Теорема Дональдсона

редактировать

В математике, и в особенности дифференциальной топологии и калибровочной теории, теорема Дональдсон гласит, что определенная форма пересечения из прессованных, ориентированных, односвязная, гладкого многообразия в размерности 4 является diagonalisable. Если форма пересечения положительно (отрицательно) определена, ее можно диагонализировать до единичной матрицы (отрицательной единичной матрицы) по целым числам.

СОДЕРЖАНИЕ

1 История
2 Идея доказательства
3 расширения
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки

История

Теорема была доказана Саймоном Дональдсоном. Это был вклад, процитированный для его медали Филдса в 1986 году.

Идея доказательства

Доказательство Дональдсона использует пространство модулей решений уравнений антиавтодуальности на главном -расслоении над четырехмерным многообразием. По теореме Атьи – Зингера об индексе размерность пространства модулей определяется выражением ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {P}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$ $\ operatorname {SU} (2)$ ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

{\ displaystyle \ dim {\ mathcal {M}} = 8k-3 (1-b_ {1} (X) + b _ {+} (X)),}

{\ displaystyle \ dim {\ mathcal {M}} = 8k-3 (1-b_ {1} (X) + b _ {+} (X)),}

где, первое число Бетти из и является размерностью положительно определенным подпространства относительно формы пересечения. Когда односвязно с определенной формой пересечения, возможно, после смены ориентации, всегда есть и. Таким образом, взяв любое главное -расслоение с, мы получаем пространство модулей размерности пять. ${\ displaystyle c_ {2} (P) = k}$ ${\ displaystyle c_ {2} (P) = k}$ ${\ displaystyle b_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle b_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle b _ {+} (X)}$ ${\ displaystyle b _ {+} (X)}$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle b_ {1} (X) = 0}$ ${\ displaystyle b_ {1} (X) = 0}$ ${\ displaystyle b _ {+} (X) = 0}$ ${\ displaystyle b _ {+} (X) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$ $\ operatorname {SU} (2)$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ mathcal {M}}$

Кобордизм, заданный пространством модулей Янга – Миллса в теореме Дональдсона

Это пространство модулей некомпактно и в общем случае гладко, с особенностями, возникающими только в точках, соответствующих приводимым связностям, которых ровно много. Результаты Клиффорда Таубса и Карен Уленбек показывают, что, хотя он некомпактен, его структуру на бесконечности легко описать. А именно, существует открытое подмножество, скажем, такое, что для достаточно малого выбора параметра существует диффеоморфизм ${\ displaystyle b_ {2} (X)}$ ${\ displaystyle b_ {2} (X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ varepsilon}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ varepsilon}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ varepsilon} {\ xrightarrow {\ quad \ cong \ quad}} X \ times (0, \ varepsilon)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ varepsilon} {\ xrightarrow {\ quad \ cong \ quad}} X \ times (0, \ varepsilon)}

Работа Таубса и Уленбека по существу касается построения последовательностей ASD-связностей на четырехмерном многообразии, кривизна которого бесконечно концентрируется в любой заданной единственной точке. Для каждой такой точки в пределе получается уникальная особая связь ASD, которая становится четко определенной гладкой связью ASD в этой точке с использованием теоремы Уленбека об устранимой особенности. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$

Дональдсон заметил, что особые точки внутри соответствующих приводимых связей также могут быть описаны: они выглядели как конусы над комплексной проективной плоскостью с обратной ориентацией. ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {2}}$

Таким образом, можно компактифицировать пространство модулей следующим образом: сначала отрежьте каждый конус в приводимой особенности и приклейте его копию. Во-вторых, приклейте копию самого себя на бесконечность. Результирующее пространство представляет собой кобордизм между и несвязное объединение копий с обратной ориентацией. Форма пересечения четырехмерного многообразия является кобордизмом, инвариантным с точностью до изоморфизма квадратичных форм, из чего заключают, что форма пересечения многообразия диагонализуема. ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {2}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle b_ {2} (X)}$ ${\ displaystyle b_ {2} (X)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {2}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Расширения

Майкл Фридман ранее показал, что любая унимодулярная симметричная билинейная форма реализуется как форма пересечения некоторого замкнутого ориентированного четырехмерного многообразия. Комбинируя этот результат с классификационной теоремой Серра и теоремой Дональдсона, можно увидеть несколько интересных результатов:

1) Любая недиагонализуемая форма пересечения порождает четырехмерное топологическое многообразие без дифференцируемой структуры (поэтому не может быть сглажено).

2) Два гладких односвязных 4-многообразия гомеоморфны, если и только если их формы пересечения имеют одинаковый ранг, сигнатуру и четность.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Дональдсон, SK (1983), "Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии", Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2): 279-315, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214437665, МР 0710056, Zbl +0507,57010
Дональдсон, СК; Кронхеймер, ПБ (1990), Геометрия четырехмерных многообразий, Оксфордские математические монографии, ISBN 0-19-850269-9
Фрид, DS; Уленбек, К. (1984), Инстантоны и четырехмерные многообразия, Springer
Freedman, M.; Куинн Ф. (1990), Топология 4-многообразий, Princeton University Press
Скорпан, А. (2005), Дикий мир 4-многообразий, Американское математическое общество