Группа диэдра

Группа симметрий правильного многоугольника Группа симметрии снежинки - это D 6, двугранная симметрия, такая же, как для правильного шестиугольника.

В математике двугранная группа - это группа симметрий правильного многоугольника , которая включает вращения и отражения. Группы диэдра являются одними из простейших примеров конечных групп, и они играют важную роль в теории групп, геометрии и химии.

обозначение группы диэдра отличается в геометрии и абстрактной алгебре. В геометрии, D n или Dih n относятся к симметриям n-угольника, группы порядка 2n. В абстрактной алгебре D 2n относится к той же группе диэдра. В этой статье используется геометрическое соглашение.

• 1 Определение
  • 1.1 Элементы
  • 1.2 Структура группы
  • 1.3 Матричное представление
  • 1.4 Другие определения
• 2 Малые группы диэдра
• 3 Группа диэдра как группа симметрии в 2D и группа вращения в 3D
  • 3.1 Примеры двумерной диэдральной симметрии
• 4 Свойства
  • 4.1 Классы сопряженности отражений
• 5 Группа автоморфизмов
  • 5.1 Примеры групп автоморфизмов
  • 5.2 Группа внутренних автоморфизмов
• 6 Обобщения
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Элементы

Шесть осей отражения правильного шестиугольника

Правильный многоугольник со сторонами $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$имеет $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$различные симметрии: $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$симметрии вращения и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$симметрии отражения. Обычно здесь берется $n\; \ge \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 3\}$. Связанные вращения и отражения составляют двугранную группу $D\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{D\}\; \_\; \{n\}\}$. Если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$нечетно, каждая ось симметрии соединяет среднюю точку одной стороны с противоположной вершиной. Если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$четно, существуют $n\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; /\; 2\}$оси симметрии, соединяющие середины противоположных сторон и $n\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; /\; 2\}$оси симметрии, соединяющие противоположные вершины. В любом случае в группе симметрии есть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$осей симметрии и $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$элементов. Отражение по одной оси симметрии с последующим отражением по другой оси симметрии приводит к повороту на удвоенный угол между осями.

На следующем рисунке показан эффект шестнадцати элементов $D\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{D\}\; \_\; \{8\}\}$на знаке остановки :

Первая строка показывает эффект восьми вращений, а вторая строка показывает эффект восьми отражений в каждый случай действует на знак остановки с ориентацией, показанной вверху слева.

Групповая структура

Как и любой геометрический объект, композиция двух симметрий правильного многоугольника снова является симметрией этого объекта. С помощью композиции симметрий для создания другой в качестве бинарной операции это придает симметриям многоугольника алгебраическую структуру конечной группы.

Композиция этих двух отражений - это вращение.

Следующее Таблица Кэли показывает эффект композиции в группе D3 (симметрии равностороннего треугольника ). r 0 обозначает идентичность; r 1 и r 2 обозначают вращение против часовой стрелки на 120 ° и 240 ° соответственно, а s 0, s 1 и s 2 обозначают отражения от трех линий, показанных на соседнем рисунке.

	r0	r1	r2	s0	s1	s2
r0	r0	r1	r2	s0	s1	s2
r1	r1	r2	r0	s1	s2	s0
r2	r2	r0	r1	s2	s0	s1
s0	s0	s2	s1	r0	r2	r1
s1	s1	s0	s2	r1	r0	r2
s2	s2	s1	s0	r2	r1	r0

Например, s 2s1= r 1, потому что отражение s 1, за которым следует отражение s 2, приводит к повороту на 120 °. Порядок элементов, обозначающих состав , - справа налево, что отражает соглашение, согласно которому элемент действует на выражение справа от него. Операция композиции не является коммутативной.

В общем, группа D n имеет элементы r 0,..., r n − 1 и s 0,..., s n − 1, состав которого определяется следующими формулами:

$rirj\; =\; ri\; +\; j,\; risj\; =\; si\; +\; j,\; sirj\; =\; si\; -\; j,\; sisj\; =\; ri\; -\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{i\; +\; j\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{i\; +\; j\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{ij\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{ij\}.\}$

Во всех случаях сложение и вычитание нижних индексов должны выполняться с использованием модульной арифметики с модулем n.

Матричное представление

Симметрии этого пятиугольника являются линейными преобразованиями плоскости как векторного пространства.

Если мы центрируем правильный многоугольник в начале координат, то элементы группы диэдра действуют как линейные преобразования плоскости плоскости. Это позволяет нам представлять элементы D n как матрицы, причем композиция представляет собой умножение матриц. Это пример (2-мерного) представления группы .

Например, элементы группы D4 могут быть представлены следующими восемью матрицами:

$r 0 = (1 0 0 1), r 1 = (0 - 1 1 0), r 2 = (- 1 0 0 - 1), r 3 = (0 1 - 1 0), s 0 = (1 0 0 - 1), s 1 = (0 1 1 0), s 2 = (- 1 0 0 1), s 3 = (0 - 1 - 1 0). {\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathrm {r} _ {0} = \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 0 \\ [0.2em] 0 1 \ end {smallmatrix}} \ right), \ mathrm { r} _ {1} = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 -1 \\ [0.2em] 1 0 \ end {smallmatrix}} \ right), \ mathrm {r} _ {2} = \ left ( {\ begin {smallmatrix} -1 0 \\ [0.2em] 0 -1 \ end {smallmatrix}} \ right), \ mathrm {r} _ {3} = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 1 \\ [0.2em] -1 0 \ end {smallmatrix}} \ right), \\ [1em] \ mathrm {s} _ {0} = \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 0 \\ [0.2em] 0 -1 \ end {smallmatrix}} \ right), \ mathrm {s} _ {1} = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 1 \\ [0.2em] 1 0 \ end {smallmatrix}} \ right), \ mathrm {s} _ {2} = \ left ({\ begin {smallmatrix} -1 0 \\ [0.2em] 0 1 \ end {smallmatrix}} \ right), \ mathrm {s} _ {3} = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 -1 \\ [0.2em] -1 0 \ end {smallmatrix}} \ right). \ end {matrix}}}$

В общем, матрицы для элементов D n имеют следующий вид:

$rk\; =\; (cos\; \; 2\; \pi \; kn\; -\; sin\; \; 2\; \pi \; kn\; sin\; \; 2\; \pi \; kn\; cos\; \; 2\; \pi \; kn)\; и\; sk\; =\; (cos\; \; 2\; \pi \; kn\; sin\; \; 2\; \pi \; kn\; sin\; \; 2\; \pi \; kn\; -\; cos\; \; 2\; \pi \; kn).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; \backslash \; \{\; \backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; -\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\; \backslash \; end\; \{\; выровненный\}\}\}$

rk- матрица вращения , выражающая вращение против часовой стрелки на угол 2πk / n. s k - отражение поперек линии, которая составляет угол πk / n с осью x.

Другие определения

Дополнительные эквивалентные определения D n :

• Группа автоморфизмов графа , состоящая из только цикла с n вершинами (если n ≥ 3).
• Группа с представлением

  $D\; n\; =\; ⟨r,\; s\; \mid \; ord\; \; (r)\; =\; n,\; ord\; \; (s)\; =\; 2,\; srs\; =\; r\; -\; 1⟩\; =\; ⟨r,\; s\; \mid \; rn\; =\; s\; 2\; =\; (sr)\; 2\; =\; 1⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathrm\; \{D\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathrm\; \{r\},\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (\backslash \; mathrm\; \{r\})\; =\; n,\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (\backslash \; mathrm\; \{s\})\; =\; 2,\; \backslash \; mathrm\; \{srs\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathrm\; \{r,\; s\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{2\}\; =\; (\backslash \; mathrm\; \{sr\})\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; rangle.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

  Из второго представления следует, что D n принадлежит к классу групп Кокстера.
• полупрямое произведение циклических групп Znи Z 2, с Z 2 действует на Z n посредством инверсии (таким образом, D n всегда имеет нормальную подгруппу, изоморфную группа Z n). Z n⋊φZ2изоморфен D n, если φ (0) является тождеством и φ (1) является инверсией.

Примеры подгрупп из гексагональная двугранная симметрия

D1изоморфна Z 2, циклическая группа порядка 2.

D2изоморфна K 4, четырехгруппа Клейна.

D1и D 2 являются исключительными в том, что:

• D1и D 2 являются единственными абелевы диэдральные группы. В противном случае D n неабелева.
• Dnявляется подгруппой в симметрической группе Snдля n ≥ 3. Поскольку 2n>n! для n = 1 или n = 2, для этих значений D n слишком велик, чтобы быть подгруппой.
• Группа внутренних автоморфизмов D 2 тривиальна, тогда как для других четных значений n это D n / Z 2.

Графы циклов диэдральных групп состоят из n-элементного цикла и n 2-элементных циклов. Темная вершина в циклических графах различных групп диэдра ниже представляет собой единичный элемент, а другие вершины - другие элементы группы. Цикл состоит из последовательных степеней любого из элементов, связанных с тождественным элементом .

Графы циклов

D1= Z2	D2= Z 2= K4	D3	D4	D5
D6= D 3 × Z 2	D7	D8	D9	D10= D 5 × Z 2

D3 = S 3	D4

Пример абстрактной группы D n и общий способ ее визуализации, является группой изометрий евклидовой плоскости, которые сохраняют начало координат фиксированным. Эти группы образуют одну из двух серий дискретных групп точек в двух измерениях. D n состоит из n поворотов кратных 360 ° / n вокруг начала координат и отражений через n линий через начало координат, образуя углы, кратные 180 ° / п друг с другом. Это группа симметрии правильного многоугольника с n сторонами (для n ≥ 3; это распространяется на случаи n = 1 и n = 2, где у нас есть плоскость с соответственно смещение точки от «центра» «1-угольника» и «2-угольника» или отрезка линии).

Dnсгенерирован поворотом r порядка n и отражением s порядка 2, так что

$srs\; =\; r\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{srs\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\}$

С точки зрения геометрии: в зеркале вращение выглядит как обратное вращение.

В терминах комплексных чисел : умножение на $e\; 2\; \pi \; в\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; over\; n\}\}$и комплексное сопряжение.

В матричной форме, установив

$r\; 1\; =\; [cos\; \; 2\; \pi \; n\; -\; sin\; \; 2\; \pi \; n\; sin\; \; 2\; \pi \; n\; cos\; \; 2\; \pi \; n]\; s\; 0\; =\; [1\; 0\; 0\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; over\; n\}\; -\; \backslash \; sin\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; over\; n\}\; \backslash \backslash \; [8pt]\; \backslash \; sin\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; over\; n\}\; \backslash \; cos\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; over\; n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

и определение $rj\; =\; r\; 1\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{j\}\}$и $sj\; =\; rjs\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{0\}\}$для $j\; \in \; \{1,\dots ,\; n\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; n-1\; \backslash \}\}$мы можем написать правила продукта для D n as

$rjrk\; =\; r\; (j\; +\; k)\; mod\; nrjsk\; =\; s\; (j\; +\; k)\; mod\; nsjrk\; =\; s\; (j\; -\; k)\; mod\; nsjsk\; =\; r\; (j\; -\; k)\; mod\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; math\; rm\; \{r\}\; \_\; \{(j\; +\; k)\; \{\backslash \; text\; \{mod\}\}\; n\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{(j\; +\; k)\; \{\backslash \; text\; \{mod\}\}\; n\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{(jk)\; \{\; \backslash \; text\; \{mod\}\}\; n\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{r\}\; \_\; \{(jk)\; \{\backslash \; text\; \{mod\}\}\; n\; \}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(Сравните координатные вращения и отражения.)

Группа диэдра D 2 генерируется поворотом r на 180 градусов, а отражение s по оси абсцисс. Элементы D 2 затем могут быть представлены как {e, r, s, rs}, где e - это тождественное или нулевое преобразование, а rs - это отражение по оси y.

Четыре элемента D 2 (ось x здесь вертикальна)

D2изоморфны четырехгруппе Клейна.

для n>2 операции вращения и отражения в общем случае не коммутируют, и D n не является абелевым ; например, в D4 поворот на 90 градусов с последующим отражением дает результат, отличный от отражения, за которым следует поворот на 90 градусов.

D4неабелева (ось x здесь вертикальна).

Таким образом, помимо очевидного применения к проблемам симметрии на плоскости, эти группы являются одними из простейших примеров неабелевых групп, и как таковые часто возникают как простые контрпримеры к теоремам, которые ограничиваются абелевыми группами.

2n элементов D n можно записать как e, r, r,..., r, s, r s, rs,..., rs. Первые n перечисленных элементов - это вращения, а остальные n элементов - это отражения от оси (все они имеют порядок 2). Произведение двух вращений или двух отражений есть вращение; продукт вращения и отражения - это отражение.

До сих пор мы рассматривали D n как подгруппу из O (2), то есть группу поворотов (примерно начало координат) и отражения (по осям, проходящим через начало координат) плоскости. Однако обозначение D n также используется для подгруппы SO (3), которая также имеет абстрактный тип группы D n : правильная симметрия группа правильного многоугольника, вложенного в трехмерное пространство (если n ≥ 3). Такую фигуру можно рассматривать как вырожденное правильное твердое тело, грань которого пересчитана дважды. Поэтому его также называют диэдром (греч. Твердое тело с двумя гранями), что объясняет название диэдральная группа (по аналогии с тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической группой, имея в виду собственные группы симметрии правильного тетраэдра, октаэдр и икосаэдр соответственно).

Примеры двумерной двугранной симметрии

• 

  2D D 6 симметрии - Красная Звезда Давида

• 

  2D D 16 симметрии - Императорская печать Япония, представляющая восьмикратную хризантему с шестнадцатью лепестками.

• 

  2D D 24 симметрией - Ашока Чакра, как изображено на Государственном флаге Республика Индия.

Свойства групп диэдра D n с n ≥ 3 зависят от того, является ли n четным или нечетным. Например, center D n состоит только из идентичности, если n нечетно, но если n четно, центр имеет два элемента, а именно идентичность и элемент r (с D n как подгруппа O (2), это инверсия ; поскольку это скалярное умножение на −1, ясно, что оно коммутирует с любым линейное преобразование).

В случае двумерных изометрий это соответствует добавлению инверсии, давая повороты и зеркала между существующими.

Для n, дважды превышающего нечетное число, абстрактная группа D n изоморфна прямому произведению из D n / 2 и Z 2. Как правило, если m делит n, то D n имеет n / m подгрупп типа D m и одну подгруппу ℤ м. Следовательно, общее количество подгрупп в D n (n ≥ 1) равно d (n) + σ (n), где d (n) - количество положительных делителей числа n, а σ (n) - сумма положительных делителей числа n. См. список малых групп для случаев n ≤ 8.

Диэдральная группа порядка 8 (D 4) является наименьшим примером группы, которая не Т-группа. Любая из двух подгрупп четырехгруппы Клейна (которые являются нормальными в D 4) имеет в качестве нормальной подгруппы подгруппы порядка 2, порожденные отражением (переворотом) в D 4, но эти подгруппы не являются нормальными в D 4.

Классы сопряженности отражений

Все отражения сопряжены друг другу в случае нечетного n, но они распадаются на две классы сопряженности, если n четно. Если мы подумаем об изометриях правильного n-угольника: для нечетных n есть вращения в группе между каждой парой зеркал, в то время как для четных n только половина зеркал может быть достигнута с помощью этих вращений. Геометрически в нечетном многоугольнике каждая ось симметрии проходит через вершину и сторону, а в четном многоугольнике есть два набора осей, каждый из которых соответствует классу сопряженности: те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через две стороны..

С алгебраической точки зрения это пример сопряженной теоремы Силова (для нечетного n): для нечетного n каждое отражение вместе с тождеством образуют подгруппу порядка 2, которая является a Силовская 2-подгруппа (2 = 2 - максимальная степень двойки, делящая 2n = 2 [2k + 1]), в то время как для четного n эти подгруппы 2-го порядка не являются силовскими подгруппами, потому что 4 (более высокая степень 2) делит порядок группы.

Для n даже вместо этого существует внешний автоморфизм, меняющий местами два типа отражений (собственно, класс внешних автоморфизмов, которые все сопряжены внутренним автоморфизмом).

Группа автоморфизмов D n изоморфна голоморфу of / nℤ, т. Е. в Hol (ℤ / nℤ) = {ax + b | (a, n) = 1} и имеет порядок nϕ (n), где ϕ - функция Эйлера totient, число k в 1,…, n - 1, взаимно простых с n.

Это можно понять в терминах генераторов отражения и элементарного вращения (вращение на k (2π / n), для k взаимно простого с n); какие автоморфизмы являются внутренними и внешними, зависит от четности n.

• При нечетном n группа диэдра бесцентровая, поэтому любой элемент определяет нетривиальный внутренний автоморфизм; при четном n поворот на 180 ° (отражение через начало координат) является нетривиальным элементом центра.
• Таким образом, при нечетном n группа внутренних автоморфизмов имеет порядок 2n, а при четном n (другие чем n = 2) группа внутренних автоморфизмов имеет порядок n.
• При нечетном n все отражения сопряжены; для четного n они делятся на два класса (те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через две грани), связанных внешним автоморфизмом, который может быть представлен вращением на π / n (половина минимального вращения).
• Вращения - нормальная подгруппа; сопряжение отражением меняет знак (направление) вращения, но в остальном оставляет их неизменными. Таким образом, автоморфизмы, которые умножают углы на k (взаимно просты с n), являются внешними, если k = ± 1.

Примеры групп автоморфизмов

D9имеют 18 внутренних автоморфизмов. Как и группа двумерных изометрий D 9, группа имеет зеркала с интервалами 20 °. 18 внутренних автоморфизмов обеспечивают вращение зеркал кратно 20 ° и отражения. Как группа изометрий, это все автоморфизмы. В качестве абстрактной группы в дополнение к ним существует 36 внешних автоморфизмов ; например, умножение углов поворота на 2.

D10имеет 10 внутренних автоморфизмов. Как и группа 2D изометрии D 10, группа имеет зеркала с интервалами 18 °. 10 внутренних автоморфизмов обеспечивают вращение зеркал на 36 ° и отражения. В качестве группы изометрий есть еще 10 автоморфизмов; они сопряжены изометриями вне группы, поворачивая зеркала на 18 ° относительно внутренних автоморфизмов. В качестве абстрактной группы, помимо этих 10 внутренних и 10 внешних автоморфизмов, есть еще 20 внешних автоморфизмов; например, умножение поворотов на 3.

Сравните значения 6 и 4 для общей функции Эйлера, мультипликативной группы целых чисел по модулю n для n = 9 и 10, соответственно. Это утроит и удвоит количество автоморфизмов по сравнению с двумя автоморфизмами как изометриями (сохраняя порядок поворотов таким же или меняя порядок на противоположный).

Единственные значения n, для которых φ (n) = 2, равны 3, 4 и 6, и, следовательно, есть только три группы диэдра, которые изоморфны своим собственным группам автоморфизмов, а именно D 3 (порядок 6), D 4 (порядок 8) и D 6 (порядок 12).

Группа внутренних автоморфизмов

Группа внутренних автоморфизмов D n изоморфна:

• Dn, если n нечетно;
• Dn/ Z 2, если n четно (для n = 2, D 2 / Z 2 = 1).

Есть несколько важных обобщений групп диэдра:

• бесконечная группа диэдра - это бесконечная группа с алгебраической структурой, аналогичной конечным диэдральным группам. Его можно рассматривать как группу симметрий целых чисел .
• . Ортогональная группа O (2), то есть группа симметрии круга окружности, также имеет аналогичные свойства. в группы диэдра.
• Семейство обобщенных групп диэдра включает оба приведенных выше примера, а также многие другие группы.
• Группы квазидиэдра представляют собой семейство конечных групп со свойствами, аналогичными свойствам групп диэдра.

На Викискладе есть материалы, связанные с группами диэдра.

• Координатные вращения и отражения
• Индекс цикла группа диэдра
• дициклическая группа
• группа диэдра порядка 6
• группа диэдра порядка 8
• группы диэдра в трехмерном пространстве
• диэдральная симметрия в трех измерениях

• Группа диэдра n порядка 2n Шона Дудзика, Wolfram Demonstrations Project.
• Группа диэдра в Groupprops
• Вайсштейн, Эрик У. «Двугранный» Группа «. MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Двугранная группа D3». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Двугранная группа D4». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Двугранная группа D5». MathWorld.
• Дэвис, Деклан. «Двугранная группа D6». MathWorld.
• Группы диэдров на GroupNames