Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани

Не путать с теоремой Рисса о представлении или теоремой Маркова – Какутани о неподвижной точке. Для получения дополнительных теорем, которые иногда называют теоремой Рисса, см. Теорему Рисса.

В математике теорема Рисса – Маркова – Какутани о представлении связывает линейные функционалы на пространствах непрерывных функций на локально компактном пространстве с мерами в теории меры. Теорема названа в честь Фриджеса Рисса  ( 1909 ), который ввел ее для непрерывных функций на единичном интервале, Андрея Маркова  ( 1938 ), который распространил результат на некоторые некомпактные пространства, и Шизуо Какутани  ( 1941 ), который распространил результат на компактные хаусдорфовые пространства. пробелы.

Существует множество тесно связанных вариаций теоремы, так как линейные функционалы могут быть комплексными, действительными или положительными, пространство, в котором они определены, может быть единичным интервалом, компактным пространством или локально компактным пространством, непрерывные функции могут быть равны нулю. на бесконечности или имеют компактную опору, и меры могут быть мерами Бэра, или регулярными мерами Бореля, или мерами Радона, или мерами со знаком, или комплексными мерами.

• 1 Теорема о представлении для положительных линейных функционалов на C c ( X )
• 2 Историческое замечание
• 3 Теорема о представлении непрерывного двойственного к C 0 ( X )
• 4 ссылки

Следующая теорема представляет положительные линейные функционалы на С с ( X ), в пространстве непрерывных компактно поддерживаемых комплексных функций на локально компактной хаусдорфова пространства X. В борелевских в следующем операторе относится к а-алгебре, порожденной открытыми множествами.

Неотрицательная счетно-аддитивная борелевская мера μ на локально компактном хаусдорфовом пространстве X является мерой Радона тогда и только тогда, когда

• μ ( K ) lt;∞ для любого компакта K ;
• Для каждого борелевского множества Е,

${\ displaystyle \ mu (E) = \ inf \ {\ mu (U): E \ substeq U, U {\ t_dv {open}} \}}$

• Соотношение

${\ displaystyle \ mu (E) = \ sup \ {\ mu (K): K \ substeq E, K {\ t_dv {compact}} \}}$

выполняется всякий раз, когда E открыто или когда E борелевское и μ ( E ) lt;∞.

Теорема. Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство. Для любого положительного линейного функционала на C c ( X) существует единственная мера Радона μ на X такая, что ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ forall f \ in C_ {c} (X): \ qquad \ psi (f) = \ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x).}$

Один из подходов к теории меры - начать с меры Радона, определяемой как положительный линейный функционал на C c ( X ). Это путь Бурбаки ; он, конечно, предполагает, что X начинает жизнь как топологическое пространство, а не просто как набор. Затем для локально компактных пространств восстанавливается теория интегрирования.

Без условия регулярности мера Бореля не обязана быть единственной. Например, пусть X будет набором ординалов, не более чем равным первому несчетному порядковому номеру Ω, с топологией, порожденной « открытыми интервалами ». Линейный функционал, приводящий непрерывную функцию к ее значению в Ω, соответствует регулярной борелевской мере с точечной массой в Ω. Однако он также соответствует (нерегулярной) борелевской мере, которая присваивает меру 1 любому борелевскому множеству, если существует замкнутое и неограниченное множество с, и присваивает меру 0 другим борелевским множествам. (В частности, синглтон {Ω} получает меру 0, в отличие от меры точечной массы.) ${\ displaystyle B \ substeq [0, \ Omega]}$ ${\ Displaystyle С \ substeq [0, \ Omega [}$${\ Displaystyle C \ substeq B}$

В исходной форме теоремы Ф. Рисса (1909) утверждается, что любой непрерывный линейный функционал A [ f ] над пространством C ([0, 1]) непрерывных функций в интервале [0,1] может быть представлен в виде форма

${\ Displaystyle А [е] = \ int _ {0} ^ {1} е (х) \, d \ альфа (х),}$

где α ( x ) - функция ограниченной вариации на интервале [0, 1], а интеграл - это интеграл Римана – Стилтьеса. Поскольку существует взаимно однозначное соответствие между регулярными мерами Бореля в интервале и функциями ограниченной вариации (которое ставит в соответствие каждой функции ограниченной вариации соответствующую меру Лебега – Стилтьеса, а интеграл по мере Лебега – Стилтьеса согласовывается) с интегралом Римана – Стилтьеса для непрерывных функций) сформулированная выше теорема обобщает исходное утверждение Ф. Рисса. (Историческое обсуждение см. В Gray (1984)).

Следующая теорема, также упоминается как теорема Рисса-Маркова, дает конкретную реализацию топологического сопряженного пространства из С 0 ( X ), множество непрерывных функций на X, которые обращаются в нуль на бесконечности. Под борелевскими множествами в формулировке теоремы также понимается σ-алгебра, порожденная открытыми множествами.

Если µ - комплексная счетно-аддитивная борелевская мера, то µ называется регулярной, если неотрицательная счетно-аддитивная мера | µ | является регулярным, как определено выше.

Теорема. Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство. Для любого непрерывного линейного функционала ψ на C 0 ( X ) существует единственная регулярная счетно-аддитивная комплексная борелевская мера μ на X такая, что

${\ displaystyle \ forall f \ in C_ {0} (X): \ qquad \ psi (f) = \ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x).}$

Норма ψ как линейного функционала - это полная вариация μ, т. Е.

${\ Displaystyle \ | \ psi \ | = | \ му | (X).}$

Наконец, ψ положительна тогда и только тогда, когда мера μ неотрицательна.

Это утверждение о линейных функционалах можно вывести из утверждения о положительных линейных функционалах, сначала показав, что ограниченный линейный функционал может быть записан как конечная линейная комбинация положительных.

• Фреше, М. (1907). "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires". CR Acad. Sci. Париж. 144 : 1414–1416.
• Грей, JD (1984). «Формирование теоремы о представлении Рисса: глава в истории анализа». Архив истории точных наук. 31 (2): 127–187. DOI : 10.1007 / BF00348293.
• Хартиг, Дональд Г. (1983). "Повторное обращение к теореме Рисса о представлении". Американский математический ежемесячник. 90 (4): 277–280. DOI : 10.2307 / 2975760. JSTOR   2975760. ; теоретико-категориальное представление как естественное преобразование.
• Какутани, Шизуо (1941). «Конкретное представление абстрактных (M) -пространств. (Характеристика пространства непрерывных функций.)». Аня. математики. Series 2. 42 (4): 994–1024. DOI : 10.2307 / 1968778. hdl : 10338.dmlcz / 100940. JSTOR   1968778. MR   0005778.
• Марков, А. (1938). «О средних значениях и внешних плотностях». Рек. Математика. Москва. NS 4 : 165–190. Zbl   0020.10804.
• Рис, Ф. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables". CR Acad. Sci. Париж. 144 : 1409–1411.
• Рис, Ф. (1909). "Sur les opérations fonctionnelles linéaires". CR Acad. Sci. Париж. 149 : 974–977.
• Халмос, П. (1950). Теория меры. Д. ван Ностранд и Ко.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о представлении Рисса". MathWorld.
• Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ. ISBN   0-07-100276-6.