Сюръекция пространств Фреше

редактировать

Теорема о сюръекции из пространств Фреша важной теорема, из - за Стефан Банах, который характеризует, когда непрерывный линейный оператор между Фрешем сюръективен.

Важность этой теоремы связана с теоремой об открытом отображении, которая утверждает, что непрерывная линейная сюръекция между пространствами Фреше является открытым отображением. Часто на практике кто-то знает, что у них есть непрерывное линейное отображение между пространствами Фреше, и хочет показать, что оно сюръективно, чтобы использовать теорему об открытом отображении, чтобы вывести, что это также открытое отображение. Эта теорема может помочь в достижении этой цели.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Предварительные сведения, определения и обозначения
2 Сюръекция пространств Фреше
3 Расширения теоремы
4 леммы
5 приложений
- 5.1 Теорема Бореля о разложении в степенной ряд
- 5.2 Линейные дифференциальные операторы в частных производных
6 См. Также
7 ссылки
8 Библиография

Предварительные сведения, определения и обозначения

Позвольте быть непрерывным линейным отображением между топологическими векторными пространствами. ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$

Непрерывное двойственное пространство к обозначается через ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$

Транспонирования в это отображение определяется If сюръективна тогда будет инъективны, но обратное не верно в целом. ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle L \ left (y ^ {\ prime} \ right): = y ^ {\ prime} \ circ L.}$ ${\ displaystyle L \ left (y ^ {\ prime} \ right): = y ^ {\ prime} \ circ L.}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime}}$

Слабая топология на (соответственно) обозначается (соответственно). Множество, наделенное этой топологией, обозначается как Топология - это самая слабая топология, делающая все линейные функционалы непрерывными. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ left (X, \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right) \ right).}$ ${\ displaystyle \ left (X, \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right) \ right).}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Если тогда полярная из в обозначается ${\ Displaystyle S \ substeq Y}$ ${\ Displaystyle S \ substeq Y}$ ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle S ^ {\ circ}.}$ ${\ displaystyle S ^ {\ circ}.}$

Если - полунорма на, то будет обозначаться векторное пространство, наделенное самой слабой топологией TVS, делающей непрерывной. Базис соседства в начале координат состоит из множеств как диапазонов положительных вещественных чисел. Если не является нормой, то не хаусдорфово и является линейным подпространством в. Если непрерывно, то тождественное отображение непрерывно, чтобы мы могли идентифицировать непрерывное двойственное пространство в качестве подмножества с помощью транспонированного тождественной которая инъективна. ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ Displaystyle \ влево \ {х \ в Икс: п (х) lt;г \ вправо \}}$ ${\ Displaystyle \ влево \ {х \ в Икс: п (х) lt;г \ вправо \}}$ ${\ displaystyle r}$ $р$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle \ ker p: = \ left \ {x \ in X: p (x) = 0 \ right \}}$ ${\ displaystyle \ ker p: = \ left \ {x \ in X: p (x) = 0 \ right \}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle \ operatorname {Id}: X \ to X_ {p}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Id}: X \ to X_ {p}}$ ${\ Displaystyle X_ {p} ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X_ {p} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {Id}: X_ {p} ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime},}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {Id}: X_ {p} ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime},}$

Сюръекция пространств Фреше

Теорема (Банаха) - Если это непрерывное линейное отображение между двумя Фреше, то сюръективно тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия и удержание: ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$

${\ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime}}$ является инъективным, и

изображение из обозначаться слабо замкнуто в (т.е. закрыт, когда наделен * -слабой топологией). ${\ displaystyle {} ^ {t} L,}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} {} ^ {t} L,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} {} ^ {t} L,}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Расширения теоремы

Теорема - Если это непрерывное линейное отображение между двумя Фреше, то следующие условия эквивалентны: ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$

${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ сюръективно.

Выполняются следующие два условия:

${\ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {\ prime} \ to X ^ {\ prime}}$ является инъективным ;

изображение из слабо замкнуто в ${\ displaystyle \ operatorname {Im} {} ^ {t} L}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} {} ^ {t} L}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$

Для каждой непрерывной полунормы на существует непрерывная полунорма на такая, что справедливы следующие утверждения: ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$

для каждого существует такой, что ; ${\ displaystyle y \ in Y}$ $у \ в Y$ ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$ ${\ displaystyle q (L (x) -y) = 0}$ ${\ displaystyle q (L (x) -y) = 0}$

для каждого, если тогда ${\ displaystyle y ^ {\ prime} \ in Y,}$ ${\ displaystyle y ^ {\ prime} \ in Y,}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L \ left (y ^ {\ prime} \ right) \ in X_ {p} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L \ left (y ^ {\ prime} \ right) \ in X_ {p} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle y ^ {\ prime} \ in Y_ {q} ^ {\ prime}.}$ ${\ displaystyle y ^ {\ prime} \ in Y_ {q} ^ {\ prime}.}$

Для каждой непрерывной полунормы на существует линейное подпространство в таких, что выполняются следующие условия: ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle N}$ $N$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$

для каждого существует такой, что ; ${\ displaystyle y \ in Y}$ $у \ в Y$ ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$ ${\ Displaystyle L (x) -y \ in N}$ ${\ Displaystyle L (x) -y \ in N}$

для каждого, если тогда ${\ Displaystyle у ^ {\ прайм} \ в У ^ {\ прайм},}$ ${\ Displaystyle у ^ {\ прайм} \ в У ^ {\ прайм},}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L \ left (y ^ {\ prime} \ right) \ in X_ {p} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} L \ left (y ^ {\ prime} \ right) \ in X_ {p} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle y ^ {\ prime} \ in N ^ {\ circ}.}$ ${\ displaystyle y ^ {\ prime} \ in N ^ {\ circ}.}$

Существует невозрастающая последовательность замкнутых линейных подпространств, пересечение которых равно и такое, что выполняется следующее: ${\ Displaystyle N_ {1} \ supseteq N_ {2} \ supseteq N_ {3} \ supseteq \ cdots}$ ${\ Displaystyle N_ {1} \ supseteq N_ {2} \ supseteq N_ {3} \ supseteq \ cdots}$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ $\ {0 \}$

для каждого положительного целого числа существует такое, что ; ${\ displaystyle y \ in Y}$ $у \ в Y$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$ ${\ displaystyle L (x) -y \ in N_ {k}}$ ${\ displaystyle L (x) -y \ in N_ {k}}$

для каждой непрерывной полунормы на существует такое целое число, что любое удовлетворяющее ему является пределом в смысле полунормы последовательности из таких элементов, что для всех ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$ ${\ Displaystyle L (х) \ в N_ {k}}$ ${\ Displaystyle L (х) \ в N_ {k}}$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots}$ $x_1, x_2, \ ldots$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle L \ влево (x_ {i} \ right) = 0}$ ${\ Displaystyle L \ влево (x_ {i} \ right) = 0}$ ${\ displaystyle i.}$ $я.$

Леммы

Следующие леммы используются для доказательства теорем о сюръективности пространств Фреше. Они полезны даже сами по себе.

Теорема - Позвольте быть пространство Фреше и быть линейным подпространством Следующие эквивалентны: ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$

${\ displaystyle Z}$ $Z$ слабо замкнут ; ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Существует базис окрестностей начала координат такой, что для каждого является слабо замкнутым; ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}},}$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}},}$ ${\ displaystyle B ^ {\ circ} \ cap Z}$ ${\ displaystyle B ^ {\ circ} \ cap Z}$

Пересечение с каждым эквинепрерывным подмножеством из относительно замкнут в (где даются слабая топология, индуцированной и задается топология подпространства, индуцированная). ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ${\ displaystyle E}$ $E$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle E}$ $E$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle E}$ $E$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Теорема - О двойственной пространства Фреше, топология равномерной сходимости на компактных выпуклых подмножеств совпадает с топологией равномерной сходимости на компактах. ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Теорема - Пусть будет линейное отображение между хаусдорфовыми локально выпуклыми TVS, с также метризуемыми. Если карта непрерывна, то она непрерывна (куда и переносятся их исходные топологии). ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle L: \ left (X, \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right) \ right) \ to \ left (Y, \ sigma \ left (Y, Y ^ {\ prime} \ верно-верно)}$ ${\ displaystyle L: \ left (X, \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right) \ right) \ to \ left (Y, \ sigma \ left (Y, Y ^ {\ prime} \ верно-верно)}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle L: X \ to Y}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$

Приложения

Теорема Бореля о разложениях в степенные ряды

Теорема (Э. Борель) - Зафиксируйте натуральное число. Если - произвольный формальный степенной ряд по неопределенным с комплексными коэффициентами, то существует функция, разложение Тейлора которой в нуле совпадает с. ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle P}$ $п$

То есть, предположим, что для каждого набора неотрицательных целых чисел нам дано комплексное число (без ограничений). Тогда существует такая функция, что для каждого -набора ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle p = \ left (p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle p = \ left (p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle a_ {p}}$ $а_ {р}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle a_ {p} = \ left (\ partial / \ partial x \ right) ^ {p} f {\ bigg \ vert} _ {x = 0}}$ ${\ displaystyle a_ {p} = \ left (\ partial / \ partial x \ right) ^ {p} f {\ bigg \ vert} _ {x = 0}}$ ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle p.}$ $п.$

Линейные дифференциальные операторы с частными производными
Смотрите также: Распределение (математика)
Теорема - Пусть - линейный дифференциальный оператор с частными производными с коэффициентами в открытом подмножестве. Следующие утверждения эквивалентны: ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}.}$ ${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Для каждого существует такое, что ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ Displaystyle и \ в {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ Displaystyle и \ в {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle Du = f.}$ ${\ displaystyle Du = f.}$

${\ displaystyle U}$ $U$ является выпуклой и полуглобально разрешимой. ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle D}$ $D$

${\ displaystyle D}$ $D$ будучи semiglobally разрешима в ${\ displaystyle U}$ $U$ означает, что для каждого относительно компактного открытого подмножества в следующее условие: ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle U}$ $U$

каждому найдется такой, что в. ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle g \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle g \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle Dg = f}$ ${\ displaystyle Dg = f}$ ${\ displaystyle V}$ $V$

${\ displaystyle U}$ $U$ будучи -выпуклым означает, что для каждого компактного подмножества и любое целого Существует компактное подмножество из таких, что для каждого распределения с компактным носителем в, выполняется следующее условие: ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle K \ substeq U}$ ${\ displaystyle K \ substeq U}$ ${\ Displaystyle п \ geq 0,}$ ${\ Displaystyle п \ geq 0,}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_ {n}$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ${\ displaystyle U}$ $U$

если в порядке, а если тогда ${\ displaystyle {} ^ {t} Dd}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} Dd}$ ${\ displaystyle \ leq n}$ $\ leq n$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} {} ^ {t} Dd \ substeq K,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} {} ^ {t} Dd \ substeq K,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} d \ substeq C_ {n}.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} d \ substeq C_ {n}.}$

Смотрите также

Эпиморфизм

Экспоненциальная формула

Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - условие открытости линейного оператора

использованная литература

Библиография

Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.

Шефер, Гельмут Х. ; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.