Войти
В геометрии и математической теории групп, унимодулярная решетка представляет собой целую решетку от определителя 1 или -1. Для решетки в n-мерном евклидовом пространстве это эквивалентно требованию, чтобы объем любой фундаментальной области для решетки был равен 1.
E8решетка и решетка пиявки - два известных примера.
Три наиболее важных примера унимодулярных решеток:
Решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда ее двойственная решетка является целой. Унимодулярные решетки равны своим двойственным решеткам, и по этой причине унимодулярные решетки также известны как самодуальные.
Для пары (m, n) неотрицательных целых чисел четная унимодулярная решетка сигнатуры (m, n) существует тогда и только тогда, когда mn делится на 8, но нечетная унимодулярная решетка сигнатуры (m, п) всегда существует. В частности, даже унимодулярно определенные решетки существуют только в размерности, кратной 8. Примеры во всех допустимых сигнатурах даются конструкциями II m, n и I m, n соответственно.
тета-функция унимодулярной положительно определенной решетки - это модульная форма, вес которой равен половине ранга. Если решетка четная, форма имеет уровень 1, а если решетка нечетная, форма имеет структуру Γ 0 (4) (т.е. это модульная форма уровня 4). Из-за границы размерности пространств модулярных форм минимальная норма ненулевого вектора четной унимодулярной решетки не превышает ⎣n / 24⎦ + 1. Четная унимодулярная решетка, которая достигает этой границы, называется экстремальной. Экстремальные даже унимодулярные решетки известны в соответствующих размерностях до 80, и их отсутствие было доказано для размерностей выше 163 264.
Для неопределенных решеток классификацию легко описать. Запишите R для m + n-мерного векторного пространства R со скалярным произведением (a 1,..., a m + n) и (b 1,..., b m + n), заданные как
В R есть одна нечетная неопределенная унимодулярная решетка с точностью до изоморфизма, обозначенная
, которая задается всеми векторами (a 1,..., a m + n) в R со всеми целыми числами a i.
Не существует неопределенных четных унимодулярных решеток, если
, и в этом случае существует единственный пример с точностью до изоморфизма, обозначаемый
Это задается всеми векторами (a 1,..., a m + n) в R такими, что либо все a i - целые числа или все целые числа плюс 1/2, а их сумма четная. Решетка II 8,0 такая же, как решетка E 8.
Положительно определенные унимодулярные решетки классифицированы до размера 25. Существует уникальный пример I n, 0 в каждом измерении n меньше 8 и два примера (I 8, 0 и II 8,0) в размерности 8. Количество решеток умеренно увеличивается до размера 25 (где их 665), но за пределами измерения 25 Смит- Массовая формула Минковского-Зигеля подразумевает, что число очень быстро увеличивается с увеличением размера; например, их более 80 000 000 000 000 000 в размерности 32.
В некотором смысле унимодулярные решетки до размера 9 контролируются E 8, а до измерения 25 они контролируются Пиявкой решетки, и это объясняет их необычайно хорошее поведение в этих измерениях. Например, диаграмма Дынкина векторов нормы-2 унимодулярных решеток в размерности до 25 может быть естественным образом отождествлена с конфигурацией векторов в решетке Лича. Резкое увеличение числа сверх 25 измерений может быть связано с тем фактом, что эти решетки больше не контролируются решеткой Пиявки.
Даже положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерах, кратных 8. В размерности 8 (решетка E 8) есть одна, в размерности 16 (E 8 и II 16,0) и 24 в измерении 24, называемых решетками Нимейера (примеры: решетка Пиявки, II 24,0, II 16,0 + II 8,0, II 8,0). За пределами 24 измерений число увеличивается очень быстро; в 32 измерениях их более миллиарда.
Унимодулярные решетки без корней (векторы нормы 1 или 2) были классифицированы до размерности 28. Нет ни одной размерности меньше 23 (кроме нулевой решетки!). Один из них имеет размер 23 (называемый короткой решеткой пиявки ), два - размерностью 24 (решетка пиявки и нечетная решетка пиявки ) и Bacher Venkov (2001) показал, что есть 0, 1, 3, 38 в измерениях 25, 26, 27, 28 соответственно. Помимо этого число очень быстро увеличивается; их не менее 8000 в размерности 29. При достаточно больших размерностях большинство унимодулярных решеток не имеют корней.
Единственный ненулевой пример даже положительно определенных унимодулярных решеток без корней в размерности меньше 32 - это решетка Пиявки в размерности 24. В размерности 32 имеется более десяти миллионов примеров, а размерность выше 32 - число растет очень быстро.
В следующей таблице из (King 2003) приводится количество (или нижние границы) четных или нечетных унимодулярных решеток в различных измерениях и показан очень быстрый рост, начинающийся вскоре после измерения 24.
| Размерность | Нечетные решетки | Нечетные решетки. без корней | Четные решетки | Четные решетки. без корней |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | ||
| 2 | 1 | 0 | ||
| 3 | 1 | 0 | ||
| 4 | 1 | 0 | ||
| 5 | 1 | 0 | ||
| 6 | 1 | 0 | ||
| 7 | 1 | 0 | ||
| 8 | 1 | 0 | 1 (E 8 решетка) | 0 |
| 9 | 2 | 0 | ||
| 10 | 2 | 0 | ||
| 11 | 2 | 0 | ||
| 12 | 3 | 0 | ||
| 13 | 3 | 0 | ||
| 14 | 4 | 0 | ||
| 15 | 5 | 0 | ||
| 16 | 6 | 0 | 2 (E 8, D 16) | 0 |
| 17 | 9 | 0 | ||
| 18 | 13 | 0 | ||
| 19 | 16 | 0 | ||
| 20 | 28 | 0 | ||
| 21 | 40 | 0 | ||
| 22 | 68 | 0 | ||
| 23 | 117 | 1 (более короткая решетка пиявки) | ||
| 24 | 273 | 1 (нечетная решетка пиявки) | 24 (решетка Нимейера) | 1 (решетка пиявки) |
| 25 | 665 | 0 | ||
| 26 | ≥ 2307 | 1 | ||
| 27 | ≥ 14179 | 3 | ||
| 28 | ≥ 327972 | 38 | ||
| 29 | ≥ 37938009 | ≥ 8900 | ||
| 30 | ≥ 20169641025 | ≥ 82000000 | ||
| 31 | ≥ 5000000000000 | ≥ 800000000000 | ||
| 32 | ≥ 80000000000000000 | ≥ 10000000000000000 | ≥ 1160000000 | ≥ 10900000 |
После 32 измерений числа увеличиваются еще быстрее.
Второй группа когомологий замкнутого односвязного ориентированного топологического 4-многообразия является унимодулярная решетка. Майкл Фридман показал, что эта решетка почти определяет многообразие: такое многообразие существует для каждой четной унимодулярной решетки и ровно два для каждой нечетной унимодулярной решетки. В частности, если мы возьмем решетку равной 0, это влечет гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий. Теорема Дональдсона утверждает, что если многообразие гладкое и решетка положительно определена, то оно должно быть суммой копий Z, поэтому большинство этих многообразий не имеют гладкой структуры. Одним из таких примеров является коллектор E8.
.
