Тета-функция

редактировать

Специальные функции нескольких комплексных переменных

Исходная тета-функция Якоби θ 1 с u = iπz и с ном q = e = 0,1e. Условные обозначения (Mathematica):

θ 1 (u; q) = 2 q 1 4 ∑ n = 0 ∞ (- 1) nqn (n + 1) sin ⁡ (2 n + 1) u = ∑ n = - ∞ ∞ (- 1) n - 1 2 q (n + 1 2) 2 e (2 n + 1) iu {\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {1} (u; q) = 2q ^ {\ frac {1} {4}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n (n + 1)} \ sin (2n + 1) u \ \ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n - {\ frac {1} {2}}} q ^ {\ left (n + {\ frac {1}) {2}} \ right) ^ {2}} e ^ {(2n + 1) iu} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\theta _{1}(u;q)=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)u\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iu}\end{aligned}}

В математике тета-функции специальные функции из нескольких сложных переменных. Они важны во многих областях, включая теории абелевых многообразий и пространств модулей, а также квадратичных форм. Они также были применены к теории солитонов. При обобщении на алгебру Грассмана они также появляются в квантовой теории поля.

. Наиболее распространенная форма тета-функции - это форма, встречающаяся в теории эллиптических функций. Что касается одной из комплексных переменных (обычно называемых z), тета-функция имеет свойство, выражающее ее поведение в отношении добавления периода к связанным эллиптическим функциям, что делает ее квазипериодической функцией. В абстрактной теории это происходит из линейного пучка условия спуска.

Содержание

1 Тета-функция Якоби
2 Вспомогательные функции
3 Тождества Якоби
4 Тета функции в терминах нома
5 Представления продукта
6 Интегральные представления
7 Явные значения
8 Некоторые идентификаторы серий
9 Нули тета-функций Якоби
10 Связь с дзета Римана функция
11 Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса
12 Связь с q-гамма-функцией
13 Связь с функцией эта Дедекинда
14 Эллиптический модуль
15 Решение уравнения теплопроводности
16 Связь с группой Гейзенберга
17 Обобщения
- 17.1 Тета-серия символа Дирихле
- 17.2 Тета-функция Рамануджана
- 17.3 Тета-функция Римана
- 17.4 Ряд Пуанкаре
18 Примечания
19 Ссылки
20 Дополнительная литература
21 Внешние ссылки

Тета-функция Якоби

Якоби тета 1

Якоби тета 2

Якоби тета 3

Якоби тета 4

Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, и множество различных и несовместимых систем обозначений для них. Одна тета-функция Якоби (названная в честь Карла Густава Якоба Якоби ) - это функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ, где z может быть любым комплексным числом, а τ - коэффициент полупериода, ограниченный верхней полуплоскостью, что означает, что он имеет положительную мнимую часть. Он задается формулой

ϑ (z; τ) = ∑ n = - ∞ ∞ exp ⁡ (π in 2 τ + 2 π inz) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ (e π i τ) n 2 соз ⁡ (2 π NZ) знак равно ∑ N = - ∞ ∞ QN 2 η N {\ Displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (z; \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ { \ infty} \ exp \ left (\ pi in ^ {2} \ tau +2 \ pi inz \ right) \\ = 1 + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (e ^ {\ pi i \ tau} \ right) ^ {n ^ {2}} \ cos (2 \ pi nz) \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} \ eta ^ {n} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}

где q = exp (πiτ) - ном, а η = exp (2πiz). Это форма Якоби. При фиксированном τ это ряд Фурье для 1-периодической целой функции от z. Соответственно, тета-функция 1-периодична по z:

ϑ (z + 1; τ) = ϑ (z; τ). {\ displaystyle \ vartheta (z + 1; \ tau) = \ vartheta (z; \ tau).}

\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau).

Он также оказывается τ-квазипериодическим по z, с

ϑ (z + τ; τ) = ехр ⁡ [- π i (τ + 2 z)] ϑ (z; τ). {\ displaystyle \ vartheta (z + \ tau; \ tau) = \ exp [- \ pi i (\ tau + 2z)] \ vartheta (z; \ tau).}

\vartheta (z+\tau ;\tau)=\exp[-\pi i(\tau +2z)]\vartheta (z;\tau).

Таким образом, в общем,

ϑ (Z + a + б τ; τ) знак равно ехр ⁡ (- π ib 2 τ - 2 π ibz) ϑ (z; τ) {\ displaystyle \ vartheta (z + a + b \ tau; \ tau) = \ exp \ left (- \ pi ib ^ {2} \ tau -2 \ pi ibz \ right) \ vartheta (z; \ tau)}

\vartheta (z+a+b\tau ;\tau)=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau)

для любых целых чисел a и b.

Тета-функция θ 1 с другим номером q = e. Черная точка на правом изображении указывает, как q изменяется с изменением τ.

Тета-функция θ 1 с другим числом q = e. Черная точка на правом рисунке показывает, как q изменяется с τ.

Вспомогательные функции

Тета-функция Якоби, определенная выше, иногда рассматривается вместе с тремя вспомогательными тета-функциями, и в этом случае она записывается как двойной нижний индекс 0:

ϑ 00 (z; τ) = ϑ (z; τ) {\ displaystyle \ vartheta _ {00} (z; \ tau) = \ vartheta (z; \ tau)}

\vartheta_{00}(z;\tau) = \vartheta(z;\tau)

Вспомогательные (или полупериодические) функции определяются следующим образом:

ϑ 01 (z; τ) = ϑ (z + 1 2; τ) ϑ 10 (z; τ) = exp ⁡ (1 4 π i τ + π iz) ϑ (z + 1 2 τ; τ) ϑ 11 (z; τ) = exp ⁡ (1 4 π i τ + π i (z + 1 2)) ϑ (z + 1 2 τ + 1 2; τ). {\ Displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {01} (z; \ tau) = \ vartheta \ left (z + {\ tfrac {1} {2}}; \ tau \ right) \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (z; \ tau) = \ exp \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ pi i \ tau + \ pi iz \ right) \ vartheta \ left (z + {\ tfrac {1} {2}} \ tau; \ tau \ right) \\ [3pt] \ vartheta _ {11} (z; \ tau) = \ exp \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ pi i \ tau + \ pi i \ left (z + {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ right) \ vartheta \ left (z + {\ tfrac {1} {2}} \ tau + {\ tfrac {1} {2}}; \ tau \ right). \ End {align}}}

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau)=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau)=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau)=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}

Это обозначение следует за Riemann и Mumford ; Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома q = e, а не τ. В обозначениях Якоби θ-функции записываются:

θ 1 (z; q) = - 11 (z; τ) θ 2 (z; q) = ϑ 10 (z; τ) θ 3 (z; q)) знак равно ϑ 00 (z; τ) θ 4 (z; q) = ϑ 01 (z; τ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {1} (z; q) = - \ vartheta _ {11} (z; \ tau) \\\ theta _ {2} (z; q) = \ vartheta _ {10} (z; \ tau) \\\ theta _ {3} (z; q) = \ vartheta _ {00} (z; \ tau) \\\ theta _ {4} (z; q) = \ vartheta _ {01} (z; \ tau) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)=-\vartheta _{11}(z;\tau)\\\theta _{2}(z;q)=\vartheta _{10}(z;\tau)\\\theta _{3}(z;q)=\vartheta _{00}(z;\tau)\\\theta _{4}(z;q)=\vartheta _{01}(z;\tau)\end{aligned}}

Приведенные выше определения тета-функций Якоби ни в коем случае не уникальны. См. тета-функции Якоби (варианты обозначений) для дальнейшего обсуждения.

Если мы установим z = 0 в приведенных выше тета-функциях, мы получим только четыре функции от τ, определенные на верхней полуплоскости (иногда называемые тета-константами). Их можно использовать для определения множества модульные формы, и для параметризации определенных кривых; в частности, тождество Якоби равно

ϑ 00 (0; τ) 4 = ϑ 01 (0; τ) 4 + ϑ 10 (0; τ) 4 {\ displaystyle \ vartheta _ {00 } (0; \ tau) ^ {4} = \ vartheta _ {01} (0; \ tau) ^ {4} + \ vartheta _ {10} (0; \ tau) ^ {4}}

\vartheta _{00}(0;\tau)^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau)^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau)^{4}

который - кривая Ферма четвертой степени.

Тождества Якоби

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются под модулярной группой, которая порождается τ ↦ τ + 1 и τ ↦ −1 / τ. Уравнения для первого преобразования легко найти, поскольку добавление единицы к τ в экспоненте имеет тот же эффект, что и добавление 1/2 к z (n ≡ n mod 2). Для второго положим

α = (- i τ) 1 2 exp ⁡ (π τ i z 2). {\ displaystyle \ alpha = (- i \ tau) ^ {\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {\ pi} {\ tau}} iz ^ {2} \ right).}

\alpha =(-i\tau)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).

Тогда

ϑ 00 (z τ; - 1 τ) = α ϑ 00 (z; τ) ϑ 01 (z τ; - 1 τ) = α ϑ 10 (z; τ) ϑ 10 (z τ ; - 1 τ) = α ϑ 01 (z; τ) ϑ 11 (z τ; - 1 τ) = - i α ϑ 11 (z; τ). {\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {00} \! \ left ({\ frac {z} {\ tau}}; {\ frac {-1} {\ tau}} \ right) = \ alpha \, \ vartheta _ {00} (z; \ tau) \ quad \ vartheta _ {01} \! \ left ({\ frac {z} {\ tau}}; {\ frac {-1} {\ tau}} \ right) = \ alpha \, \ vartheta _ {10} (z; \ tau) \\ [3pt] \ vartheta _ {10} \! \ left ({\ frac {z} {\ tau} }; {\ frac {-1} {\ tau}} \ right) = \ alpha \, \ vartheta _ {01} (z; \ tau) \ quad \ vartheta _ {11} \! \ left ({ \ frac {z} {\ tau}}; {\ frac {-1} {\ tau}} \ right) = - i \ alpha \, \ vartheta _ {11} (z; \ tau). \ end { выровнены}}}

{\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau)\quad \vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau)\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau)\quad \vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau).\end{aligned}}

Тета-функции в терминах нома

Вместо того, чтобы выражать Тета-функции в терминах z и τ, мы можем выразить их в терминах аргументов w и nome q, где w = e и q = e. В этой форме функции принимают вид

ϑ 00 (w, q) = ∑ n = - ∞ ∞ (w 2) nqn 2 ϑ 01 (w, q) = ∑ n = - ∞ ∞ (- 1) n ( w 2) nqn 2 ϑ 10 (w, q) = ∑ n = - ∞ ∞ (w 2) n + 1 2 q (n + 1 2) 2 ϑ 11 (w, q) = i ∑ n = - ∞ ∞ (- 1) п (вес 2) п + 1 2 д (п + 1 2) 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {00} (w, q) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} \ quad \ vartheta _ {01} (w, q) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} (w ^ { 2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (w, q) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} ( w ^ {2}) ^ {n + {\ frac {1} {2}}} q ^ {\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2}} \ quad \ vartheta _ {11} (w, q) = i \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} (w ^ {2}) ^ {n + {\ frac {1) } {2}}} q ^ {\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2}}. \ End {align}}}

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad \vartheta _{01}(w,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad \vartheta _{11}(w,q)=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}

Мы видим, что тета-функции также могут быть определенным в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Таким образом, эти формулы можно использовать для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть определена не везде, например, поля p-адических чисел.

Представления продукта

Тройное произведение Якоби (частный случай тождеств Макдональда ) сообщает нам, что для комплексных чисел w и q с | q | < 1 and w ≠ 0 we have

m знак равно 1 ∞ (1 - q 2 m) (1 + w 2 q 2 m - 1) (1 + w - 2 q 2 m - 1) = ∑ n = - ∞ ∞ w 2 n q n 2. {\ displaystyle \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ right) \ left (1 + w ^ {2} q ^ {2m-1} \ right) \ left (1 + w ^ {- 2} q ^ {2m-1} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} w ^ {2n} q ^ {n ^ {2}}.}

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Это может быть доказано элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта Введение в теорию чисел.

. Если мы выразим тета-функцию через число q = e (отметив некоторые вместо этого авторы полагают q = e) и принимают w = e, затем

ϑ (z; τ) = ∑ n = - ∞ ∞ exp ⁡ (π i τ n 2) exp ⁡ (2 π izn) = ∑ n = - ∞ ∞ вес 2 NQN 2. {\ Displaystyle \ vartheta (z; \ тау) = \ сумма _ {п = - \ infty} ^ {\ infty} \ ехр (\ пи я \ тау п ^ {2}) \ ехр (2 \ пи изн) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} w ^ {2n} q ^ {n ^ {2}}.}

\vartheta (z;\tau)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Таким образом, мы получаем формулу произведения для тета-функции в виде

ϑ (z; τ) = ∏ m = 1 ∞ (1 - exp ⁡ (2 m π i τ)) (1 + exp ⁡ ((2 m - 1) π i τ + 2 π iz)) (1 + exp ⁡ ((2 m - 1) π i τ - 2 π iz)). {\ Displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ big (} 1- \ exp (2m \ pi i \ tau) {\ big)} {\ Big (} 1+ \ exp {\ big (} (2m-1) \ pi i \ tau +2 \ pi iz {\ big)} {\ Big)} {\ Big (} 1+ \ exp {\ big (} (2m-1) \ pi i \ tau -2 \ pi iz {\ big)} {\ Big)}.}

\vartheta (z;\tau)=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau){\big)}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big)}{\Big)}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big)}{\Big)}.

В терминах w и q:

ϑ (z; τ) = ∏ m = 1 ∞ (1 - q 2 m) (1 + q 2 m - 1 w 2) (1 + q 2 m - 1 w 2) = (q 2; q 2) ∞ (- w 2 q; q 2) ∞ (- qw 2; q 2) ∞ знак равно (q 2; q 2) ∞ θ (- w 2 q; q 2) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ vartheta (z; \ tau) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ right) \ left (1 + q ^ {2m-1} w ^ {2} \ right) \ left (1 + {\ frac {q ^ {2m-1}} {w ^ {2}}} \ right) \\ = \ left (q ^ {2}; q ^ {2} \ right) _ {\ infty} \, \ left (-w ^ {2} q; q ^ {2} \ right) _ {\ infty} \, \ left (- {\ frac {q} {w ^ {2}}}; q ^ {2} \ справа) _ {\ infty} \\ = \ left (q ^ {2}; q ^ {2} \ right) _ {\ infty} \, \ theta \ left (-w ^ {2} q; q ^ {2} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}

где (;) ∞ - это символ q-Поххаммера, а θ (;) - q -тета-функция. Раскладывая члены, тройное произведение Якоби также можно записать

∏ m = 1 ∞ (1 - q 2 m) (1 + (w 2 + w - 2) q 2 m - 1 + q 4 m - 2), {\ displaystyle \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ right) {\ Big (} 1+ \ left (w ^ {2} + w ^ {- 2} \ right) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} {\ Big)},}

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big)},

который мы также можем записать как

ϑ (z ∣ q) = ∏ m = 1 ∞ (1 - q 2 м) (1 + 2 cos ⁡ (2 π z) q 2 м - 1 + q 4 м - 2). {\ displaystyle \ vartheta (z \ mid q) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ right) \ left (1 + 2 \ cos (2 \ pi z) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} \ right).}

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).

Эта форма верна в целом, но, очевидно, представляет особый интерес, когда z является действительным. Аналогичные формулы произведения для вспомогательных тета-функций:

01 (z ∣ q) = ∏ m = 1 ∞ (1 - q 2 m) (1-2 cos ⁡ (2 π z) q 2 m - 1 + q 4 м - 2), ϑ 10 (z ∣ q) = 2 q 1 4 cos ⁡ (π z) ∏ m = 1 ∞ (1 - q 2 m) (1 + 2 cos ⁡ (2 π z) q 2 m + q 4 m), ϑ 11 (z ∣ q) = - 2 q 1 4 sin ⁡ (π z) ∏ m = 1 ∞ (1 - q 2 m) (1-2 cos ⁡ (2 π z) q 2 м + д 4 м). {\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {01} (z \ mid q) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ right) \ слева (1-2 \ cos (2 \ pi z) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} \ right), \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (z \ mid q) = 2q ^ {\ frac {1} {4}} \ cos (\ pi z) \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ right) \ left (1 +2 \ cos (2 \ pi z) q ^ {2m} + q ^ {4m} \ right), \\ [3pt] \ vartheta _ {11} (z \ mid q) = - 2q ^ {\ frac {1} {4}} \ sin (\ pi z) \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ right) \ left (1-2 \ cos (2 \ pi z) q ^ {2m} + q ^ {4m} \ right). \ end {align}}}

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}

Интегральные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

ϑ 00 (z; τ) = - i ∫ i - ∞ i + ∞ ei π τ u 2 cos ⁡ (2 uz + π u) sin ⁡ (π u) du; ϑ 01 (z; τ) = - i ∫ i - ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ (2 u z) sin ⁡ (π u) d u; ϑ 10 (z; τ) = - i e i z + 1 4 i π τ ∫ i - ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ (2 u z + π u + π τ u) sin ⁡ (π u) d u; ϑ 11 (z; τ) знак равно e i z + 1 4 i π τ ∫ i - ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ (2 u z + π τ u) sin ⁡ (π u) d u. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {00} (z; \ tau) = - i \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} {\ frac {\ cos (2uz + \ pi u)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u; \\ [6pt] \ vartheta _ {01} (z; \ tau) = - i \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} {\ frac {\ cos (2uz)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u; \\ [6pt] \ vartheta _ {10} (z; \ tau) = - т.е. ^ {iz + {\ frac {1} {4}} i \ pi \ tau } \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} {\ frac {\ cos (2uz + \ pi u + \ pi \ tau u)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u; \\ [6pt] \ vartheta _ {11} (z; \ tau) = e ^ {iz + {\ frac {1} {4}} i \ pi \ tau} \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} {\ frac {\ cos (2uz + \ pi \ tau u)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau)=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau)=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau)=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau)=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}

Явные значения

См. Yi (2004).

φ (e - π x) = ϑ (0; ix) = θ 3 (0; e - π x) = ∑ n = - ∞ ∞ e - x π n 2 φ (e - π) = π 4 Γ (3 4) φ (e - 2 π) = π 4 Γ (3 4) 6 + 4 2 4 2 φ (e - 3 π) = π 4 Γ (3 4) 27 + 18 3 4 3 φ (e - 4 π) = π 4 Γ (3 4) 8 4 + 2 4 φ (e - 5 π) = π 4 Γ (3 4) 225 + 100 5 4 5 φ (e - 6 π) = 3 2 + 3 3 4 + 2 3 - 27 4 + 1728 4 - 4 3 ⋅ 243 π 2 8 6 1 + 6 - 2 - 3 6 Γ (3 4) = π 4 Γ (3 4) 1 4 + 3 4 + 4 4 + 9 4 1728 8 φ (e - 7 π) = π 4 Γ (3 4) 13 + 7 + 7 + 3 7 14 ⋅ 28 8 = π 4 Γ (3 4) 7 + 4 7 + 5 28 4 + 1372 4 4 7 φ (e - 8 π) = π 4 Γ (3 4) 128 8 + 2 + 2 4 φ (e - 9 π) = π 4 Γ (3 4) (1 + (1 + 3) 2 - 3 3) 3 φ (e - 10 π) = π 4 Γ (3 4) 20 + 450 + 500 + 10 20 4 10 φ (e - 12 π) = π 4 Γ (3 4) 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 9 4 + 18 4 + 24 4 2 108 8 φ (e - 16 π) = π 4 Γ (3 4) (4 + 128 4 + 1024 8 4 + 1024 2 4 4) 16 {\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi (e ^ {- \ pi x}) = \ vartheta (0; ix) = \ theta _ {3} (0; e ^ {- \ pi x}) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x \ pi n ^ {2}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- \ pi} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 2 \ pi} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {6 + 4 {\ sqrt {2}}}} {2}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 3 \ pi} \ right) = {\ frac { \ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {27 + 18 {\ sqrt {3}}}} {3}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 4 \ pi} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)} } {\ frac {{\ sqrt [{4}] {8}} + 2} {4}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 5 \ pi} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {225 + 100 { \ sqrt {5}}}} {5}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 6 \ pi} \ right) = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {3 { \ sqrt {2}} + 3 {\ sqrt [{4}] {3}} + 2 {\ sqrt {3}} - {\ sqrt [{4}] {27}} + {\ sqrt [{4} ] {1728}} - 4}} \ cdot {\ sqrt [{8}] {243 {\ pi} ^ {2}}}} {6 {\ sqrt [{6}] {1 + {\ sqrt {6 }} - {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}}} = {\ frac {\ sqrt [ {4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ sqrt {{\ sqrt [{4}] {1}} + {\ sqrt [{4}] {3}} + {\ sqrt [{4}] {4}} + {\ sqrt [{4}] {9}}}} {\ sqrt [{8}] {1728 }}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 7 \ pi} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ sqrt {{\ frac {{\ sqrt {13 + {\ sqrt {7}}}} + {\ sqrt {7 + 3 {\ sqrt {7}) }}}} {14}} \ cdot {\ sqrt [{8}] {28}}}} = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {7 + 4 {\ sqrt {7}} + 5 {\ sqrt [{4}] { 28}} + {\ sqrt [{4}] {1372}}}} {\ sqrt {7}}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 8 \ pi} \ right) = { \ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {{\ sqrt [{8}] {128 }} + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}} {4}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 9 \ pi} \ right) = {\ frac { \ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ left (1+ \ left (1 + {\ sqrt {3}} \ right) {\ sqrt [{3}] {2 - {\ sqrt {3}}}} \ right)} {3}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 10 \ pi} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ sqrt {20 + {\ sqrt {450}} + {\ sqrt {500}} + 10 {\ sqrt [{4}] {20}}}} {10}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 12 \ pi} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} { \ frac {\ sqrt {{\ sqrt [{4}] {1}} + {\ sqrt [{4}] {2}} + {\ sqrt [{4}] {3}} + {\ sqrt [{ 4}] {4}} + {\ sqrt [{4}] {9}} + {\ sqrt [{4}] {18}} + {\ sqrt [{4}] {24}}}} {2 {\ sqrt [{8}] {108}}}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 16 \ pi} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ left (4 + {\ sqrt [{4}] {128}} + {\ sqrt [{4}] {1024 {\ sqrt [{4}] {8}} + 1024 {\ sqrt [{4}] {2}}}} \ right)} {16}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-2\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamm a \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{6+4{\sqrt {2}}}}{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{27+18{\sqrt {3}}}}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{4}]{8}}+2}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{225+100{\sqrt {5}}}}{5}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-6\pi }\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{1728}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-7\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\ frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {{\frac {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}{14}}\cdot {\sqrt[{8}]{28}}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{7+4{\sqrt {7}}+5{\sqrt[{4}]{28}}+{\sqrt[{4}]{1372}}}}{\sqrt {7}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-8\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{8}]{128}}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-9\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\left(1+\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}\right)}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-10\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {20+{\sqrt {450}}+{\sqrt {500}}+10{\sqrt[{4}]{20}}}}{10}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-12\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4 }]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-16\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\left(4+{\sqrt[{4}]{128}}+{\sqrt[{4}]{1024{\sqrt[{4}]{8}}+1024{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)}{16}}\end{al igned}}

Тождества некоторых серий

Тождества следующих двух серий были доказаны следующим образом:

ϑ 4 2 (q) = iq 1 4 ∑ k = - ∞ ∞ q 2 k 2 - k ϑ 1 (2 k - 1 2 i ln ⁡ q, q), ϑ 4 2 (q) = ∑ k = - ∞ ∞ q 2 k 2 ϑ 4 (k ln ⁡ qi, q). {\ Displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {4} ^ {2} (q) = iq ^ {\ frac {1} {4}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty } q ^ {2k ^ {2} -k} \ vartheta _ {1} \ left ({\ frac {2k-1} {2i}} \ ln q, q \ right), \\ [6pt] \ vartheta _ {4} ^ {2} (q) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {2k ^ {2}} \ vartheta _ {4} \ left ({\ frac {k \ ln q} {i}}, q \ right). \ end {align}}}

{\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _{4}^{2}(q)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}

Эти соотношения выполняются для всех 0 < q < 1. Specializing the values of q, we have the next parameter free sums

π e π 2 ⋅ 1 Γ 2 (3 4) = i ∑ k = - ∞ ∞ e π (k - 2 k 2) ϑ 1 (i π 2 (2 k - 1), e - π), π 2 ⋅ 1 Γ 2 (3 4) = ∑ k = - ∞ ∞ ϑ 4 ( ik π, е - π) е 2 π К 2 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} {\ sqrt {\ frac {\ pi {\ sqrt {e ^ {\ pi}}}} {2}}} \ cdot {\ frac {1} {\ Gamma ^ {2} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} = i \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ pi \ left (k-2k ^ {2} \ right)} \ vartheta _ {1} \ left ({\ frac {i \ pi} {2}} (2k-1), e ^ {- \ pi} \ right), \\ [6pt] {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1} {\ Gamma ^ {2} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ vartheta _ {4} \ left (ik \ pi, e ^ {- \ pi} \ right)} {e ^ {2 \ pi k ^ {2}}}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}\end{aligned}}

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

ϑ (z, τ) = ϑ 3 (z, τ) = 0 ⟺ z = m + n τ + 1 2 + τ 2 ϑ 1 (z, τ) = 0 ⟺ z = m + n τ ϑ 2 (z, τ) = 0 ⟺ z = m + n τ + 1 2 ϑ 4 (z, τ) = 0 ⟺ z = м + N τ + τ 2 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ vartheta (z, \ tau) = \ vartheta _ {3} (z, \ tau) = 0 \ quad \ Longleftrightarrow \ quad z = m + n \ tau + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ tau} {2}} \\ [3pt] \ vartheta _ {1} (z, \ tau) = 0 \ quad \ Longleftrightarrow \ quad z = m + n \ tau \\ [3pt] \ vartheta _ {2} (z, \ tau) = 0 \ quad \ Longleftrightarrow \ quad z = m + n \ tau + { \ frac {1} {2}} \\ [3pt] \ vartheta _ {4} (z, \ tau) = 0 \ quad \ Longleftrightarrow \ quad z = m + n \ tau + {\ frac {\ tau} {2}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\vartheta (z,\tau)=\vartheta _{3}(z,\tau)=0\quad \Longleftrightarrow \quad z=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau)=0\quad \Longleftrightarrow \quad z=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau)=0\quad \Longleftrightarrow \quad z=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau)=0\quad \Longleftrightarrow \quad z=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}

где m, n - произвольные целые числа.

Связь с дзета-функцией Римана

Отношение

ϑ (0; - 1 τ) = (- i τ) 1 2 ϑ (0; τ) {\ displaystyle \ vartheta \ left (0; - {\ frac {1} {\ tau}} \ right) = (- i \ tau) ^ {\ frac {1} {2}} \ vartheta (0; \ tau)}

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau)

был использован Риманом для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина

Γ (s 2) π - s 2 ζ ( s) знак равно 1 2 ∫ 0 ∞ (ϑ (0; оно) - 1) ts 2 dtt {\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) \ pi ^ {- {\ frac {s} {2}}} \ zeta (s) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} (\ vartheta (0; it) -1) t ^ {\ frac {s} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} t} {t}}}

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }(\vartheta (0;it)-1)t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}

который можно показать как инвариантный при замене s на 1 - s. Соответствующий интеграл для z ≠ 0 приведен в статье о дзета-функции Гурвица.

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Якоби использовал тета-функцию для построения (в форме, адаптированной к простое вычисление) его эллиптические функции как частные вышеуказанных четырех тета-функций, и он мог бы также использовать его для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку

℘ (z; τ) знак равно - (журнал ⁡ ϑ 11 (z; τ)) ″ + с {\ displaystyle \ wp (z; \ tau) = - {\ big (} \ log \ vartheta _ {11} (z; \ tau) {\ big)} '' + c}

\wp (z;\tau)=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau){\big)}''+c

где вторая производная по z, а константа c определена так, что разложение Лорана функции ℘ (z) при z = 0 имеет ноль постоянный срок.

Связь с q-гамма-функцией

Четвертая тета-функция - и, следовательно, другие тоже - тесно связана с q-гамма-функцией Джексона через отношение

(Γ q 2 (x) Γ q 2 (1 - x)) - 1 = q 2 x (1 - x) (q - 2; q - 2) ∞ 3 (q 2 - 1) ϑ 4 (1 2 я (1-2 x) журнал ⁡ q, 1 q). {\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {q ^ {2}} (x) \ Gamma _ {q ^ {2}} (1-x) \ right) ^ {- 1} = {\ frac {q ^ { 2x (1-x)}} {\ left (q ^ {- 2}; q ^ {- 2} \ right) _ {\ infty} ^ {3} \ left (q ^ {2} -1 \ right) }} \ vartheta _ {4} \ left ({\ frac {1} {2i}} (1-2x) \ log q, {\ frac {1} {q}} \ right).}

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).

Отношения к Эта функция Дедекинда

Пусть η (τ) будет функцией эта Дедекинда, а аргумент тета-функции будет ном q = e. Тогда

θ 2 (0, q) = ϑ 10 (0; τ) = 2 η 2 (2 τ) η (τ), θ 3 (0, q) = ϑ 00 (0; τ) = η 5 (τ) η 2 (1 2 τ) η 2 (2 τ) = η 2 (1 2 (τ + 1)) η (τ + 1), θ 4 (0, q) = ϑ 01 (0; τ) знак равно η 2 (1 2 τ) η (τ), {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ theta _ {2} (0, q) = \ vartheta _ {10} (0; \ tau) = { \ frac {2 \ eta ^ {2} (2 \ tau)} {\ eta (\ tau)}}, \\ [3pt] \ theta _ {3} (0, q) = \ vartheta _ {00} ( 0; \ tau) = {\ frac {\ eta ^ {5} (\ tau)} {\ eta ^ {2} \ left ({\ frac {1} {2}} \ tau \ right) \ eta ^ {2} (2 \ tau)}} = {\ frac {\ eta ^ {2} \ left ({\ frac {1} {2}} (\ tau +1) \ right)} {\ eta (\ tau +1)}}, \\ [3pt] \ theta _ {4} (0, q) = \ vartheta _ {01} (0; \ tau) = {\ frac {\ eta ^ {2} \ left ( {\ frac {1} {2}} \ tau \ right)} {\ eta (\ tau)}}, \ end {align}}}

{\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau)={\frac {2\eta ^{2}(2\tau)}{\eta (\tau)}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau)={\frac {\eta ^{5}(\tau)}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau)}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau)={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau)}},\end{aligned}}

и,

θ 2 (0, q) θ 3 (0, q) θ 4 (0, q) = 2 η 3 (τ). {\ displaystyle \ theta _ {2} (0, q) \, \ theta _ {3} (0, q) \, \ theta _ {4} (0, q) = 2 \ eta ^ {3} (\ tau).}

\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\tau).

См. также модульные функции Вебера.

Эллиптический модуль

Эллиптический модуль равен

k (τ) = ϑ 10 (0, τ) 2 ϑ 00 (0, τ) 2 {\ displaystyle k (\ tau) = {\ frac {\ vartheta _ {10} (0, \ tau) ^ {2}} {\ vartheta _ {00} (0, \ tau) ^ {2}}}}

k(\tau) = \frac{\vartheta_{10}(0,\tau)^2 }{\vartheta_{00}(0,\tau)^2}

и дополнительный эллиптический модуль равен

k ′ (τ) = ϑ 01 (0, τ) 2 ϑ 00 (0, τ) 2 {\ displaystyle k ' (\ tau) = {\ frac {\ vartheta _ {01} (0, \ tau) ^ {2}} {\ vartheta _ {00} (0, \ tau) ^ {2}}}}

k'(\tau) = \frac{\vartheta_{01}(0,\tau)^2 }{\vartheta_{00}(0,\tau)^2}

А решение уравнения теплопроводности

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственно-периодическими граничными условиями. Считая z = x действительным и τ = it с t действительным и положительным числом, мы можем записать

ϑ (x, it) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ (- π n 2 t) cos ⁡ ( 2 π nx) {\ displaystyle \ vartheta (x, it) = 1 + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ exp \ left (- \ pi n ^ {2} t \ right) \ cos (2 \ pi nx)}

\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

, который решает уравнение теплопроводности

∂ ∂ t ϑ (x, it) = 1 4 π ∂ 2 ∂ x 2 ϑ (x, it). {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ vartheta (x, it) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ vartheta (x, it).}

\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it).

Это решение тета-функции 1-периодично по x, и при t → 0 оно приближается к периодической дельта-функции, или гребень Дирака в смысле распределений

lim t → 0 ϑ (x, it) = ∑ n = - ∞ ∞ δ (x - n) {\ displaystyle \ lim _ { t \ to 0} \ vartheta (x, it) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (xn)}

\lim _{t\to 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)

Общие решения пространственно-периодической задачи начального значения для уравнения теплопроводности может быть получен путем свертки исходных данных при t = 0 с тета-функцией.

Отношение к группе Гейзенберга

Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении группы Гейзенберга.

Обобщения

Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна

θ F (z) = ∑ m ∈ Z ne 2 π iz F (m) {\ displaystyle \ theta _ {F} (z) = \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} e ^ {2 \ pi izF (m)}}

\theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}

с суммой, простирающейся по решетке целых чисел $Z n. {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}.}$ $\mathbb {Z} ^{n}.$ Эта тета-функция представляет собой модульную форму веса n / 2 (в соответственно определенной подгруппе) модульная группа. В разложении Фурье

θ ^ F (z) = ∑ k = 0 ∞ RF (k) e 2 π ikz, {\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {F} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} R_ {F} (k) e ^ {2 \ pi ikz},}

{\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

числа R F (k) называются числами представления форма.

Тета-серия символа Дирихле

Для $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\chi$ примитивный символ Дирихле по модулю $q {\ displaystyle q}$ $q$ и $ν = 1 - χ (- 1) 2 {\ displaystyle \ nu = {\ frac {1- \ chi (-1)} {2}}}$ $\nu ={\frac {1-\chi (-1)}{2}}$ , тогда

θ χ (z) = 1 2 ∑ n = - ∞ ∞ χ (n) n ν e 2 i π n 2 z {\ displaystyle \ theta _ {\ chi} (z) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ chi (n) n ^ {\ nu} e ^ {2i \ pi n ^ {2} z}}

\theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}

- вес $1 2 + ν {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + \ nu}$ ${\frac {1}{2}}+\nu$ модульная форма уровня $4 q 2 {\ displaystyle 4q ^ {2}}$ $4q^{2}$ и символ $χ (d) (- 1 d) ν {\ displaystyle \ chi (d) \ left ({\ frac {-1} {d}} \ right) ^ {\ nu}}$ $\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }$ , что означает

θ χ (az + bcz + d) = χ (d) (- 1 d) ν (θ 1 (az + bcz + d) θ 1 (z)) 1 + 2 ν θ χ (z) {\ displaystyle \ theta _ {\ chi} \ left ({\ frac {az + b} {cz + d}} \ right) = \ chi (d) \ left ({\ frac {-1} {d}} \ right) ^ {\ nu} \ left ({\ frac {\ theta _ {1} \ left ({\ frac {az + b} {cz + d }} \ right)} {\ theta _ {1} (z)}} \ ri ght) ^ {1 + 2 \ nu} \ theta _ {\ chi} (z)}

\theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)

всякий раз, когда

a, b, c, d ∈ Z 4, ad - bc = 1, c ≡ 0 mod 4 q 2. {\ displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {Z} ^ {4}, ad-bc = 1, c \ Equiv 0 {\ bmod {4}} q ^ {2}.}

a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.

Рамануджан тета-функция

тета-функция Римана

Пусть

H n = {F ∈ M (n, C) | F = FT, Im ⁡ F>0} {\ displaystyle \ mathbb {H} _ {n} = \ left \ {F \ in M ​​(n, \ mathbb {C}) \, {\ big |} \, F = F ^ {\ mathsf {T}} \,, \, \ operatorname {Im} F>0 \ right \}}

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C})\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0 \ right \}

набор симметричных квадратных матриц, мнимая часть которого положительно определена. $H n {\ displaystyle \ mathbb {H} _ {n}}$ $\mathbb {H} _{n}$ называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости . N-мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа $Sp ⁡ (2 n, Z); {\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbb {Z});}$ $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z});$ для n = 1, $Sp ⁡ (2, Z) Знак равно SL ⁡ (2, Z). {\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (2, \ mathbb {Z}) = \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {Z}).}$ $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z})=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z}).$ n-мерный аналог конгруэнтных подгрупп играет

ker ⁡ {Sp ⁡ (2 n, Z) → Sp ⁡ (2 n, Z / k Z)}. {\ displaystyle \ ker {\ big \ {} \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbb {Z}) \ to \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbb {Z} / k \ mathbb {Z}) {\ big \}}.}

\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z})\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}){\big \}}.

Тогда, учитывая $τ ∈ H n, {\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H} _ {n},}$ $\tau \in \mathbb {H} _{n},$ тета Римана функция определяется как

θ (z, τ) = ∑ m ∈ Z n exp ⁡ (2 π i (1 2 m T τ m + m T z)). {\ displaystyle \ theta (z, \ tau) = \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} \ exp \ left (2 \ pi i \ left ({\ tfrac {1} {2}) } m ^ {\ mathsf {T}} \ tau m + m ^ {\ mathsf {T}} z \ right) \ right).}

\theta (z,\tau)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).

Здесь $z ∈ C n {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ представляет собой n-мерный комплексный вектор, а верхний индекс T обозначает транспонирование. Тогда тета-функция Якоби является особым случаем, когда n = 1 и $τ ∈ H {\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$ $\tau \in \mathbb{H}$ , где $H {\ displaystyle \ mathbb {H}}$ $\mathbb {H}$ - это верхняя полуплоскость. Одним из основных приложений тета-функции Римана является то, что она позволяет дать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях, а также других вспомогательных объектов, которые занимают видное место в их теории функций, взяв $τ {\ displaystyle \ tau }$ $\tau$ как матрица периодов относительно канонического базиса для своей первой группы гомологий .

Тэта Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах $C n × H n. {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ mathbb {H} _ {n}.}$ $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.$

Функциональное уравнение:

θ (z + a + τ b, τ) = exp ⁡ 2 π я (- б T Z - 1 2 б T τ б) θ (z, τ) {\ Displaystyle \ тета (г + а + \ тау б, \ тау) = \ ехр 2 \ пи я \ влево (-b ^ {\ mathsf {T}} z - {\ tfrac {1} {2}} b ^ {\ mathsf {T}} \ tau b \ right) \ theta (z, \ tau)}

\theta (z+a+\tau b,\tau)=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau)

который выполняется для всех векторы $a, b ∈ Z n, {\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} ^ {n},}$ $a,b\in \mathbb {Z} ^{n},$ и для всех $z ∈ C n {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ и $τ ∈ H n. {\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H} _ {n}.}$ $\tau \in \mathbb {H} _{n}.$

Ряд Пуанкаре

Ряд Пуанкаре обобщает тэта-ряды на автоморфные формы относительно произвольных Фуксовы группы.

Примечания

Ссылки

Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Dover Publications. сек. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
Ахиезер, Наум Ильич (1990) [1970]. Элементы теории эллиптических функций. Переводы математических монографий AMS. 79 . Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности. Нью-Йорк: Springer-Verlag. гл. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (для лечения теты Римана)
Hardy, G.H. ; Райт, Э.М. (1959). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press.
Mumford, David (1983). Лекции Tata о Theta I. Бостон: Birkhauser. ISBN 978-3-7643-3109-2.
Пьерпон, Джеймс (1959). Функции комплексной переменной. Нью-Йорк: Dover Publications.
Раух, Гарри Э. ; Farkas, Hershel M. (1974). Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. Балтимор: Уильямс и Уилкинс. ISBN 978-0-683-07196-2.
Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010), "Theta Functions", in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Whittaker, E. T. ; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. гл. 21.(history of Jacobi's θ functions)

External links

Moiseev Igor. "Elliptic functions for Matlab and Octave".

This article incorporates material from Integral representations of Jacobi theta functions on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.