Войти
В функциональном анализе, области математики, Теорема Банаха – Мазура - это теорема, грубо утверждающая, что большинство хорошо себя вёл нормированных пространств являются подпространствами пространства непрерывные пути. Он назван в честь Стефана Банаха и Станислава Мазура.
Каждое вещественное, разделимое банахово пространство (X, || ⋅ ||) изометрически изоморфно закрытое подпространство C ([0, 1], R ), пространство всех непрерывных функций из единицы интервала в реальная линия.
С одной стороны, теорема Банаха – Мазура, кажется, говорит нам о том, что кажущаяся обширной коллекция всех сепарабельных банаховых пространств не так уж обширна или с ней трудно работать, так как сепарабельная Банахово пространство - это «всего лишь» набор непрерывных путей. С другой стороны, теорема говорит нам, что C ([0, 1], R ) является «действительно большим» пространством, достаточно большим, чтобы содержать все возможные сепарабельные банаховы пространства.
Неразделимые банаховы пространства не могут быть изометрически вложены в сепарабельное пространство C ([0, 1], R ), но для любого банахова пространства X можно найти компакт Хаусдорфово пространство K и изометрическое линейное вложение j пространства X в пространство C (K) скалярных непрерывных функций на K. Самый простой выбор состоит в том, чтобы позволить K быть единичным шаром непрерывного двойного X ', снабженного w * -топологией. Этот единичный шар K тогда компактен по теореме Банаха – Алаоглу. Вложение j вводится тем, что для любого x ∈ X непрерывная функция j (x) на K определяется следующим образом:
Отображение j линейно, и оно изометрично по Хана – Банаха Теорема.
Другое обобщение было дано Клейбером и Первином (1969): метрическое пространство с плотностью, равной бесконечному количеству α, изометрично подпространству C ([0, 1], R ), пространство действительных непрерывных функций на произведении α копий единичного интервала.
Запишем C [0, 1] вместо C ([0, 1], R ). В 1995 году Луис Родригес-Пьяцца доказал, что изометрия i: X → C [0, 1] может быть выбрана так, что любая ненулевая функция в изображении i (X) нигде не дифференцируема.. Другими словами, если D ⊂ C [0, 1] состоит из функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке отрезка [0, 1], то i можно выбрать так, чтобы i (X) ∩ D = {0}. Этот вывод применим к самому пространству C [0, 1], следовательно, существует линейное отображение i: C [0, 1] → C [0, 1], которое является изометрией на его образ, такое этот образ под i пространства C [0, 1] (подпространство, состоящее из функций, всюду дифференцируемых с непрерывной производной) пересекает D только в точке 0: таким образом, пространство гладких функций (относительно равномерного расстояния) изометрически изоморфно пространство нигде не дифференцируемых функций. Заметим, что (метрически неполное) пространство гладких функций плотно в C [0, 1].
