Евклидова топология

редактировать

В математике, и особенно в общей топологии, евклидова топология - это естественная топология, индуцированная на евклидовом n-пространстве $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ по евклидовой метрике.

В любом метрическом пространстве открытые шары образуют base для топологии в этом пространстве. Евклидова топология на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ тогда просто топология, порожденная этими шарами. Другими словами, открытые множества евклидовой топологии на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ задаются (произвольными) объединениями открытых шаров $B r (p) {\ displaystyle B_ {r} (p)}$ ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ определяется как $B r (p): = {x ∈ R n ∣ d (p, x) < r } {\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid d(p,x)$ ${\ displaystyle B_ {r} (p): = \ {x \ in \ mathbb {R } ^ {n} \ mid d (p, x) <r \}}$ , для всех $r>0 {\ displaystyle r>0}$ $r>0$ и все $p ∈ R n {\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $p \ in \ mathbb {R} ^ n$ , где $d {\ displaystyle d}$ $d$ - евклидова метрика.

Свойства

Реальная линия с этой топологией представляет собой T5пробел. Даны два подмножества, скажем, A и B, из R с A ∩ B = A ∩ B = ∅, где A обозначает замыкание A, существуют открытые множества S A и S B с A ⊆ S A и B ⊆ S B такими, что S A ∩ S B = ∅.

Список литературы