Войти
В линейной алгебре транспонирование линейной карты между двумя векторные пространства, определенные над одним и тем же полем, представляют собой индуцированное отображение между двойными пространствами двух векторных пространств. транспонировать или алгебраическое сопряжение линейной карты часто используется для изучения исходной линейной карты. Эта концепция обобщается с помощью сопряженных функторов.
Пусть X обозначает алгебраическое двойственное пространство векторного пространства X. Пусть X и Y векторные пространства над одним и тем же полем 𝕂. Если u: X → Y является линейным отображением, то его алгебраическое сопряженное или двойственное отображение u: Y → X определено как f f f ∘ ты Результирующий функционал u (f) называется pullback функции f по u.
Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства (TVS) X обозначается X '. Если X и Y являются TVS, то линейное отображение u: X → Y слабо непрерывно тогда и только тогда, когда u (Y ') ⊆ X', и в этом случае пусть u: Y '→ X' обозначает ограничение u на Y '. Отображение u называется транспонированием u. Следующее тождество характеризует транспонирование u
, где ⟨•, •⟩ - естественное спаривание (то есть определяется как byz, h⟩: = h (z)).
Присваивание u produces u создает инъективное линейное отображение между пространством линейных операторов от X до Y и пространством линейных операторов от Y до X. Если X = Y, то пространство линейных отображений является алгеброй при композиции отображений, и тогда присвоение является антигомоморфизмом алгебр, что означает, что (uv) = v u. На языке теории категорий, взятие двойственного векторных пространств и транспонирования линейных отображений, следовательно, является контравариантным функтором из категории векторных пространств над в себя. Можно отождествить (u) с f, используя естественную инъекцию в двойное двойственное.
Предположим теперь, что u: X → Y - непрерывный линейный оператор между топологическими векторными пространствами X и Y с непрерывными сопряженными пространствами X 'и Y' соответственно. Для любого подмножества S X, пусть S ° обозначает полярный S в X '.
Если линейное отображение u представлено матрицей A относительно двух оснований X и Y, то u представлено матрицей A транспонирования относительно du все основания Y 'и X', отсюда и название. В качестве альтернативы, поскольку u представлен A, действующим справа на векторах-столбцах, u представлен той же самой матрицей, действующей слева на векторах-строках. Эти точки зрения связаны каноническим внутренним произведением на ℝ, которое идентифицирует пространство векторов-столбцов с двойным пространством векторов-строк.
Тождество, характеризующее транспонирование, то есть [u (f), x] = [f, u (x)], формально аналогично определение эрмитова сопряженного, однако транспонирование и эрмитово сопряженное отображение не одно и то же. Транспонирование является отображением Y '→ X' и определено для линейных отображений между любыми векторными пространствами X и Y, не требуя какой-либо дополнительной структуры. Эрмитово сопряженное отображение Y → X определено только для линейных отображений между гильбертовыми пространствами, поскольку оно определено в терминах скалярного произведения на гильбертовом пространстве. Следовательно, эрмитово сопряженное соединение требует большей математической структуры, чем транспонирование.
Однако транспонирование часто используется в контекстах, где оба векторных пространства снабжены невырожденной билинейной формой, такой как евклидово скалярное произведение или другое вещественное внутренний продукт. В этом случае невырожденная билинейная форма часто используется неявно для отображения между векторными пространствами и их двойниками, чтобы выразить транспонированное отображение как отображение Y → X. Для комплексного гильбертова пространства внутреннее произведение полуторалинейные, а не билинейные, и эти преобразования изменяют транспонирование в сопряженное отображение.
Точнее: если X и Y - гильбертовы пространства и u: X → Y - линейное отображение, то транспонирование u и эрмитово сопряженное к u, которое мы будем обозначать соответственно через u и u, связаны. Обозначим через I: X → X и J: Y → Y канонические антилинейные изометрии гильбертовых пространств X и Y на их двойственные. Тогда u - следующая композиция карт:
Предположим, что X и Y - топологические векторные пространства и что u: X → Y - линейное отображение, тогда многие свойства u отражены в u.
