Антигомоморфизм

В математике антигомоморфизм - это тип функции, определенной на множествах с умножением, которое меняет порядок умножения. антиавтоморфизм - это биективный антигомоморфизм, то есть антиизоморфизм, от множества к самому себе. Из биективности следует, что у антиавтоморфизмов есть обратные, и что обратное к антиавтоморфизму также является антиавтоморфизмом.

• 1 Определение
• 2 Примеры
  • 2.1 Инволюции
• 3 Свойства
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Неформально антигомоморфизм карта, меняющая порядок умножения. Формально антигомоморфизм между структурами $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$является гомоморфизмом $\varphi :\; X\; \to \; Y\; op\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\; ^\; \{\backslash \; text\; \{op\}\}\}$, где $Y\; op\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{\backslash \; text\; \{op\}\}\}$равно $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$как набор, но имеет обратное умножение к заданному в $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Обозначая умножение (обычно не коммутативного ) на $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$на $\cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot\}$, умножение на $Y\; op\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{\backslash \; text\; \{op\}\}\}$, обозначенное $\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; *\}$, определяется как $Икс\; *\; Y:\; знак\; равно\; Y\; \cdot \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; *\; у:\; =\; у\; \backslash \; CDOT\; х\}$. Объект $Y\; op\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{\backslash \; text\; \{op\}\}\}$называется противоположным объектом к $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$(соответственно противоположная группа, противоположная алгебра, противоположная категория и т. Д.).

Это определение эквивалентно определению гомоморфизма $\varphi :\; X\; op\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; двоеточие\; X\; ^\; \{\backslash \; text\; \{op\}\}\; \backslash \; to\; Y\}$(обращение операции до или после применения карты эквивалентно). Формально, отправив $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в $X\; op\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; text\; \{op\}\}\}$и действуя как идентификатор на картах является функтором (действительно, инволюцией ).

В теории групп антигомоморфизм - это отображение между двумя группами, которое меняет порядок умножения на противоположный. Итак, если φ: X → Y - групповой антигомоморфизм,

φ (xy) = φ (y) φ (x)

для всех x, y в X.

Отображение, которое отправляет x to x является примером группового антиавтоморфизма. Другой важный пример - операция транспонирования в линейной алгебре , которая переводит векторов-строк в векторов-столбцов. Любое векторно-матричное уравнение может быть преобразовано в эквивалентное уравнение, в котором порядок факторов обратный.

В случае с матрицами примером антиавтоморфизма является транспонированная карта. Поскольку и инверсия, и транспонирование дают антиавтоморфизмы, их композиция является автоморфизмом. Эту инволюцию часто называют контрагредиентным отображением, и она дает пример внешнего автоморфизма общей линейной группы GL (n, F), где F - поле, за исключением случаев, когда | F | = 2 и n = 1 или 2 или | F | = 3 и n = 1 (т.е. для групп GL (1, 2), GL (2, 2) и GL (1, 3)).

В теории колец антигомоморфизм - это отображение между двумя кольцами, которое сохраняет сложение, но меняет порядок умножения на противоположный. Итак, φ: X → Y является кольцевым антигомоморфизмом тогда и только тогда, когда:

φ (1) = 1

φ (x + y) = φ (x) + φ (y)

φ (xy) = φ (y) φ (x)

для всех x, y в X.

Для алгебр над полем K, φ должно быть K - линейная карта нижележащего векторного пространства . Если базовое поле имеет инволюцию, можно вместо этого попросить φ быть сопряженно-линейным, как в сопряженном транспонировании, как показано ниже.

Инволюции

Часто бывает, что антиавтоморфизмы инволюции, т.е. квадрат антиавтоморфизма - это тождественное отображение ; их также называют инволютивными антиавтоморфизмами . Например, в любой группе отображение, которое отправляет x в свой обратный x, является инволютивным антиавтоморфизмом.

Кольцо с инволютивным антиавтоморфизмом называется * -кольцом, и они образуют важный класс примеров.

Если цель Y коммутативно, то антигомоморфизм - это то же самое, что гомоморфизм, а антиавтоморфизм - то же самое, что автоморфизм.

композиция двух антигомоморфизмов всегда является гомоморфизмом, поскольку двукратное изменение порядка сохраняет порядок. Композиция антигомоморфизма с гомоморфизмом дает другой антигомоморфизм.

• Полугруппа с инволюцией

• Вайсштейн, Эрик У. «Антигомоморфизм». MathWorld.