Группа Лоренца

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ()${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,)${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2,)${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n) Специальная линейная SL ( n) Ортогональный O ( n) Евклидова E ( n) Специальный ортогональный SO ( n) Унитарный U ( n) Специальная унитарная СУ ( п) Симплектический Sp ( n) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

Хендрик Антун Лоренц (1853–1928), в честь которого названа группа Лоренца.

В физике и математике, то группа Лоренца является группа всех преобразований Лоренца в пространстве - времени Минковского, в классической и квантовой настройки для всех (негравитационной) физических явлений. Группа Лоренца названа в честь голландского физика Хендрика Лоренца.

Например, следующие законы, уравнения и теории соблюдают симметрию Лоренца:

• В кинематических законах о специальной теории относительности
• Полевые уравнения Максвелла в теории электромагнетизма
• Уравнение Дирака в теории электрона.
• Стандартная модель физики элементарных частиц

Группа Лоренца выражает фундаментальную симметрию пространства и времени всех известных фундаментальных законов природы. В физике общей теории относительности в случаях, когда речь идет о достаточно малых областях пространства-времени, где гравитационная дисперсия незначительна, физические законы лоренц-инвариантны так же, как законы специальной физики относительности.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Основные свойства
  • 1.1 Подключаемые компоненты
• 2 Ограниченная группа Лоренца
  • 2.1 Поверхности транзитивности
• 3 Гомоморфизмы и изоморфизмы
  • 3.1 Представление Вейля
  • 3.2 Условные обозначения
    • 3.2.1 Доказательство
  • 3.3 Симплектическая группа
• 4 группы покрытия
• 5 Топология
• 6 Генераторы ускорений и вращений
• 7 классов сопряженности
  • 7.1 Эллиптический
  • 7.2 Гиперболический
  • 7.3 Локсодромия
  • 7.4 Параболический
  • 7.5 Внешний вид ночного неба
• 8 алгебра Ли
  • 8.1 Генераторы группы Мебиуса
• 9 Подгруппы группы Лоренца
• 10 Обобщение на более высокие измерения
• 11 См. Также
• 12 Примечания
• 13 Ссылки
• 14 Список для чтения

Основные свойства

Группа Лоренца является подгруппой из группы Пуанкаре -группа всех изометрии в пространстве - времени Минковского. Преобразования Лоренца - это в точности изометрии, при которых начало координат остается неизменным. Таким образом, группа Лоренца является подгруппой изотропии группы изометрий пространства-времени Минковского. По этой причине группу Лоренца иногда называют однородной группой Лоренца, а группу Пуанкаре иногда называют неоднородной группой Лоренца. Преобразования Лоренца являются примерами линейных преобразований ; общие изометрии пространства-времени Минковского являются аффинными преобразованиями. Математически группу Лоренца можно описать как индефинитную ортогональную группу O (1,3), матричную группу Ли, сохраняющую квадратичную форму

${\ displaystyle (t, x, y, z) \ mapsto t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}$

на R ⁴. Эта квадратичная форма, когда помещена в матричную форму (см. Классическую ортогональную группу ), интерпретируется в физике как метрический тензор пространства-времени Минковского.

Группа Лоренца представляет собой шести- мерная некомпактная неабелево группа Ли, которая не подключена. Четыре связанных компонента не просто связаны. Компонент идентичности (т. Е. Компонент, содержащий элемент идентичности) группы Лоренца сам по себе является группой и часто называется ограниченной группой Лоренца и обозначается SO ⁺ (1,3). Ограниченная группа Лоренца состоит из тех преобразований Лоренца, которые сохраняют ориентацию пространства и направление времени. Его фундаментальная группа имеет порядок 2, а ее универсальное покрытие, индефинитная спиновая группа Spin (1,3), изоморфна как специальной линейной группе SL (2, C), так и симплектической группе Sp (2, C). Эти изоморфизмы позволяют группе Лоренца воздействовать на большое количество математических структур, важных для физики, в первую очередь на спиноры. Таким образом, в релятивистской квантовой механике и в квантовой теории поля очень часто SL (2, C) называют группой Лоренца, при том понимании, что SO ⁺ (1,3) является ее конкретным представлением (векторным представлением).. В бикватернионах, популярных в геометрической алгебре, также изоморфны SL (2, C).

Ограниченная группа Лоренца возникает также как точечная группа симметрии некоторого обыкновенного дифференциального уравнения.

Подключенные компоненты

Световой конус в двухмерном пространстве плюс измерение времени.

Поскольку это группа Ли, группа Лоренца O (1,3) одновременно является группой и допускает топологическое описание как гладкое многообразие. Как многообразие, оно состоит из четырех связанных компонентов. Интуитивно это означает, что он состоит из четырех топологически разделенных частей.

Четыре связанных компонента можно классифицировать по двум свойствам преобразования, которыми обладают их элементы:

• Некоторые элементы меняются местами при преобразованиях Лоренца, инвертирующих время, например, времяподобный вектор, указывающий в будущее, будет инвертирован в вектор, указывающий в прошлое.
• Некоторые элементы имеют обратную ориентацию из-за неправильных преобразований Лоренца, например, определенные вирбейны (тетрады)

Преобразования Лоренца, сохраняющие направление времени, называются ортохронный. Подгруппу ортохронных преобразований часто обозначают O⁺(1,3). Те, которые сохраняют ориентацию, называютсясобственными, и как линейные преобразования они имеют определитель +1. (Несобственные преобразования Лоренца имеют определитель −1.) Подгруппа собственных преобразований Лоренца обозначается SO (1,3).

Подгруппа всех преобразований Лоренца, сохраняющих как ориентацию, так и направление времени, называется собственной ортохронной группой Лоренца или ограниченной группой Лоренца и обозначается SO ⁺ (1, 3). (Обратите внимание, что некоторые авторы ссылаются на SO (1,3) или даже O (1,3), когда на самом деле имеют в виду SO ⁺ (1, 3).)

Множеству четырех компонент связности можно придать групповую структуру как фактор-группу O (1,3) / SO ⁺ (1,3), которая изоморфна четырехгруппе Клейна. Каждый элемент в O (1,3) может быть записан как полупрямое произведение собственного ортохронного преобразования и элемента дискретной группы

{1, П, Т, ПТ }

где P и T - операторы четности и обращения времени :

P = diag (1, −1, −1, −1)

Т = диаг (-1, 1, 1, 1).

Таким образом, произвольное преобразование Лоренца может быть определено как правильное ортохронное преобразование Лоренца вместе с двумя дополнительными битами информации, которые выбирают один из четырех связанных компонентов. Этот паттерн типичен для конечномерных групп Ли.

Ограниченная группа Лоренца

Ограниченная группа Лоренца является компонентом единицы группы Лоренца, что означает, что она состоит из всех преобразований Лоренца, которые могут быть связаны с единицей непрерывной кривой, лежащей в группе. Ограниченная группа Лоренца - это связная нормальная подгруппа полной группы Лоренца с той же размерностью, в данном случае с размерностью шесть.

Ограниченная группа Лоренца генерируется обычными пространственными поворотами и бустами Лоренца (которые представляют собой вращения в гиперболическом пространстве, которое включает в себя направление, подобное времени). Поскольку каждое собственное ортохронное преобразование Лоренца может быть записано как произведение вращения (заданного тремя действительными параметрами ) и повышения (также заданного тремя действительными параметрами), требуется 6 реальных параметров, чтобы указать произвольное правильное ортохронное преобразование Лоренца. Это один из способов понять, почему ограниченная группа Лоренца шестимерна. (См. Также алгебру Ли группы Лоренца.)

Множество всех вращений образует подгруппу Ли, изоморфную обычной группе вращений SO (3). Однако набор всех повышений не образует подгруппу, поскольку составление двух повышений, как правило, не приводит к другому усилению. (Скорее, пара неколлинеарных повышений эквивалентна усилению и вращению, и это относится к вращению Томаса. ) Повышение в некотором направлении или вращение вокруг некоторой оси генерирует однопараметрическую подгруппу.

Поверхности транзитивности

Гиперболоид одного листа Общая коническая поверхность Гиперболоид из двух листов

Если группа G действует в пространстве V, то поверхность S ⊂ V является поверхностью транзитивности, если S инвариантна относительно G, т. Е. ∀ g ∈ G, ∀ s ∈ S: gs ∈ S, и для любых двух точек s 1, s 2 ∈ S существует g ∈ G такой, что gs 1 = s 2. По определению группы Лоренца она сохраняет квадратичную форму

${\ displaystyle Q (x) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}.}$

Поверхности транзитивности ортохронной группы Лоренца O ⁺ (1, 3), Q ( x) = const. пространства-времени следующие:

• Q ( x)gt; 0, x 0 gt; 0 - верхняя ветвь гиперболоида из двух листов. Точки на этом листе отделены от начала координат будущим временным вектором.
• Q ( x)gt; 0, x 0 lt;0 - нижняя ветвь этого гиперболоида. Точки на этом листе являютсявекторами, подобными прошлому времени.
• Q ( x) = 0, x 0 gt; 0 - верхняя ветвь светового конуса, световой конус будущего.
• Q ( x) = 0, x 0 lt;0 - нижняя ветвь светового конуса, световой конус прошлого.
• Q ( x) lt;0 - гиперболоид одного листа. Точки на этом листеотделены от начала координат пробелом.
• Начало координат x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = 0.

Эти поверхности являются 3- мерными, поэтому изображения не точны, но они точны для соответствующих фактов о O ⁺ (1, 2). Для полной группы Лоренца поверхностей транзитивности всего четыре, поскольку преобразование T переводит верхнюю ветвь гиперболоида (конуса) в нижнюю и наоборот.

Эти наблюдения составляют хорошую отправную точку для поиска всех бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца, фактически группы Пуанкаре, с использованием метода индуцированных представлений. Начинают со «стандартного вектора», по одному для каждой поверхности транзитивности, а затем спрашивают, какая подгруппа сохраняет эти векторы. Эти подгруппы физики называют малыми группами. Тогда проблема сводится к более простой задаче поиска представлений малых групп. Например, стандартный вектор в одной из гипербол двух листов может быть подходящим образом выбран как ( m, 0, 0, 0). Для каждого m ≠ 0 вектор пробивает ровно один лист. В этом случае маленькая группа - это SO (3), группа вращений, все представления которой известны. Точное бесконечномерное унитарное представление, в соответствии с которым трансформируется частица, является частью ее классификации. Не все представления могут соответствовать физическим частицам (насколько известно). Стандартные векторы на однополостных гиперболах соответствовали бы тахионам. Частицы на световом конусе - это фотоны, а точнее - гравитоны. «Частица», соответствующая началу координат, - это вакуум.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ()${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,)${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2,)${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n) Специальная линейная SL ( n) Ортогональный O ( n) Евклидова E ( n) Специальный ортогональный SO ( n) Унитарный U ( n) Специальная унитарная СУ ( п) Симплектический Sp ( n) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

Смотрите также: Алгебра физического пространства

Некоторые другие группы либо гомоморфны, либо изоморфны ограниченной группе Лоренца SO ⁺ (1, 3). Эти гомоморфизмы играют ключевую роль в объяснении различных явлений в физике.

• Специальная линейная группа SL (2, С) представляет собой двойное покрытие из ограниченной группы Лоренца. Эта зависимость широко используются для выражения Лоренца инвариантности этого уравнения Дирака и ковариации спиноров.
• Симплектическая группа Sp (2, С) изоморфна SL (2, С); он используется для построения спиноров Вейля, а также для объяснения того, как спиноры могут иметь массу.
• Спина группа Spin (1,3) изоморфна SL (2, С); он используется для объяснения спина и спиноров в терминах алгебры Клиффорда, тем самым проясняя, как обобщить группу Лоренца на общие параметры римановой геометрии, включая теории супергравитации и теорию струн.
• Ограниченная группа Лоренца изоморфна к проективной специальной линейной группы PSL (2, С), который, в свою очередь, изоморфна группе Мёбиуса, в группе симметрии в конформной геометрии на сфере Римана. Это отношение является центральным для классификации подгрупп группы Лоренца в соответствии с более ранней схемой классификации, разработанной для группы Мёбиуса.

Представление Вейля

Представление Вейля или спинорное отображение - это пара сюръективных гомоморфизмов из SL (2, C) в SO ⁺ (1,3). При преобразованиях четности они образуют согласованную пару, соответствующую левым и правым киральным спинорам.

Можно определить действие SL (2, C) на пространство-время Минковского, записав точку пространства-времени в виде эрмитовой матрицы два на два в виде

${\ displaystyle {\ overline {X}} = {\ begin {bmatrix} ct + z amp; x-iy \\ x + iy amp; ct-z \ end {bmatrix}} = ct1 \! \! 1 + x \ sigma _ {x} + y \ sigma _ {y} + z \ sigma _ {z} = ct1 \! \! 1 + {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}}$

в терминах матриц Паули. Это представление, представление Вейля, удовлетворяет

${\ displaystyle \ det \, {\ overline {X}} = (ct) ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Таким образом, мы идентифицировали пространство эрмитовых матриц (которое является четырехмерным, как реальное векторное пространство) с пространством-временем Минковского таким образом, что определитель эрмитовой матрицы является квадратом длины соответствующего вектора в пространстве-времени Минковского. Элемент действует на пространстве эрмитовых матриц посредством ${\ Displaystyle S \ in SL (2, \ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle {\ overline {X}} \ mapsto S {\ overline {X}} S ^ {\ dagger} ~,}$

где это эрмитова транспонированная из. Это действие сохраняет определитель, и поэтому SL (2, C) действует в пространстве-времени Минковского посредством (линейных) изометрий. Приведенная выше форма с инвертированной четностью: ${\ Displaystyle S ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle X = ct1 \! \! 1 - {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}}$

который преобразуется как

${\ Displaystyle X \ mapsto (S ^ {- 1}) ^ {\ dagger} XS ^ {- 1}}$

То, что это правильное преобразование, следует из того, что

${\ displaystyle {\ overline {X}} X = (c ^ {2} t ^ {2} - {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {x}}) 1 \! \! 1 = (c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}) 1 \! \! 1}$

остается инвариантным относительно указанной пары преобразований.

Эти карты сюръективны и ядро либо карта является два элемента подгруппы ± I. По первой теореме об изоморфизме фактор-группа PSL (2, C) = SL (2, C) / {± I } изоморфна SO ⁺ (1,3).

Карта четности меняет местами эти два покрытия. Это соответствует эрмитовому сопряжению, являющемуся автоморфизмом этих двух различных покрытий, соответствующих двум различным киральным действиям группы Лоренца на спинорах. Неперекрытая форма соответствует правым спинорам, преобразующимся как${\ displaystyle SL (2, \ mathbb {C}).}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {R} \ mapsto S \ psi _ {R} ~,}$${\ displaystyle \ psi _ {L} \ mapsto (S ^ {\ dagger}) ^ {- 1} \ psi _ {L} ~.}$

Важно отметить, что эта пара покрытий не выдерживает квантования; при квантовании это приводит к своеобразному явлению киральной аномалии. Классические ( т.е. неквантованные) симметрии группы Лоренца нарушаются квантованием; это содержание теоремы Атьи – Зингера об индексе.

Условные обозначения

В физике принято обозначать преобразование Лоренца как, таким образом, показывать матрицу с пространственно-временными индексами. Четыре вектора могут быть созданы из матриц Паули двумя разными способами: как и как Две формы связаны преобразованием четности. Обратите внимание, что${\ Displaystyle \ Lambda \ в SO ^ {+} (1,3)}$${\ Displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} ~,}$${\ displaystyle \ mu, \ nu = 0,1,2,3.}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} = (Я, {\ vec {\ sigma}})}$${\ displaystyle {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} = (I, - {\ vec {\ sigma}}) ~.}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} = \ sigma ^ {\ mu} ~.}$

Учитывая преобразование Лоренца, двойное покрытие ортохронной группы Лоренца, данное выше, может быть записано как ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ mapsto x ^ {\ prime \ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu} ~,}$${\ Displaystyle S \ in SL (2, \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle x ^ {\ prime \ mu} {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} = {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu} = Sx ^ {\ nu} {\ overline {\ sigma}} _ {\ nu} S ^ {\ dagger}}$

Удаление этого примет форму ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = S {\ overline {\ sigma}} _ {\ nu} S ^ {\ dagger }}$

Сопряженная по четности форма

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = (S ^ {- 1}) ^ {\ dagger} \ sigma _ {\ nu} S ^ {- 1 }}$

Доказательство

То, что приведенное выше является правильной формой для индексированной нотации, не сразу очевидно, отчасти потому, что при работе в индексированной нотации довольно легко случайно спутать преобразование Лоренца с его обратным или транспонированным. Эта путаница возникает из-за того, что идентификационные данные трудно распознать при написании в индексированной форме. Преобразования Лоренца не являются тензорами относительно преобразований Лоренца! Таким образом, прямое доказательство этого тождества полезно для установления его правильности. Это можно продемонстрировать, начав с тождества ${\ displaystyle \ eta \ Lambda ^ {T} \ eta = \ Lambda ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle \ omega \ sigma ^ {k} \ omega ^ {- 1} = - (\ sigma ^ {k}) ^ {T} = - (\ sigma ^ {k}) ^ {*}}$

где так, что приведенные выше - это просто обычные матрицы Паули, и - матрица, транспонированная, и - комплексное сопряжение. Матрица является ${\ displaystyle k = 1,2,3}$${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {T}}$${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {*}}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega = я \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 \\ - 1 amp; 0 \ end {bmatrix}}}$

Отношения, записанные как четырехвекторные, имеют вид

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mu} ^ {T} = \ sigma _ {\ mu} ^ {*} = \ omega {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} \ omega ^ {- 1}}$

Это преобразуется как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {\ mu} ^ {T} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} amp; = \ omega {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu } \ omega ^ {- 1} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} \\ amp; = \ omega S \; {\ overline {\ sigma}} _ {\ nu} \, S ^ {\ кинжал} \ omega ^ {- 1} \\ amp; = (\ omega S \ omega ^ {- 1}) \, (\ omega {\ overline {\ sigma}} _ {\ nu} \ omega ^ {- 1}) \, (\ omega S ^ {\ dagger} \ omega ^ {- 1}) \\ amp; = (S ^ {- 1}) ^ {T} \, \ sigma _ {\ nu} ^ {T} \, (S ^ {- 1}) ^ {*} \ end {align}}}$

Сделав еще одну транспонировку, мы получим

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = (S ^ {- 1}) ^ {\ dagger} \ sigma _ {\ nu} S ^ {- 1 }}$

Симплектическая группа

Симплектическая группа Sp (2, С) изоморфна SL (2, C). Этот изоморфизм строится таким образом, чтобы сохранить симплектическую билинейную форму на том, что есть, чтобы оставить форму инвариантна относительно преобразований Лоренца. Это можно сформулировать следующим образом. Симплектическая группа определяется как ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2},}$

${\ Displaystyle Sp (2, \ mathbb {C}) = \ {S \ in GL (2, \ mathbb {C}): S ^ {T} \ omega S = \ omega \}}$

куда

${\ displaystyle \ omega = я \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 \\ - 1 amp; 0 \ end {bmatrix}}}$

Другие общие обозначения для этого элемента; иногда используется, но это вызывает путаницу с идеей почти сложных структур, которые не одинаковы, поскольку они по-разному трансформируются. ${\ displaystyle \ omega = \ epsilon}$${\ displaystyle J}$

Дана пара спиноров Вейля (двухкомпонентные спиноры)

${\ displaystyle u = {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {bmatrix}} ~, \ quad v = {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \ конец {bmatrix}}}$

инвариантная билинейная форма условно записывается как

${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = - \ langle v, u \ rangle = u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} = u ^ {T} \ omega v}$

Эта форма инвариантна относительно группы Лоренца, так что для одного ${\ Displaystyle S \ in SL (2, \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle \ langle Su, Sv \ rangle = \ langle u, v \ rangle}$

Это определяет своего рода «скалярное произведение» спиноров и обычно используется для определения лоренц-инвариантного массового члена в лагранжианах. Следует выделить несколько примечательных свойств, важных для физики. Один из них и так${\ displaystyle \ omega ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle \ omega ^ {- 1} = \ omega ^ {T} = \ omega ^ {\ dagger} = - \ omega}$

Определяющее соотношение можно записать как

${\ displaystyle \ omega S ^ {T} \ omega ^ {- 1} = S ^ {- 1}}$

что очень похоже на определяющее соотношение для группы Лоренца

${\ displaystyle \ eta \ Lambda ^ {T} \ eta ^ {- 1} = \ Lambda ^ {- 1}}$

где - метрический тензор для пространства Минковского и, конечно же, как и раньше. ${\ displaystyle \ eta = \ mathrm {diag} (+ 1, -1, -1, -1)}$ ${\ Displaystyle \ Lambda \ в SO (1,3)}$

Покрывающие группы

Поскольку SL (2, C) односвязен, это универсальная накрывающая группа ограниченной группы Лоренца SO ⁺ (1, 3). По ограничению существует гомоморфизм SU (2) → SO (3). Здесь специальная унитарная группа SU (2), которая изоморфна группе кватернионов единичной нормы, также односвязна, поэтому она является покрывающей группой группы вращений SO (3). Каждая из этих накрывающих карт является двукратным накрытием в том смысле, что ровно два элемента накрывающей группы отображаются в каждый элемент фактора. Часто говорят, что ограниченная группа Лоренца и группа вращений двусвязны. Это означает, что фундаментальная группа каждой группы изоморфна двухэлементной циклической группе Z 2.

Двукратные накрытия характерны для спиновых групп. Ведь помимо двойных покрытий

Спин ⁺ (1, 3) = SL (2, C) → SO ⁺ (1, 3)

Спин (3) = SU (2) → SO (3)

у нас есть двойные покрытия

Штифт (1, 3) → O (1, 3)

Спин (1, 3) → SO (1, 3)

Спин ⁺ (1, 2) = SU (1, 1) → SO (1, 2)

Эти спинорные двойные накрытия построены из алгебр Клиффорда.

Топология

Левая и правая группы в двойном накрытии

СУ (2) → СО (3)

являются деформационные втягивается из левых и правых групп, соответственно, в двойном покрытии

SL (2, C) → SO ⁺ (1,3).

Но однородное пространство SO ⁺ (1,3) / SO (3) гомеоморфно к гиперболической 3-пространстве H ³, таким образом, мы показали ограниченную группу Лоренца в качестве основного пучка волокон с волокнами SO (3) и основание H ³. Поскольку последняя гомеоморфна R ³, а SO (3) гомеоморфна трехмерному вещественному проективному пространству R P ³, мы видим, что ограниченная группа Лоренца локально гомеоморфна произведению R P ³ на R ³. Поскольку базовое пространство стягиваемо, его можно расширить до глобального гомеоморфизма.

Генераторы ускорений и поворотов

Группа Лоренца можно рассматривать как подгруппу группы диффеоморфизмов из R ⁴ и, следовательно, ее алгебра Ли может быть идентифицирована с векторными полями на R ⁴. В частности, векторы, которые порождают изометрии в пространстве, являются его векторами Киллинга, что обеспечивает удобную альтернативу левоинвариантному векторному полю для вычисления алгебры Ли. Мы можем записать набор из шести генераторов:

• Векторные поля на R ^4, порождающие три поворота i J,

  ${\ Displaystyle -y \ partial _ {x} + x \ partial _ {y} \ Equiv iJ_ {z} ~, \ qquad -z \ partial _ {y} + y \ partial _ {z} \ Equiv iJ_ {x } ~, \ qquad -x \ partial _ {z} + z \ partial _ {x} \ Equiv iJ_ {y} ~;}$

• Векторные поля на R ^4, генерирующие три повышения i K,

  ${\ Displaystyle х \ частичный _ {т} + т \ частичный _ {х} \ эквив iK_ {х} ~, \ qquad у \ частичный _ {т} + т \ частичный _ {у} \ ​​эквив iK_ {у} ~, \ qquad z \ partial _ {t} + t \ partial _ {z} \ Equiv iK_ {z}.}$

(TODO: где...) ${\ displaystyle i}$

Здесь может быть полезно вкратце напомнить, как получить однопараметрическую группу из векторного поля, записанного в форме линейного дифференциального оператора первого порядка в частных производных, такого как

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - y \ partial _ {x} + x \ partial _ {y}.}$

Соответствующая начальная задача (рассмотрим функцию от скаляра и решим с некоторыми начальными условиями) имеет вид ${\ Displaystyle г = (х, у)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} r = {\ mathcal {L}} r}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial x} {\ partial \ lambda}} = - y, \; {\ frac {\ partial y} {\ partial \ lambda}} = x, \; x (0) = x_ {0}, \; y (0) = y_ {0}.}$

Решение можно записать

${\ displaystyle x (\ lambda) = x_ {0} \ cos (\ lambda) -y_ {0} \ sin (\ lambda), \; y (\ lambda) = x_ {0} \ sin (\ lambda) + у_ {0} \ cos (\ lambda)}$

или

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; \ cos (\ lambda) amp; - \ sin (\ lambda) amp; 0 \\ 0 amp; \ sin (\ lambda) amp; \ cos (\ lambda) amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t_ {0} \\ x_ {0} \\ y_ {0} \ \ z_ {0} \ end {bmatrix}}}$

где мы легко узнаем однопараметрическую матричную группу поворотов exp ( i λ J z) вокруг оси z.

Дифференцируя по параметру группы λ и полагая в этом результате λ = 0, мы восстанавливаем стандартную матрицу,

${\ displaystyle iJ_ {z} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} ~,}$

что соответствует векторному полю, с которого мы начали. Это иллюстрирует, как переходить между матричным и векторным полевым представлением элементов алгебры Ли. Экспоненциальное отображение играет эту особую роль не только для группы Лоренца, но и для групп Ли в целом.

Обращаясь к процедуре из предыдущего раздела, мы видим, что преобразования Мёбиуса, которые соответствуют нашим шести генераторам, возникают из возведения в степень соответственно η / 2 (для трех повышений) или iθ / 2 (для трех поворотов), умноженных на три матрицы Паули.

${\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 \\ 1 amp; 0 \ end {bmatrix}}, \; \; \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; -i \\ i amp; 0 \ end {bmatrix}}, \; \; \ sigma _ {3} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; -1 \ end {bmatrix}}.}$

Классы сопряженности

Поскольку ограниченная группа Лоренца SO ⁺ (1, 3) изоморфна группе Мёбиуса PSL (2, C), ее классы сопряженности также делятся на пять классов:

• Эллиптические преобразования
• Гиперболические преобразования
• Локсодромные превращения
• Параболические преобразования
• Тривиальное тождественное преобразование

В статье о преобразованиях Мёбиуса объясняется, как возникает эта классификация, путем рассмотрения неподвижных точек преобразований Мёбиуса в их действии на сфере Римана, что соответствует здесь нулевым собственным подпространствам ограниченных преобразований Лоренца в их действии на пространство-время Минковского.

Пример каждого типа приведен в подразделах ниже вместе с влиянием создаваемой им однопараметрической подгруппы (например, на внешний вид ночного неба).

Преобразования Мёбиуса - это конформные преобразования сферы Римана (или небесной сферы). Затем сопряжение с произвольным элементом SL (2, C) дает следующие примеры произвольных эллиптических, гиперболических, локсодромических и параболических (ограниченных) преобразований Лоренца соответственно. Воздействие на линии потока соответствующих однопараметрических подгрупп состоит в том, чтобы преобразовать образец, наблюдаемый в примерах, посредством некоторого конформного преобразования. Например, эллиптическое преобразование Лоренца может иметь любые две различные фиксированные точки на небесной сфере, но точки по-прежнему текут по дугам окружности от одной фиксированной точки к другой. Остальные случаи аналогичны.

Эллиптический

Эллиптическим элементом SL (2, C) является

${\ displaystyle P_ {1} = {\ begin {bmatrix} \ exp \ left ({\ frac {i} {2}} \ theta \ right) amp; 0 \\ 0 amp; \ exp \ left (- {\ frac {i} {2}} \ theta \ right) \ end {bmatrix}}}$

и имеет неподвижные точки ξ = 0, ∞. Записывая действие как X ↦ P 1 X P 1 ^† и собирая члены, спинорное отображение преобразует его в (ограниченное) преобразование Лоренца

${\ Displaystyle Q_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; \ cos (\ theta) amp; - \ sin (\ theta) amp; 0 \\ 0 amp; \ sin (\ theta) amp; \ cos (\ theta) amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} = \ exp \ left (\ theta {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} \ right) ~.}$

Это преобразование затем представляет собой поворот вокруг оси z, exp ( iθJ z). Однопараметрическая подгруппа, которую он генерирует, получается путем принятия θ в качестве действительной переменной, угла поворота, а не константы.

Соответствующие непрерывные преобразования небесной сферы (за исключением тождества) все имеют одни и те же две фиксированные точки, Северный и Южный полюса. Преобразования перемещают все другие точки по кругам широты, так что эта группа дает непрерывное вращение против часовой стрелки вокруг оси z при увеличении θ. Углом удвоения проявляется в карте спинорном является характерной особенностью спинорных двойных покрытий.

Гиперболический

Гиперболическим элементом SL (2, C) является

${\ Displaystyle P_ {2} = {\ begin {bmatrix} \ exp \ left ({\ frac {\ eta} {2}} \ right) amp; 0 \\ 0 amp; \ exp \ left (- {\ frac {\ eta} {2}} \ right) \ end {bmatrix}}}$

и имеет неподвижные точки ξ = 0, ∞. При стереографической проекции из сферы Римана на евклидову плоскость эффект этого преобразования Мёбиуса представляет собой расширение от начала координат.

Отображение спинора преобразует это в преобразование Лоренца

${\ Displaystyle Q_ {2} = {\ begin {bmatrix} \ cosh (\ eta) amp; 0 amp; 0 amp; \ sinh (\ eta) \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\\ sinh (\ eta) amp; 0 amp; 0 amp; \ cosh (\ eta) \ end {bmatrix}} = \ exp \ left (\ eta {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} \ right) ~.}$

Это преобразование представляет собой усиление по оси z с быстротой η. Однопараметрическая подгруппа, которую он порождает, получается путем принятия η в качестве действительной переменной, а не константы. Соответствующие непрерывные преобразования небесной сферы (за исключением тождества) все имеют одни и те же фиксированные точки (Северный и Южный полюса), и они перемещают все другие точки по долготе от Южного полюса к Северному полюсу.

Локсодромный

Локсодромным элементом SL (2, C) является

${\ Displaystyle P_ {3} = P_ {2} P_ {1} = P_ {1} P_ {2} = {\ begin {bmatrix} \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} (\ eta + i \ theta) \ right) amp; 0 \\ 0 amp; \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} (\ eta + i \ theta) \ right) \ end {bmatrix}}}$

и имеет неподвижные точки ξ = 0, ∞. Отображение спинора преобразует это в преобразование Лоренца

${\ displaystyle Q_ {3} = Q_ {2} Q_ {1} = Q_ {1} Q_ {2}.}$

Порождаемая однопараметрическая подгруппа получается заменой η + iθ любым действительным кратным этой комплексной константы. (Если η, θ изменяются независимо, то получается двумерная абелева подгруппа, состоящая из одновременных вращений вокруг оси z и подъемов вдоль оси z ; напротив, обсуждаемая здесь одномерная подгруппа состоит из этих элементов этой двумерная подгруппа, в которой скорость разгона и угол поворота имеют фиксированное соотношение.)

Соответствующие непрерывные преобразования небесной сферы (за исключением тождества) имеют одни и те же две фиксированные точки (северный и южный полюса). Они перемещают все другие точки от Южного полюса к Северному полюсу (или наоборот) вдоль семейства кривых, называемых локсодромами. Каждая локсодрома бесконечно часто вращается по спирали вокруг каждого полюса.

Параболический

Параболический элемент SL (2, C) равен

${\ Displaystyle P_ {4} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; \ alpha \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}}}$

и имеет единственную неподвижную точку ξ = ∞ на сфере Римана. При стереографической проекции это выглядит как обычный перенос вдоль реальной оси.

Карта спинора преобразует это в матрицу (представляющую преобразование Лоренца)

${\ displaystyle {\ begin {align} Q_ {4} amp; = {\ begin {bmatrix} 1 + {\ frac {1} {2}} \ vert \ alpha \ vert ^ {2} amp; \ operatorname {Re} ( \ alpha) amp; \ operatorname {Im} (\ alpha) amp; - {\ frac {1} {2}} \ vert \ alpha \ vert ^ {2} \\\ operatorname {Re} (\ alpha) amp; 1 amp; 0 amp; - \ operatorname {Re} (\ alpha) \\ - \ operatorname {Im} (\ alpha) amp; 0 amp; 1 amp; \ operatorname {Im} (\ alpha) \\ {\ frac {1} {2}} \ vert \ alpha \ vert ^ {2 } amp; \ operatorname {Re} (\ alpha) amp; \ operatorname {Im} (\ alpha) amp; 1 - {\ frac {1} {2}} \ vert \ alpha \ vert ^ {2} \ end {bmatrix}} \ \ [6pt] amp; = \ exp {\ begin {bmatrix} 0 amp; \ operatorname {Re} (\ alpha) amp; \ operatorname {Im} (\ alpha) amp; 0 \\\ operatorname {Re} (\ alpha) amp; 0 amp; 0 amp; - \ operatorname {Re} (\ alpha) \\ - \ operatorname {Im} (\ alpha) amp; 0 amp; 0 amp; \ operatorname {Im} (\ alpha) \\ 0 amp; \ operatorname {Re} (\ alpha) amp; \ operatorname {Im} (\ alpha) amp; 0 \ end {bmatrix}} ~. \ End {align}}}$

Это порождает двухпараметрическую абелеву подгруппу, которая получается при рассмотрении α комплексной переменной, а не константы. Соответствующие непрерывные преобразования небесной сферы (за исключением тождественного преобразования) перемещают точки вдоль семейства окружностей, которые все касаются на северном полюсе к некоторой большой окружности. По этим кругам движутся все точки, кроме самого Северного полюса.

Параболические преобразования Лоренца часто называют нулевыми вращениями. Поскольку они, вероятно, наименее знакомы из четырех типов неединичных преобразований Лоренца (эллиптического, гиперболического, локсодромного, параболического), здесь показано, как определить влияние примера параболического преобразования Лоренца на пространство-время Минковского.

Приведенная выше матрица дает преобразование

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \ rightarrow {\ begin {bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} + \ operatorname {Re} (\ alpha) \; {\ begin {bmatrix} x \\ tz \\ 0 \\ x \ end {bmatrix}} + \ operatorname {Im} (\ alpha) \; {\ begin {bmatrix } y \\ 0 \\ zt \\ y \ end {bmatrix}} + {\ frac {\ vert \ alpha \ vert ^ {2}} {2}} \; {\ begin {bmatrix} tz \\ 0 \ \ 0 \\ tz \ end {bmatrix}}.}$

Теперь, без ограничения общности, выберем Im (α) = 0. Дифференцирование этого преобразования относительно теперь действительного группового параметра α и вычисление при α = 0 дает соответствующее векторное поле (линейный оператор в частных производных первого порядка),

${\ displaystyle x \, \ left (\ partial _ {t} + \ partial _ {z} \ right) + (tz) \, \ partial _ {x}.}$

Примените это к функции f (t, x, y, z) и потребуйте, чтобы она оставалась инвариантной, т. Е. Уничтожалась этим преобразованием. Решение полученного линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка можно выразить в виде

${\ Displaystyle е (т, х, у, z) = F \ влево (у, \, tz, \, t ^ {2} -x ^ {2} -z ^ {2} \ right),}$

где F - произвольная гладкая функция. Аргументы F дают три рациональных инварианта, описывающих, как точки (события) перемещаются при этом параболическом преобразовании, поскольку сами они не перемещаются,

${\ displaystyle y = c_ {1}, ~~~~ tz = c_ {2}, ~~~~ t ^ {2} -x ^ {2} -z ^ {2} = c_ {3}.}$

Выбор действительных значений для констант в правой части дает три условия и, таким образом, задает кривую в пространстве-времени Минковского. Эта кривая - орбита трансформации.

Форма рациональных инвариантов показывает, что эти выкидные линии (орбиты) имеют простое описание: без несущественной координаты y каждая орбита является пересечением нулевой плоскости, t = z + c 2, с гиперболоидом, t ² - x ^2. - z ² = c 3. В случае c 3 = 0 гиперболоид вырождается в световой конус, а его орбиты становятся параболами, лежащими в соответствующих нулевых плоскостях.

Конкретная нулевая линия, лежащая на световом конусе, остается инвариантной ; это соответствует единственной (двойной) неподвижной точке на сфере Римана, упомянутой выше. Остальные нулевые линии через начало координат «качаются по конусу» преобразованием. Следование за движением одной такой нулевой линии при увеличении α соответствует движению точки вдоль одной из круговых линий потока на небесной сфере, как описано выше.

Выбор Re (α) = 0 вместо этого дает аналогичные орбиты, но теперь роли x и y поменялись местами.

Параболические преобразования приводят к калибровочной симметрии безмассовых частиц (например, фотонов ) со спиральностью | ч | ≥ 1. В приведенном выше явном примере безмассовая частица, движущаяся в направлении z, поэтому с 4-импульсом P = ( p, 0, 0, p), вообще не подвергается воздействию комбинации x -boost и y- вращения. K x - J y определяется ниже, в «маленькой группе» его движения. Это очевидно из обсуждаемого явного закона преобразования: как и любой светоподобный вектор, сам P теперь инвариантен, т. Е. Все следы или эффекты α исчезли. c 1 = c 2 = c 3 = 0 в обсуждаемом частном случае. (Другой подобный генератор, K y + J x, а также он и J z вместе составляют небольшую группу светоподобного вектора, изоморфного E (2).)

Внешний вид ночного неба

Этот изоморфизм имеет следствие того, что преобразования Мёбиуса сферы Римана представляют способ, которым преобразования Лоренца изменяют внешний вид ночного неба, как это видит наблюдатель, который маневрирует с релятивистскими скоростями относительно «неподвижных звезд».

Предположим, что «неподвижные звезды» живут в пространстве-времени Минковского и моделируются точками на небесной сфере. Тогда данной точке на небесной сфере можно сопоставить ξ = u + iv, комплексное число, которое соответствует точке на сфере Римана, и можно отождествить с нулевым вектором ( светоподобным вектором ) в пространстве Минковского.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u ^ {2} + v ^ {2} +1 \\ 2u \\ - 2v \\ u ^ {2} + v ^ {2} -1 \ end {bmatrix}} }$

или, в представлении Вейля (спинорное отображение), эрмитова матрица

${\ displaystyle N = 2 {\ begin {bmatrix} u ^ {2} + v ^ {2} amp; u + iv \\ u-iv amp; 1 \ end {bmatrix}}.}$

Набор реальных скалярных кратных этого нулевого вектора, называемый нулевой линией, проходящей через начало координат, представляет собой линию взгляда наблюдателя в определенном месте и времени (произвольное событие, которое мы можем идентифицировать с источником пространства-времени Минковского) на различные удаленные точки. объекты, например звезды. Затем точки небесной сферы (то есть лучи зрения) отождествляются с некоторыми эрмитовыми матрицами.

Алгебра Ли

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

Как и в случае с любой группой Ли, полезный способ изучения многих аспектов группы Лоренца - это ее алгебра Ли. Поскольку группа Лоренца SO (1,3) является матричной группой Ли, ее алгебра Ли so (1,3) является алгеброй матриц, которую можно вычислить как

${\ displaystyle \ mathrm {so} (1,3) = \ left \ {4 \ times 4 \, \ mathrm {matrices} \, X \ mid e ^ {tX} \ in \ mathrm {SO} (1,3) \, \ mathrm {for} \, \ mathrm {all} \, t \ right \}}$.

Если - диагональная матрица с диагональными элементами, то алгебра Ли o (1,3) состоит из таких матриц, что ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle (1, -1, -1, -1)}$${\ displaystyle 4 \ times 4}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ eta X \ eta = -X ^ {T}}$.

В явном виде (1,3) состоит из матриц вида ${\ displaystyle 4 \ times 4}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 amp; a amp; b amp; c \\ a amp; 0 amp; d amp; e \\ b amp; -d amp; 0 amp; f \\ c amp; -e amp; -f amp; 0 \ end {pmatrix}}}$,

где - произвольные действительные числа. Эта алгебра Ли шестимерная. Подалгебра так (1,3), состоящая из элементов, в которых, и равен нуль изоморфна SO (3). ${\ displaystyle a, b, c, d, e, f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Обратите внимание, что полная группа Лоренца O (1,3), собственная группа Лоренца SO (1,3) и собственная ортохронная группа Лоренца имеют одну и ту же алгебру Ли, которая обычно обозначается so (1,3). ${\ Displaystyle \ mathrm {SO} ^ {+} (1,3)}$

Поскольку компонента единицы группы Лоренца изоморфна конечному фактору группы SL (2, C) (см. Раздел выше о связи группы Лоренца с группой Мёбиуса), алгебра Ли группы Лоренца изоморфна группе Лоренца. Алгебра Ли sl (2, C). Обратите внимание, что sl (2, C) является трехмерным, если рассматривать его как комплексную алгебру Ли, но шестимерным, если рассматривать его как действительную алгебру Ли.

Генераторы группы Мебиуса

Другой порождающий набор возникает через изоморфизм группе Мёбиуса. В следующей таблице перечислены шесть генераторов, в которых

• В первом столбце представлен генератор потока под действием Мёбиуса (после стереографической проекции из сферы Римана) как вещественное векторное поле на евклидовой плоскости.
• Во втором столбце указана соответствующая однопараметрическая подгруппа преобразований Мёбиуса.
• Третий столбец дает соответствующую однопараметрическую подгруппу преобразований Лоренца (изображение при нашем гомоморфизме предыдущей однопараметрической подгруппы).
• Четвертый столбец дает соответствующий генератор потока под действием Лоренца как вещественное векторное поле в пространстве-времени Минковского.

Обратите внимание, что генераторы состоят из

• Две параболики (нулевые вращения)
• Один гиперболический (усиление в направлении ∂ z)
• Три эллиптики (вращения вокруг осей x, y, z соответственно)

Векторное поле на R 2	Однопараметрическая подгруппа SL (2, C), представляющая преобразования Мёбиуса	Однопараметрическая подгруппа SO + (1,3), представляющая преобразования Лоренца	Векторное поле на R 4
Параболический
${\ displaystyle \ partial _ {u} \, \!}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; \ alpha \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 + {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} amp; \ alpha amp; 0 amp; - {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} \\ \ alpha amp; 1 amp; 0 amp; - \ alpha \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} amp; \ alpha amp; 0 amp; 1 - {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {выравнивается} X_ {1} = {} amp; x (\ partial _ {t} + \ partial _ {z}) + \\ amp; (tz) \ partial _ {x} \ end {выравнивается} }}$
${\ Displaystyle \ partial _ {v} \, \!}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; я \ alpha \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 + {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} amp; 0 amp; \ alpha amp; - {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\\ alpha amp; 0 amp; 1 amp; - \ alpha \\ {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} amp; 0 amp; \ alpha amp; 1 - {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {выравнивается} X_ {2} = {} amp; y (\ partial _ {t} + \ partial _ {z}) + \\ amp; (tz) \ partial _ {y} \ end {выравнивается} }}$
Гиперболический
${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (и \ partial _ {u} + v \ partial _ {v} \ right)}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ exp \ left ({\ frac {\ eta} {2}} \ right) amp; 0 \\ 0 amp; \ exp \ left (- {\ frac {\ eta} {2}} \ справа) \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cosh (\ eta) amp; 0 amp; 0 amp; \ sinh (\ eta) \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\\ sinh (\ eta) amp; 0 amp; 0 amp; \ cosh (\ eta) \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle X_ {3} = z \ partial _ {t} + t \ partial _ {z} \, \!}$
Эллиптический
${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (-v \ partial _ {u} + u \ partial _ {v} \ right)}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {2}} \ right) amp; 0 \\ 0 amp; \ exp \ left ({\ frac {-i \ theta} {2} } \ right) \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; \ cos (\ theta) amp; - \ sin (\ theta) amp; 0 \\ 0 amp; \ sin (\ theta) amp; \ cos (\ theta) amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle X_ {4} = - y \ partial _ {x} + x \ partial _ {y}}$
${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2} -u ^ {2} -1} {2}} \ partial _ {u} -uv \, \ partial _ {v}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) amp; - \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ \\ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) и \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; \ cos (\ theta) amp; 0 amp; \ sin (\ theta) \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; - \ sin (\ theta) amp; 0 amp; \ cos (\ theta) \ end {bmatrix }}}$	${\ Displaystyle X_ {5} = - х \ partial _ {z} + z \ partial _ {x}}$
${\ displaystyle uv \, \ partial _ {u} + {\ frac {1-u ^ {2} + v ^ {2}} {2}} \ partial _ {v}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) amp; i \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \\ я \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) и \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; \ cos (\ theta) amp; - \ sin (\ theta) \\ 0 amp; 0 amp; \ sin (\ theta) amp; \ cos (\ theta) \ end {bmatrix }}}$	${\ displaystyle X_ {6} = - z \ partial _ {y} + y \ partial _ {z}}$

Проверим одну строку в этой таблице. Начать с

${\ displaystyle \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; i \\ - i amp; 0 \ end {bmatrix}}.}$

Возвещать:

${\ displaystyle \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {2}} \, \ sigma _ {2} \ right) = {\ begin {bmatrix} \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) amp; - \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \\\ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) amp; \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ end {bmatrix}}.}$

Этот элемент SL (2, C) представляет собой однопараметрическую подгруппу (эллиптических) преобразований Мёбиуса:

${\ displaystyle \ xi \ mapsto \ xi '= {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \, \ xi - \ sin \ left ({\ frac {\ theta } {2}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \, \ xi + \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \Правильно)}}.}$

Следующий,

${\ displaystyle \ left. {\ frac {d \ xi '} {d \ theta}} \ right | _ {\ theta = 0} = - {\ frac {1+ \ xi ^ {2}} {2}}.}$

Соответствующее векторное поле на С (рассматривать как образ S ² при стереографической проекции) является

${\ displaystyle - {\ frac {1+ \ xi ^ {2}} {2}} \, \ partial _ {\ xi}.}$

При записи это становится векторным полем на R ²${\ displaystyle \ xi = u + iv}$

${\ displaystyle - {\ frac {1 + u ^ {2} -v ^ {2}} {2}} \, \ partial _ {u} -uv \, \ partial _ {v}.}$

Возвращаясь к нашему элементу SL (2, C), записывая действие и собирая термины, мы обнаруживаем, что изображение под спинорной картой является элементом SO ⁺ (1,3) ${\ Displaystyle X \ mapsto PXP ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; \ cos (\ theta) amp; 0 amp; \ sin (\ theta) \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; - \ sin (\ theta) amp; 0 amp; \ cos (\ theta) \ end {bmatrix }}.}$

Дифференцируя по θ при θ = 0, получаем соответствующее векторное поле на R ⁴,

${\ displaystyle z \ partial _ {x} -x \ partial _ {z}. \, \!}$

Очевидно, это генератор вращения против часовой стрелки вокруг оси y.

Подгруппы группы Лоренца

Подалгебры алгебры Ли группы Лоренца можно перечислить с точностью до сопряженности, из которой можно перечислить замкнутые подгруппы ограниченной группы Лоренца с точностью до сопряженности. (Подробности см. В книге Холла, цитируемой ниже.) Их легко выразить в терминах генераторов, приведенных в таблице выше. ${\ displaystyle X_ {n}}$

Одномерные подалгебры, конечно, соответствуют четырем классам сопряженности элементов группы Лоренца:

• ${\ Displaystyle X_ {1}}$ порождает однопараметрическую подалгебру параболик SO (0,1),
• ${\ displaystyle X_ {3}}$ генерирует однопараметрическую подалгебру бустов SO (1,1),
• ${\ displaystyle X_ {4}}$ генерирует однопараметрический поворот SO (2),
• ${\ displaystyle X_ {3} + aX_ {4}}$(для любого) порождает однопараметрическую подалгебру локсодромных преобразований.${\ Displaystyle а \ neq 0}$

(Строго говоря, последний соответствует бесконечному множеству классов, поскольку разные дают разные классы.) Двумерными подалгебрами являются: ${\ displaystyle a}$

• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}}$ порождают абелеву подалгебру, целиком состоящую из параболик,
• ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {3}}$порождают неабелеву подалгебру, изоморфную алгебре Ли аффинной группы Aff (1),
• ${\ displaystyle X_ {3}, X_ {4}}$ генерировать абелеву подалгебру, состоящую из бустов, поворотов и локсодромик, имеющих одну и ту же пару неподвижных точек.

Трехмерные подалгебры используют схему классификации Бьянки :

• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}}$порождают подалгебру Бианки V, изоморфную алгебре Ли в Hom (2), группе евклидовых гомотетий,
• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {4}}$порождают подалгебру Бианки VII_0, изоморфную алгебре Ли E (2), евклидовой группе,
• ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} + aX_ {4}}$, где, порождают подалгебру Бьянки VII_a,${\ Displaystyle а \ neq 0}$
• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {3}, X_ {5}}$порождают подалгебру Бианки VIII, изоморфную алгебре Ли SL (2, R), группу изометрий гиперболической плоскости,
• ${\ Displaystyle X_ {4}, X_ {5}, X_ {6}}$порождают подалгебру Бианки IX, изоморфную алгебре Ли группы вращений SO (3).

Эти типы Bianchi относятся к классификации трехмерных алгебр Ли итальянским математиком Луиджи Бьянки. Все четырехмерные подалгебры сопряжены с

• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}}$порождают подалгебру, изоморфную алгебре Ли Sim (2), группе евклидовых подобий.

Подалгебры образуют решетку (см. Рисунок), и каждая подалгебра порождает путем возведения в степень замкнутую подгруппу ограниченной группы Ли. Из них все подгруппы группы Лоренца могут быть построены с точностью до сопряжения путем умножения на один из элементов четырехгруппы Клейна.

Решетка подалгебр алгебры Ли SO (1,3) с точностью до сопряжения.

Как и любая связная группа Ли, смежные пространства замкнутых подгрупп ограниченной группы Лоренца или однородные пространства представляют значительный математический интерес. Несколько кратких описаний:

• Группа Sim (2) является стабилизатором нулевой прямой, т. Е. Точки на сфере Римана, поэтому однородное пространство SO ⁺ (1,3) / Sim (2) является клейновой геометрией, которая представляет конформную геометрию на сфере сфера S ².
• (Компонент тождества) евклидовой группы SE (2) является стабилизатором нулевого вектора, поэтому однородное пространство SO ⁺ (1,3) / SE (2) является импульсным пространством безмассовой частицы; геометрически эта клейновская геометрия представляет собой вырожденную геометрию светового конуса в пространстве-времени Минковского.
• Группа вращений SO (3) является стабилизатором времениподобного вектора, поэтому однородное пространство SO ⁺ (1,3) / SO (3) является импульсным пространством массивной частицы; геометрически это пространство есть не что иное, как трехмерное гиперболическое пространство H ³.

Обобщение на более высокие измерения

Основная статья: Неопределенная ортогональная группа

Концепция группы Лоренца имеет естественное обобщение на пространство-время любого числа измерений. Математически группа Лоренца n + 1-мерного пространства Минковского - это индефинитная ортогональная группа O ( n, 1) линейных преобразований R ^{n +1}, сохраняющая квадратичную форму

${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}) \ mapsto x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} -x_ {n + 1} ^ {2}.}$

Группа O (1, n) сохраняет квадратичную форму

${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}) \ mapsto x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} - \ cdots -x_ {n + 1} ^ {2}}$

Он изоморфен O ( n, 1), но пользуется большей популярностью в математической физике, прежде всего потому, что алгебра уравнения Дирака и, в более общем плане, спиноры и алгебры Клиффорда «более естественны» с этой сигнатурой.

Многие свойства группы Лоренца в четырех измерениях (где n = 3) прямо обобщаются на произвольные n. Например, группа Лоренца O ( n, 1) имеет четыре компонента связности и действует конформными преобразованиями на небесной ( n −1) -сфере в n + 1-мерном пространстве Минковского. Компонент тождества SO ⁺ ( n, 1) является SO ( n) -расслоением над гиперболическим n -пространством H ⁿ.

Низкоразмерные случаи n = 1 и n = 2 часто используются в качестве «игрушечных моделей» для физического случая n = 3, в то время как многомерные группы Лоренца используются в физических теориях, таких как теория струн, которые постулируют существование скрытых измерений.. Группа Лоренца O ( n, 1) также является группой изометрий n -мерного пространства де Ситтера dS n, которое может быть реализовано как однородное пространство O ( n, 1) / O ( n −1,1). В частности, O (4,1) - это группа изометрий вселенной де Ситтера dS 4, космологическая модель.

Смотрите также

Преобразование Лоренца Теория представлений группы Лоренца Группа Пуанкаре Группа Мебиуса Пространство Минковского Бикватернионы

Неопределенная ортогональная группа Кватернионы и пространственное вращение Релятивистский центр масс Специальная теория относительности Симметрия в квантовой механике

Примечания

использованная литература

Список для чтения

• Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра, глава III: Симплектическая и ортогональная геометрия через Интернет-архив, охватывает ортогональные группы O (p, q)
• Кармели, Моше (1977). Теория групп и общая теория относительности, представления группы Лоренца и их приложения к гравитационному полю. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк. ISBN   978-0-07-009986-9. Каноническая ссылка; см. главы 1–6 для ознакомления с представлениями группы Лоренца.
• Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-53927-2. Отличный ресурс по теории Ли, расслоениям, спинориальным покрытиям и многим другим темам.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN   978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту   1153249. OCLC   246650103. См. Лекцию 11 о неприводимых представлениях SL (2, C).
• Гельфанд И.М. ; Минлос, РА ; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения, Нью-Йорк: Pergamon Press
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN   978-3319134666.
• Холл, GS (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности. Сингапур: World Scientific. ISBN   978-981-02-1051-9. См. Главу 6 о подалгебрах алгебры Ли группы Лоренца.
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-79540-1. Смотрите также на «онлайн - версию». Проверено 3 июля 2005 года. См. В разделе 1.3 прекрасно иллюстрированное обсуждение покрывающих пространств. См. Раздел 3D для топологии групп вращения.
• Миснер, Чарльз ; Торн, Кип С. ; Уилер, Джон (1973). Гравитация. WH Freeman and Company. ISBN   978-0-7167-0344-0. §41.3
• Набер, Грегори (1992). Геометрия пространства-времени Минковского. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   978-0486432359. (Дуврское переиздание.) Отличный справочник по пространству-времени Минковского и группе Лоренца.
• Нидхэм, Тристан (1997). Визуальный комплексный анализ. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN   978-0-19-853446-4. См. Главу 3 для великолепно иллюстрированного обсуждения преобразований Мёбиуса.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, 1, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-55001-7
• Вигнер, Е.П. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W, doi : 10.2307 / 1968551, JSTOR   1968551, Руководство по ремонту   1503456.