Диаграмма Кокстера - Дынкина

редактировать
Пикторальное представление симметрии Диаграмма Кокстера - Дынкина для основных конечных групп Кокстера Диаграмма Кокстера - Дынкина для основных аффинных группы Кокстера

В геометрии диаграмма Кокстера - Дынкина (или диаграмма Кокстера, граф Кокстера ) граф с цифровыми обозначениями ребер (называемые ветвями ),представляющий пространственные отношения между набором зеркал (или отражающих гиперплоскостей ). Он упомянут калейдоскопическую конструкцию: каждый «узел» графа представляет собой зеркало (фасет домена ), а метка, прикрепленная к ветви, кодирует порядок двугранного угла между двумя зеркала (в области гребень ), то есть величина, которую можноножить угол между отражающими плоскостями, чтобы получить 180 градусов. Непомеченная ветвьнеявно представляет третий порядок (60 градусов).

Каждая диаграмма представляет группа Кокстера, и группы Кокстера классифици действующие по действующим диаграммам.

Диаграммы Дынкина связаны связанными объектами, которые отличаются от диаграммы Кокстера в двух отношениях: во-первых, ветви с пометкой «4» или являются направленными, а диаграммы Кокстера неориентированными ; во-вторых, диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ( кристаллографический ) ограничению, а именно, что единственными разрешенными метками ветвлений являются 2, 3, 4 и 6. Диаграммы Дынкина соответствуют и используются для классификации корневых систем и, следовательно, полупростые алгебры Ли.

Содержание

  • 1 Описание
  • 2 Матрица Шлефли
    • 2.1 Группы Кокстера 2 ранга
    • 2.2 Геометрические визуализации
  • 3 Конечные группы Кокстера
  • 4 Применение с однородными многогранниками
    • 4.1 Примерымногогранников и мозаик
  • 5 Аффинные группы Кокстера
  • 6 Гиперболические группы Кокстера
    • 6.1 Гиперболические группы в H
      • 6.1.1 Арифметическая группа треугольников
      • 6.1. 2 Гиперболические многоугольники Кокстера над треугольниками
    • 6.2 Компактные (симплексные группы Ланнера)
      • 6.2.1 Ранги 4–5
    • 6.3 Паракомпактные (симплексные группы Кошуля)
      • 6.3.1 Идеальные симплексы
      • 6.3.2 Ранги 4–10
        • 6.3.2.1 Подгрупповые отношения паракомпактныхгиперболических групп
    • 6.4 Гиперкомпактные группы Кокстера (многогранники Винберга)
      • 6.4.1 Политоп Винберга es с рангом n + 2 для n-мерного пространства
      • 6.4. 2 Многогранники Винберга с рангом n + 3 для n-мерного пространства
      • 6.4.3 Многогранники Винберга с рангом n + 4 для n-мерного пространства
  • 7 лоренцевых групп
    • 7.1 Очень расширенные диаграммы Кокстера
  • 8 Геометрическая складчатость
  • 9 Сложные отражения
  • 10 См. Также
  • 11 Ссылки
  • 12Дополнительная литература
  • 13 Внешние ссылки

Описание

Ветви диаграммы Кокстера - Дынкина помечены рациональным числом p, представляющим двугранный угол 180 ° / стр. Когда p = 2, угол равен 90 ° и зеркала не взаимодействуют друг с другом, поэтому ветвь на диаграмме можно не указывать. Если ветка не помечена, она имеет p = 3, что соответствует углу 60 °. Два параллельных зеркала имеют ответвление, отмеченное знаком «∞». В принципе, n зеркал могут бытьпредставлены полным графом , в котором нарисованы все n (n - 1) / 2 ветвей. На практике почти все интересные конфигурации зеркал включают ряд прямых углов, соответствующие ветви опускаются.

Диаграммы можно маркировать по их графической структуре. Первыми формами, изученными Людвигом Шлефли, являются ортосхемы, которые имеют линейные графы, порождающие правильные многогранники и правильные соты. Плагиосхемы - это симплексы, представленные графами ветвления, а циклохемы - симплексы, представленные циклическими графами.

Матрица Шлефли

Каждой диаграмме Кокстера соответствует матрица Шлефли (названная так в честь Людвига Шлефли ) с матричными элементами a i, j = a j, i = −2cos (π / p), где p - порядок ветвления между парами зеркал. Как матрица косинусов, она также называется матрицей Грамиана после Йоргена Педерсена Грам. Все матрицы группы Кокстера Шлефли симметричны, потому что их корневые стандарты нормализованы. Она связана с матрицей Картана, используемая в других, но ориентированных диаграммах диаграмм Дынкина в ограниченных случаях p = 2, 3, 4 и 6, которые НЕ являются симметричными. в общем.

Определитель матрицы Шлефли, называемый Шлефлиан, и его знак определяет, является ли группа конечной (положительной), аффинной ( нулевой), неопределенной (отрицательной). Это правило называется критерием Шлефли .

. собственные значения матрицы Шлефли определяют, имеет ли группа Кокстера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все положительные, по крайней мере, одно из них ноль) или неопределенное типа (в конечном случае). Неопределенный тип иногда также подразделяется, например на гиперболические и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определенных гиперболическихгруппокстера. Мы используем следующее определение: группа Кокстера со связной диаграммой является гиперболической, если она не имеет ни конечного, ни аффинного типа, каждая отдельная связная поддиаграмма имеет конечный или аффинный тип. Гиперболическая группа Кокстера является компактной, если все подгруппы конечны (т. Е. Имеют положительные определения), и паракомпактной, если все ее подгруппы конечны или аффинны (т. Е. Имеют неотрицательные детерминанты))).

Конечные и аффинные группы также называются эллиптическими и параболическими соответственно. Гиперболические группы также называются Ланнером в честь Ф. Ланнера который, перечислил компактные гиперболические группы в 1950 г., и Кошуля (или квази-Ланнера) для паракомпактных групп.

Группы Кокстера ранга 2

Для ранга 2 типа группы Кокстера полностью определено матрицы Шлефли, поскольку это просто полученные собственные значения: Конечный тип (положительный определитель),аффинного типа (нулевой определитель) или гиперболического ( отрицательный определитель). Коксетер использует эквивалентную скобку, которая перечисляет ветвлений в качестве графических узлов замены-ветвь. Также существуют рациональные решения [p / q], CDel node.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel q.pngCDel node.pngс gcd (p, q) = 1, которые определяют перекрывающиеся фундаментальные области. Например, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. и 6/5.

ТипКонечноеАффинноеГиперболическое
ГеометрияDihedral symmetry domains 1.png Dihedral symmetry domains 2.png Dihedral symmetrydomains 3.png Dihedral symmetry domains 4.png ...Dihedral symmetry domains infinity.png Horocycle mirrors.png Dihedral symmetry ultra.png
КокстерCDel node c1.png. []CDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.png. [2]CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c1.png. [3]CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c3.png. [4]CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png. [p]CDel node c1.pngCDel infin.pngCDel node c3.png. [∞]CDel node c2.pngCDel infin.pngCDel node c3.png. [∞]CDel node c2.pngCDel ultra.pngCDel node c3.png. [iπ / λ]
Порядок 24682p
Зеркало линии окрашены в соответствии с узлами диаграммы Кокстера.. Фундаментальные области окрашены поочередно.
Диаграммы групп Кокстера 2 ранга
Порядок. pГруппаДиаграмма КокстераМатрица Шлефли
[2 a 12 a 21 2] {\ displaystyle \ left [{ \ begin {matrix} 2 a_ {12} \\ a_ {21} 2 \ end {matrix}} \ right]}\left[{\begin{matrix}2a_{12}\\a_{21}2\end{matrix}}\right] Определитель. (4-a 21*a12)
Конечный (Определитель>0)
2I2(2) = A 1xA1CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png[2][2 0 0 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 0 \\ 0 2 \ end {smallmatrix} } \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}20\\02\end{smallmatrix}}\right]4
3I2(3) = A 2CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png[3][2–1–1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 \\ - 1 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - 1 \\ - 1 2 \ end {smallmatrix}} \ right] 3
3/2CDel node.pngCDel 3x.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png[3/2][2 1 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 1 \\ 1 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}21\\12\end{smallmatrix}}\right]}
4I2(4) = В 2CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png[4][2–2–2 2]{\ displaystyle \ left [{\ begin { smallmatrix} 2 - {\ sqrt {2}} \\ - {\ sqrt {2}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}2-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}2\end{smallmatrix}}\right]2
4/3CDel node.pngCDel 4.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png[4/3][2 2 2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 {\ sqrt {2}} \\ {\ sqrt {2}} 2 \ end { smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}2\end{smallmatrix}}\right]}
5I2(5) = H 2CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png[5][2 - ϕ - ϕ 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - \ p привет \\ - \ phi 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}2-\phi \\-\phi 2\end{smallmatrix}}\right](5–5) / 2 {\ displaystyle (5 - {\ sqrt {5}}) / 2}(5-{\sqrt {5}})/2. ~ 1,38196601125
5/4CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png​​[5/4][2 ϕ ϕ 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 \ phi \\\ phi 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2\phi \\\phi 2\end{smallmatrix}}\right]}
5/2CDel node.pngCDel 5-2.png CDel node.png[5/2][2 1 - ϕ 1 - ϕ 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 1 - \ фи \\ 1- \ фи 2 \ конец {smallmatrix}} \ right]}{\ displaystyle \ left [{\begin {smallmatrix} 2 1- \ phi \\ 1- \ phi 2 \ end {smallmatrix}} \ right]} (5 + 5) / 2 {\ displaystyle (5 + {\ sqrt {5}}) / 2}{\displaystyle (5+{\sqrt {5}})/2}. ~ 3,61803398875
5/3CDel node.pngCDel 5-3.pngCDel node.png[5/3][2 ϕ - 1 ϕ - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 \ phi -1 \\ \ ph i -1 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2\phi -1\\\phi -12\end{smallmatrix}}\right]}
6I2(6) = G 2CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png[6][2–3–3 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}2-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}2\end{smallmatrix}}\right]1
6/5CDel node.pngCDel 6.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png[6/5][2 3 3 2] {\ Displaystyle \ l e ft [{\ begin {smallmatrix} 2 {\ sqrt {3}} \\ {\ sqrt {3}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}2\end{smallmatrix}}\right]}
8I2(8)CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png[8 ][2–2 + 2–2 + 2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} \\ - { \ sqrt {2+{\ sqr t {2}}}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}2\end{smallmatrix}}\right]}2–2 {\ displaystyle 2 - {\ sqrt {2}}}2-{\sqrt {2}}. ~ 0, 58578643763
10I2(10)CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png[10][2 - (5 + 5) / 2 - (5 + 5) / 2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - {\ sqrt {(5 + {\ sqrt {5}}) / 2}} \\ - {\ sqrt {(5 + {\ sqrt {5}}) / 2}} 2 \ конец {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\\-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}2\end{smallmatrix}}\right]}(3-5) / 2 {\ displaystyle (3 - {\ sqrt {5}}) / 2}(3-{\sqrt {5}})/2

~ 0,38196601125

12I2(12)CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png[12][2–2 + 3–2 + 3 2] {\ displaystyl e \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt { 3]}}}}} \\ - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}} 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}2\end{smallmatrix}}\right]}2–3 {\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}2 - {\ sqrt {3}} .

~ 0,26794919243

pI2(p)CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png[p][2–2 соз ⁡ (π / p) - 2 со з ⁡ (π / p) 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \ cos (\ pi / p) \\ - 2 \ cos (\ pi / p) 2 \ end {smallmatrix} } \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}2-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)2\end{smallmatrix}}\right]4 sin 2 ⁡ (π / p) {\ displaystyle 4 \ sin ^ {2} (\ pi / p)}4\sin ^{2}(\pi /p)
Аффинный (Детерминант= 0)
I2( ∞) = I ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}{\tilde {I}}_{1}= A ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}{\tilde{A}}_{1}CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png[∞ ][2–2–2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 2 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}2-2\\-22\end{smallmatrix}}\right]0
Гиперболический (Определитель ≤0)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png[∞][2–2–2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -2 \\ - 2 2 \ end {smallmatrix}} \ right ]}\left[{\begin{smallmatrix}2-2\\-22\end{smallmatrix}}\right]0
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png[iπ / λ][2–2 cosh (2 λ) - 2 cosh (2 λ) 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmat rix} 2 -2cosh (2 \ лямбда) \\ - 2cosh (2 \ lambda) 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}2-2cosh(2\lambda)\\-2cosh(2\lambda)2\end{smallmatrix}}\right]- 4 sinh 2 ⁡ (2 λ) ≤ 0 {\ displaystyle -4 \ sinh ^ {2} (2 \ lambda) \ leq 0}-4\sinh ^{2}(2\lambda)\leq 0

Геометрические визуализации

Диаграмму Кокстера - Дынкина можно рассматривать ть вать как графическое описание фундаментальной области зеркал. Зеркало представляет собой гиперплоскость в заданном сферическом, евклидовом или гиперболическом пространстве. (В 2D-зоне это плоскость).

Эти визуализации показывают фундаментальные области для двумерных и трехмерных евклидовых групп и двумерных сферических групп. Для каждого из них диаграмма Кокстера может быть выведена идентификация гиперплоскостных зеркал и маркировки их связности, игнорируя двугранные углы 90 градусов (порядок 2).

Coxet er-dynkin plane groups.png. Группы Кокстера на евклидовой плоскости с эквивалентными диаграммами. Отражения помечаются как узлы графа R1, R2 и т. Д. И окрашиваются в соответствии с порядком их отражения. Отражения подуглом 90 градусов неактивны и поэтому рекомендуется на диаграмме. Параллельные зеркала соединяются ветвью с обозначением ∞. Призматическая группа I ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}{\tilde {I}}_{1}xI ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}{\tilde {I}}_{1}отображается как удвоение C ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}{\tilde {C}}_{2}, но также может создаваться прямоугольные домены путем удвоения G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}{\ tilde {G}} _ {2} треугольники. A ~ 2 {\ displ aystyle {\ tilde {A}} _ {2}}{\tilde {A}}_{2}- это удвоение G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2} }{\ tilde {G}} _ {2} треугольник.
Hyperbolic kaleidoscopes.png. Многие группы Кокстера в гиперболической плоскости могут быть расширены из евклидовых случаев в виде серии гиперболических решений.
Coxeter-Dynkin 3-space groups.png. Группы Кокстера на 3-м пространстве с диаграммами. Зеркала (грани треугольника) помечены противоположной вершиной 0..3. Ветви окрашены в соответствии с порядком отражения.. C ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde{C}} _ ​​{3}}{\tilde {C}}_{3}заполняет 1/48 куба. B ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}{\tilde {B}}_{3}заполняет 1/24 куба. A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}{\tilde{A}}_{3}заполняет 1/12 куба.Coxeter-Dynkin sphere groups.png. Группы Кокстера на сфере с эквивалентными диаграммами. Одна фундаментальная область обведена желтым. Вершины домена (и ветви графа) окрашены в соответствии с порядком их отражения.

Конечные группы Кокстера

См. Также семейства многогранников для получения таблицыоднородных многогранников конечных узлов, связанных с этим группой.
  • Для одних и тех же групп даны три разных символа - в виде буквы / числа, как заключенный в скобки набор чисел и как диаграмма Кокстера.
  • Раздвоенные группы D n предоставить себя половину или альтернативную версию обычных групп C n.
  • Раздвоенные группы D n и E n также помечаются верхним индексом [3], где a, b, c - количество сегментов в каждом из три ветви.
Связанные конечные диаграммы Кокстера-Дынкина (ранги от 1 до 9)
РангиПростые группы Ли Исключительные группы Ли
A 1 + {\ displaystyle {A} _ {1 +}}{A} _ {1+} В 2 + {\ displaystyle {B} _ {2+}}{B}_{2+}D 2 + {\ displaystyle {D} _ {2+}}{D}_{2+}E 3-8 {\ displaystyle {E} _ {3-8}}{E}_{3-8} F 3–4 {\ displaystyle {F} _ {3-4}}{F}_{3-4} G 2 {\ displaystyle {G} _ {2}}{G}_{2} H 2–4 { \ displaystyle {H} _ {2-4}}{H}_{2-4}I 2 (p) {\ displaystyle {I} _ {2} (p)}{I}_{2}(p)
1A1= []. CDel node.png
2A2= [3]. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngB2= [4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngD2=A1A1. CDel nodes.pngG2= [6]. CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngH2= [5]. CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngI2[p]. CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
3A3= [3]. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngB3= [3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngD3=A3. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngE3=A2A1. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel nodeb.pngF3=B3. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngH3. CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
4A4= [3]. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngB4= [3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngD4= [3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngE4=A4. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngF4. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngH4. CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
5A5= [3]. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngB5= [3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngD5= [3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngE5=D5. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
6A6= [3]. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngB6= [3, 4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngD6= [3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngE6= [3]. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
7A7= [3]. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngB7= [3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngD7= [3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngE7= [3]. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
8A8= [3]. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngB8= [3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngD8= [3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngE8= [3]. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
9A9= [3]. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngB9= [3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngD9= [3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
10+........

Приложение с однородными многогранниками

Coxeter diagram elements.png. При построении однородных многогранников узлы помечаютча ся как активные с помощью кольца, если образующая точка находится вне зеркала, создаваемая новая ребро между точкой образной точки и ее зеркальным отображением. Узел без кольца представляет собой неактивное зеркало, которое не создает новых точек. Кольцо без узла называется отверстием.Калейдоскопическая конструкция square.png . Два ортогональных зеркала могут быть использованы для создания квадрата, CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png, показанного здесь с красной образной точкой и 3 виртуальных копиях через зеркала. В этом ортогональном случае генератордолжен находиться вне обоих зеркал, чтобы создать интерьер. Разметка предполагает, что активные кольца на равном расстоянии от всех зеркал, в то время как прямоугольник также может представлять неоднородное решение.

Диаграммы Кокстера - Дынкина могут явно перечислять почти все классы равномерного многогранника и однородных мозаик. Каждый однородный многогранник с чистой отражающей симметрией (все, кроме частных случаев, имеют чистую отражательную симметрию)может быть представлен диаграммой Кокстера - Дынкина с перестановками разметок. Каждый однородный многогранник может быть сгенерирован с использованием таких зеркал и одной точки генератора: зеркальные изображения представляют новые как отражения, затем многогранник ребра могут быть определены точки между точками и точкой зеркального изображения. Грани переходни образуются многократным отражением кромок, в конечном итоге в конечном итоге в исходный; окончательная форма, атакже любые грани более высоких изображений, аналогично отображением лица, ограничивающим областью.

Чтобы указать генерирующую вершину, один или несколько узлов помечаются кольцами, что означает, что вершина не находится на зеркале (ах), представленном кольцевым узлом (ами). (Если отмечены два или более зеркала, вершина находится на одинаковом расстоянии от них.) Зеркало активно (создает отражения) только по отношению к точкам, не находящимся на нем. Для представления многогранникадиаграмме необходим хотя бы один активный узел. Несвязанная диаграмма (подгруппы, разделенные ветвями второго порядка или ортогональные зеркалами) требует по крайней мере одного узла в каждом подграфе.

Все правильные многогранники, представленные символом Шлефли {p, q, r,...}, могут иметь свои фундаментальные области, представленные набором из n зеркал со схемой Кокстера - Дынкина линии узлов и ветвей, помеченных p, q, r,..., с окольцованным первымузлом.

Равномерные многогранники с одним кольцом соответствуют образующим точкам в углах симплекса фундаментальной области. Два кольца соответствуют краям симплекса и имеют степень свободы, причем только средняя точка является однородным решением для равных длин ребер. Как правило, точки образующих k-колец находятся на (k-1) -гранях симплекса, и если все узлы обведены кольцами, точка образующих находится внутри симплекса.

Особый случайных многогранников с неотражающейсимметричной представленной вторичной разметкой, в которой удаляется центральная точка кольцевого узла (так называемая дыра). Эти формы представляют собой чередования многогранников сающей симметрией, что подразумевает удаление альтернативных узлов. Результирующий многогранник будет иметь подсимметрию исходной группы Кокстера. Усеченное чередование называется пренебрежительным.

  • Один узел представляет собой одно зеркало. Это называется группой A 1.Если обведено кружком, создается линейный сегмент , перпендикулярный зеркалу, представленный как {}.
  • Два несвязанных узла представляют два перпендикулярных зеркала. Если оба узла обведены кольцом, можно создать прямоугольник или квадрат, если точка находится на одинаковом расстоянии от обоих зеркал.
  • Два узла, прикрепленных по приказу -n ветвь может создать n-угольник, если точка находится на одном зеркале, и 2n-угольник,если точка находится вне обоих зеркал. Это формирует группу I 1 (n).
  • Два параллельных зеркала могут представлять собой бесконечный многоугольник I 1 (∞) группа, также называемую Ĩ 1.
  • Три зеркала в треугольнике образ изображения, видимые в традиционном калейдоскопе, и могут быть представлены тремя узлами, соединенными в треугольник. В повторяющихся примерах ветви ветви изображены как (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), хотя последние два могут нарисованы ввиде (две ветви ветви игнорируются). Они будут генерировать однородные мозаики.
  • Три зеркала могут генерировать однородные многогранники ; включение рациональных чисел дает набор треугольников Шварца.
  • Три зеркала, одно из которых перпендикулярно двум другим, могут образовывать однородные призмы топмы.
Wythoffian construction diagram.svg. Внутри общего треугольника существует 7 отражающих однородных конструкций на основе 7 положений генератора в основной области. Каждое активное зеркалоформирует край, два активных зеркала имеют генераторы на сторонах домена, а три активные зеркала имеют генератор внутри. Одна или две степени свободы могут быть решены для уникального положения для равных ребер результирующего многогранника или мозаики.Пример усечения многогранника.png . Генераторы примера 7 на октаэдрической симметрии, треугольнике фундаментальной области (4 3 2), с 8-м поколением пренебрежения как чередованием

Двойники однородных многогранников иногда помечаются перпендикулярнаякосая черта, заменяющая узлы в кольцах, и косая черта для узлов с отверстиями на выступах. Например, CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngпредставляет прямоугольник (как два активных ортогональных зеркала), а CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngпредставляет его двойной многоугольник, ромб.

Примеры многогранников и мозаик

Например, у группы Кокстера B 3 есть диаграмма: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. Это также называется октаэдрической симметрией.

. Существует 7 выпуклых однородных многогранников, которыемогут быть построены из этой группы симметрии, и 3 из ее подсимметрий чередования, каждая из которых имеет однозначно отмеченные вверх Диаграмма Кокстера - Дынкина. Символ Wythoff представляет особый случай диаграммы Кокстера для графов ранга 3, с указанием всех трех порядков ветвлений, вместо подавления ветвей порядка 2. Символ Wythoff может обрабатывать курносую форму, но не общие чередования, когда все узлы не обведены.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432) [4,3]. (432)[1, 4,3] = [3,3]. (* 332) [3,4]. (3 * 2)
{4,3} t {4,3} r {4,3}. r {3}t{3,4}. t {3}{3, 4}. {3}rr {4,3}. s2{3,4}tr {4,3} sr {4,3} h {4,3}. {3,3}h2{4,3}. t {3,3}с {3,4}. s {3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.png CDel node h.pngCDel node h.pngCDel 3.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node.png. = CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node 1.png. = CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node 1.png. = CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.png CDel node h.pngCDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png=. CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngили CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node 1.png=. CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngили CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel node h.pngCDel 3.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h0.png=. CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg. Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-43-t12.svg.  Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-43-t2.svg. Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-43-t02.png. Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg. Uniform polyhedron-33-s012.svg
Двойники к однородным многогранникам
V4 V3.8 V (3.4) V4.6 V3 V3.4 V4. 6.8 V3.4 V3 V3.6 V3
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.png CDel node fh.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node fh.pngCDel 3.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.png CDel node fh.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node fh.pngCDel 3.png CDel node fh.pngCDel 3.png CDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Dodecahedron.svg

Те же конструкции могут быть сделаны на несвязанных (ортогональных) групп Кокстера, таких как однородные призмы, и могут быть более четко видны как мозаики диэдры и хозоэдры на сфере, как это [6] × или [6,2] семейство:

Однородные гексагональные двугранные сферические многогранники
Симметрия : [6,2], (* 622)[6,2], (622)[6,2], (2 * 3)
Hexagonal dihedron.png Dodecagonal dihedron.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal prism.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical t runcated trigonal prism.png Spherical dodecagonal prism2.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
{6, 2} t {6,2} r {6,2} t {2,6} {2,6} rr {6,2} tr {6,2} sr {6,2} s {2,6}
Сопоставляется с униформой
Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical dodecagonal bipyramid.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical trigonal trapezoh edron.png
V6 V12 V6 V4.4.6 V2 V4.4.6 V4.4.12 V3.3.3.6 V3.3.3.3

Для сравнения, семейство [6,3], CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngпараллельный набор из 7 однородных мозаик евклидовой плоскости, и их двойственные мозаики. Снова есть 3 чередования и некоторая полусимметричная версия.

Равномерные шестиугольные / треугольные мозаики [
  • v
]
Симметрия : [6,3], ( * 632) [6,3]. (632)[ 6,3]. (3 * 3)
{6,3}t {6,3}r {6,3}t {3,6}{3,6}rr {6,3}tr {6,3}sr {6, 3}с {3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.png CDel node h.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.png CDel node h.png
Uniform tiling 63-t0.svg Uniform tiling 63-t01.svg Uniform tiling 63-t1.svg Uniform tiling 63-t12.svg Uniform til ing 63-t2.svg Uniform tiling 63-t 02.png Uniform tiling 63-t012.svg Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 63-h12. png
6 3.12 (3.6) 6.6.6 3 3.4.6.4 4.6.12 3.3.3.3. 6 3.3.3.3.3.3
Однородные двойные
 1-uniform 1 dual.svg 1-uniform 4 dual.svg 1-uniform 7 dual.svg  1-uniform 1 dual.svg 1-uniform 11 dual.svg 1-uniform 6 dual.svg 1-uniform 3 dual.svg 1-uniform 10 dual.svg 1-uniform 11 dual.svg
V6 V3.12 V (3.6) V6 V3 V3.4.6.4 V.4.6.12 V3.6 V3

В гиперболической плоскости [7,3] семейство CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngсоздает параллельныйнабор однородных мозаик и их двойственных мозаик. Есть только 1 чередование (пренебрежительный ), поскольку все заказы ветвления нечетные. Многие гиперболические модели однородных мозаик можно увидеть в равномерных мозаиках в гиперболической плоскости.

Равномерные семиугольные / треугольные мозаики [
  • v
]
Симметрия: [7,3], (* 732) [7, 3 ], (732)
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.png CDel node 1.pngCDel node h.pngCDel 7.pngCDel node h.pngCDel 3.png CDel node h.png
Heptagonal tiling.svg Truncated heptagonal tiling.svg Triheptagonal tiling. svg Truncated order-7 triangular tiling. svg Order-7 triangular tiling.svg Rhombitriheptagonal tiling.svg Truncatedtriheptagonal tiling.svg Snub triheptagonal tiling.svg
{7,3} t {7,3} r {7,3} t {3,7} {3,7} rr {7,3} tr {7,3} sr {7,3}
Однородные двойные
CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.png CDel node f1.pngCDel node fh.pngCDel 7.pngCDel node fh.pngCDel 3.png CDel node fh.png
Order-7 triangular tiling.svg Order-7 triakis triangular tiling.svg 7-3 rhombille tiling.svg Heptakis heptagonal tiling.svg Heptagonal tiling.svg Deltoidal triheptagonal tiling.svg 3-7 kisrhombille.svg 7-3 floret pentagonal tiling.svg
V7 V3.14.14V3.7.3.7V6.6.7V3 V3.4.7.4V4.6.14 V3.3.3.3.7

Аффинные группы Кокстера

Определены семейства выпуклых однородных евклидовых мозаик аффинными группе Кокстера. Эти группы идентичны конечным группам с включением одного добавленного узла. В названиях букв они обозначаются одной и той же буквой со знаком «~» над буквой. Индекс относится к конечной группе, поэтому ранг равен индексу плюс 1. (ЭрнстВитт символы для аффинных групп также даны)

  1. A ~ n - 1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n -1}}{\tilde {A}}_{n-1}: диаграммы этого типа циклами. (P n)
  2. C ~ n - 1 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}{\tilde {C}}_{n-1}Также связан с регулярной тесселяцией гиперкуба {4, 3,...., 4} семейство. (Также R n)
  3. B ~ n - 1 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}{\tilde {B}}_{n-1}связано с C одним удаленным зеркало. (Также S n)
  4. D ~ n - 1 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}{\ tilde {D }} _ {n-1} связано с Cдвумя удаленными зеркалами. (также Q n)
  5. E ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}{\tilde {E}}_{6}, E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}{\tilde {E}}_{7}, E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}} {\tilde {E}}_{8}. (Также T 7, T 8, T 9)
  6. F ~ 4 {\ displaystyle {\ тильда { F}} _ {4}}{\tilde {F}}_{4}формирует {3,4,3,3} обычную мозаику. (Также U 5)
  7. G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2} }{\ tilde {G}} _ {2} формирует фундаментальные области треугольника 30-60-90. (Также V 3)
  8. I ~ 1 {\ displaystyl e {\ tilde {I}} _ {1}}{\tilde {I}}_{1}- два параллельных зеркала. (= A ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}{\tilde{A}}_{1}= C ~ 1 {\ displaystyle {\ t ilde {C}} _ ​​{1}}{\tilde {C}}_{1}) (Также W 2)

Составные группы также могут быть как реализованные ортогональные проекты. Чаще всего используется A ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}{\tilde{A}}_{1}, например A ~ 1 2 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1} ^ {2}}{\tilde {A}}_{1}^{2}, CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngпредставляет квадратные или прямоугольные шахматные области вевклидовой плоскости. И A ~ 1 G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1} {\ tilde {G}} _ {2}}{\tilde {A}}_{1}{\tilde {G}}_{2}CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngпредставляет треугольную призму фундаментальные области в трехмерном евклидовом пространстве.

Аффинные графы Кокстера до (от 2 до 10 узлов)
РангA ~ 1 + {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1+}}{\tilde {A}}_{1+}(P2+)B ~ 3 + {\ displaystyle {\ тильда {B}} _ {3+}}{\ tilde {B}} _ {3+} (S4+)C ~ 1 + {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{1+}}{\tilde {C}}_{1+}(R2+)D ~ 4 + {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4+}}{\tilde {D}}_{4+}(Q5+)E ~ n {\displaystyle {\ tilde {E}} _ {n}}{\tilde {E}}_{n}(Tn + 1) / F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}{\tilde {F}}_{4}(U5) / G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}{\ tilde {G}} _ {2} (V3)
2A ~ 1 {\ displaystyle {\ тильда {A}} _ {1}}{\tilde{A}}_{1}= [∞]. CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngC ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{1}}{\tilde {C}}_{1}= [∞ ]. CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
3A ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}{\tilde {A}}_{2}= [3]. * CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngC ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{ 2}}{\tilde {C}}_{2}= [4,4]. * CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngG ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}{\ tilde {G}} _ {2} =[6,3]. * CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
4A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}{\tilde{A}}_{3}= [3]. * CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngB ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}{\tilde {B}}_{3}= [4,3]. * CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngC ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}{\tilde {C}}_{3}= [4,3,4]. * CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngD ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {3}}{\tilde {D}}_{3}= [3,3,3]. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png= A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}{\tilde{A}}_{3}
5A ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}{\tilde {A}}_{4}= [3]. * CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngB ~ 4 {\ displaystyle { \ тильда {B}} _ {4}}{\tilde {B}}_{4}= [4,3,3]. * CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngC ~ 4 {\ displaystyle {\ til de {C}} _ ​​{4}}{\tilde {C}}_{4}= [4,3,4]. * CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngD ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}{\tilde {D}}_{4}= [3]. * CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngF ~ 4 {\ displaystyle {\ тильда {F}} _ {4}}{\tilde {F}}_{4}= [3,4,3,3]. * CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
6A ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}{\tilde {A}}_{5}= [3]. * CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngB ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}{\tilde {B}}_{5}= [4,3,3]. * CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngC ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}{\tilde {C}}_{5}= [4,3,4]. * CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngD ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}{\tilde {D}}_{5}= [3,3,3]. * CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
7A ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _{6}}{\tilde {A}}_{6}= [3]. * CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngB ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}{\tilde {B}}_{6}= [4,3,3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngC ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{6} }{\tilde {C}}_{6}= [4,3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngD ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}{\ tilde {D}} _ {6} = [3,3,3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngE ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}{\tilde {E}}_{6}= [3]. CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
8A ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7 }}{\tilde {A}}_{7}= [3]. * CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngB ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {7}}{\tilde {B}}_{7}= [4, 3,3]. * CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngC ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{7}}{\tilde {C}}_{7}=[4,3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngD ~ 7 {\ displaystyle {\ тильда {D}} _ {7}}{\tilde {D}}_{7}= [3,3,3]. * CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngE ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}{\tilde {E}}_{7}= [3]. * CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
9A ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}{\tilde {A}}_{8}= [3]. * CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngB ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {B }} _ {8}}{\tilde {B}}_{8}= [4,3,3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngC ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{8}}{\tilde {C}}_{8}= [ 4,3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngD ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {8}}{\tilde {D}}_{8}= [3,3,3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngE ~ 8 {\ displaystyle {\ тильда {E}} _ {8}} {\tilde {E}}_{8}= [3]. * CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
10A ~ 9 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {9}}{\tilde {A}}_{9}= [3]. * CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngB ~ 9 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {9}}{\tilde {B}}_{9}= [4,3,3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngC ~ 9 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{9}}{\tilde{C}}_{9}= [4,3,4]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngD ~ 9 {\ d isplaystyle {\ tilde {D}} _ {9}}{\tilde {D}}_{9}= [3,3,3]. CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
11............

Гиперболические группы Кокстера

Есть много бесконечных гиперболических групп Кокстера. Гиперболические группы классифицируютсякак компактные или нет, причем компактные группы имеют ограниченные фундаментальные области. Компактные симплексные гиперболические группы (симплексы Ланнера ) существуют с рангом от 3 до 5. Паракомпактные симплексные группы (симплексы Кошуля ) существуют до ранга 10. Гиперкомпактные (многогранники Винберга ) группы были изучены, но не полностью определены. В 2006 году Олкок доказал, что существует бесконечно много компактных многогранников Винбергаразмерности до 6 и бесконечно много многогранников Винберга конечного объема для размерности до 19, поэтому полное перечисление невозможно. Все эти фундаментальные области отражения, как симплексы, так и несимплексы, часто называют политопами Кокстера или иногда менее точно многогранниками Кокстера .

гиперболическими группами в H <2218.>Модель диска Пуанкаре фундаментальной области треугольников Пример прямоугольных треугольников [p, q]H2checkers 237.png. [3,7]H2checkers 238.png. [3,8]Hyperbolic domains 932 black.png. [3,9]H2checkers 23i.png. [3, ∞]H2checkers 245.png. [4,5]H2checkers 246.png . [4,6]H2checkers 247.png. [4,7]H2checkers 248.png. [4,8]H2checkers 24i.png. [∞, 4]H2checkers 255.png . [5,5]H2checkers 256.png. [5,6]H2checkers 257.png. [5,7]H2checkers 266.png. [6,6]H2checkers 2ii.png. [∞, ∞]Пример общих треугольников [(p, q, r)]H2checkers 334.png. [(3,3,4)]H2checkers 335.png. [(3,3,5)]H2checkers 336.png. [(3,3,6)]H2checkers 337.png. [(3,3,7)]H2checkers 33i.png. [(3,3, ∞)]H2checkers 344.png. [(3,4,4)]H2checkers 366.png. [(3,6,6)]H2checkers 3ii.png. [(3, ∞, ∞)]H2checkers 666.png. [(6,6,6)]Infinite-order triangular tiling. svg. [(∞, ∞, ∞)]

Двумерные гиперболические треугольные группы существуют как диаграммы Кокстера ранга 3,определяемые треугольником (pqr) for:

1 p + 1 q + 1 r < 1. {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1.}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1.

Существует бесконечно много компактных треугольных гиперболических групп Кокстера, включая линейные и треугольные графы. Линейные графики существуют для прямоугольных треугольников (с r = 2).

Компактные гиперболические группы Кокстера
ЛинейныеЦиклические
[p, q], CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png:. 2 (p + q) CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png..... CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png..... CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png.....

∞ [(p, q, r)], CDel pqr.png: p + q + r>9.

CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png.

CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png. CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.png. CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png

CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png. CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.png. CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png. CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png . CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.png. CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.png. CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png

CDel 3.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png ....

Паракомпактные группы Кокстера ранга3 существуют как пределы компактных.

Линейные графикиЦиклические графики
  • [p, ∞] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  • [∞, ∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  • [(p, q, ∞)] CDel 3.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png
  • [(p, ∞, ∞)] CDel 3.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png
  • [(∞, ∞, ∞)] CDel 3.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png

Группа арифметических треугольников

Гиперболические группы треугольников, которые также являются арифметическими группами, образуют конечное подмножество. Путем компьютерного поиска полный список был определен Кисао Такеучи в его статье 1977 года «Группы арифметических треугольников».Всего 85, компактных 76 и паракомпактных 9.

Правые треугольники (pq 2)Общие треугольники (pqr)
Компактные группы: (76)
CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 14.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 16.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 20.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 14.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 18.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png

Паракомпактные прямоугольные треугольники: (4)

CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Общие треугольники: (39)
CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 7.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 15.png
CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 18.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png
CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.pngCDel 16.png
CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 15.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.png
CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.pngCDel 18.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 15.png

Паракомпактные общие треугольники: (5)

CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30)
(2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18),
(2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), ( 2 5 10), (2 5 20), (2 5 30)
(2 6 6), (2 6 8), (2 6 12)
(2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18)
(2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18)
(2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)
(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15)
(3 4 4), (3 4 6), ( 3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12)
(4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16)
(5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10)
(6 6 6), (6 12 12), (6 24 24)
(7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15)
(3,3 ∞) (3 ∞ ∞)
(4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Гиперболические многоугольники Кокстера над треугольниками

Фундаментальные области четырехугольных групп
Hyperbolic domains 3222.png. CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngили CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png. [∞, 3, ∞ ]. [iπ/λ1,3,iπ/λ2]. (*3222)Hyperbolic domains 2233.png. CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngor CDel branch.pngCDel 3a2b-cross.pngCDel nodes.png. [((3,∞,3)),∞]. [((3,iπ/λ1,3)),iπ/λ2]. (*3322)H2chess 246a.png. CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel lab elinfin.pngor CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.png. [(3,∞)]. [(3, iπ / λ 1, 3, iπ / λ 2)]. (* 3232)H2chess 248a.png. CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel branch.pngCDel lab elinfin.pngили CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.pngCDel label4.png. [(4, ∞)]. [(4, iπ / λ 1, 4, iπ / λ 2)]. (* 4242)H2chess 246b.png. CDel branch.pngCDel 3a3b-cross.pngCDel branch.png... (* 3333)
Области с идеальными вершинами
Hyperbolic domains i222.png. CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png. [iπ / λ 1, ∞, iπ / λ 2]. (* ∞222)Hyperbolic domains ii22.png. CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel ia2b-cross.pngCDel nodes.png.. (* ∞∞22)H2chess 24ia.png. CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.pngCDel lab elinfin.png. [(iπ / λ 1, ∞, iπ / λ 2, ∞)]. (* 2∞2∞)H2chess 24ib.png. CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib-cross.pngCDel branch.pngCDel lab elinfin.png.. (* ∞∞∞∞)H2chess 248b.png . CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b-cross.pngCDel branch.pngCDel label4.png.. (* 4444)

Другие гиперболические калейдоскопы H могут быть построены из многоугольников более высокого порядка. Например, группы треугольников эти калейдоскопы можно идентифицировать по циклической последовательности зеркальных int порядки сечения вокруг фундаментальной области, как (abcd...), или, что то же самое, в орбифолдной нотации как * abcd.... Диаграммы Кокстера – Дынкина для этих полигональных калейдоскопов можно рассматривать как вырожденные (n- 1) - симплекс фундаментальные области с циклом ветвей порядка a, b, c..., а оставшиеся n * (n-3) / 2 ветвей помечены как бесконечные (∞), представляющие не -пересекающиеся зеркала. Единственный негиперболический пример - это четыре зеркала евклидовой симметрии в квадрате или прямоугольнике. angle as CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, [∞,2,∞] (orbifold *2222). Another branch representation for non-intersecting mirrors by Vinberg gives infinite branches as dotted or dashed lines, so this diagram can be shown as CDel nodes.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png, with the four order-2 branches suppressed around the perimeter.

For example, a quadrilateral домен (a b c d) будет иметь две ветви бесконечного порядка, соединяющие ультрапараллельные зеркала. Наименьший гиперболический пример - CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, [∞, 3, ∞] или [iπ / λ 1, 3,iπ / λ 2 ] (орбифолд * 3222), где ( λ 1,λ2) - расстояние между ультрапараллельными зеркалами. Альтернативное выражение - CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.pngс подавленными по периметру тремя ветвями порядка 2. Аналогично (2 3 2 3) (орбифолд * 3232) может быть представлен как CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.png, а (3 3 3 3), (орбифолд * 3333) может быть представлен как полный граф CDel branch.pngCDel 3a3b-cross.pngCDel branch.png.

Наивысшая четырехугольная область (∞ ∞ ∞ ∞) представляет собой бесконечный квадрат, представленный полным тетраэдрическим графом с 4 ветвями попериметру в качестве идеальных вершин и двумя диагональными ветвями в виде бесконечности (показаны пунктирными линиями) для ультрапараллельных зеркал: CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib-cross.pngCDel branch.pngCDel lab elinfin.png.

Компактные (симплексные группы Ланнера)

Компактные гиперболические группы называются группами Ланнера в честь того, кто впервые изучил их в 1950 году. Они существуют только как графы ранга 4 и 5. Коксетер изучал линейные гиперболические группы кокстера в своей статье 1954 года «Регулярные соты в гиперболическомпространстве», которая включала два рациональных решения в гиперболическом 4-пространстве : [5 / 2,5,3,3] = CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngи [5,5 / 2,5,3] = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png.

Уровни 4–5

Фундаментальная область любой из двух бифуркационных групп, [5,3] и [5,3,3], вдвое больше, чем у соответствующей линейной группы, [5,3,4] и [5,3,3,4] соответственно. Буквенные имена даются Джонсон как расширенные символы Витта.

Компактные гиперболические группы Кокстера
Размерность. HРанг Общее количествоЛинейноеБифуркационныйЦиклический
H49
3:

BH ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}= [4,3,5]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. К ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {K}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {K}}_{3}}= [5,3,5]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. J ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {J} } _ {3}}{\displaystyle {\overline {J}}_{3}}= [3,5,3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png

DH ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}= [ 5,3]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

AB ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {AB}} _ {3}}{\widehat {AB}}_{3}= [(3,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png. AH ^ 3 {\ displaystyle {\widehat {AH}} _ {3}}{\widehat {AH}}_{3}= [(3,5)]: CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png. BB ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {BB}} _ {3}}{\widehat {BB}}_{3}= [(3,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png. BH ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {BH}} _ {3}}{\widehat {BH}}_{3}= [(3,4,3,5)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png. ЧЧ ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {HH}} _ {3}}{\widehat {HH}}_{3}= [(3,5)]: CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png

H55
3:

Н ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {H}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {H}}_{4}}= [3,5]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. BH ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {BH}}_{4}}= [4, 3,3,5]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. K ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {K}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {K}}_{4}}= [5,3,3,5]:CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

DH ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {DH}}_{4}}= [5,3,3]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

AF ^ 4 {\ displaystyle {\ widehat {AF}} _ { 4}}{\widehat {AF}}_{4}= [(3,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

Паракомпакт (симплексные группы Кошуля)

Пример апейрогонального замощения третьего порядка, {∞, 3} с один зеленый апейрогон и его описанный орицикл

Паракомпактные (также называемые некомпактными) гиперболические группы Кокстера содержат аффинные подгруппы и имеют асимптотические симплексныефундаментальные области. Самый высокий паракомпактный гипербол Группа Кокстера имеет ранг 10. Эти группы названы в честь французского математика Жана-Луи Кошуля. Их также квазиланнеровскими, продолжающими компактными группами Ланнера. Полный список был составлен с помощью компьютерного поиска М. Чейном и опубликован в 1969 году.

По Винбергу, все 72 компактных и паракомпактных симплекса, кроме восьми, являются арифметическими. Две из неарифметических групп компактны: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.pngиCDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png. Остальные шесть неарифметических групп все паракомпактны, с пятью трехмерными группами CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.pngи CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.pngи одной пятимерной группой CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png.

Идеальные симплексы

Идеальные фундаментальные области CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png, [(∞, ∞, ∞)] видно в модели диска Пуанкаре

Существует 5 гиперболических групп Кокстера, выражающих идеальные симплексы, графы, удаление которых любого одного узла приводит к аффинной группе Кокстера. Таким образом, все вершины этого идеального симплекса находятсяна бесконечности.

РангИдеальная группаАффинные подгруппы
3[(∞, ∞, ∞)]CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png[∞]CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
4[4]CDel label4.pngCDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel branch.pngCDel label4.png[4, 4]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4[3]CDel tet.png[3]CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
4[(3,6)]CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png[3,6]CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
6[(3, 3,4)]CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png[4, 3,3,4], [3,4,3,3]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png

Уровни 4–10

Бесконечные евклидовы ячейки, такие как шестиугольная мозаика, правильно масштабированные, сходятся к одной идеальной точке на бесконечности, как гексагональные мозаичные соты, {6,3,3}, как показано с единственной ячейкойв ​​проекции модели диска Пуанкаре

Всего существует 58 паракомпактных гиперболических групп Кокстера с ранга с 4 по 10. Все 58 сгруппированы ниже по пяти категориям. Буквенные с использованием представленной Джонсоном как расширенные символы Витта с PQRSTWUV из аффинных символов Витта и добавлением LMNOXYZ. Этим гиперболическим группам для циклохимических схем дается верхняя черта или шляпа. Обозначение скобок от Кокстера является линеаризованнымпредставлением группы Кокстера.

Гиперболические паракомпактные группы
РейтингОбщее количествоГруппы
423

BR ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {BR}} _ {3}}{\widehat {BR}}_{3}= [(3,3,4,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4-3.pngCDel branch.pngCDel 2.png. CR ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {CR}} _ {3}}{\widehat {CR}}_{3}= [(3, 4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4-3.pngCDel branch.pngCDel label4.png. RR ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {RR}} _ {3}}{\widehat {RR}}_{3}= [4]: ​​CDel label4.pngCDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel branch.pngCDel label4.png. AV ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {AV}} _ {3}}{\widehat {AV}}_{3}= [(3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 2.png. BV ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {BV}} _ {3}}{\widehat {BV}}_{3}= [(3,4,3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png. HV ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {HV}} _ {3}}{\widehat {HV}}_{3}= [(3,5,3, 6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png. VV ^ 3 {\ displaystyle {\ widehat {VV}} _ {3}}{\widehat {VV}}_{3}= [(3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png

P ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {P}}_{3}}= [3,3]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. BP ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {BP}}_{3}}= [4,3]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. HP ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {HP}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {HP}}_{3}}= [5,3]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. VP ¯ 3 { \ displaystyle {\ overline {VP}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}= [6,3]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png. DV ¯ 3 {\ displaystyl e {\ overline {DV}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {DV}}_{3}}= [6,3]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png. О ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {O}} _ {3}}{\displaystyle {\overline{O}}_{3}}= [3,4]: CDel nodes.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. M ¯ 3 { \ displaystyle {\ overline {M}} _ {3}}{\displaystyle {\overline{M}}_{3}}= [4]: ​​CDel nodes.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

R ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {R}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {R}}_{3}}= [3,4,4]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. N ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {N}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {N}}_{3}}= [4]: ​​CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. V ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {V}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {V}}_{3}}= [3,3,6]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png. BV ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}= [4,3,6]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png. HV ¯3 {\ displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}= [5, 3,6]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png. Y ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {Y}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {Y}}_{3}}= [3,6,3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. Z ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {Z}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}= [6,3,6]: CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

DP ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {DP}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {DP}}_{3}}= [3]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png. PP ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {PP}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {PP}}_{3}}= [3]: CDel tet.png

59

P ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {P}}_{4}}= [3,3]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. BP ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {BP}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {BP}}_{4}}=[4,3]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. FR ^ 4 {\ displaystyle {\ widehat {FR}} _ {4}} {\widehat {FR}}_{4}= [(3,4,3,4)]: CDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png. DP ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {DP}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {DP}}_{4}}= [3]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel branchbranch.pngCDel split2.pngCDel node.png

N ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {N}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {N}}_{4}}= [4,3, ((4,2, 3))]: CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. O ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {O}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {O}}_{4}}= [3,4,3]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. S ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {S}}_{4}}= [4,3]: CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png

R ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {R}} _ {4}}{\ displaystyle {\ overline {R}} _ {4}} = [(3,4)]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png

М ¯ 4 {\ displaystyle {\ overl ine {M}} _ {4}}{\ displaystyle {\ overline {M}} _ {4}} = [4,3]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
612

P ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {P}}_{5}}= [3,3]: CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. AU ^ 5 {\ displaystyle {\ widehat {AU}} _ {5}}{\widehat {AU}}_{5}= [(3,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png. AR ^ 5 {\ displaystyle {\ widehat {AR}} _ {5}}{\widehat {AR}}_{5}= [( 3,3,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png

S ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {S}}_{5}}= [4,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png. O ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {O}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {O}}_{5}}= [3,4,3]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. N ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {N}} _ {5} }{\displaystyle {\overline {N}}_{5}}= [3, (3, 4)]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png

U ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {U}} _ {5}}{\ displaystyle {\ overline {U}} _ {5}} = [3,4,3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. X ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {X}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {X}}_{5}}= [3, 3,4,3,3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. R ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {R}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {R}}_{5}}= [3,4,3,3,4]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

Q ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {Q}}_{5}}= [3]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png.

M ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {M}} _ {5}} {\displaystyle {\overline {M}}_{5}}= [4,3,3]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. L ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {L}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {L}}_{5}}= [3] : CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

73

п ¯ 6 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {6}}{\displaystyle {\overline {P}}_{6}}=[3,3]:. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png

Q ¯ 6 {\ displaystyle {\ overline {Q} } _ {6}}{\displaystyle {\overline {Q}}_{6}}= [3,3,3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngS ¯ 6 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {6}}{\displaystyle {\overline {S}}_{6}}= [ 4, 3,3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
84P ¯ 7 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {7}}{\displaystyle {\overline {P}}_{7}}= [3,3]:. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngQ ¯ 7 {\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {7}}{\displaystyle {\overline {Q}}_{7}}= [3,3,3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngS ¯ 7 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {7}}{\displaystyle {\overline {S}}_{7}}= [4,3,3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngT ¯ 7 {\ displaystyle {\ overline {T}} _ {7}}{\displaystyle {\overline {T}}_{7}}= [3]:. CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
94P ¯ 8 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {8}}{\displaystyle {\overline {P}}_{8}}= [3,3]:. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngQ ¯ 8 {\ отображает tyle {\ overline {Q}} _ {8}}{\displaystyle {\overline {Q}}_{8}}= [3,3,3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngS ¯ 8 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {8}}{\displaystyle {\overline {S}}_{8}}= [4,3,3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngT ¯ 8 {\ displaystyle {\ overline {T}} _ {8}}{\displaystyle {\overline {T}}_{8}}= [3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
103P ¯ 9 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {9}}{\disp laystyle {\overline {P}}_{9}}= [3,3]:. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngQ ¯ 9 {\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {9} }{\displaystyle {\overline {Q}}_{9}}= [3,3,3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngS ¯ 9 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {9}}{\displaystyle {\overline {S}}_{9}}= [4,3,3 ]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngT ¯ 9 {\ displaystyle {\ overline{T}} _ {9}}{\displaystyle {\overline {T}}_{9}}= [3]:. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
Отношения подгрупп паракомпактных гиперболических групп

Эти деревья меньшие отношения подгрупп паракомпактных гиперболических групп. Индексы подгрупп на каждом подключении выделены красным цветом. Подгруппы индекса 2 предоставить собой зеркальное удаление и фундаментальное удвоение домена. Другие могут быть выведены с помощью соизмеримости (целочисленного измерения диапазона) для тетраэдрических доменов.

Деревья подгрупп
HHyperbolic subgroup tree 36.png Hyperbolic subgroup tree 336-direct.png Hyperbolic subgroup tree 363.png Hyperbolic subgroup tree 344.png
HHyperbolic subgroup tree 3434.png
HHyperbolic subgroup tree 33343.png

Гиперкомпактные группы Кокстера (многогранники Винберга)

Так же, как гиперболическая плоскость H имеет нетреугольные многоугольные области, существуют также многомерные отражающие гиперболические области. Эти несимплексные области можно рассматривать как вырожденные симплексы с непересекающимися отдельными зеркалами, заданными бесконечными порядками, или на диаграмме Кокстера такие ветви обозначены линиями пунктирными или штриховыми линиями. Эти несимплексные области называются многогранниками Винберга в честь Эрнеста Винберга в его алгоритме Винберга для нахождения несимплексной фундаментальной области гиперболической группы отражений. Геометрические эти фундаментальные области могут быть классифицированы как четырехугольные пирамиды, или призмы, или другие многогранники с ребрами как пересечение двух зеркал, имеющих двугранные углы <446.>как π / n для n = 2,3,4...

В симплексной областисуществует n + 1 зеркал для n-мерного пространства. В несимплексных доменах имеется более n + 1 зеркал. Список конечен, но не полностью известен. Вместо этого частичные списки были пронумерованы как n + k зеркал, для k как 2, 3 и 4.

Гиперкомпактные группы Кокстера в трехмерном пространстве или выше отличаются от двухмерных групп в одном существенном отношении. Два гиперболических n-угольника, имеющие одинаковые углы в одном и том же циклическом порядке, могут иметь разные длины ребери, как правило, не конгруэнтны. В отличие от многогранников Винберга в 3-х измерениях или выше рассматривают двугранными углами. Этот факт основан на теореме жесткости Мостова, согласно которой две изоморфные группы, порожденные отражения в H для n>= 3, определяют конгруэнтные фундаментальные области (многогранники Винберга).

Многогранники Винберга ранга n + 2 для n-мерного пространства

Полный список компактных гиперболических многогранников Винбергас зеркалами ранга n + 2 для n-мерностей был перечислен Ф. Эссельманном в 1996 г. Неполный список опубликован в 1974 г. И. М. Каплинской.

Полный список паракомпактных решений опубликован П. Тумаркиным в 2003 г. с размерами от 3 до 17.

Самая маленькая паракомпактная форма. в H может быть представлено как CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngили [∞, 3,3, ∞], которое может быть построено зеркального удаления паракомпактной гиперболической группы [3,4,4] как [3,4,1,4]. Двойная основная область превращается изтетраэдра в в четырехугольную пирамиду. Другие пирамиды включают [4,4,1,4] = [∞, 4,4, ∞], CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.png= CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png. Удаление зеркала из некоторых циклических гиперболических графов Кокстера превращается в графы-бабочки: [(3,3,4,1,4)] = [((3, ∞, 3)), ((3, ∞, 3))] или CDel branchu.png CDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , [(3,4,4,1,4)] = [((4, ∞, 3)), ((3, ∞, 4))] или CDel branchu.png CDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png , [(4, 4, 4,1,4)] = [((4, ∞, 4)), ((4, ∞, 4))] или CDel branchu.png CDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branchu.png .

Другие допустимые паракомпактные графы с фундаментальными областями четырехугольной пирамиды включают:

Размер РангГрафики
H5
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.png CDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.png CDel split2-53.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-54.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-55.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split 2-63.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-64.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-65.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.png CDel split2-66.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.png CDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-53.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-54.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-55.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split 2-63.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-64.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-65.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png , CDel branchu.png CDel split2-66.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png

Другая подгруппа [1,4] = [∞, 4,1,4, ∞] = [∞]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png= CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png= CDel node.pngCDel split1-uu.pngCDel nodes.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.pngCDel split2-uu.pngCDel node.png.

Многогранники Винберга с рангом n + 3 для n-мерного пространства

Существует конечное число вырожденных фундаментальных симплексов вплоть до 8-мерных. Полный список компактных многогранников Винберга с зеркалами ранга n + 3 для n-мерности был перечислен П. Тумаркиным в 2004 г. Эти группы помечены пунктирными / ломаными линиями для ультрапараллельных ветвей. Полный список некомпактных многогранниковВинберга с зеркалами ранга n + 3 и с одной непростой вершиной для n-мерности был перечислен Майком Робертсом.

Для 4-8 измерений ранги 7-11 Кокстера группы считаются как 44, 16, 3, 1 и 1 соответственно. На наибольшее значение было обнаружено Бугаенко в 1984 г. в измерении 8, ранге 11:

ИзмеренияРангСлучаиГрафики
H744...
H816..
H93CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.pngCDel ua3b.pngCDel nodes u0.pngCDel ua3b.pngCDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3aub.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel 10a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3aub.png CDel nodes.pngCDel splitcross.pngCDel branch.pngCDel label5.png
H101CDel node.pngCDel split1-53.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel ua3b.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2-53.pngCDel node.png
H111CDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3aub.png CDel nodes 0u.pngCDel 3aub.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.png

Винберга с рангом n + 4 для n-мерного пространства

Существует конечное числовырожденных фундаментальных симплексов, вплоть до 8-мерных. Компактные многогранники Винберга с зеркалами ранга n + 4 для n-измерений были исследованы А. Феликсоном и П. Тумаркиным в 2005 году.

Лоренцевы группы

Правильные соты с лоренцев группой
Hyperbolic honeycomb 3-3-7 poincare cc.png. {3,3, 7} вне модели шара ПуанкареHyperbolic honeycomb 7-3-3 poincare vc.png. {7,3,3} вне модели шара Пуре
Здесь показаны рананка лоренцев группы 5, организованные как подгруппы из [6,3,3, 3] и [6,3,6,3]. Высокосимметричная группа CDel pent.png, [3] являетсяподгруппой индекс 120 в [6,3,3,3].

Лоренцев группы для симплексных областей могут быть оценены как графы за пределами паракомпактных гиперболических форм. Иногда их называют суперидеальными симплексами, и они также связаны с лоренцевой геометрией, названной в честь Хендрика Лоренца в области специальной и общей теории относительности. пространство-время, содержащее один (или несколько) компонент, подобных времени, чьи скалярные произведенияотрицательны. Дэнни Калегари называет эти выпуклые кокомпактные группы Кокстера в н-мерном гиперболическом пространстве.

В статье Джорджа Максвелла 1982 года «Сферические упаковки и гиперболические группы отражений» перечислен конечный список лоренцевых рангов от 5 до 11. Он назвал их уровень 2, что означает, что удаление любой перестановки двух узлов оставляет конечный или евклидов граф. Его перечисление является полным, но не перечисляет графы, которые являютсяподгруппой другой. Все ветвящиеся группы Кокстера более высокого порядка ранга-4 являются лоренцевыми и заканчиваются в пределе как полный граф 3- симплекс диаграмма Кокстера-Дынкина с 6 ветвями бесконечного порядка, которые могут быть выражаются как [[ ∞]. Ранги 5-11 имеют конечное число групп 186, 66, 36, 13, 10, 8 и 4 лоренцев группы соответственно. Статья Х. Чена и Ж.-П. Лаббе, группы Лоренциана Кокстера и упаковки шариков Бойда-Максвелла пересчитали и опубликовали списокполный.

Для высших рангов 8-11 полные списки таковы:

Лоренцианские группы Кокстера
РангОбщее. количествоГруппы
4[3, 3,7]... [∞, ∞, ∞]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png.

[4, 3]... [∞, ∞]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split 1-ii.pngCDel branch.pngCDel lab elinfin.png. [5, 4]... [∞]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split 1-ii.pngCDel nodes.png.... [(5,4, 3,3)]... [∞]:... CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 4a3b.pngCDel branch.png... CDel lab elinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib.pngCDel branch.pngCDel lab elinfin.png.... [4]... [∞]:... CDel node.pngCDel split1-ii-i.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png.... [4]... [∞]

5186... [3]: CDel pent.png...
666
736[3]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png...
813

[3,3,3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png. [3,3,3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. [3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png. [3,3,3]: CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png. [3]: CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel nodeabc.pngCDel 3abc.pngCDel nodeabc.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.png

[4,3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png. [3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png. [3, (3,3,4)]: CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png. [ 3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png.

[4,3,3,3]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png. [3,3,3]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png

910

[3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. [ 3,3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png. [3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split5b.pngCDel nodes.png

[3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png[3,3,4]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png.

[3,3,3,3] : CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png

[3]: CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png.

[3]: CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png. [3,3,4]: CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. [3,3,3,3]: CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

108[3,3, 3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png.

[3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png. [3,3]: CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png

[3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png[3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png.

[3,3, 4]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png. [3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png

[3]: CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
114[3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png[3,3,4]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png.

[3,3,3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png

[3]: CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png

Оченьрасширенные схемы Кокстера

Одно использование включает сверхрасширенный определение из прямого использования диаграмма Дынкина, которое рассматривает аффинные группы как расширенный, гиперболические группы сверхрасширенный и третий узел как очень расширенный простые группы. Эти расширения обычно обозначаются показателем степени 1,2 или 3+ символа для количества расширенных узлов. Эту расширяющуюся серию можнопродолжить назад, последовательно удаляя узлы из одной и той же позиции в графе, хотя процесс останавливается после удаления узла ветвления. Расширенное семейство E8 является наиболее часто показываемым примером, расширяющимся назад от E 3 и вперед до E 11.

. Процесс расширения может определять ограниченную серию графов Кокстера, которые прогрессируют от конечного к аффинному, от гиперболического Лоренциан. Определитель матриц Картана определяет, где изменяется от конечного ( положительного) до аффинного (ноль) до гиперболического (отрицательного) и конечного как лоренцеву группу, существую по крайней одной гиперболической подгруппу. Некристалографические группы H n образуют расширенную серию, где H 4 расширяется как компактная гиперболическая и сверхрасширенная в лоренцеву группу.

Определитель матрицы Шлефли по рангу:

  • det (A 1 = [2]) = 2 (Finite for all n)
  • det (A n = [3]) = n + 1 (Конечное длявсех n)
  • det (B n = [4,3]) = 2 (Конечное для всех n)
  • det (D n = [3]) = 4 (Finite for all n)

Детерминанты матрицы Шлефли в исключительных сериях:

  • det (En = [3 ]) = 9-n (Конечное для E 3 (= A 2A1), E 4 (= A 4), E 5 (= D 5), E6, E7 и E8, аффинно в E9 (E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}} {\tilde {E}}_{8}), гиперболический в точке E 10)
  • det ([3]) = 2 (8-n) (конечный для n =от 4 до 7, аффинный (E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E }} _ {7}}{\tilde {E}}_{7}) и гиперболический при n = 8.)
  • det ([3]) = 3 (7-n) (Конечное для n = от 4 до 6, аффинное (E ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}{\tilde {E}}_{6}) и гиперболическое при n = 7.)
  • det (F n = [3,4,3]) = 5-n (Конечное для F 3 (= B 3) до F4, аффинно в F5 (F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}{\tilde {F}}_{4}), гиперболический при F 6)
  • det (G n= [6,3]) = 3-n (Конечное для G2, аффинно в G 3(G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}{\ tilde {G}} _ {2} ), гиперболическое в G 4)
Меньшая расширенная серия
КонечнаяA 2 {\ displaystyle A_ {2}}A_{2}C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C_{2} G 2 {\ displaystyle G_ {2}}G_{2} A 3 {\ displaystyle A_ {3}}A_{3}B 3 {\ displaystyle B_ {3}}B_{3}C 3 {\ displaystyle C_ {3}}C_{3}H 4 {\ displaystyle H_ {4}}H_{4}
Рейтинг n[3, 3][4,4, 3]Gn= [6,3] [3,3][4,3][4,3,4,3]Hn= [5,3]
2[3]. A2. CDel branch.png[4]. C2. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png[6]. G2. CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png[2]. A1. CDel nodes.png[4]. C2. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png[5]. H2. CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
3[3]. A2=A ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}{\tilde {A}}_{2}. CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node c1.png[4,4]. C2=C ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2 }}{\tilde {C}}_{2}. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.png[6,3]. G2=G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}{\ tilde {G}} _ {2} . CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.png[3,3] = A 3. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png[4,3]. B3. CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.png[4,3]. C3. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png[5,3]. H3. CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
4[3,3]. A2=P ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {P}}_{3}}. CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[4, 4,3]. C2=R ¯ 3 {\ displaystyle {\ overline {R}} _ {3}}{\displaystyle {\overline {R}}_{3}}. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[6,3,3]. G2=V ¯ 3 {\ disp laystyle {\ overline {V }} _ {3}}{\displaystyle {\overline {V}}_{3}}. CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[3]. A3=A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}{\tilde{A}}_{3}. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.png[4,3]. B3=В ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}{\tilde {B}}_{3}. CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.png[4,3,4]. C3=C ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}{\tilde {C}}_{3}. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.png[ 5,3,3]. H4. CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
5[3,3,3]. A2. CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[4,4,3,3]. C2. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[6,3,3,3]. G2. CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[3, 3]. A3=P ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {P}}_{4}}. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[4,3]. B3=S ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {S}}_{4}}. CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[4,3,4,3]. C3=R ¯ 4 {\ displaystyle {\ overline{R}} _ {4}}{\ displaystyle {\ overline {R}} _ {4}} . CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[5,3]. H5=H ¯ 4 {\ displaystyle {\ надчеркнуть {H}} _ {4}}{\displaystyle {\overline {H}}_{4}}. CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
6[3,3,3]. A3. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[4,3]. B3. CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[4,3,4,3,3]. C3. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[5,3]. H6. CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
Det (M n)3 (3-n)2 (3-n)3-n4 (4-n)2 (4-n)
Средний расширенный ряд
КонечноеA 4 {\ displaystyle A_ {4}}A_{4}B 4 {\ displaystyle B_ {4}}B_{4}C 4 {\ displaystyle C_ {4}}C_{4}D 4 {\ displaystyle D_ {4}}D_{4}F 4 {\ displaystyle F_ {4}} F_{4} A 5 ​​{\ displaystyle A_ { 5}}A_{5}B 5 {\displaystyle B_ {5}}B_{5}D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D_{5}
Ранг n[3,3][4,3,3][4,3,3,4,3][3][3,4,3][3,3][4,3,3,3][3,3,3]
3[4,3]. B2A1. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png[4, 3]. B3. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png[3]. A1. CDel nodeabc.png[3, 4]. B3. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png[4,3,3]. C3. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png
4[3]. A4. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png[4,3,3]. B4. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.png[4,3, 3]. C4. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.png[3]. D4. CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.png[3, 4,3]. F4. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png[4,3,3,3]. B3A1. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png[3,3,3]. A3A1. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png
5[3]. A4=А ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}{\tilde {A}}_{4}. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.png[4,3,3]. B4=B ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _{4}}{\tilde {B}}_{4}. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png[4,3,3,4]. C4=C ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}{\tilde {C}}_{4}. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png[3]. D4=D ~ 4 {\ displaystyle {\ тильда {D}} _ {4}}{\tilde {D}}_{4}. CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.png[3, 4,3,3]. F4=F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}{\tilde {F}}_{4}. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.png[3]. A5. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png[4,3,3,3,3]. B5. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.png[3,3,3]. D5. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.png
6[3,3]. A4=P ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {5 }}{\displaystyle {\overline {P}}_{5}}. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[4,3,3]. B4=S ¯ 5 {\ displaystyle {\ over line {S}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {S}}_{5}}. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png[4,3,3,4,3]. C4=R ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {R}} _ {5}}{\displaystyle {\overline {R}}_{5}}. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[3 ]. D4=Q ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {Q}}_ {5}}{\displaystyle {\overline {Q}}_{5}}. CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[3,4,3]. F4=U ¯ 5 {\ displaystyle {\ overline {U}} _ { 5}}{\ displaystyle {\ overline {U}} _ {5}} . CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[3]. A5=A ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}{\tilde {A}}_{5}. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.png[4,3,3,3]. B5=В ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}{\tilde {B}}_{5}. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png[3,3, 3]. D5=D ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}{\tilde {D}}_{5}. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png
7[3, 3,3]. A4. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[4,3,3]. B4. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png[4, 3,3,4,3,3]. C4. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[3]. D4. CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[3,4,3]. F4. CDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[ 3,3]. A5=P ¯ 6 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {6}}{\displaystyle {\overline {P}}_{6}}. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[4,3,3,3]. B5=S ¯ 6 {\ displaystyle {\ overline { S}} _ {6}}{\displaystyle {\overline {S}}_{6}}. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png[3,3,3]. D5=Q ¯ 6 {\displaystyle {\ overline {Q}} _ {6}}{\displaystyle {\overline {Q}}_{6}}. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png
8[3,3,3]. A5. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[4,3,3,3]. B5. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png[3,3,3]. D5. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png
Дет (M n)5 (5-n)2 (5-n)4 (5-n)5-n6 (6-n)4 (6-n)
Некоторые более высокие расширенные серии
FiniteA 6 {\ displaystyle A_ {6}}A_{6}В 6 {\ displaystyle B_ {6}}B_{6}D 6 {\ displaystyle D_ {6}}D_{6}E 6 {\ displaystyle E_ {6}}E_{6}A 7 {\ displaystyle A_ {7}}A_{7}В 7 {\ displaystyle B_ {7}}B_{7}D 7 {\ displaystyle D_{7}}D_{7}E 7 {\ displaystyle E_ {7}}E_{7}E 8 {\ displaystyle E_ {8} }E_{8}
Ранг n[3,3][4,3,3][3,3,3,3][3][3,3][4,3,3][3,3,3,3,3][3]En= [3]
3[3]. E3=A2A1. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png
4[3]. A2. CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png[3]. A3A1. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png[3]. E4=A4. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.png
5[4,3,3,3,3]. B4A1. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png[3,3,3,3]. D4A1. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png[3]. A5. CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png[3]. A5. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.png[3]. E5=D5. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
6[3]. A6. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png[4,3]. B6. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.png[3,3,3,3]. D6. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.png[3]. E6. CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.png[4,3,3,3,3,3]. B5A1. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png[3,3,3, 3,3]. D5A1. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png[3]. D6. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.png[3]. E6*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
7[3]. A6=A ~ 6 {\ displ aystyle {\ tilde {A}} _ {6}}{\tilde {A}}_{6}. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.png[4, 3,3]. B6=В ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}{\tilde {B}}_{6}. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png[3,3,3,3]. D6=D ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde { D}} _ {6}}{\ tilde {D}} _ {6} . CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png[3]. E6=E ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}{\tilde {E}}_{6}. CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.png[3]. A7. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png[4,3]. B7. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.png[3,3,3,3,3]. D7. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.png[3]. E7*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png[3]. E7*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
8[3,3]. A6=P ¯ 7 {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {7}}{\displaystyle {\overline {P}}_{7}}. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[4,3,3]. B6=S ¯ 7 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {7}}{\displaystyle {\overline {S}}_{7}}. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png[3,3,3,3]. D6=Q ¯ 7 {\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {7}}{\displaystyle {\overline {Q}}_{7}}. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png[3]. E6=T ¯ 7{\ displaystyle {\ overline {T}} _ {7}}{\displaystyle {\overline {T}}_{7}}. CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[3 ]. A7=A ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}{\tilde {A}}_{7}*. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.png[4,3,3]. B7=B ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ { 7}}{\tilde {B}}_{7}*. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png[3,3,3,3,3]. D7=D ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {7}}{\tilde {D}}_{7}*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png[3]. E7=E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}{\tilde {E}}_{7}*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png[3]. E8*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.png
9[3,3,3]. A6. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[4,3,3]. B6. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png[3,3,3, 3]. D6. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png[3]. E6. CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png CDel node.pngCDel 3.png CDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[3,3]. A7=P ¯ 8 {\ displaystyl е {\ overline {P}} _ {8}}{\displaystyle {\overline {P}}_{8}}*. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.png[4,3,3]. B7=S ¯ 8 {\ displaystyle {\ overline {S}} _ {8}}{\displaystyle {\overline {S}}_{8}}*. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png[3,3,3,3,3]. D7=Q ¯ 8 {\ displaystyle {\ overline {Q}} _ {8}}{\displaystyle {\overline {Q}}_{8}}*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png[3]. E7=T ¯ 8 {\ displaystyle {\ overline {T} } _ {8}}{\displaystyle {\overline {T}}_{8}}*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png[3]. E9=E8=E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}} {\tilde {E}}_{8}*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.png
10[3,3,3]. A7*. CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.png CDel node c2.pngCDel 3.png CDel node c3.png[4,3,3]. B7*. CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png[3,3,3,3,3]. D7*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png[3]. E7*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png[3]. E10=E8=T ¯ 9 {\ displaystyle {\ overline {T}} _ {9}}{\displaystyle {\overline {T}}_{9}}*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.png
11[3]. E11=E8*. CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel branch.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea.pngCDel 3a.png CDel nodea c1.pngCDel 3a.png CDel nodea c2.pngCDel 3a.png CDel nodea c3.png
Дет (M n)7 (7-n)2 (7-n)4 (7 -n)3 (7-n)8 (8-n)2 (8-n)4 (8-n)2 (8-n) 9-n

Геометрическое складывание

Конечное и аффинное складывание
φA: A Γ ->A Γ 'для конечных типов
ΓΓ'Описание складыванияДиаграммы Кокстера – Дынкина
I2(h )Γ (h)Диэдральное складываниеGeometric folding Coxeter graphs.png
BnA2n(I, s n)
Dn + 1, A 2n-1(A3, + / - ε)
F4E6(A3, ± ε)
H4E8(A4, ± ε)
H3D6
H2A4
G2A5(A5, ± ε)
D4(D4, ± ε)
φ: A Γ ->A Γ 'для аффинных типов
A ~ n - 1 {\ displaystyle { \ tilde {A}} _{n-1}}{\tilde {A}}_{n-1}А ~ к n - 1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {kn-1}}{\ тильда {A}} _ {kn-1} Локально тривиальноGeometric folding Coxeter graphs affine.png
B ~ n {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n}}{\tilde {B}}_{n}D ~ 2 n + 1 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {2n + 1}}{\tilde {D}}_{2n+1}(I, s n)
D ~ n + 1 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n +1}}{\ tilde {D}} _ {n +1} , D ~ 2 n {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {2n}}{\tilde {D}}_{2n}(A3, ± ε)
C ~ n {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n}}{\tilde {C}}_{n}В ~ n + 1 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n + 1}}{\tilde {B}}_{n+1}, C ~ 2 n {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2n} }{\tilde {C}}_{2n}(A3, ± ε)
C ~ 2 n + 1 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2n + 1}}{\ tilde {C}} _ ​​{2n + 1} (I, s n)
C ~ n {\ displaystyle {\ тильда {C}} _ ​​{n}}{\tilde {C}}_{n}A ~ 2 n + 1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2n + 1}}{\tilde {A}}_{2n+1}(I, s n) (I, s 0)
A ~ 2 n {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2n}}{\tilde {A}}_{2n}(A3, ε) (I, s 0)
A ~ 2 n - 1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2n-1}}{\tilde {A}}_{2n-1}(A3, ε) (A 3, ε ')
C ~ n {\ displaystyle {\ tilde { C}} _ ​​{n}}{\tilde {C}}_{n}D ~ n + 2 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n +2}}{\tilde {D}}_{n+2}(A3, -ε) (A 3, -ε ')
C ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}{\tilde {C}}_{2}D ~ 5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}{\tilde {D}}_{5}(I, s 1)
F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}{\tilde {F}}_{4}E ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}{\tilde {E}}_{6}, E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}{\tilde {E}}_{7}(A3, ± ε)
G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}{\ tilde {G}} _ {2} D ~ 6 { \ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}{\ tilde {D}} _ {6} , E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}{\tilde {E}}_{7}(A5, ± ε)
В ~ 3 {\ displayst yle {\ tilde {B}} _ {3}}{\tilde {B}}_{3}, F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}{\tilde {F}}_{4}(B3, ± ε)
D ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}{\tilde {D}}_{4}, E ~ 6 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}{\tilde {E}}_{6}(D4, ± ε)

A ( простая диаграмма Кокстера-Дынкина (конечная, аффинная или гиперболическая), имеющая симметрию (удовлетворяющую одному условию, приведенному ниже), может быть разделена по симметрии, давая новую, как правило, диаграмму с множеством шнуров, с процесс, называемый «складывание».

Например, в D 4 складывание в G 2 край в G 2 указывает на класс 3 внешних узлов (валентность 1) к классу центрального узла (валентность 3). И E 8 складывается в 2 копии H 4, вторая копия масштабируется на τ.

Геометрически это соответствует ортогональным проекциям однородных многогранников и мозаики. Примечательно, что любую конечную диаграмму Кокстера – Дынкина с простыми шнурами можно свернуть до I 2 (h), где h - число Кокстера, которое геометрически соответствует проекции на Плоскость Кокстера.

Geometric folding Coxeter graphs hyperbolic. png. Несколько гиперболических складок

Сложные отражения

Диаграммы Кокстера – Дынкина были расширены до сложного пространства, C, где узлами являются унитарные отражения с периодом больше 2. Узлы помечаются индексом, который предполагается равным 2 для обычного реального отражения, если оно подавлено. Кокстер записывает сложную группу p [q] rкак диаграмму CDel pnode.pngCDel 3.png CDel q.pngCDel 3.png CDel rnode.png.

1-мерный правильный комплексный многогранник в C 1 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}\mathbb{C}^1представлен как CDel pnode 1.png, имеющий p вершин. Его реальное представление - правильный многоугольник, {p}. Его симметрия p или CDel pnode.png, порядок p. Генератор унитарного оператора для CDel pnode.pngрассматривается как поворот в R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}\mathbb {R} ^{2}на 2π / p радиан против часовой стрелки, а край CDel pnode 1.png создается последовательным применением одного унитарного отражения. Генератор унитарного отражения для 1-многогранника с p вершинами равен e = cos (2π / p) + i sin (2π / p). Когда p = 2, генератор e = –1, то же самое, что точечное отражение в реальной плоскости.

В многограннике более высокого уровня p {} или CDel pnode 1.pngпредставляет элемент p-ребра с 2-ребром, {} или CDel node 1.png, представляющим обычное действительное ребро между две вершины.

Правильные комплексные1-многогранники
Complex 1-topes as k-edges.png. Комплексные 1-многогранники, CDel pnode 1.png, представленные на плоскости Арганда как правильные многоугольники для p = 2, 3, 4, 5 и 6, с черным вершины. Центроид p вершин показан красным цветом. Стороны многоугольников представляют собой одно приложение генератора симметрии, отображая каждую вершину в следующую копию против часовой стрелки. Эти многоугольные стороны не являются краевыми элементами многогранника, так как сложный 1-многогранник не может иметь ребер (частоэто сложное ребро) и содержит только вершинные элементы.
Rank2 shephard subgroups.png. 12 неприводимых групп Шепарда с их отношениями индексов подгрупп. Подгруппы индекса 2 связаны удалением реального отражения:. p[2q] 2 ->p [q] p, index 2.. p[4] q ->p [q] p, индекс q.Rank2 shephard subgroups2 series.png. p[4] 2 подгруппы: p = 2,3,4.... p[4] 2 ->[p], индекс p. p[4] 2 ->p×p, индекс 2

Aa правильные сложные многоугольники в C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} }\mathbb{C}^2, имеет форму p {q} r или диаграмму Кокстера CDel pnode 1.pngCDel 3.png CDel q.pngCDel 3.png CDel rnode.png. Группа симметрии правильного сложного многоугольника CDel pnode.pngCDel 3.png CDel q.pngCDel 3.png CDel rnode.pngназывается не группой Кокстера, а вместо этого группой Шепарда, типом комплексной группы отражений. Порядок p [q] r равен 8 / q ⋅ (1 / p + 2 / q + 1 / r - 1) - 2 {\ displaystyle 8 / q \ cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r-1) ^ {- 2}}{\displaystyle 8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}.

Шепардские группы ранга 2: 2 [q] 2, p[4] 2, 3[3] 3, 3[6] 2, 3[4] 3, 4[3] 4, 3[8] 2, 4[6] 2, 4[4] 3, 3[5] 3, 5[3] 5, 3[10] 2, 5[6] 2 и 5 [4] 3 или CDel node.pngCDel q.pngCDel node.png, CDel pnode.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel 3node.pngCDel 3.png CDel 3node.png, CDel 3node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel 3node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png, CDel 4node.pngCDel 3.png CDel 4node.png, CDel 3node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel 4node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel 4node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png, CDel 3node.pngCDel 5.pngCDel 3node.png, CDel 5node.pngCDel 3.png CDel 5node.png, CDel 3node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel 5node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel 5node.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngпорядка 2q, 2p, 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 и 1800 соответственно.

Группа симметрии p1[q] p2представлена ​​двумя образующими R 1, R 2, где: R 1 = R 2 = I. Если q четно, (R 2R1) = (R 1R2).Если q нечетное, (R 2R1)R2= (R 1R2)R1. Если q нечетное, p 1=p2.

C 3 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}\mathbb {C} ^{3}группа CDel node.pngCDel psplit1.pngCDel branch.pngили [1 1 1] определяется 3 унитарными отражениями периода 2 {R 1, R 2, R 3 }: R 1 = R 1 = R 3 = (R 1R2) = (R 2R3) = (R 3R1) = (R 1R2R3R1) = 1. Период p можно рассматривать как двойное вращение в реальном R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}\mathbb {R} ^{4}.

аналогичное C 3{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}\mathbb {C} ^{3}группа CDel node.pngCDel antipsplit1. pngCDel branch.pngили [1 1 1] определяется унитарными отражениями с периодом 3 {R 1, R 2, R 3 }: R 1 = R 1 = R 3 = (R 1R2) = (R 2R3) = (R 3R1) = (R 1R2R3R2) = 1.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

  • Джеймс Э. Хамфрис, Группы отражений и группы Кокстера, Кембриджские исследования по высшей математике, 29 (1990)
  • Калейдоскопы: Избранные труды HSM Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка,Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивика Вайсс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471- 01003-6 [8], Googlebooks [9]
    • (Paper 17) Коксетер, Эволюция диаграмм Кокстера-Дынкина, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
  • Коксетер, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919 -1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
  • Коксетер, Регулярные многогранники (1963), Компания Macmillan
    • Регулярные многогранники, Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп и Раздел 11.3 Представление в виде графиков)
  • HSM Кокстер и У. О. Дж. Мозер. Генераторы и соотношения для дискретных групп 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980
  • Норман Джонсон, Геометрии и преобразования, главы 11,12,13, препринт 2011
  • Н. У. Джонсон, Р. Келлерхальс, Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера, Группы преобразований 1999, том 4, выпуск 4, стр. 329–353 [10][11]
  • Норман У. Джонсон и Асия Ивич Вайс Квадратичные целые числа и группы Кокстера PDF Кан. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336

Внешние ссылки

На Wikimedia Commons есть материалы, связанные с диаграммами Кокстера-Дынкина.
Последняя правка сделана 2021-05-16 07:25:30
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте