Обратная решетка

редактировать

Преобразование Фурье решеток реального пространства, важное в физике твердого тела

Сгенерированная компьютером обратная решетка вымышленного моноклинный 3D кристалл.

Двумерный кристалл и его обратная решетка

В физике обратная решетка представляет собой преобразование Фурье другой решетки (обычно решетки Браве ). При обычном использовании исходная решетка (преобразование которой представлено обратной решеткой) обычно является периодической пространственной функцией в реальном пространстве и также известна как прямая решетка. В то время как прямая решетка существует в реальном пространстве и является тем, что обычно называют физической решеткой, обратная решетка существует в обратном пространстве (также известном как импульсное пространство или, реже, как K-пространство, из-за связь между парой Понтрягина импульсом и положением). , обратный обратной решетки, является исходной прямой решеткой, поскольку они являются преобразованиями Фурье друг друга. Математически векторы прямой и обратной решетки представляют собой ковариантные и контравариантные векторы соответственно.

Обратная решетка играет очень фундаментальную роль в большинстве аналитических исследований периодических структур, особенно в теории дифракции. В нейтронном и рентгеновском дифракции, из-за условий Лауэ, разность импульсов между падающими и дифрагированными рентгеновскими лучами кристалл - вектор обратной решетки. Дифракционная картина кристалла может использоваться для определения обратных векторов решетки. Используя этот процесс, можно сделать вывод об атомном расположении кристалла.

Зона Бриллюэна - это ячейка Вигнера-Зейтца обратной решетки.

Содержание

1 Математическое описание
2 Взаимные решетки различных кристаллов
- 2.1 Простая кубическая решетка
- 2.2 Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка
- 2.3 Объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка
- 2.4 Простая гексагональная решетка
3 Произвольный набор атомов
4 Обобщение двойственной решетки
5 Обратное пространство
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Математическое описание

Предполагая двумерную решетку Браве

R n = n 1 a 1 + n 2 a 2 {\ displaystyle \ mathbf {R} _ {n} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2}}

\mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}

где

n 1, n 2 ∈ Z {\ displaystyle n_ {1}, n_ {2} \ in \ mathbb {Z}}

n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z}

Принимая функцию $f (r) {\ displaystyle f (\ mathbf {r})}$ $f(\mathbf{r})$ где $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\mathbf {r}$ - вектор от начала координат до любой позиции, если $f (r) {\ displaystyle f (\ mathbf {r})}$ $f(\mathbf{r})$ следует за периодичность решетки, например электронной плотности в атомном кристалле, полезно записать $f (r) {\ displaystyle f (\ mathbf {r})}$ $f(\mathbf{r})$ как ряд Фурье

∑ mfmei Г м ⋅ р знак равно е (г) {\ displaystyle \ sum _ {m} {f_ {m} e ^ {i \ mathbf {G} _ {m} \ cdot \ mathbf {r}}} = f \ left ( \ mathbf {r} \ right)}

\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=f\left(\mathbf {r} \right)

Поскольку $f (r) {\ displaystyle f (\ mathbf {r})}$ $f(\mathbf{r})$ следует периодичности решетки, переводя $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\mathbf {r}$ по любому вектору решетки $R n {\ displaystyle \ mathbf {R} _ {n}}$ ${\mathbf {R}}_{n}$ мы получаем то же значение, следовательно

f (r + R n) = f (r) {\ displaystyle f (\ mathbf {r} + \ mathbf {R} _ {n}) = f (\ mathbf {r})}

f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r})

выражение вместо этого в терминах их ряда Фурье мы имеем

∑ mfmei G m ⋅ r = ∑ mfmei G m ⋅ (r + R n) = ei G m ⋅ R n ∑ mfmei G m ⋅ r {\ displaystyle \ sum _ {m} {f_ {m} e ^ {i \ mathbf {G} _ {m} \ cdot \ mathbf {r}}} = \ sum _ {m} {f_ {m} e ^ {i \ mathbf { G} _ {m} \ cdot (\ mathbf {r} + \ mathbf {R} _ {n})}} = e ^ {i \ mathbf {G} _ {m} \ cdot \ mathbf {R} _ { n}} \ sum _ {m} {f_ {m} e ^ {i \ mathbf {G} _ {m} \ cdot \ mathbf {r}}}}

{\ displaystyl e \sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}}=e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}}

Чтобы это было правдой, $ei G m ⋅ R n = 1 {\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {G} _ {m} \ cdot \ mathbf {R} _ {n}} = 1}$ $e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1$ , который выполняется только тогда, когда

G m ⋅ R n = 2 π δ mn N {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {m} \ cdot \ mathbf {R} _ {n} = 2 \ pi \ delta _ {mn} N}

\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi \delta _{mn}N

где

N ∈ Z {\ displaystyle N \ in \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle N \ in \ mathbb {Z}}

где $δ mn {\ displaystyle \ delta _ {mn}}$ $\ delta _ {{mn}}$ - это дельта Кронекера. Этот критерий ограничивает значения $G m {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {m}}$ $\mathbf {G} _{m}$ векторами, которые удовлетворяют этому отношению. Математически обратная решетка - это набор всех векторов $G m {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {m}}$ $\mathbf {G} _{m}$ , которые удовлетворяют вышеуказанному тождеству для всех точек решетки векторы положения $R n {\ displaystyle \ mathbf {R} _ {n}}$ ${\mathbf {R}}_{n}$ . Таким образом, любая функция, которая демонстрирует ту же периодичность решетки, может быть выражена в виде ряда Фурье с угловыми частотами, взятыми из обратной решетки.

Эта обратная решетка сама по себе является решеткой Браве, а обратная решетка является исходной решеткой, которая раскрывает двойственность Понтрягина соответствующих векторных пространств.

Для бесконечной двумерной решетки, определяемой ее примитивными векторами $(a 1, a 2) {\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} _ {1}, \ mathbf {a} _ {2} \ right)}$ $\left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)$ , его обратная решетка может быть определена путем генерации двух обратных примитивных векторов с помощью следующих формул:

G m = m 1 b 1 + m 2 b 2 {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {m} = m_ {1} \ mathbf {b} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {b} _ {2}}

\mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}

Где

б 1 знак равно 2 π - R a 2 - a 1 ⋅ R a 2 = 2 π R a 2 a 1 ⋅ R a 2 b 2 = 2 π R a 1 a 2 ⋅ R a 1 {\ displaystyle { \ begin {align} \ mathbf {b} _ {1} = 2 \ pi {\ frac {- \ mathbf {R} \, \ mathbf {a} _ {2}} {- \ mathbf {a} _ { 1} \ cdot \ mathbf {R} \, \ mathbf {a} _ {2}}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {R} \, \ mathbf {a} _ {2}} {\ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf {R} \, \ mathbf {a} _ {2}}} \\\ mathbf {b} _ {2} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf { R} \, \ mathbf {a} _ {1}} {\ mathbf {a} _ {2} \ cdot \ mathbf {R} \, \ mathbf {a} _ {1}}} \ end {выровнено}} }

{\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}=2\pi {\frac {-\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}}\\\mathbf {b} _{2}=2\pi {\frac {\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}

Здесь $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ представляет матрицу поворота на 90 градусов x.

Для бесконечной трехмерной решетки, определяемой ее примитивными векторами $(a 1, a 2, a 3) {\ displaystyle \ left (\ mathbf {a_ {1}}, \ mathbf {a} _ {2}, \ mathbf {a} _ {3} \ right)}$ $\left(\mathbf {a_{1}},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)$ , его обратная решетка может быть определена путем генерации трех его взаимных примитивных векторов с помощью формул

Г м знак равно м 1 б 1 + м 2 б 2 + м 3 б 3 {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {m} = m_ {1} \ mathbf {b} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {b} _ {2} + m_ {3} \ mathbf {b} _ {3}}

\mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}

где для тройного скалярного произведения $V = a 1 ⋅ (a 2 × a 3) {\ displaystyle V = \ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3} \ right)}$ $V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)$ :

б 1 знак равно 2 π V a 2 × a 3 b 2 = 2 π V a 3 × a 1 b 3 = 2 π V a 1 × a 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {b} _ {1 } = {\ frac {2 \ pi} {V}} \ \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3} \\\ mathbf {b} _ {2} = { \ frac {2 \ pi} {V}} \ \ mathbf {a} _ {3} \ times \ mathbf {a} _ {1} \\\ mathbf {b} _ {3} = {\ frac {2 \ pi} {V}} \ \ mathbf {a} _ {1} \ times \ mathbf {a} _ {2} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {b} _{2}={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\\mathbf {b} _{3}={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}

Использование co В векторном представлении (обратных) примитивных векторов приведенные выше формулы могут быть переписаны с использованием инверсии матриц :

[b 1 b 2 b 3] T = 2 π [a 1 a 2 a 3] - 1. {\ displaystyle \ left [\ mathbf {b} _ {1} \ mathbf {b} _ {2} \ mathbf {b} _ {3} \ right] ^ {\ mathsf {T}} = 2 \ pi \ left [\ mathbf {a} _ {1} \ mathbf {a} _ {2} \ mathbf {a} _ {3} \ right] ^ {- 1}.}

\left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.

Этот метод соответствует определению и позволяет обобщение до произвольных размеров. Формула кросс-продукта преобладает во вводных материалах по кристаллографии.

Приведенное выше определение называется "физическим" определением, поскольку множитель $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2\pi$ естественным образом является результатом изучения периодических структур. Эквивалентное определение, определение "кристаллографа", происходит из определения обратной решетки как $e 2 π i K ⋅ R = 1 {\ displaystyle e ^ {2 \ pi i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf { R}} = 1}$ $e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$ , который изменяет определения векторов обратной решетки на

b 1 = a 2 × a 3 a 1 ⋅ (a 2 × a 3) {\ displaystyle \ mathbf { b} _ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3}} {\ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf { a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3} \ right)}}}

{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ { 3}} {\ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3} \ справа)}}}

и так далее для других векторов. У определения кристаллографа есть то преимущество, что определение $b 1 {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1}}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ - это просто величина, обратная $a 1 {\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ $\mathbf {a} _{1}$ в направлении $a 2 × a 3 {\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3}}$ $\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}$ , уменьшая коэффициент $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2\pi$ . Это может упростить определенные математические манипуляции и выразить размеры обратной решетки в единицах пространственной частоты. Какое определение решетки использовать - дело вкуса, если они не смешиваются.

Каждая точка $(hkl) {\ displaystyle (hkl)}$ $(hkl)$ в обратной решетке соответствует набору плоскостей решетки $(hkl) {\ displaystyle (hkl) }$ $(hkl)$ в решетке реального пространства. Направление вектора обратной решетки соответствует нормали к реальным пространственным плоскостям. Величина вектора обратной решетки задается в обратной длине и равна обратной величине межплоскостному расстоянию между плоскостями реального пространства.

Обратные решетки различных кристаллов

Взаимные решетки для кубической кристаллической системы следующие.

Простая кубическая решетка

Простая кубическая решетка Браве с кубической примитивной ячейкой стороны $a {\ displaystyle a}$ $a$ , имеет в качестве обратной простой кубическую решетку с кубической примитивной ячейкой со стороной $2 π a {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {2 \ pi} {a}}}$ $\textstyle {\frac {2\pi }{a}}$ ( $1 a { \ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {a}}}$ $\textstyle {\frac {1}{a}}$ в определении кристаллографа). Поэтому кубическая решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве.

Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка

Обратная решетка по отношению к ГЦК-решетке - это объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка.

Рассмотрим составную элементарную ячейку FCC. Найдите примитивную элементарную ячейку FCC; т.е. элементарная ячейка с одной точкой решетки. Теперь возьмем одну из вершин примитивной элементарной ячейки за начало координат. Приведите базисные векторы реальной решетки. Затем по известным формулам можно вычислить базисные векторы обратной решетки. Эти векторы обратной решетки FCC представляют собой базисные векторы реальной решетки BCC. Обратите внимание, что базисные векторы реальной ОЦК-решетки и обратной решетки ГЦК похожи друг на друга по направлению, но не по величине.

Объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка

Обратной решеткой к решетке ВСС является решетка FCC.

Можно легко доказать, что только решетки Браве, которые имеют 90 градусов между $(a 1, a 2, a 3) {\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} _ {1}, \ mathbf {a} _ {2}, \ mathbf {a} _ {3} \ right)}$ $\left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)$ (кубический, тетрагональный, ромбический) имеют $(b 1, b 2, b 3) {\ displaystyle \ left (\ mathbf {b} _ {1}, \ mathbf {b} _ {2}, \ mathbf {b} _ {3} \ right)}$ $\left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)$ параллельно их реальным- космические векторы.

Простая гексагональная решетка

Обратное к простой гексагональной решетке Браве с постоянными решетки c и a является другой простой гексагональной решеткой с постоянными решетки $2 π c { \ displaystyle \ textstyle {\ frac {2 \ pi} {c}}}$ $\textstyle {\frac {2\pi }{c}}$ и $4 π a 3 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {4 \ pi} {a {\ sqrt { 3}}}}}$ $\textstyle {\frac {4\pi }{a{\sqrt {3}}}}$ повернут на 30 ° вокруг оси c относительно прямой решетки. Поэтому простая гексагональная решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. векторы a 1 = (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j; a 2 = - (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j ve a 3 = ak

Произвольный набор атомов

Тень 118-атомного граненого углерода Обратная решетка интенсивности пентакона загорается красным светом при дифракции при пересечении сферы Эвальда.

Один путь к обратной решетке произвольного набора атомов происходит из идеи рассеянных волн в фраунгофера (long- расстояние или задняя фокальная плоскость линзы) как сумму амплитуд в стиле Гюйгенса от всех точек рассеяния (в данном случае от каждого отдельного атома). Эта сумма обозначается комплексной амплитудой F в уравнении ниже, потому что это также преобразование Фурье (как функция пространственной частоты или обратного расстояния) эффективного потенциала рассеяния в прямом пространстве:

F [g →] = ∑ j = 1 N fj [g →] e 2 π ig → ⋅ r → j. {\ Displaystyle F [{\ vec {g}}] = \ sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} \ left [{\ vec {g}} \ right] e ^ {2 \ pi i {\ vec {g}} \ cdot {\ vec {r}} _ {j}}.}

F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.

Здесь g= q/ (2π) - вектор рассеяния q в кристаллографических единицах, N - количество атомов, f j[g] - атомный коэффициент рассеяния для атома j и вектор рассеяния g, а rj- это положение вектора атома j. Обратите внимание, что фаза Фурье зависит от выбора начала координат.

Для частного случая бесконечного периодического кристалла амплитуда рассеяния F = MF hkl от M элементарных ячеек (как в случаях выше) оказывается ненулевой только для целых значения $(hkl) {\ displaystyle (hkl)}$ $(hkl)$ , где

F hkl = ∑ j = 1 mfj [ghkl] e 2 π i (huj + kvj + lwj) {\ displaystyle F_ {hkl} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} f_ {j} \ left [g_ {hkl} \ right] e ^ {2 \ pi i \ left (hu_ {j} + kv_ {j } + lw_ {j} \ right)}}

F_{hkl}=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{hkl}\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+lw_{j}\right)}

когда в элементарной ячейке находится j = 1, m атомов, чьи дробные индексы решетки соответственно равны {u j, v j, w j }. Конечно, для учета эффектов, связанных с конечным размером кристалла, вместо этого следует использовать свертку формы для каждой точки или приведенное выше уравнение для конечной решетки.

Независимо от того, является ли массив атомов конечным или бесконечным, можно также представить себе «обратную решетку интенсивности» I [g ], которая связана с решеткой амплитуд F через обычное соотношение I = FF, где F - комплексное сопряжение F. Поскольку преобразование Фурье обратимо, конечно, этот акт преобразования в интенсивность отбрасывает «всю информацию, кроме 2-го момента» (то есть фазы). Следовательно, для случая произвольного набора атомов обратная решетка интенсивности имеет вид:

I [g →] = ∑ j = 1 N ∑ k = 1 N fj [g →] fk [g →] e 2 π ig → ⋅ r → jk. {\ displaystyle I [{\ vec {g}}] = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {k = 1} ^ {N} f_ {j} \ left [{\ vec {g }} \ right] f_ {k} \ left [{\ vec {g}} \ right] e ^ {2 \ pi i {\ vec {g}} \ cdot {\ vec {r}} _ {jk}}.}

I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{jk}}.

Здесь rjk- векторное разделение между атомом j и атомом k. Это также можно использовать для прогнозирования влияния формы нанокристаллита и тонких изменений ориентации луча на обнаруженные дифракционные пики, даже если в некоторых направлениях толщина кластера составляет всего один атом. С другой стороны, расчеты рассеяния с использованием обратной решетки в основном рассматривают падающую плоскую волну. Таким образом, после первого взгляда на эффекты обратной решетки (кинематического рассеяния), эффекты уширения пучка и многократного рассеяния (т.е. динамического ) также могут быть важны для рассмотрения.

Обобщение двойственной решетки

На самом деле в математике есть две версии абстрактной концепции двойной решетки для данной решетки L в реальном векторном пространстве V, конечной размерности.

Первый, который непосредственно обобщает конструкцию обратной решетки, использует анализ Фурье. Это можно выразить просто в терминах двойственности Понтрягина. дуальная группа V ^ к V снова является вещественным векторным пространством, и ее замкнутая подгруппа L ^, двойственная к L, оказывается решеткой в V ^. Следовательно, L ^ - естественный кандидат на двойственную решетку в другом векторном пространстве (той же размерности).

Другой аспект проявляется в наличии квадратичной формы Q на V; если он невырожденный, он позволяет идентифицировать двойное пространство V к V с V. Отношение V к V не является внутренним; это зависит от выбора меры Хаара (элемент объема) на V. Но с учетом их идентификации, которая в любом случае четко определена с точностью до скаляра, наличие Q позволяет говорить с двойственной решеткой L, оставаясь в пределах V.

В математике, двойная решетка данной решетка L в абелевой локально компактной топологической группе G является подгруппой L дуальной группы группы G состоящая из всех непрерывных символов, равных одному в каждой точке L.

В дискретной математике решетка - это локально дискретный набор точек, описываемый всеми целыми линейными комбинациями dim = n линейно независимых векторов в R Затем двойственная решетка определяется всеми точками линейной оболочки исходной решетки (обычно все из R ^ n) со свойством, что целое число является результатом внутреннего произведения со всеми элементами исходной решетки. Отсюда следует, что двойственная решетка двойственная - исходная решетка.

Кроме того, если мы позволим матрице B иметь столбцы в качестве линейно независимых векторов, описывающих решетку, тогда матрица

$A = B (BTB) - 1 {\ displaystyle A = B \ left ( B ^ {\ mathsf {T}} B \ right) ^ {- 1}}$ $A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}$ имеет столбцы векторов, которые описывают двойственную решетку.

Обратное пространство

Обратное пространство (также называемое «k-пространством») - это пространство, в котором представлено преобразование Фурье пространственной функции (аналогично частотной области - пространство, в котором представлено преобразование Фурье функции, зависящей от времени). Преобразование Фурье переводит нас из «реального пространства» в обратное пространство или наоборот. Взаимное пространство играет важную роль в волновой механике: поскольку плоская волна может быть записана осциллирующим членом $ei (kx - ω t) {\ displaystyle e ^ {i (kx- \ omega t)}}$ ${\ displaystyle e ^ {я (kx- \ omega t)}}$ с волновым вектором $k {\ displaystyle k}$ $k$ и угловой частотой $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , его можно рассматривать как функцию $k {\ displaystyle k}$ $k$ и $x {\ displaystyle x}$ $x$ (и спектральную часть как функция обоих $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ и $t {\ displaystyle t}$ $t$ ). В пространстве периодичность колеблется с $kx = 2 π {\ displaystyle kx = 2 \ pi}$ $kx=2\pi$ - поэтому для данной фазы $k {\ displaystyle k}$ $k$ и $x {\ displaystyle x}$ $x$ взаимны друг с другом: $k = 2 π / x {\ displaystyle k = 2 \ pi / x}$ $k=2\pi /x$ и $x = 2 π / k {\ displaystyle x = 2 \ pi / k}$ $x=2\pi /k$ .

Обратная решетка - это периодический набор точек в этом пространстве, содержащий $k → {\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\vec {k}}$ точек, которые составляют преобразование Фурье периодической пространственной решетки. Зона Бриллюэна - это объем в этом пространстве, который содержит все уникальные k-векторы, которые представляют периодичность классических или квантовых волн, разрешенных в периодической структуре.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, связанные с Дифракцией.

http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html - Имитатор дифракции электронов на основе Jmol позволяет исследовать пересечение обратной решетки и сферы Эвальда во время наклона.
Пакет обучения и обучения DoITPoMS по взаимному пространству и взаимной решетке
Легко изучите кристаллографию и как обратная решетка объясняет явление дифракции, как показано в главах 4 и 5