Войти
В математике - унитарное представление группа G является линейным представлением π группы G на com plex Гильбертово пространство V такое, что π (g) является унитарным оператором для любого g ∈ G. Общая теория хорошо развита в случае, когда G является локально компактным (Хаусдорф) топологическая группа и представления строго непрерывны.
Теория широко применяется в квантовой механике с 1920-х годов, особенно под влиянием Книга Германа Вейля 1928 года Gruppentheorie und Quantenmechanik. Одним из пионеров построения общей теории унитарных представлений для любой группы G, а не только для конкретных групп, полезных в приложениях, был Джордж Макки.
Теория унитарного Представления групп тесно связаны с гармоническим анализом. В случае абелевой группы G достаточно полную картину теории представлений группы G дает двойственность Понтрягина. В общем, унитарные классы эквивалентности (см. ниже) неприводимых унитарных представлений G составляют его унитарное двойственное . Этот набор может быть идентифицирован со спектром C * -алгебры, связанной с G конструкцией групповой C * -алгебры. Это топологическое пространство.
Общая форма теоремы Планшереля пытается описать регулярное представление G на L (G) с помощью меры на унитарный дуальный. Для Габеля это дается теорией двойственности Понтрягина. Для G compact это делается по теореме Питера – Вейля ; в этом случае унитарный двойственный элемент - это дискретное пространство, и мера присоединяет атом к каждой точке массы, равной его степени.
Пусть G - топологическая группа. сильно непрерывное унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве H - это гомоморфизм группы из G в унитарную группу H,
такая, что g → π (g) ξ является непрерывной по норме функцией для любого ξ ∈ H.
Обратите внимание, что если G является лиевой группа, гильбертово пространство также допускает лежащие в основе гладкие и аналитические структуры. Вектор ξ в H называется гладким или аналитическим, если отображение g → π (g) ξ является гладким или аналитическим (в норме или слабых топологиях на H). Гладкие векторы плотны в H согласно классическому аргументу Ларса Гординга, поскольку свертка гладкими функциями компактного носителя дает гладкие векторы. Аналитические векторы являются плотными согласно классическому аргументу Эдварда Нельсона, усиленному Роу Гудманом, поскольку векторы в образе оператора тепла e, соответствующего эллиптическому дифференциальному оператору D в универсальная обертывающая алгебра группы G аналитична. Не только гладкие или аналитические векторы образуют плотные подпространства; они также образуют общие ядра для неограниченных кососопряженных операторов, соответствующих элементам алгебры Ли в смысле спектральной теории.
Два унитарных представления π 1 : G → U (H 1), π 2 : G → U (H 2) называются унитарно эквивалентными, если существует унитарное преобразование A: H 1 → H 2 такое, что π 1 (g) = A ∘ π 2 (g) ∘ A для всех g в G. Когда это выполняется, A называется сплетающим оператором для представлений (π 1,H1), (π 2,H2).
If 
Унитарное представление полностью сводимо в том смысле, что для любого замкнутого инвариантного подпространства ортогональное дополнение снова является замкнутым инвариантным подпространством. Это на уровне наблюдения, но это фундаментальное свойство. Например, это означает, что конечномерные унитарные представления всегда являются прямой суммой неприводимых представлений в алгебраическом смысле.
Поскольку с унитарными представлениями работать намного проще, чем с общим случаем, естественно рассматривать унитаризуемые представления, которые становятся унитарными при введении подходящей комплексной структуры гильбертова пространства. Это очень хорошо работает для конечных групп и, в более общем смысле, для компактных групп, с помощью аргумента усреднения, применяемого к произвольной эрмитовой структуре. Например, естественное доказательство теоремы Машке осуществляется этим путем.
В общем, для некомпактных групп это более серьезный вопрос, какие представления унитаризуемы. Одной из важных нерешенных проблем математики является описание унитарного двойственного, эффективная классификация неприводимых унитарных представлений всех вещественных редуктивных групп Ли. Все неприводимые унитарные представления являются допустимыми (или, скорее, их модулями Хариш-Чандры ), а допустимые представления даются классификацией Ленглендса, и легко определить, какие из них имеют нетривиальный инвариант полуторалинейной формы. Проблема в том, что в общем случае трудно сказать, когда квадратичная форма положительно определена. Для многих редуктивных групп Ли это было решено; см. примеры в теории представлений SL2 (R) и теории представлений группы Лоренца.
