
• 7 Другие конструкции
  • 7.1 Код Хэмминга
  • 7.2 Целые октонионы
    • 7.2.1 Пример определения целочисленных октонионов
• 8 Приложения
• 9 См. Также
• 10 Ссылки

Решетка E8представляет собой дискретную подгруппу из R полного ранга (то есть она охватывает все R ). Это может быть явно задано набором точек Γ 8⊂ Rтаким образом, что

• все координаты являются целыми числами или все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых чисел и полуцелые числа не допускаются), и
• сумма восьми координат является четным целым числом.

в символах

$\Gamma \; 8\; =\; \{(xi)\; \in \; Z\; 8\; \cup \; (Z\; +\; 1\; 2)\; 8:\; \sum \; ixi\; \equiv \; 0\; (mod\; 2)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{8\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x\_\; \{i\})\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{8\}\; \backslash \; cup\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\})\; ^\; \{8\}:\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\}\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; \backslash ;\; (\{\backslash \; t\_dv\; \{mod\}\}\; 2)\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Нетрудно проверить что сумма двух точек решетки является другой точкой решетки, так что Γ 8 действительно является подгруппой.

Альтернативным описанием решетки E 8, которое иногда бывает удобно, является набор всех точек в Γ ′ 8⊂ Rтаких, что

• все координаты являются целыми числами и суммой координаты четные, или
• все координаты являются полуцелыми числами, а сумма координат нечетная.

В символах

$\Gamma \; 8\; \prime \; =\; \{(xi)\; \in \; Z\; 8\; \cup \; (\; Z\; +\; 1\; 2)\; 8:\; \sum \; ixi\; \equiv \; 2\; x\; 1\; \equiv \; 2\; x\; 2\; \equiv \; 2\; x\; 3\; \equiv \; 2\; x\; 4\; \equiv \; 2\; x\; 5\; \equiv \; 2\; x\; 6\; \equiv \; 2\; x\; 7\; \equiv \; 2\; x\; 8\; (mod\; 2)\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{8\}\; \text{'}=\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x\_\; \{i\})\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{8\}\; \backslash \; cup\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\; \})\; ^\; \{8\}:\; \{\{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\}\; x\_\; \{i\}\}\; \backslash \; эквив\; 2х\_\; \{1\}\; \backslash \; эквив\; 2х\_\; \{2\}\; \backslash \; эквив\; 2х\_\; \{3\}\; \backslash \; эквив\; 2х\_\; \{4\}\; \backslash \; эквив\; 2х\_\; \{5\}\; \backslash \; Equiv\; 2x\_\; \{6\}\; \backslash \; Equiv\; 2x\_\; \{7\}\; \backslash \; Equiv\; 2x\_\; \{8\}\; \backslash ;\; (\{\backslash \; t\_dv\; \{mod\}\}\; 2)\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

$\Gamma \; 8\; \prime \; =\; \{(xi)\; \in \; Z\; 8:\; \sum \; ixi\; \equiv \; 0\; (mod\; 2)\}\; \cup \; \{(xi)\; \in \; (Z\; +\; 1\; 2)\; 8:\; \sum \; ixi\; \equiv \; 1\; (mod\; 2)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{8\}\; \text{'}=\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x\_\; \{i\})\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{8\}:\; \{\{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\}\; x\_\; \{i\}\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; (\{\backslash \; t\_dv\; \{mod\}\}\; 2)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; cup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x\_\; \{i\})\; \backslash \; in\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\})\; ^\; \{\; 8\}:\; \{\{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\}\; x\_\; \{i\}\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; (\{\backslash \; t\_dv\; \{mod\}\}\; 2)\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Решетки Γ 8 и Γ ′ 8 изоморфны, и можно переходить от одного к другому, меняя знаки любого нечетного числа полуцелых координат. Решетка Γ 8 иногда называется четной системой координат для E 8, а решетка Γ 8 'называется нечетной системой координат. Если не указано иное, мы будем работать в четной системе координат.

Решетка E 8 Γ 8 может быть охарактеризована как уникальная решетка в R со следующими свойствами :

• Целочисленный, то есть все скалярные произведения элементов решетки являются целыми числами.
• Это унимодулярный, что означает, что он является целым и может быть сгенерирован столбцами Матрица 8 × 8 с определителем ± 1 (т. Е. Объем фундаментального параллелоэдра решетки равен 1). Эквивалентно, Γ 8 самодуальна, то есть она равна своей дуальной решетке.
• Она четна, что означает, что норма любого вектора решетки четна.

Четные унимодулярные решетки может встречаться только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решеток две: Γ 8 ⊕ Γ 8 и Γ 16 (построенные аналогичным образом к Γ 8). В размерности 24 имеется 24 таких решетки, называемых решетками Нимейера. Наиболее важной из них является решетка пиявки.

. Один из возможных базисов для Γ 8 задается столбцами (верхнетреугольной ) матрицы

$[2\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; 0\; 1\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; 0\; 0\; 1\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; 0\; 0\; 0\; 1\; -\; 1\; 0\; 0\; 1/2\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; -\; 1\; 0\; 1/2\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; -\; 1\; 1/2\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 1/2\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1/2].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; -1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; -1\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; -1\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; /\; 2\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 1/2\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right].\}$

Γ8тогда является целым промежутком этих векторов. Все другие возможные основания получаются из этого умножением справа на элементы GL (8, Z ).

Самые короткие ненулевые векторы в Γ 8 имеют квадрат нормы 2. Таких векторов 240:

• Все полуцелые числа (могут быть только ± 1/2):
  • Все положительные или все отрицательные: 2
  • Четыре положительных, четыре отрицательных: (8 * 7 * 6 * 5) / (4 * 3 * 2 * 1) = 70
  • Два одного, шести другого: 2 * (8 * 7) / (2 * 1) = 56
• Все целые числа (может быть только 0, ± 1):
  • Два ± 1, шесть нулей : 4 * (8 * 7) / (2 * 1) = 112

Они образуют корневую систему типа E8. Решетка Γ 8 равна решетке корней E 8, что означает, что она задается целым промежутком 240 корней. Любой выбор из 8 простых корней дает основу для Γ 8.

группы автоморфизмов (или группы симметрии ) решетка в R определяется как подгруппа ортогональной группы O (n), которая сохраняет решетку. Группа симметрии решетки E 8 - это группа Вейля / Кокстера типа E 8. Это группа, образованная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решетки. Его порядок задается

$|\; W\; (E\; 8)\; |\; =\; 696729600\; =\; 4!\; \cdot \; 6!\; \cdot \; 8!.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; W\; (\backslash \; mathrm\; \{E\}\; \_\; \{8\})\; |\; =\; 696729600\; =\; 4!\; \backslash \; cdot\; 6!\; \backslash \; cdot\; 8\; !.\}$

Группа Вейля E 8 содержит подгруппу заказ 128 · 8! состоящий из всех перестановок координат и всех четных изменений знака. Эта подгруппа является группой Вейля типа D 8. Полная E 8 группа Вейля генерируется этой подгруппой и блочно-диагональной матрицей H4⊕H4, где H 4 - это матрица Адамара

$H\; 4\; =\; 1\; 2\; [1\; 1\; 1\; 1\; 1\; -\; 1\; 1\; -\; 1\; 1\; 1\; -\; 1\; -\; 1\; 1\; -\; 1\; -\; 1\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{4\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 1\; 1\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; -1\; 1\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; -1\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; -1\; -1\; 1\; \backslash \; \backslash \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right].\}$

См. 521соты

Точки решетки E 8 являются вершинами соты 521, которая является состоит из правильных 8-симплексных и 8-ортоплексных фасетов. Эти соты были впервые изучены Госсетом, который назвал их 9-ю полурегулярной фигурой (Госсет рассматривал соты в n измерениях как вырожденные n + 1 многогранники). В нотации Кокстера соты Госсета обозначены 5 21 и имеют диаграмму Кокстера-Дынкина :

. Эти соты очень регулярны в том смысле, что их группа симметрии ( affine $E\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$группа Вейля) действует транзитивно на k-гранях для k ≤ 6. Все k-граней для k ≤ 7 - симплексы.

вершинная фигура соты Госсета является полуправильным E8многогранником (421в обозначениях Кокстера), задаваемым выпуклой оболочкой из 240 корней E 8 решетка.

Каждая точка решетки E 8 окружена 2160 8-ортоплексами и 17280 8-симплексами. 2160 глубоких отверстий около начала координат - это в точности половинки точек решетки с нормой 4. 17520 точек решетки с нормой 8 делятся на два класса (две орбиты под действием группы автоморфизмов E 8): 240 в два раза превышают норму 2 точек решетки, а 17280 в три раза больше мелкие дыры, окружающие начало координат.

A в решетке - это точка в окружающем евклидовом пространстве, расстояние до которой до ближайшей точки решетки составляет локальный максимум. (В решетке, определенной как однородная сотовая структура, эти точки соответствуют центрам фасеток объемов.) Глубокая дыра - это дыра, расстояние от которой до решетки является глобальным максимумом. В решетке E 8 есть два типа отверстий:

• Глубокие отверстия, такие как точка (1,0,0,0,0,0,0,0), находятся на расстоянии 1 от ближайших узлов решетки. На этом расстоянии имеется 16 точек решетки, которые образуют вершины 8-ортоплекса с центром в отверстии (ячейка Делоне отверстия).
• Мелкие отверстия например, точка $(5\; 6,\; 1\; 6,\; 1\; 6,\; 1\; 6,\; 1\; 6,\; 1\; 6,\; 1\; 6,\; 1\; 6)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{6\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\; \},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\})\}$находятся на расстоянии $2\; 2\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{3\}\}\}$от ближайших точек решетки. На этом расстоянии есть 9 точек решетки, образующих вершины 8-симплекса с центром в отверстии.

E 8 lattice примечателен тем, что дает оптимальные решения проблемы упаковки сфер и проблемы числа поцелуев в 8 измерениях.

Задача упаковки сфер спрашивает, каков наиболее плотный способ упаковки (твердых) n-мерных сфер фиксированного радиуса в R, чтобы никакие две сферы не перекрывались. Решетчатые насадки - это специальные типы сферических упаковок, в которых сферы центрированы в точках решетки. Размещение сфер радиуса 1 / √2 в точках решетки E 8 дает упаковку решетки в R с плотностью

$\pi \; 4\; 2\; 4\; 4!\; \cong \; 0,25367.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{4\}\}\; \{2\; ^\; \{4\}\; 4!\}\}\; \backslash \; cong\; 0.25367.\}$

Давно известно, что это максимальная плотность, которая может быть достигнута решеткой упаковка в 8 измерениях. Кроме того, решетка E 8 является единственной решеткой (с точностью до изометрий и масштабов) с такой плотностью. Математик Марина Вязовская в 2016 году доказала, что эта плотность фактически оптимальна даже среди нерегулярных упаковок.

Задача числа поцелуев спрашивает, какое максимальное количество сферы фиксированного радиуса, которые могут касаться (или «целовать») центральную сферу того же радиуса. В упомянутой выше решетчатой ​​упаковке E 8 любая данная сфера касается 240 соседних сфер. Это связано с тем, что существует 240 векторов решетки с минимальной ненулевой нормой (корни решетки E 8). В 1979 году было показано, что это максимально возможное число в 8 измерениях.

Проблема упаковки сфер и проблема числа поцелуев чрезвычайно сложны, и оптимальные решения известны только в 1, 2, 3, 8 и 24 измерения (плюс измерение 4 для задачи с числом поцелуев). Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, частично следует из особых свойств решетки E 8 и ее 24-мерного родственника, решетки Пиявки.

Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить тета-функцию, заданную формулой

$\Theta \; \Lambda \; (\tau )\; =\; \sum \; x\; \in \; \Lambda \; ei\; \pi \; \tau \; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; I\; m\; \tau >0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Theta\; \_\; \{\backslash \; Lambda\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; \backslash ,\; \backslash \; tau>0.\}$

Тогда тета-функция решетки является голоморфной функцией на верхней полуплоскости. Кроме того, тета-функция четной унимодулярной решетки ранга n на самом деле является модульной формой веса n / 2. Тэта-функция целочисленной решетки часто записывается как степенной ряд в $q\; =\; ei\; \pi \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\}\}$, так что коэффициент при q дает количество векторов решетки нормы n.

С точностью до нормализации существует уникальная модульная форма веса 4: ряд Эйзенштейна G4(τ). В этом случае тета-функция для решетки E 8 должна быть пропорциональна G 4 (τ). Нормализация может быть зафиксирована с помощью отмечая, что существует единственный вектор нормы 0. Это дает

$\Theta \; \Gamma \; 8\; (\tau )\; =\; 1\; +\; 240\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; \sigma \; 3\; (n)\; q\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{8\}\}\; (\backslash \; tau)\; =\; 1\; +240\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{3\}\; (n)\; q\; ^\; \{2n\}\}$

где σ 3 (n) - это делительная функция. Отсюда следует, что количество E 8 векторов решетки с нормой 2n в 240 раз превышает сумму кубов делителей n. Первые несколько членов этого ряда задаются (последовательность A004009 в OEIS ):

$\Theta \; \Gamma \; 8\; (\tau )\; =\; 1\; +\; 240\; q\; 2\; +\; 2160\; q\; 4\; +\; 6720\; к\; 6\; +\; 17520\; к\; 8\; +\; 30240\; к\; 10\; +\; 60480\; к\; 12\; +\; O\; (к\; 14).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{8\}\}\; (\backslash \; tau)\; =\; 1\; +\; 240\; \backslash ,\; q\; ^\; \{2\}\; +2160\; \backslash ,\; q\; ^\; \{4\}\; +6720\; \backslash ,\; q\; ^\; \{6\}\; +17520\; \backslash ,\; q\; ^\; \{8\}\; +30240\; \backslash ,\; q\; ^\; \{10\}\; +60480\; \backslash ,\; q\; ^\; \{12\}\; +\; O\; (q\; ^\; \{14\}).\}$

Тета-функция E 8 может можно записать в терминах тэта-функций Якоби следующим образом:

$\Theta \; \Gamma \; 8\; (\tau )\; =\; 1\; 2\; (\theta \; 2\; (q)\; 8\; +\; \theta \; 3\; (q)\; 8\; +\; \theta \; 4\; (q)\; 8)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{8\}\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; (q)\; ^\; \{8\}\; +\; \backslash \; theta\; \_\; \{3\}\; (q)\; ^\; \{8\}\; +\; \backslash \; theta\; \_\; \{4\}\; (q)\; ^\; \{8\}\; \backslash \; right)\}$

где

$\theta \; 2\; (q)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; q\; (\; n\; +\; 1\; 2)\; 2\; \theta \; 3\; (q)\; знак\; равно\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; qn\; 2\; \theta \; 4\; (q)\; знак\; равно\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (-\; 1)\; nqn\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; (q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{(n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\})\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; theta\; \_\; \{3\}\; (q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; theta\; \_\; \{4\}\; (q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}.\}$

Код Хэмминга

Решетка E 8 очень тесно связана с (расширенным) кодом Хэмминга H (8,4) и фактически может быть построена из него. Код Хэмминга H (8,4) представляет собой двоичный код длины 8 и ранга 4; то есть это 4-мерное подпространство конечного векторного пространства (F2). Записывая элементы (F2) как 8-битные целые числа в шестнадцатеричном, код H (8,4) может быть явно задан как набор

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Код H (8,4) важен отчасти потому, что он тип II код. Он имеет минимальный вес Хэмминга 4, что означает, что любые два кодовых слова отличаются по крайней мере на 4 бита. Это самый большой двоичный код длины 8 с этим свойством.

Можно построить решетку Λ из двоичного кода C длины n, взяв набор всех векторов x в Z таких, что x конгруэнтен (по модулю 2) кодовому слову C.Часто удобно масштабировать Λ в 1 / √2 раз,

$\Lambda \; =\; 1\; 2\; \{x\; \in \; Z\; n:\; x\; mod\; 2\; \in \; C\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{n\}:\; x\; \backslash ,\; \{\backslash \; bmod\; \{\backslash ,\}\}\; 2\; \backslash \; in\; C\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Применяя эту конструкцию, самодуальный код типа II дает четную унимодулярную решетку. В частности, его применение к коду Хэмминга H (8,4) дает решетку E 8. Однако не совсем тривиально найти явный изоморфизм между этой решеткой и решеткой Γ 8, определенной выше.

Интегральные октонионы

Решетка E 8 также тесно связана с неассоциативной алгеброй реальных октонионов O. Можно определить концепцию целого октониона, аналогичную концепции целого кватерниона. Целые октонионы естественным образом образуют решетку внутри O . Эта решетка является просто масштабированной решеткой E 8. (Минимальная норма в решетке целых октонионов равна 1, а не 2). Вложенная таким образом в октонионы, решетка E 8 принимает структуру неассоциативного кольца.

. Зафиксируя базис (1, i, j, k, ℓ, ℓi, ℓj, ℓk) единичных октонионов можно определить целые октонионы как максимальный порядок, содержащий этот базис. (Конечно, необходимо расширить определения порядка и кольца, включив в них неассоциативный случай). Это означает нахождение самого большого подкольца из O, содержащего единицы, на которых выражения x * x (норма x) и x + x * (удвоенная действительная часть x) целочисленные. Фактически существует семь таких максимальных порядков, по одному соответствующему каждой из семи мнимых единиц. Однако все семь максимальных порядков изоморфны. Один такой максимальный порядок порождается октонионами i, j и ½ (i + j + k +).

Подробное описание интегральных октонионов и их связи с решеткой E 8 можно найти в Conway and Smith (2003).

Пример определения целых октонионов

Рассмотрим умножение октонионов, определяемое триадами: 137, 267, 457, 125, 243, 416, 356. Тогда целые октонионы образуют векторы:

1) $\pm \; ei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; e\_\; \{i\}\}$, i = 0, 1,..., 7

2) $\pm \; e\; 0\; \pm \; ea\; \pm \; eb\; \pm \; ec\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; e\_\; \{0\}\; \backslash \; pm\; e\_\; \{a\}\; \backslash \; pm\; e\_\; \{b\}\; \backslash \; pm\; e\_\; \{c\}\}$, индексы abc проходят через семь триад 124, 235, 346, 457, 561, 672, 713

3) $\pm \; ep\; \pm \; eq\; \pm \; er\; \pm \; es\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; e\_\; \{p\}\; \backslash \; pm\; e\_\; \{q\}\; \backslash \; pm\; e\_\; \{r\}\; \backslash \; pm\; e\_\; \{s\}\}$, индексы pqrs проходят через семь тетрад 3567, 1467, 1257, 1236, 2347, 1345, 2456.

Мнимые октонионы в этом наборе, а именно 14 из 1) и 7 * 16 = 112 из 3), образуют корни алгебры Ли $E\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{7\}\}$. Вместе с оставшимися 2 + 112 векторами мы получаем 240 векторов, которые образуют корни алгебры Ли $E\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{8\}\}$. См. Работу Коджи по этому вопросу.

В 1982 г. Майкл Фридман создал пример топологического 4-многообразия, названного E8многообразие, форма пересечения которого задается решеткой E 8. Это многообразие является примером топологического многообразия, которое не допускает гладкой структуры и даже не триангулируемо.

В теории струн гетеротическая струна является своеобразным гибридом 26-мерной бозонной струны и 10-мерной суперструны. Для того чтобы теория работала правильно, 16 несовпадающих измерений должны быть компактифицированы на четной унимодулярной решетке ранга 16. Таких решеток две: Γ 8⊕Γ8и Γ 16 (построенные таким образом аналогично Γ 8). Это приводит к двум версиям гетеротической струны, известной как гетеротическая строка E 8×E8и гетеротическая строка SO (32).

• Решетка пиявки
• E8(математика)
• Полурегулярный E-многогранник

• Конвей, Джон Х. ; Sloane, Neil J. A. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.
• Конвей, Джон Х. ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах. Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.Глава 9 содержит обсуждение целочисленных октонионов и решетки E 8.