Диаграмма Кокстера - Дынкина

Пикторальное представление симметрии Диаграмма Кокстера - Дынкина для основных конечных групп Кокстера Диаграмма Кокстера - Дынкина для основных аффинных группы Кокстера

В геометрии диаграмма Кокстера - Дынкина (или диаграмма Кокстера, граф Кокстера ) граф с цифровыми обозначениями ребер (называемые ветвями ),представляющий пространственные отношения между набором зеркал (или отражающих гиперплоскостей ). Он упомянут калейдоскопическую конструкцию: каждый «узел» графа представляет собой зеркало (фасет домена ), а метка, прикрепленная к ветви, кодирует порядок двугранного угла между двумя зеркала (в области гребень ), то есть величина, которую можноножить угол между отражающими плоскостями, чтобы получить 180 градусов. Непомеченная ветвьнеявно представляет третий порядок (60 градусов).

Каждая диаграмма представляет группа Кокстера, и группы Кокстера классифици действующие по действующим диаграммам.

Диаграммы Дынкина связаны связанными объектами, которые отличаются от диаграммы Кокстера в двух отношениях: во-первых, ветви с пометкой «4» или являются направленными, а диаграммы Кокстера неориентированными ; во-вторых, диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ( кристаллографический ) ограничению, а именно, что единственными разрешенными метками ветвлений являются 2, 3, 4 и 6. Диаграммы Дынкина соответствуют и используются для классификации корневых систем и, следовательно, полупростые алгебры Ли.

• 1 Описание
• 2 Матрица Шлефли
  • 2.1 Группы Кокстера 2 ранга
  • 2.2 Геометрические визуализации
• 3 Конечные группы Кокстера
• 4 Применение с однородными многогранниками
  • 4.1 Примерымногогранников и мозаик
• 5 Аффинные группы Кокстера
• 6 Гиперболические группы Кокстера
  • 6.1 Гиперболические группы в H
    • 6.1.1 Арифметическая группа треугольников
    • 6.1. 2 Гиперболические многоугольники Кокстера над треугольниками
  • 6.2 Компактные (симплексные группы Ланнера)
    • 6.2.1 Ранги 4–5
  • 6.3 Паракомпактные (симплексные группы Кошуля)
    • 6.3.1 Идеальные симплексы
    • 6.3.2 Ранги 4–10
      • 6.3.2.1 Подгрупповые отношения паракомпактныхгиперболических групп
  • 6.4 Гиперкомпактные группы Кокстера (многогранники Винберга)
    • 6.4.1 Политоп Винберга es с рангом n + 2 для n-мерного пространства
    • 6.4. 2 Многогранники Винберга с рангом n + 3 для n-мерного пространства
    • 6.4.3 Многогранники Винберга с рангом n + 4 для n-мерного пространства
• 7 лоренцевых групп
  • 7.1 Очень расширенные диаграммы Кокстера
• 8 Геометрическая складчатость
• 9 Сложные отражения
• 10 См. Также
• 11 Ссылки
• 12Дополнительная литература
• 13 Внешние ссылки

Ветви диаграммы Кокстера - Дынкина помечены рациональным числом p, представляющим двугранный угол 180 ° / стр. Когда p = 2, угол равен 90 ° и зеркала не взаимодействуют друг с другом, поэтому ветвь на диаграмме можно не указывать. Если ветка не помечена, она имеет p = 3, что соответствует углу 60 °. Два параллельных зеркала имеют ответвление, отмеченное знаком «∞». В принципе, n зеркал могут бытьпредставлены полным графом , в котором нарисованы все n (n - 1) / 2 ветвей. На практике почти все интересные конфигурации зеркал включают ряд прямых углов, соответствующие ветви опускаются.

Диаграммы можно маркировать по их графической структуре. Первыми формами, изученными Людвигом Шлефли, являются ортосхемы, которые имеют линейные графы, порождающие правильные многогранники и правильные соты. Плагиосхемы - это симплексы, представленные графами ветвления, а циклохемы - симплексы, представленные циклическими графами.

Каждой диаграмме Кокстера соответствует матрица Шлефли (названная так в честь Людвига Шлефли ) с матричными элементами a i, j = a j, i = −2cos (π / p), где p - порядок ветвления между парами зеркал. Как матрица косинусов, она также называется матрицей Грамиана после Йоргена Педерсена Грам. Все матрицы группы Кокстера Шлефли симметричны, потому что их корневые стандарты нормализованы. Она связана с матрицей Картана, используемая в других, но ориентированных диаграммах диаграмм Дынкина в ограниченных случаях p = 2, 3, 4 и 6, которые НЕ являются симметричными. в общем.

Определитель матрицы Шлефли, называемый Шлефлиан, и его знак определяет, является ли группа конечной (положительной), аффинной ( нулевой), неопределенной (отрицательной). Это правило называется критерием Шлефли .

. собственные значения матрицы Шлефли определяют, имеет ли группа Кокстера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все положительные, по крайней мере, одно из них ноль) или неопределенное типа (в конечном случае). Неопределенный тип иногда также подразделяется, например на гиперболические и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определенных гиперболическихгруппокстера. Мы используем следующее определение: группа Кокстера со связной диаграммой является гиперболической, если она не имеет ни конечного, ни аффинного типа, каждая отдельная связная поддиаграмма имеет конечный или аффинный тип. Гиперболическая группа Кокстера является компактной, если все подгруппы конечны (т. Е. Имеют положительные определения), и паракомпактной, если все ее подгруппы конечны или аффинны (т. Е. Имеют неотрицательные детерминанты))).

Конечные и аффинные группы также называются эллиптическими и параболическими соответственно. Гиперболические группы также называются Ланнером в честь Ф. Ланнера который, перечислил компактные гиперболические группы в 1950 г., и Кошуля (или квази-Ланнера) для паракомпактных групп.

Группы Кокстера ранга 2

Для ранга 2 типа группы Кокстера полностью определено матрицы Шлефли, поскольку это просто полученные собственные значения: Конечный тип (положительный определитель),аффинного типа (нулевой определитель) или гиперболического ( отрицательный определитель). Коксетер использует эквивалентную скобку, которая перечисляет ветвлений в качестве графических узлов замены-ветвь. Также существуют рациональные решения [p / q], с gcd (p, q) = 1, которые определяют перекрывающиеся фундаментальные области. Например, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. и 6/5.

Тип	Конечное					Аффинное	Гиперболическое
Геометрия					...
Кокстер	. []	. [2]	. [3]	. [4]	. [p]	. [∞]	. [∞]	. [iπ / λ]
Порядок	2	4	6	8	2p	∞
Зеркало линии окрашены в соответствии с узлами диаграммы Кокстера.. Фундаментальные области окрашены поочередно.

Диаграммы групп Кокстера 2 ранга
Порядок. p	Группа	Диаграмма Кокстера		Матрица Шлефли
				$[2\; a\; 12\; a\; 21\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\; \backslash \; begin\; \{matrix\}\; 2\; a\_\; \{12\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{21\}\; 2\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	Определитель. (4-a 21*a12)
Конечный (Определитель>0)
2	I2(2) = A 1xA1		[2]	$[2\; 0\; 0\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\; \}\; \backslash \; right]\}$	4
3	I2(3) = A 2		[3]	$[2–1–1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	3
3/2			[3/2]	$[2\; 1\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$
4	I2(4) = В 2		[4]	$[2–2–2\; 2]\{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{\; smallmatrix\}\; 2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	2
4/3			[4/3]	$[2\; 2\; 2\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{\; smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$
5	I2(5) = H 2		[5]	$[2\; -\; \varphi \; -\; \varphi \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -\; \backslash \; p\; привет\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; phi\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	$(5–5)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; 2\}$. ~ 1,38196601125
5/4			​​[5/4]	$[2\; \varphi \; \varphi \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; \backslash \; phi\; \backslash \backslash \backslash \; phi\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$
5/2			[5/2]	$[2\; 1\; -\; \varphi \; 1\; -\; \varphi \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; 1\; -\; \backslash \; фи\; \backslash \backslash \; 1-\; \backslash \; фи\; 2\; \backslash \; конец\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	$(5\; +\; 5)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; 2\}$. ~ 3,61803398875
5/3			[5/3]	$[2\; \varphi \; -\; 1\; \varphi \; -\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; \backslash \; phi\; -1\; \backslash \backslash \; \backslash \; ph\; i\; -1\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$
6	I2(6) = G 2		[6]	$[2–3–3\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	1
6/5			[6/5]	$[2\; 3\; 3\; 2]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; l\; e\; ft\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$
8	I2(8)		[8 ]	$[2–2\; +\; 2–2\; +\; 2\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2+\{\backslash \; sqr\; t\; \{2\}\}\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	$2–2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$. ~ 0, 58578643763
10	I2(10)		[10]	$[2\; -\; (5\; +\; 5)\; /\; 2\; -\; (5\; +\; 5)\; /\; 2\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{(5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; 2\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{(5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; 2\}\}\; 2\; \backslash \; конец\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	$(3-5)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (3\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; 2\}$ ~ 0,38196601125
12	I2(12)		[12]	$[2–2\; +\; 3–2\; +\; 3\; 2]\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 3]\}\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	$2–3\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}$. ~ 0,26794919243
p	I2(p)		[p]	$[2–2\; соз\; \; (\pi \; /\; p)\; -\; 2\; со\; з\; \; (\pi \; /\; p)\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -2\; \backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; /\; p)\; \backslash \backslash \; -\; 2\; \backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; /\; p)\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\; \}\; \backslash \; right]\}$	$4\; sin\; 2\; \; (\pi \; /\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; pi\; /\; p)\}$
Аффинный (Детерминант= 0)
∞	I2( ∞) = $I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$= $A\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{1\}\}$		[∞ ]	$[2–2–2\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -2\; \backslash \backslash \; -\; 2\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	0
Гиперболический (Определитель ≤0)
∞			[∞]	$[2–2–2\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 2\; -2\; \backslash \backslash \; -\; 2\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right\; ]\}$	0
∞			[iπ / λ]	$[2–2\; cosh\; (2\; \lambda )\; -\; 2\; cosh\; (2\; \lambda )\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmat\; rix\}\; 2\; -2cosh\; (2\; \backslash \; лямбда)\; \backslash \backslash \; -\; 2cosh\; (2\; \backslash \; lambda)\; 2\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$	$-\; 4\; sinh\; 2\; \; (2\; \lambda )\; \le \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -4\; \backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; (2\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; leq\; 0\}$

Геометрические визуализации

Диаграмму Кокстера - Дынкина можно рассматривать ть вать как графическое описание фундаментальной области зеркал. Зеркало представляет собой гиперплоскость в заданном сферическом, евклидовом или гиперболическом пространстве. (В 2D-зоне это плоскость).

Эти визуализации показывают фундаментальные области для двумерных и трехмерных евклидовых групп и двумерных сферических групп. Для каждого из них диаграмма Кокстера может быть выведена идентификация гиперплоскостных зеркал и маркировки их связности, игнорируя двугранные углы 90 градусов (порядок 2).

. Группы Кокстера на евклидовой плоскости с эквивалентными диаграммами. Отражения помечаются как узлы графа R1, R2 и т. Д. И окрашиваются в соответствии с порядком их отражения. Отражения подуглом 90 градусов неактивны и поэтому рекомендуется на диаграмме. Параллельные зеркала соединяются ветвью с обозначением ∞. Призматическая группа $I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$x$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$отображается как удвоение $C\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{2\}\}$, но также может создаваться прямоугольные домены путем удвоения $G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$треугольники. $A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$- это удвоение $G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\; \}$треугольник.
. Многие группы Кокстера в гиперболической плоскости могут быть расширены из евклидовых случаев в виде серии гиперболических решений.
. Группы Кокстера на 3-м пространстве с диаграммами. Зеркала (грани треугольника) помечены противоположной вершиной 0..3. Ветви окрашены в соответствии с порядком отражения.. $C\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\{C\}\}\; \_\; \{3\}\}$заполняет 1/48 куба. $B\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{3\}\}$заполняет 1/24 куба. $A\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{3\}\}$заполняет 1/12 куба.	. Группы Кокстера на сфере с эквивалентными диаграммами. Одна фундаментальная область обведена желтым. Вершины домена (и ветви графа) окрашены в соответствии с порядком их отражения.

См. Также семейства многогранников для получения таблицыоднородных многогранников конечных узлов, связанных с этим группой.

• Для одних и тех же групп даны три разных символа - в виде буквы / числа, как заключенный в скобки набор чисел и как диаграмма Кокстера.
• Раздвоенные группы D n предоставить себя половину или альтернативную версию обычных групп C n.
• Раздвоенные группы D n и E n также помечаются верхним индексом [3], где a, b, c - количество сегментов в каждом из три ветви.

Связанные конечные диаграммы Кокстера-Дынкина (ранги от 1 до 9)

Ранги	Простые группы Ли			Исключительные группы Ли
	$A\; 1\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \{A\}\; \_\; \{1\; +\}\}$	$В\; 2\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \{B\}\; \_\; \{2+\}\}$	$D\; 2\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \{D\}\; \_\; \{2+\}\}$	$E\; 3-8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{E\}\; \_\; \{3-8\}\}$	$F\; 3–4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{F\}\; \_\; \{3-4\}\}$	$G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{G\}\; \_\; \{2\}\}$	$H\; 2–4\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{H\}\; \_\; \{2-4\}\}$	$I\; 2\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{I\}\; \_\; \{2\}\; (p)\}$
1	A1= [].
2	A2= [3].	B2= [4].	D2=A1A1.			G2= [6].	H2= [5].	I2[p].
3	A3= [3].	B3= [3,4].	D3=A3.	E3=A2A1.	F3=B3.		H3.
4	A4= [3].	B4= [3,4].	D4= [3].	E4=A4.	F4.		H4.
5	A5= [3].	B5= [3,4].	D5= [3].	E5=D5.
6	A6= [3].	B6= [3, 4].	D6= [3].	E6= [3].
7	A7= [3].	B7= [3,4].	D7= [3].	E7= [3].
8	A8= [3].	B8= [3,4].	D8= [3].	E8= [3].
9	A9= [3].	B9= [3,4].	D9= [3].
10+	..	..	..	..

. При построении однородных многогранников узлы помечаютча ся как активные с помощью кольца, если образующая точка находится вне зеркала, создаваемая новая ребро между точкой образной точки и ее зеркальным отображением. Узел без кольца представляет собой неактивное зеркало, которое не создает новых точек. Кольцо без узла называется отверстием.

. Два ортогональных зеркала могут быть использованы для создания квадрата, , показанного здесь с красной образной точкой и 3 виртуальных копиях через зеркала. В этом ортогональном случае генератордолжен находиться вне обоих зеркал, чтобы создать интерьер. Разметка предполагает, что активные кольца на равном расстоянии от всех зеркал, в то время как прямоугольник также может представлять неоднородное решение.

Диаграммы Кокстера - Дынкина могут явно перечислять почти все классы равномерного многогранника и однородных мозаик. Каждый однородный многогранник с чистой отражающей симметрией (все, кроме частных случаев, имеют чистую отражательную симметрию)может быть представлен диаграммой Кокстера - Дынкина с перестановками разметок. Каждый однородный многогранник может быть сгенерирован с использованием таких зеркал и одной точки генератора: зеркальные изображения представляют новые как отражения, затем многогранник ребра могут быть определены точки между точками и точкой зеркального изображения. Грани переходни образуются многократным отражением кромок, в конечном итоге в конечном итоге в исходный; окончательная форма, атакже любые грани более высоких изображений, аналогично отображением лица, ограничивающим областью.

Чтобы указать генерирующую вершину, один или несколько узлов помечаются кольцами, что означает, что вершина не находится на зеркале (ах), представленном кольцевым узлом (ами). (Если отмечены два или более зеркала, вершина находится на одинаковом расстоянии от них.) Зеркало активно (создает отражения) только по отношению к точкам, не находящимся на нем. Для представления многогранникадиаграмме необходим хотя бы один активный узел. Несвязанная диаграмма (подгруппы, разделенные ветвями второго порядка или ортогональные зеркалами) требует по крайней мере одного узла в каждом подграфе.

Все правильные многогранники, представленные символом Шлефли {p, q, r,...}, могут иметь свои фундаментальные области, представленные набором из n зеркал со схемой Кокстера - Дынкина линии узлов и ветвей, помеченных p, q, r,..., с окольцованным первымузлом.

Равномерные многогранники с одним кольцом соответствуют образующим точкам в углах симплекса фундаментальной области. Два кольца соответствуют краям симплекса и имеют степень свободы, причем только средняя точка является однородным решением для равных длин ребер. Как правило, точки образующих k-колец находятся на (k-1) -гранях симплекса, и если все узлы обведены кольцами, точка образующих находится внутри симплекса.

Особый случайных многогранников с неотражающейсимметричной представленной вторичной разметкой, в которой удаляется центральная точка кольцевого узла (так называемая дыра). Эти формы представляют собой чередования многогранников сающей симметрией, что подразумевает удаление альтернативных узлов. Результирующий многогранник будет иметь подсимметрию исходной группы Кокстера. Усеченное чередование называется пренебрежительным.

• Один узел представляет собой одно зеркало. Это называется группой A 1.Если обведено кружком, создается линейный сегмент , перпендикулярный зеркалу, представленный как {}.
• Два несвязанных узла представляют два перпендикулярных зеркала. Если оба узла обведены кольцом, можно создать прямоугольник или квадрат, если точка находится на одинаковом расстоянии от обоих зеркал.
• Два узла, прикрепленных по приказу -n ветвь может создать n-угольник, если точка находится на одном зеркале, и 2n-угольник,если точка находится вне обоих зеркал. Это формирует группу I 1 (n).
• Два параллельных зеркала могут представлять собой бесконечный многоугольник I 1 (∞) группа, также называемую Ĩ 1.
• Три зеркала в треугольнике образ изображения, видимые в традиционном калейдоскопе, и могут быть представлены тремя узлами, соединенными в треугольник. В повторяющихся примерах ветви ветви изображены как (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), хотя последние два могут нарисованы ввиде (две ветви ветви игнорируются). Они будут генерировать однородные мозаики.
• Три зеркала могут генерировать однородные многогранники ; включение рациональных чисел дает набор треугольников Шварца.
• Три зеркала, одно из которых перпендикулярно двум другим, могут образовывать однородные призмы топмы.

. Внутри общего треугольника существует 7 отражающих однородных конструкций на основе 7 положений генератора в основной области. Каждое активное зеркалоформирует край, два активных зеркала имеют генераторы на сторонах домена, а три активные зеркала имеют генератор внутри. Одна или две степени свободы могут быть решены для уникального положения для равных ребер результирующего многогранника или мозаики.

. Генераторы примера 7 на октаэдрической симметрии, треугольнике фундаментальной области (4 3 2), с 8-м поколением пренебрежения как чередованием

Двойники однородных многогранников иногда помечаются перпендикулярнаякосая черта, заменяющая узлы в кольцах, и косая черта для узлов с отверстиями на выступах. Например, представляет прямоугольник (как два активных ортогональных зеркала), а представляет его двойной многоугольник, ромб.

Примеры многогранников и мозаик

Например, у группы Кокстера B 3 есть диаграмма: . Это также называется октаэдрической симметрией.

. Существует 7 выпуклых однородных многогранников, которыемогут быть построены из этой группы симметрии, и 3 из ее подсимметрий чередования, каждая из которых имеет однозначно отмеченные вверх Диаграмма Кокстера - Дынкина. Символ Wythoff представляет особый случай диаграммы Кокстера для графов ранга 3, с указанием всех трех порядков ветвлений, вместо подавления ветвей порядка 2. Символ Wythoff может обрабатывать курносую форму, но не общие чередования, когда все узлы не обведены.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3]. (432)	[1, 4,3] = [3,3]. (* 332)		[3,4]. (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3}. r {3}	t{3,4}. t {3}	{3, 4}. {3}	rr {4,3}. s2{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3}. {3,3}	div class="ht"{4,3}. t {3,3}	с {3,4}. s {3}
		. =	. =	. =				=. или	=. или	=.
		.	.	.	.					.
Двойники к однородным многогранникам
V4	V3.8	V (3.4)	V4.6	V3	V3.4	V4. 6.8	V3.4	V3	V3.6	V3

Те же конструкции могут быть сделаны на несвязанных (ортогональных) групп Кокстера, таких как однородные призмы, и могут быть более четко видны как мозаики диэдры и хозоэдры на сфере, как это [6] × или [6,2] семейство:

Однородные гексагональные двугранные сферические многогранники
Симметрия : [6,2], (* 622)							[6,2], (622)	[6,2], (2 * 3)
{6, 2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Сопоставляется с униформой
V6	V12	V6	V4.4.6	V2	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Для сравнения, семейство [6,3], параллельный набор из 7 однородных мозаик евклидовой плоскости, и их двойственные мозаики. Снова есть 3 чередования и некоторая полусимметричная версия.

Равномерные шестиугольные / треугольные мозаики [ v ]
Симметрия : [6,3], ( * 632)							[6,3]. (632)	[ 6,3]. (3 * 3)
{6,3}	t {6,3}	r {6,3}	t {3,6}	{3,6}	rr {6,3}	tr {6,3}	sr {6, 3}	с {3,6}
6	3.12	(3.6)	6.6.6	3	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3. 6	3.3.3.3.3.3
Однородные двойные
V6	V3.12	V (3.6)	V6	V3	V3.4.6.4	V.4.6.12	V3.6	V3

В гиперболической плоскости [7,3] семейство создает параллельныйнабор однородных мозаик и их двойственных мозаик. Есть только 1 чередование (пренебрежительный ), поскольку все заказы ветвления нечетные. Многие гиперболические модели однородных мозаик можно увидеть в равномерных мозаиках в гиперболической плоскости.

Равномерные семиугольные / треугольные мозаики [ v ]
Симметрия: [7,3], (* 732)							[7, 3 ], (732)
{7,3}	t {7,3}	r {7,3}	t {3,7}	{3,7}	rr {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Однородные двойные
V7	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Определены семейства выпуклых однородных евклидовых мозаик аффинными группе Кокстера. Эти группы идентичны конечным группам с включением одного добавленного узла. В названиях букв они обозначаются одной и той же буквой со знаком «~» над буквой. Индекс относится к конечной группе, поэтому ранг равен индексу плюс 1. (ЭрнстВитт символы для аффинных групп также даны)

1. $A\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{n\; -1\}\}$: диаграммы этого типа циклами. (P n)
2. $C\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{n-1\}\}$Также связан с регулярной тесселяцией гиперкуба {4, 3,...., 4} семейство. (Также R n)
3. $B\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{n-1\}\}$связано с C одним удаленным зеркало. (Также S n)
4. $D\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{n-1\}\}$связано с Cдвумя удаленными зеркалами. (также Q n)
5. $E\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{6\}\}$, $E\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{7\}\}$, $E\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$. (Также T 7, T 8, T 9)
6. $F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{\; F\}\}\; \_\; \{4\}\}$формирует {3,4,3,3} обычную мозаику. (Также U 5)
7. $G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\; \}$формирует фундаментальные области треугольника 30-60-90. (Также V 3)
8. $I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$- два параллельных зеркала. (= $A\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{1\}\}$= $C\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\; ilde\; \{C\}\}\; \_\; \{1\}\}$) (Также W 2)

Составные группы также могут быть как реализованные ортогональные проекты. Чаще всего используется $A\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{1\}\}$, например $A\; ~\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}$, представляет квадратные или прямоугольные шахматные области вевклидовой плоскости. И $A\; ~\; 1\; G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{1\}\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$представляет треугольную призму фундаментальные области в трехмерном евклидовом пространстве.

Аффинные графы Кокстера до (от 2 до 10 узлов)

Ранг	$A\; ~\; 1\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{1+\}\}$(P2+)	$B\; ~\; 3\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{B\}\}\; \_\; \{3+\}\}$(S4+)	$C\; ~\; 1\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{1+\}\}$(R2+)	$D\; ~\; 4\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{4+\}\}$(Q5+)	$E\; ~\; n\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{n\}\}$(Tn + 1) / $F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{F\}\}\; \_\; \{4\}\}$(U5) / $G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$(V3)
2	$A\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{A\}\}\; \_\; \{1\}\}$= [∞].		$C\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{1\}\}$= [∞ ].
3	$A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$= [3]. *		$C\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{\; 2\}\}$= [4,4]. *		$G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$=[6,3]. *
4	$A\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3]. *	$B\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [4,3]. *	$C\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [4,3,4]. *	$D\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3,3,3]. = $A\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{3\}\}$
5	$A\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3]. *	$B\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; тильда\; \{B\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4,3,3]. *	$C\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; til\; de\; \{C\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4,3,4]. *	$D\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3]. *	$F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{F\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3,4,3,3]. *
6	$A\; ~\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3]. *	$B\; ~\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [4,3,3]. *	$C\; ~\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [4,3,4]. *	$D\; ~\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3,3,3]. *
7	$A\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\{6\}\}$= [3]. *	$B\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{6\}\}$= [4,3,3].	$C\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{6\}\; \}$= [4,3,4].	$D\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{6\}\}$= [3,3,3].	$E\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{6\}\}$= [3].
8	$A\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{7\; \}\}$= [3]. *	$B\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{7\}\}$= [4, 3,3]. *	$C\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{7\}\}$=[4,3,4].	$D\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{D\}\}\; \_\; \{7\}\}$= [3,3,3]. *	$E\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{7\}\}$= [3]. *
9	$A\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{8\}\}$= [3]. *	$B\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\; \}\}\; \_\; \{8\}\}$= [4,3,3].	$C\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{8\}\}$= [ 4,3,4].	$D\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{8\}\}$= [3,3,3].	$E\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$= [3]. *
10	$A\; ~\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{9\}\}$= [3]. *	$B\; ~\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{9\}\}$= [4,3,3].	$C\; ~\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{9\}\}$= [4,3,4].	$D\; ~\; 9\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{9\}\}$= [3,3,3].
11	...	...	...	...

Есть много бесконечных гиперболических групп Кокстера. Гиперболические группы классифицируютсякак компактные или нет, причем компактные группы имеют ограниченные фундаментальные области. Компактные симплексные гиперболические группы (симплексы Ланнера ) существуют с рангом от 3 до 5. Паракомпактные симплексные группы (симплексы Кошуля ) существуют до ранга 10. Гиперкомпактные (многогранники Винберга ) группы были изучены, но не полностью определены. В 2006 году Олкок доказал, что существует бесконечно много компактных многогранников Винбергаразмерности до 6 и бесконечно много многогранников Винберга конечного объема для размерности до 19, поэтому полное перечисление невозможно. Все эти фундаментальные области отражения, как симплексы, так и несимплексы, часто называют политопами Кокстера или иногда менее точно многогранниками Кокстера .

гиперболическими группами в H <2218.>Модель диска Пуанкаре фундаментальной области треугольников Пример прямоугольных треугольников [p, q]. [3,7]. [3,8]. [3,9]. [3, ∞]. [4,5]. [4,6]. [4,7]. [4,8]. [∞, 4]. [5,5]. [5,6]. [5,7]. [6,6]. [∞, ∞]Пример общих треугольников [(p, q, r)]. [(3,3,4)]. [(3,3,5)]. [(3,3,6)]. [(3,3,7)]. [(3,3, ∞)]. [(3,4,4)]. [(3,6,6)]. [(3, ∞, ∞)]. [(6,6,6)]. [(∞, ∞, ∞)]

Двумерные гиперболические треугольные группы существуют как диаграммы Кокстера ранга 3,определяемые треугольником (pqr) for:

Существует бесконечно много компактных треугольных гиперболических групп Кокстера, включая линейные и треугольные графы. Линейные графики существуют для прямоугольных треугольников (с r = 2).

Компактные гиперболические группы Кокстера

Линейные	Циклические
∞ [p, q], :. 2 (p + q) . . ..... . ..... . .....	∞ [(p, q, r)], : p + q + r>9. . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

Паракомпактные группы Кокстера ранга3 существуют как пределы компактных.

Линейные графики	Циклические графики
[p, ∞] [∞, ∞]	[(p, q, ∞)] [(p, ∞, ∞)] [(∞, ∞, ∞)]

Группа арифметических треугольников

Гиперболические группы треугольников, которые также являются арифметическими группами, образуют конечное подмножество. Путем компьютерного поиска полный список был определен Кисао Такеучи в его статье 1977 года «Группы арифметических треугольников».Всего 85, компактных 76 и паракомпактных 9.

Правые треугольники (pq 2)	Общие треугольники (pqr)
Компактные группы: (76) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Паракомпактные прямоугольные треугольники: (4) , , ,	Общие треугольники: (39) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Паракомпактные общие треугольники: (5) , , , ,
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), ( 2 5 10), (2 5 20), (2 5 30) (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12) (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18) (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18) (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)	(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15) (3 4 4), (3 4 6), ( 3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12) (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16) (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10) (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15) (3,3 ∞) (3 ∞ ∞) (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Гиперболические многоугольники Кокстера над треугольниками

Фундаментальные области четырехугольных групп

. или . [∞, 3, ∞ ]. [iπ/λ1,3,iπ/λ2]. (*3222)	. or . [((3,∞,3)),∞]. [((3,iπ/λ1,3)),iπ/λ2]. (*3322)	. or . [(3,∞)]. [(3, iπ / λ 1, 3, iπ / λ 2)]. (* 3232)	. или . [(4, ∞)]. [(4, iπ / λ 1, 4, iπ / λ 2)]. (* 4242)	. ... (* 3333)
Области с идеальными вершинами
. . [iπ / λ 1, ∞, iπ / λ 2]. (* ∞222)	. .. (* ∞∞22)	. . [(iπ / λ 1, ∞, iπ / λ 2, ∞)]. (* 2∞2∞)	. .. (* ∞∞∞∞)	. .. (* 4444)

Другие гиперболические калейдоскопы H могут быть построены из многоугольников более высокого порядка. Например, группы треугольников эти калейдоскопы можно идентифицировать по циклической последовательности зеркальных int порядки сечения вокруг фундаментальной области, как (abcd...), или, что то же самое, в орбифолдной нотации как * abcd.... Диаграммы Кокстера – Дынкина для этих полигональных калейдоскопов можно рассматривать как вырожденные (n- 1) - симплекс фундаментальные области с циклом ветвей порядка a, b, c..., а оставшиеся n * (n-3) / 2 ветвей помечены как бесконечные (∞), представляющие не -пересекающиеся зеркала. Единственный негиперболический пример - это четыре зеркала евклидовой симметрии в квадрате или прямоугольнике. angle as , [∞,2,∞] (orbifold *2222). Another branch representation for non-intersecting mirrors by Vinberg gives infinite branches as dotted or dashed lines, so this diagram can be shown as , with the four order-2 branches suppressed around the perimeter.

For example, a quadrilateral домен (a b c d) будет иметь две ветви бесконечного порядка, соединяющие ультрапараллельные зеркала. Наименьший гиперболический пример - , [∞, 3, ∞] или [iπ / λ 1, 3,iπ / λ 2 ] (орбифолд * 3222), где ( λ 1,λ2) - расстояние между ультрапараллельными зеркалами. Альтернативное выражение - с подавленными по периметру тремя ветвями порядка 2. Аналогично (2 3 2 3) (орбифолд * 3232) может быть представлен как , а (3 3 3 3), (орбифолд * 3333) может быть представлен как полный граф .

Наивысшая четырехугольная область (∞ ∞ ∞ ∞) представляет собой бесконечный квадрат, представленный полным тетраэдрическим графом с 4 ветвями попериметру в качестве идеальных вершин и двумя диагональными ветвями в виде бесконечности (показаны пунктирными линиями) для ультрапараллельных зеркал: .

Компактные (симплексные группы Ланнера)

Компактные гиперболические группы называются группами Ланнера в честь того, кто впервые изучил их в 1950 году. Они существуют только как графы ранга 4 и 5. Коксетер изучал линейные гиперболические группы кокстера в своей статье 1954 года «Регулярные соты в гиперболическомпространстве», которая включала два рациональных решения в гиперболическом 4-пространстве : [5 / 2,5,3,3] = и [5,5 / 2,5,3] = .

Уровни 4–5

Фундаментальная область любой из двух бифуркационных групп, [5,3] и [5,3,3], вдвое больше, чем у соответствующей линейной группы, [5,3,4] и [5,3,3,4] соответственно. Буквенные имена даются Джонсон как расширенные символы Витта.

Компактные гиперболические группы Кокстера

Размерность. H	Ранг	Общее количество	Линейное	Бифуркационный	Циклический
H	4	9	3: $BH\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{BH\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [4,3,5]: . $К\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{K\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [5,3,5]: . $J\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{J\}\; \}\; \_\; \{3\}\}$= [3,5,3]:	$DH\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{DH\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [ 5,3]:	$AB\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{AB\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,4)]: . $AH\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash widehat\; \{AH\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,5)]: . $BB\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{BB\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,4)]: . $BH\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{BH\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,4,3,5)]: . $ЧЧ\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{HH\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,5)]:
H	5	5	3: $Н\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{H\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3,5]: . $BH\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{BH\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4, 3,3,5]: . $K\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{K\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [5,3,3,5]:	$DH\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{DH\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [5,3,3]:	$AF\; ^\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{AF\}\}\; \_\; \{\; 4\}\}$= [(3,4)]:

Паракомпакт (симплексные группы Кошуля)

Пример апейрогонального замощения третьего порядка, {∞, 3} с один зеленый апейрогон и его описанный орицикл

Паракомпактные (также называемые некомпактными) гиперболические группы Кокстера содержат аффинные подгруппы и имеют асимптотические симплексныефундаментальные области. Самый высокий паракомпактный гипербол Группа Кокстера имеет ранг 10. Эти группы названы в честь французского математика Жана-Луи Кошуля. Их также квазиланнеровскими, продолжающими компактными группами Ланнера. Полный список был составлен с помощью компьютерного поиска М. Чейном и опубликован в 1969 году.

По Винбергу, все 72 компактных и паракомпактных симплекса, кроме восьми, являются арифметическими. Две из неарифметических групп компактны: и. Остальные шесть неарифметических групп все паракомпактны, с пятью трехмерными группами , , , и и одной пятимерной группой .

Идеальные симплексы

Идеальные фундаментальные области , [(∞, ∞, ∞)] видно в модели диска Пуанкаре

Существует 5 гиперболических групп Кокстера, выражающих идеальные симплексы, графы, удаление которых любого одного узла приводит к аффинной группе Кокстера. Таким образом, все вершины этого идеального симплекса находятсяна бесконечности.

Ранг	Идеальная группа		Аффинные подгруппы
3	[(∞, ∞, ∞)]		[∞]
4	[4]		[4, 4]
4	[3]		[3]
4	[(3,6)]		[3,6]
6	[(3, 3,4)]		[4, 3,3,4], [3,4,3,3]	,

Уровни 4–10

Бесконечные евклидовы ячейки, такие как шестиугольная мозаика, правильно масштабированные, сходятся к одной идеальной точке на бесконечности, как гексагональные мозаичные соты, {6,3,3}, как показано с единственной ячейкойв ​​проекции модели диска Пуанкаре

Всего существует 58 паракомпактных гиперболических групп Кокстера с ранга с 4 по 10. Все 58 сгруппированы ниже по пяти категориям. Буквенные с использованием представленной Джонсоном как расширенные символы Витта с PQRSTWUV из аффинных символов Витта и добавлением LMNOXYZ. Этим гиперболическим группам для циклохимических схем дается верхняя черта или шляпа. Обозначение скобок от Кокстера является линеаризованнымпредставлением группы Кокстера.

Гиперболические паракомпактные группы

Рейтинг	Общее количество	Группы
4	23	$BR\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{BR\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,3,4,4)]: . $CR\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{CR\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3, 4)]: . $RR\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{RR\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [4]: ​​. $AV\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{AV\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,6)]: . $BV\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{BV\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,4,3,6)]: . $HV\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{HV\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,5,3, 6)]: . $VV\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{VV\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [(3,6)]:	$P\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3,3]: . $BP\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{BP\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [4,3]: . $HP\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{HP\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [5,3]: . $VP\; ¯\; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{VP\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [6,3]: . $DV\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; \{\backslash \; overline\; \{DV\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [6,3]: . $О\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{O\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3,4]: . $M\; ¯\; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{M\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [4]: ​​	$R\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{R\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3,4,4]: . $N\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{N\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [4]: ​​. $V\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{V\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3,3,6]: . $BV\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{BV\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [4,3,6]: . $HV\; ¯3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{HV\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [5, 3,6]: . $Y\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3,6,3]: . $Z\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Z\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [6,3,6]:	$DP\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{DP\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3]: . $PP\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{PP\}\}\; \_\; \{3\}\}$= [3]:
5	9	$P\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3,3]: . $BP\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{BP\}\}\; \_\; \{4\}\}$=[4,3]: . $FR\; ^\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{FR\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [(3,4,3,4)]: . $DP\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{DP\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3]:	$N\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{N\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4,3, ((4,2, 3))]: . $O\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{O\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3,4,3]: . $S\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4,3]:	$R\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{R\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [(3,4)]:	$М\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overl\; ine\; \{M\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4,3]:
6	12	$P\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3,3]: . $AU\; ^\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{AU\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [(3,4)]: . $AR\; ^\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{AR\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [( 3,3,4)]:	$S\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [4,3,3]: . $O\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{O\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3,4,3]: . $N\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{N\}\}\; \_\; \{5\}\; \}$= [3, (3, 4)]:	$U\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{U\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3,4,3]: . $X\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3, 3,4,3,3]: . $R\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{R\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3,4,3,3,4]:	$Q\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3]: . $M\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{M\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [4,3,3]: . $L\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{L\}\}\; \_\; \{5\}\}$= [3] :
7	3	$п\; ¯\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{6\}\}$=[3,3]:.	$Q\; ¯\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\; \}\; \_\; \{6\}\}$= [3,3,3]:.	$S\; ¯\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{6\}\}$= [ 4, 3,3]:.
8	4	$P\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{7\}\}$= [3,3]:.	$Q\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\}\; \_\; \{7\}\}$= [3,3,3]:.	$S\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{7\}\}$= [4,3,3]:.	$T\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{T\}\}\; \_\; \{7\}\}$= [3]:.
9	4	$P\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{8\}\}$= [3,3]:.	$Q\; ¯\; 8\; \{\backslash \; отображает\; tyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\}\; \_\; \{8\}\}$= [3,3,3]:.	$S\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{8\}\}$= [4,3,3]:.	$T\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{T\}\}\; \_\; \{8\}\}$= [3]:.
10	3	$P\; ¯\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{9\}\}$= [3,3]:.	$Q\; ¯\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\}\; \_\; \{9\}\; \}$= [3,3,3]:.	$S\; ¯\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{9\}\}$= [4,3,3 ]:.	$T\; ¯\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\{T\}\}\; \_\; \{9\}\}$= [3]:.

Отношения подгрупп паракомпактных гиперболических групп

Эти деревья меньшие отношения подгрупп паракомпактных гиперболических групп. Индексы подгрупп на каждом подключении выделены красным цветом. Подгруппы индекса 2 предоставить собой зеркальное удаление и фундаментальное удвоение домена. Другие могут быть выведены с помощью соизмеримости (целочисленного измерения диапазона) для тетраэдрических доменов.

Деревья подгрупп
H
H
H

Гиперкомпактные группы Кокстера (многогранники Винберга)

Так же, как гиперболическая плоскость H имеет нетреугольные многоугольные области, существуют также многомерные отражающие гиперболические области. Эти несимплексные области можно рассматривать как вырожденные симплексы с непересекающимися отдельными зеркалами, заданными бесконечными порядками, или на диаграмме Кокстера такие ветви обозначены линиями пунктирными или штриховыми линиями. Эти несимплексные области называются многогранниками Винберга в честь Эрнеста Винберга в его алгоритме Винберга для нахождения несимплексной фундаментальной области гиперболической группы отражений. Геометрические эти фундаментальные области могут быть классифицированы как четырехугольные пирамиды, или призмы, или другие многогранники с ребрами как пересечение двух зеркал, имеющих двугранные углы <446.>как π / n для n = 2,3,4...

В симплексной областисуществует n + 1 зеркал для n-мерного пространства. В несимплексных доменах имеется более n + 1 зеркал. Список конечен, но не полностью известен. Вместо этого частичные списки были пронумерованы как n + k зеркал, для k как 2, 3 и 4.

Гиперкомпактные группы Кокстера в трехмерном пространстве или выше отличаются от двухмерных групп в одном существенном отношении. Два гиперболических n-угольника, имеющие одинаковые углы в одном и том же циклическом порядке, могут иметь разные длины ребери, как правило, не конгруэнтны. В отличие от многогранников Винберга в 3-х измерениях или выше рассматривают двугранными углами. Этот факт основан на теореме жесткости Мостова, согласно которой две изоморфные группы, порожденные отражения в H для n>= 3, определяют конгруэнтные фундаментальные области (многогранники Винберга).

Многогранники Винберга ранга n + 2 для n-мерного пространства

Полный список компактных гиперболических многогранников Винбергас зеркалами ранга n + 2 для n-мерностей был перечислен Ф. Эссельманном в 1996 г. Неполный список опубликован в 1974 г. И. М. Каплинской.

Полный список паракомпактных решений опубликован П. Тумаркиным в 2003 г. с размерами от 3 до 17.

Самая маленькая паракомпактная форма. в H может быть представлено как или [∞, 3,3, ∞], которое может быть построено зеркального удаления паракомпактной гиперболической группы [3,4,4] как [3,4,1,4]. Двойная основная область превращается изтетраэдра в в четырехугольную пирамиду. Другие пирамиды включают [4,4,1,4] = [∞, 4,4, ∞], = . Удаление зеркала из некоторых циклических гиперболических графов Кокстера превращается в графы-бабочки: [(3,3,4,1,4)] = [((3, ∞, 3)), ((3, ∞, 3))] или , [(3,4,4,1,4)] = [((4, ∞, 3)), ((3, ∞, 4))] или , [(4, 4, 4,1,4)] = [((4, ∞, 4)), ((4, ∞, 4))] или .

Другие допустимые паракомпактные графы с фундаментальными областями четырехугольной пирамиды включают:

Размер	Ранг	Графики
H	5	, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Другая подгруппа [1,4] = [∞, 4,1,4, ∞] = [∞]. = = .

Многогранники Винберга с рангом n + 3 для n-мерного пространства

Существует конечное число вырожденных фундаментальных симплексов вплоть до 8-мерных. Полный список компактных многогранников Винберга с зеркалами ранга n + 3 для n-мерности был перечислен П. Тумаркиным в 2004 г. Эти группы помечены пунктирными / ломаными линиями для ультрапараллельных ветвей. Полный список некомпактных многогранниковВинберга с зеркалами ранга n + 3 и с одной непростой вершиной для n-мерности был перечислен Майком Робертсом.

Для 4-8 измерений ранги 7-11 Кокстера группы считаются как 44, 16, 3, 1 и 1 соответственно. На наибольшее значение было обнаружено Бугаенко в 1984 г. в измерении 8, ранге 11:

Измерения	Ранг	Случаи	Графики
H	7	44	...
H	8	16	..
H	9	3
H	10	1
H	11	1

Винберга с рангом n + 4 для n-мерного пространства

Существует конечное числовырожденных фундаментальных симплексов, вплоть до 8-мерных. Компактные многогранники Винберга с зеркалами ранга n + 4 для n-измерений были исследованы А. Феликсоном и П. Тумаркиным в 2005 году.

Правильные соты с лоренцев группой

. {3,3, 7} вне модели шара Пуанкаре

. {7,3,3} вне модели шара Пуре

Здесь показаны рананка лоренцев группы 5, организованные как подгруппы из [6,3,3, 3] и [6,3,6,3]. Высокосимметричная группа , [3] являетсяподгруппой индекс 120 в [6,3,3,3].

Лоренцев группы для симплексных областей могут быть оценены как графы за пределами паракомпактных гиперболических форм. Иногда их называют суперидеальными симплексами, и они также связаны с лоренцевой геометрией, названной в честь Хендрика Лоренца в области специальной и общей теории относительности. пространство-время, содержащее один (или несколько) компонент, подобных времени, чьи скалярные произведенияотрицательны. Дэнни Калегари называет эти выпуклые кокомпактные группы Кокстера в н-мерном гиперболическом пространстве.

В статье Джорджа Максвелла 1982 года «Сферические упаковки и гиперболические группы отражений» перечислен конечный список лоренцевых рангов от 5 до 11. Он назвал их уровень 2, что означает, что удаление любой перестановки двух узлов оставляет конечный или евклидов граф. Его перечисление является полным, но не перечисляет графы, которые являютсяподгруппой другой. Все ветвящиеся группы Кокстера более высокого порядка ранга-4 являются лоренцевыми и заканчиваются в пределе как полный граф 3- симплекс диаграмма Кокстера-Дынкина с 6 ветвями бесконечного порядка, которые могут быть выражаются как [[ ∞]. Ранги 5-11 имеют конечное число групп 186, 66, 36, 13, 10, 8 и 4 лоренцев группы соответственно. Статья Х. Чена и Ж.-П. Лаббе, группы Лоренциана Кокстера и упаковки шариков Бойда-Максвелла пересчитали и опубликовали списокполный.

Для высших рангов 8-11 полные списки таковы:

Лоренцианские группы Кокстера

Ранг	Общее. количество	Группы
4	∞	[3, 3,7]... [∞, ∞, ∞]: ... . [4, 3]... [∞, ∞]: ... . [5, 4]... [∞]: ... .... [(5,4, 3,3)]... [∞]:... ... .... [4]... [∞]:... .... [4]... [∞]
5	186	... [3]: ...
6	66
7	36	[3]: ...
8	13	[3,3,3]: . [3,3,3]: . [3,3,3]: . [3,3,3]: . [3]:	[4,3,3,3]: . [3,3,3]: . [3, (3,3,4)]: . . . [ 3,3,3]: .		[4,3,3,3]: . [3,3,3]:
9	10	[3,3,3]: . [ 3,3]: . [3,3,3]:	[3,3,3]:	[3,3,4]: . [3,3,3,3] :	[3]: . [3]: . [3,3,4]: . [3,3,3,3]:
10	8	[3,3, 3]: . [3,3,3]: . [3,3]:	[3,3,3]:	[3]: . [3,3, 4]: . [3,3,3]:	[3]:
11	4		[3,3,3]:	[3,3,4]: . [3,3,3]:	[3]:

Оченьрасширенные схемы Кокстера

Одно использование включает сверхрасширенный определение из прямого использования диаграмма Дынкина, которое рассматривает аффинные группы как расширенный, гиперболические группы сверхрасширенный и третий узел как очень расширенный простые группы. Эти расширения обычно обозначаются показателем степени 1,2 или 3+ символа для количества расширенных узлов. Эту расширяющуюся серию можнопродолжить назад, последовательно удаляя узлы из одной и той же позиции в графе, хотя процесс останавливается после удаления узла ветвления. Расширенное семейство E8 является наиболее часто показываемым примером, расширяющимся назад от E 3 и вперед до E 11.

. Процесс расширения может определять ограниченную серию графов Кокстера, которые прогрессируют от конечного к аффинному, от гиперболического Лоренциан. Определитель матриц Картана определяет, где изменяется от конечного ( положительного) до аффинного (ноль) до гиперболического (отрицательного) и конечного как лоренцеву группу, существую по крайней одной гиперболической подгруппу. Некристалографические группы H n образуют расширенную серию, где H 4 расширяется как компактная гиперболическая и сверхрасширенная в лоренцеву группу.

Определитель матрицы Шлефли по рангу:

• det (A 1 = [2]) = 2 (Finite for all n)
• det (A n = [3]) = n + 1 (Конечное длявсех n)
• det (B n = [4,3]) = 2 (Конечное для всех n)
• det (D n = [3]) = 4 (Finite for all n)

Детерминанты матрицы Шлефли в исключительных сериях:

• det (En = [3 ]) = 9-n (Конечное для E 3 (= A 2A1), E 4 (= A 4), E 5 (= D 5), E6, E7 и E8, аффинно в E9 ($E\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$), гиперболический в точке E 10)
• det ([3]) = 2 (8-n) (конечный для n =от 4 до 7, аффинный ($E\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\; \}\}\; \_\; \{7\}\}$) и гиперболический при n = 8.)
• det ([3]) = 3 (7-n) (Конечное для n = от 4 до 6, аффинное ($E\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{6\}\}$) и гиперболическое при n = 7.)
• det (F n = [3,4,3]) = 5-n (Конечное для F 3 (= B 3) до F4, аффинно в F5 ($F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{F\}\}\; \_\; \{4\}\}$), гиперболический при F 6)
• det (G n= [6,3]) = 3-n (Конечное для G2, аффинно в G 3($G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$), гиперболическое в G 4)

Меньшая расширенная серия

Конечная	$A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{2\}\}$	$C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\}$	$G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\}$	$A\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{3\}\}$	$B\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{3\}\}$	$C\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{3\}\}$	$H\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{4\}\}$
Рейтинг n	[3, 3]	[4,4, 3]	Gn= [6,3]	[3,3]	[4,3]	[4,3,4,3]	Hn= [5,3]
2	[3]. A2.	[4]. C2.	[6]. G2.		[2]. A1.	[4]. C2.	[5]. H2.
3	[3]. A2=$A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$.	[4,4]. C2=$C\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{2\; \}\}$.	[6,3]. G2=$G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$.	[3,3] = A 3.	[4,3]. B3.	[4,3]. C3.	[5,3]. H3.
4	[3,3]. A2=$P\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{3\}\}$.	[4, 4,3]. C2=$R\; ¯\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{R\}\}\; \_\; \{3\}\}$.	[6,3,3]. G2=$V\; ¯\; 3\; \{\backslash \; disp\; laystyle\; \{\backslash \; overline\; \{V\; \}\}\; \_\; \{3\}\}$.	[3]. A3=$A\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{3\}\}$.	[4,3]. B3=$В\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{3\}\}$.	[4,3,4]. C3=$C\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{3\}\}$.	[ 5,3,3]. H4.
5	[3,3,3]. A2.	[4,4,3,3]. C2.	[6,3,3,3]. G2.	[3, 3]. A3=$P\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{4\}\}$.	[4,3]. B3=$S\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{4\}\}$.	[4,3,4,3]. C3=$R\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\{R\}\}\; \_\; \{4\}\}$.	[5,3]. H5=$H\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; надчеркнуть\; \{H\}\}\; \_\; \{4\}\}$.
6				[3,3,3]. A3.	[4,3]. B3.	[4,3,4,3,3]. C3.	[5,3]. H6.
Det (M n)	3 (3-n)	2 (3-n)	3-n	4 (4-n)	2 (4-n)

Средний расширенный ряд

Конечное	$A\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{4\}\}$	$B\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{4\}\}$	$C\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{4\}\}$	$D\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{4\}\}$	$F\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{4\}\}$	$A\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{\; 5\}\}$	$B\; 5\; \{\backslash displaystyle\; B\_\; \{5\}\}$	$D\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{5\}\}$
Ранг n	[3,3]	[4,3,3]	[4,3,3,4,3]	[3]	[3,4,3]	[3,3]	[4,3,3,3]	[3,3,3]
3		[4,3]. B2A1.	[4, 3]. B3.	[3]. A1.	[3, 4]. B3.		[4,3,3]. C3.
4	[3]. A4.	[4,3,3]. B4.	[4,3, 3]. C4.	[3]. D4.	[3, 4,3]. F4.		[4,3,3,3]. B3A1.	[3,3,3]. A3A1.
5	[3]. A4=$А\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{4\}\}$.	[4,3,3]. B4=$B\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\{4\}\}$.	[4,3,3,4]. C4=$C\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{4\}\}$.	[3]. D4=$D\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{D\}\}\; \_\; \{4\}\}$.	[3, 4,3,3]. F4=$F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{F\}\}\; \_\; \{4\}\}$.	[3]. A5.	[4,3,3,3,3]. B5.	[3,3,3]. D5.
6	[3,3]. A4=$P\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{5\; \}\}$.	[4,3,3]. B4=$S\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; over\; line\; \{S\}\}\; \_\; \{5\}\}$.	[4,3,3,4,3]. C4=$R\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{R\}\}\; \_\; \{5\}\}$.	[3 ]. D4=$Q\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\}\_\; \{5\}\}$.	[3,4,3]. F4=$U\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{U\}\}\; \_\; \{\; 5\}\}$.	[3]. A5=$A\; ~\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{5\}\}$.	[4,3,3,3]. B5=$В\; ~\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{5\}\}$.	[3,3, 3]. D5=$D\; ~\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{5\}\}$.
7	[3, 3,3]. A4.	[4,3,3]. B4.	[4, 3,3,4,3,3]. C4.	[3]. D4.	[3,4,3]. F4.	[ 3,3]. A5=$P\; ¯\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{6\}\}$.	[4,3,3,3]. B5=$S\; ¯\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\; S\}\}\; \_\; \{6\}\}$.	[3,3,3]. D5=$Q\; ¯\; 6\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\}\; \_\; \{6\}\}$.
8						[3,3,3]. A5.	[4,3,3,3]. B5.	[3,3,3]. D5.
Дет (M n)	5 (5-n)	2 (5-n)		4 (5-n)	5-n	6 (6-n)	4 (6-n)

Некоторые более высокие расширенные серии

Finite	$A\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{6\}\}$	$В\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{6\}\}$	$D\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{6\}\}$	$E\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{6\}\}$	$A\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{7\}\}$	$В\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{7\}\}$	$D\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\{7\}\}$	$E\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{7\}\}$	$E\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{8\}\; \}$
Ранг n	[3,3]	[4,3,3]	[3,3,3,3]	[3]	[3,3]	[4,3,3]	[3,3,3,3,3]	[3]	En= [3]
3									[3]. E3=A2A1.
4				[3]. A2.				[3]. A3A1.	[3]. E4=A4.
5		[4,3,3,3,3]. B4A1.	[3,3,3,3]. D4A1.	[3]. A5.				[3]. A5.	[3]. E5=D5.
6	[3]. A6.	[4,3]. B6.	[3,3,3,3]. D6.	[3]. E6.		[4,3,3,3,3,3]. B5A1.	[3,3,3, 3,3]. D5A1.	[3]. D6.	[3]. E6*.
7	[3]. A6=$A\; ~\; 6\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{6\}\}$.	[4, 3,3]. B6=$В\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{6\}\}$.	[3,3,3,3]. D6=$D\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\; D\}\}\; \_\; \{6\}\}$.	[3]. E6=$E\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{6\}\}$.	[3]. A7.	[4,3]. B7.	[3,3,3,3,3]. D7.	[3]. E7*.	[3]. E7*.
8	[3,3]. A6=$P\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{7\}\}$.	[4,3,3]. B6=$S\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{7\}\}$.	[3,3,3,3]. D6=$Q\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\}\; \_\; \{7\}\}$.	[3]. E6=$T\; ¯\; 7\{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{T\}\}\; \_\; \{7\}\}$.	[3 ]. A7=$A\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{7\}\}$*.	[4,3,3]. B7=$B\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{\; 7\}\}$*.	[3,3,3,3,3]. D7=$D\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{7\}\}$*.	[3]. E7=$E\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{7\}\}$*.	[3]. E8*.
9	[3,3,3]. A6.	[4,3,3]. B6.	[3,3,3, 3]. D6.	[3]. E6.	[3,3]. A7=$P\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyl\; е\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; \_\; \{8\}\}$*.	[4,3,3]. B7=$S\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \_\; \{8\}\}$*.	[3,3,3,3,3]. D7=$Q\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{Q\}\}\; \_\; \{8\}\}$*.	[3]. E7=$T\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{T\}\; \}\; \_\; \{8\}\}$*.	[3]. E9=E8=$E\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$*.
10					[3,3,3]. A7*.	[4,3,3]. B7*.	[3,3,3,3,3]. D7*.	[3]. E7*.	[3]. E10=E8=$T\; ¯\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{T\}\}\; \_\; \{9\}\}$*.
11									[3]. E11=E8*.
Дет (M n)	7 (7-n)	2 (7-n)	4 (7 -n)	3 (7-n)	8 (8-n)	2 (8-n)	4 (8-n)	2 (8-n)	9-n

Конечное и аффинное складывание

φA: A Γ ->A Γ 'для конечных типов
Γ	Γ'	Описание складывания	Диаграммы Кокстера – Дынкина
I2(h )	Γ (h)	Диэдральное складывание
Bn	A2n	(I, s n)
	Dn + 1, A 2n-1	(A3, + / - ε)
F4	E6	(A3, ± ε)
H4	E8	(A4, ± ε)
H3	D6
H2	A4
G2	A5	(A5, ± ε)
	D4	(D4, ± ε)
φ: A Γ ->A Γ 'для аффинных типов
$A\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\{n-1\}\}$	$А\; ~\; к\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{kn-1\}\}$	Локально тривиально
$B\; ~\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{n\}\}$	$D\; ~\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{2n\; +\; 1\}\}$	(I, s n)
	$D\; ~\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{n\; +1\}\}$, $D\; ~\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{2n\}\}$	(A3, ± ε)
$C\; ~\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{n\}\}$	$В\; ~\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{n\; +\; 1\}\}$, $C\; ~\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{2n\}\; \}$	(A3, ± ε)
	$C\; ~\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{2n\; +\; 1\}\}$	(I, s n)
$C\; ~\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{C\}\}\; \_\; \{n\}\}$	$A\; ~\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2n\; +\; 1\}\}$	(I, s n) (I, s 0)
	$A\; ~\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2n\}\}$	(A3, ε) (I, s 0)
	$A\; ~\; 2\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2n-1\}\}$	(A3, ε) (A 3, ε ')
$C\; ~\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\; C\}\}\; \_\; \{n\}\}$	$D\; ~\; n\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{n\; +2\}\}$	(A3, -ε) (A 3, -ε ')
$C\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{2\}\}$	$D\; ~\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{5\}\}$	(I, s 1)
$F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{F\}\}\; \_\; \{4\}\}$	$E\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{6\}\}$, $E\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{7\}\}$	(A3, ± ε)
$G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$	$D\; ~\; 6\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{6\}\}$, $E\; ~\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{7\}\}$	(A5, ± ε)
	$В\; ~\; 3\; \{\backslash \; displayst\; yle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{3\}\}$, $F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{F\}\}\; \_\; \{4\}\}$	(B3, ± ε)
	$D\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{4\}\}$, $E\; ~\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{6\}\}$	(D4, ± ε)

A ( простая диаграмма Кокстера-Дынкина (конечная, аффинная или гиперболическая), имеющая симметрию (удовлетворяющую одному условию, приведенному ниже), может быть разделена по симметрии, давая новую, как правило, диаграмму с множеством шнуров, с процесс, называемый «складывание».

Например, в D 4 складывание в G 2 край в G 2 указывает на класс 3 внешних узлов (валентность 1) к классу центрального узла (валентность 3). И E 8 складывается в 2 копии H 4, вторая копия масштабируется на τ.

Геометрически это соответствует ортогональным проекциям однородных многогранников и мозаики. Примечательно, что любую конечную диаграмму Кокстера – Дынкина с простыми шнурами можно свернуть до I 2 (h), где h - число Кокстера, которое геометрически соответствует проекции на Плоскость Кокстера.

. Несколько гиперболических складок

Диаграммы Кокстера – Дынкина были расширены до сложного пространства, C, где узлами являются унитарные отражения с периодом больше 2. Узлы помечаются индексом, который предполагается равным 2 для обычного реального отражения, если оно подавлено. Кокстер записывает сложную группу p [q] rкак диаграмму .

1-мерный правильный комплексный многогранник в $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{1\}\}$представлен как , имеющий p вершин. Его реальное представление - правильный многоугольник, {p}. Его симметрия p или , порядок p. Генератор унитарного оператора для рассматривается как поворот в $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$на 2π / p радиан против часовой стрелки, а край создается последовательным применением одного унитарного отражения. Генератор унитарного отражения для 1-многогранника с p вершинами равен e = cos (2π / p) + i sin (2π / p). Когда p = 2, генератор e = –1, то же самое, что точечное отражение в реальной плоскости.

В многограннике более высокого уровня p {} или представляет элемент p-ребра с 2-ребром, {} или , представляющим обычное действительное ребро между две вершины.

Правильные комплексные1-многогранники

. Комплексные 1-многогранники, , представленные на плоскости Арганда как правильные многоугольники для p = 2, 3, 4, 5 и 6, с черным вершины. Центроид p вершин показан красным цветом. Стороны многоугольников представляют собой одно приложение генератора симметрии, отображая каждую вершину в следующую копию против часовой стрелки. Эти многоугольные стороны не являются краевыми элементами многогранника, так как сложный 1-многогранник не может иметь ребер (частоэто сложное ребро) и содержит только вершинные элементы.

. 12 неприводимых групп Шепарда с их отношениями индексов подгрупп. Подгруппы индекса 2 связаны удалением реального отражения:. p[2q] 2 ->p [q] p, index 2.. p[4] q ->p [q] p, индекс q.

. p[4] 2 подгруппы: p = 2,3,4.... p[4] 2 ->[p], индекс p. p[4] 2 ->p×p, индекс 2

Aa правильные сложные многоугольники в $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2\}\; \}$, имеет форму p {q} r или диаграмму Кокстера . Группа симметрии правильного сложного многоугольника называется не группой Кокстера, а вместо этого группой Шепарда, типом комплексной группы отражений. Порядок p [q] r равен $8\; /\; q\; \cdot \; (1\; /\; p\; +\; 2\; /\; q\; +\; 1\; /\; r\; -\; 1)\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 8\; /\; q\; \backslash \; cdot\; (1\; /\; p\; +\; 2\; /\; q\; +\; 1\; /\; r-1)\; ^\; \{-\; 2\}\}$.

Шепардские группы ранга 2: 2 [q] 2, p[4] 2, 3[3] 3, 3[6] 2, 3[4] 3, 4[3] 4, 3[8] 2, 4[6] 2, 4[4] 3, 3[5] 3, 5[3] 5, 3[10] 2, 5[6] 2 и 5 [4] 3 или , , , , , , , , , , , , , порядка 2q, 2p, 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 и 1800 соответственно.

Группа симметрии p1[q] p2представлена ​​двумя образующими R 1, R 2, где: R 1 = R 2 = I. Если q четно, (R 2R1) = (R 1R2).Если q нечетное, (R 2R1)R2= (R 1R2)R1. Если q нечетное, p 1=p2.

$C\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{3\}\}$группа или [1 1 1] определяется 3 унитарными отражениями периода 2 {R 1, R 2, R 3 }: R 1 = R 1 = R 3 = (R 1R2) = (R 2R3) = (R 3R1) = (R 1R2R3R1) = 1. Период p можно рассматривать как двойное вращение в реальном $R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{4\}\}$.

аналогичное $C\; 3\{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{3\}\}$группа или [1 1 1] определяется унитарными отражениями с периодом 3 {R 1, R 2, R 3 }: R 1 = R 1 = R 3 = (R 1R2) = (R 2R3) = (R 3R1) = (R 1R2R3R2) = 1.

• группа Кокстера
• треугольник Шварца
• тетраэдр Гурса
• Диаграмма Дынкина
• Равномерный многогранник
  • Символ Витоффа
  • Равномерный многогранник
  • Список равномерных многогранников
  • Список равномерных плоских мозаик
  • Равномерный 4-многогранник
  • Выпуклый равномерный мед comb
  • Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Конструкция Wythoff и символ Wythoff

• Джеймс Э. Хамфрис, Группы отражений и группы Кокстера, Кембриджские исследования по высшей математике, 29 (1990)
• Калейдоскопы: Избранные труды HSM Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка,Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивика Вайсс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471- 01003-6 [8], Googlebooks [9]
  • (Paper 17) Коксетер, Эволюция диаграмм Кокстера-Дынкина, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
• Коксетер, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919 -1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
• Коксетер, Регулярные многогранники (1963), Компания Macmillan
  • Регулярные многогранники, Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп и Раздел 11.3 Представление в виде графиков)
• HSM Кокстер и У. О. Дж. Мозер. Генераторы и соотношения для дискретных групп 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980
• Норман Джонсон, Геометрии и преобразования, главы 11,12,13, препринт 2011
• Н. У. Джонсон, Р. Келлерхальс, Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера, Группы преобразований 1999, том 4, выпуск 4, стр. 329–353 [10][11]
• Норман У. Джонсон и Асия Ивич Вайс Квадратичные целые числа и группы Кокстера PDF Кан. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336

На Wikimedia Commons есть материалы, связанные с диаграммами Кокстера-Дынкина.

• Вайсштейн, Эрик У. " Диаграмма Кокстера – Дынкина ". MathWorld.
• октябрь 1978 г. обсуждение истории диаграмм Кокстера Кокстером и Дынкиным в Торонто, Канада ;Сборник интервью по математике Юджина Дынкина, Библиотека Корнельского университета.