В математике, четность является свойством целого числа от того, является ли она еще или нечетным. Целочисленное значение четности является четным, если оно делится на два без остатка, и его четность является нечетной, если это не так; то есть его остаток равен 1. Например, -4, 0, 82 и 178 являются четными, потому что при делении на 2 нет остатка. Напротив, −3, 5, 7, 21 являются нечетными числами, поскольку они оставляют остаток от 1 при делении на 2.
Четные и нечетные числа имеют противоположную четность, например, 22 (четное число) и 13 (нечетное число) имеют противоположную четность. В частности, четность нуля - четная. Любые два последовательных целых числа имеют противоположную четность.
Формальное определение четного числа состоит в том, что это целое число в форме n = 2 k, где k - целое число; тогда можно показать, что нечетное число - это целое число вида n = 2 k + 1 (или, альтернативно, 2 k - 1). Важно понимать, что приведенное выше определение четности применимо только к целым числам, поэтому его нельзя применять к числам вроде 1/2 или 4.201. См. Раздел «Высшая математика» ниже для некоторых расширений понятия четности на более широкий класс «чисел» или в других более общих условиях.
В множества четных и нечетных чисел могут быть определены следующим образом:
Число (то есть целое число), выраженное в десятичной системе счисления, является четным или нечетным в зависимости от того, является ли его последняя цифра четной или нечетной. То есть, если последняя цифра 1, 3, 5, 7 или 9, то она нечетная; в противном случае оно четное, поскольку последняя цифра любого четного числа равна 0, 2, 4, 6 или 8. Та же идея будет работать с любым четным основанием. В частности, число, выраженное в двоичной системе счисления, является нечетным, если его последняя цифра равна 1; и оно будет четным, если его последняя цифра равна 0. В нечетном основании число будет четным в соответствии с суммой его цифр - оно будет четным тогда и только тогда, когда сумма его цифр четна.
Следующие законы можно проверить, используя свойства делимости. Они являются частным случаем правил модульной арифметики и обычно используются для проверки правильности равенства путем проверки четности каждой стороны. Как и в обычной арифметике, умножение и сложение коммутативны и ассоциативны в арифметике по модулю 2, а умножение дистрибутивно по сравнению с сложением. Однако вычитание по модулю 2 идентично сложению, поэтому вычитание также обладает этими свойствами, что неверно для нормальной целочисленной арифметики.
Структура ({четное, нечетное}, +, ×) на самом деле является полем всего из двух элементов.
Деление двух целых чисел не обязательно дает целое число. Например, 1, деленная на 4, равняется 1/4, что не является ни четным, ни нечетным, поскольку понятия четный и нечетный применимы только к целым числам. Но когда частное является целым числом, оно будет даже тогда и только тогда, когда у делимого больше двух делителей, чем у делителя.
Древние греки считали 1, монаду, ни полностью нечетной, ни полностью четной. Некоторые из этих настроений сохранились и в XIX веке: книга Фридриха Вильгельма Августа Фребеля « Воспитание человека» 1826 г. инструктирует учителя тренировать учеников с утверждением, что 1 не является ни четным, ни нечетным, к которому Фребель придает философскую мысль:
Здесь следует сразу обратить внимание ученика на великий далеко идущий закон природы и мышления. Это то, что между двумя относительно разными вещами или идеями всегда стоит третья, в некотором роде равновесие, как бы объединяющая их. Таким образом, здесь между нечетными и четными числами есть одно число (один), которое не является ни одним из двух. Точно так же по форме прямой угол стоит между острым и тупым углами; а в языке - полугласные или стремящиеся между немыми и гласными. Вдумчивый учитель и ученик, которого учат думать самостоятельно, вряд ли могут не заметить этот и другие важные законы.
а | б | c | d | е | ж | грамм | час | ||
8 | 8 | ||||||||
7 | 7 | ||||||||
6 | 6 | ||||||||
5 | 5 | ||||||||
4 | 4 | ||||||||
3 | 3 | ||||||||
2 | 2 | ||||||||
1 | 1 | ||||||||
а | б | c | d | е | ж | грамм | час |
Целочисленные координаты точек в евклидовых пространствах двух или более измерений также имеют четность, обычно определяемую как четность суммы координат. Например, гранецентрированная кубическая решетка и ее многомерные обобщения, решетки D n, состоят из всех целочисленных точек, сумма координат которых четна. Эта особенность проявляется в шахматах, где четность квадрата обозначается его цветом: слоны ограничены квадратами одинаковой четности; кони чередуют ходы поочередно. Известно, что эта форма четности использовалась для решения проблемы изуродованной шахматной доски : если два противоположных угловых поля удалены с шахматной доски, то оставшаяся доска не может быть покрыта домино, потому что каждое домино покрывает одну клетку каждой четности и есть еще два квадрата. одной четности, чем другой.
Четность порядковым номером, может быть определена, даже если число является предельное число, или предельное число плюс конечное число четное, и нечетным в противном случае.
Пусть R - коммутативное кольцо, и пусть I - идеал в R с индексом 2. Элементы смежного класса можно назвать четными, а элементы смежного класса - нечетными. В качестве примера, пусть R = Z (2) быть локализации из Z в простом идеале (2). Тогда элемент R четный или нечетный, если и только если ее числитель так и в Z.
Четные числа образуют идеал в кольце целых чисел, а нечетные - нет - это ясно из того факта, что единичный элемент для сложения, ноль, является элементом только четных чисел. Целое число является четным, если оно сравнимо с 0 по модулю этого идеала, другими словами, если оно сравнимо с 0 по модулю 2, и нечетным, если оно сравнимо с 1 по модулю 2.
Все простые числа нечетны, за одним исключением: простое число 2. Все известные совершенные числа четны; неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа.
Гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое четное целое число больше 2 может быть представлено как сумма двух простых чисел. Современные компьютерные вычисления показали, что эта гипотеза верна для целых чисел до 4 × 10 18, но до сих пор не найдено общего доказательства.
Четность перестановки (как определено в абстрактной алгебре ) является четность числа транспозиций, в котором перестановка может быть разложенной. Например, (ABC) на (BCA) даже потому, что это можно сделать, поменяв местами A и B, затем C и A (две транспозиции). Можно показать, что никакая перестановка не может быть разложена как на четное, так и на нечетное количество транспозиций. Следовательно, приведенное выше определение является подходящим. В « Кубике Рубика», « Мегаминксе» и других поворотных головоломках ходы головоломки допускают только равные перестановки частей головоломки, поэтому четность важна для понимания конфигурационного пространства этих головоломок.
Теорема Фейта – Томпсона утверждает, что конечная группа всегда разрешима, если ее порядок - нечетное число. Это пример нечетных чисел, играющих роль в продвинутой математической теореме, где метод применения простой гипотезы «нечетного порядка» далеко не очевиден.
Четность функции описывает, как его значения изменяются, когда ее аргументы заменяли их отрицания. Четная функция, такая как четная степень переменной, дает тот же результат для любого аргумента, что и для его отрицания. Нечетная функция, такая как нечетная степень переменной, дает для любого аргумента отрицание своего результата, если дано отрицание этого аргумента. Функция может быть ни нечетной, ни четной, а в случае f ( x) = 0 может быть как нечетной, так и четной. Ряд Тейлора четной функции содержит только член которых показатель является четным числом, а ряд Тейлора нечетной функции содержит только член которых показатель является нечетным числом.
В комбинаторной теории игр, число зла этого число, которое имеет четное число 1 в его двоичном представлении, и одиозное число этого число, которое имеет нечетное число 1 в его двоичном представлении; эти числа играют важную роль в стратегии игры Kayles. Функция четности отображает число на количество единиц в его двоичном представлении по модулю 2, поэтому ее значение равно нулю для злых чисел и единице для одиозных чисел. Последовательность Туэ – Морса, бесконечная последовательность нулей и единиц, имеет 0 в позиции i, когда i является злом, и 1 в этой позиции, когда i одиозно.
В теории информации, бит четности добавляется в виде двоичного числа обеспечивает простую форму обнаружения ошибок кода. Если единственный бит в результирующем значении изменяется, тогда он больше не будет иметь правильную четность: изменение бита в исходном номере дает ему четность, отличную от записанной, и изменение бита четности, не меняя номер, который он был полученный из снова дает неверный результат. Таким образом, все однобитовые ошибки передачи могут быть надежно обнаружены. Некоторые более сложные коды обнаружения ошибок также основаны на использовании нескольких битов четности для подмножеств битов исходного кодированного значения.
В духовых инструментах с цилиндрическим отверстием, фактически закрытых с одного конца, таких как кларнет у мундштука, генерируемые гармоники кратны основной частоте. (С цилиндрическими трубками, открытыми с обоих концов, которые используются, например, в некоторых упорах органа, таких как открытый диапазон, гармоники даже кратны одной и той же частоте для данной длины отверстия, но это имеет эффект удвоения основной частоты и все производятся, кратные этой основной частоте.) См. гармонический ряд (музыка).
В некоторых странах нумерация домов выбрана так, чтобы дома на одной стороне улицы имели четные номера, а дома на другой стороне - нечетные. Точно так же среди пронумерованных автомагистралей в Соединенных Штатах четные числа в первую очередь указывают на автомагистрали с востока на запад, а нечетные числа - на автомагистрали с севера на юг. Среди номеров рейсов авиакомпаний четные числа обычно обозначают рейсы на восток или север, а нечетные числа - на рейсы на запад или на юг.