Принцип равномерной ограниченности

редактировать
Теорема, утверждающая, что поточечная ограниченность подразумевает равномерную ограниченность

В математике, принцип равномерной ограниченности или теорема Банаха – Штейнхауза является одним из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с теоремой Хана – Банаха и теоремой об открытом отображении он считается одним из краеугольных камней этой области. В своей основной форме он утверждает, что для семейства линейных непрерывных операторов (и, таким образом, ограниченных операторов), область определения которых является банаховым пространством, точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности в operator norm.

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штайнхаусом, но также была независимо доказана Гансом Ханом.

Содержание

  • 1 Теорема
  • 2 Следствия
  • 3 Пример: поточечная сходимость ряда Фурье
  • 4 Обобщения
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Библиография

Теорема

Теорема (Uniform Принцип ограниченности). Пусть X - банахово пространство, а Y - нормированное векторное пространство. Предположим, что F - набор непрерывных линейных операторов из X в Y. Если

sup T ∈ F ‖ T (x) ‖ Y < ∞, {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty,}\ sup \ nolimits_ {T \ in F} \ | T (x) \ | _Y <\ infty,

для всех x в X, то

sup T ∈ F, ‖ x ‖ = 1 ‖ T (x) ‖ Y = sup T ∈ F ‖ T ‖ B (X, Y) < ∞. {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty.}\ sup \ nolimits _ {{T \ in F, \ | x \ | = 1}} \ | T (x) \ | _ {Y} = \ sup \ nolimits _ {{T \ in F}} \ | T \ | _ {{B (X, Y)}} <\ infty.

Полнота X позволяет провести следующее короткое доказательство с использованием теоремы Бэра о категориях.

Доказательство -

Предположим, что для каждого x в банаховом пространстве X выполняется:

sup T ∈ F ‖ T (x) ‖ Y < ∞. {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty.}\ sup \ nolimits_ {T \ in F} \ | T (x) \ | _Y <\ infty.

Для каждого целого числа n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}n \ in \ mathbb {N} , пусть

X n = {x ∈ X: sup T ∈ F ‖ T (x) ‖ Y ≤ n}. {\ displaystyle X_ {n} = \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | T (x) \ | _ {Y} \ leq n \ right \}. }X_n = \ left \ { x \ in X \: \ \ sup \ nolimits_ {T \ in F} \ | T (x) \ | _Y \ le n \ right \}.

Множество X n {\ displaystyle X_ {n}}X_{n}является замкнутым множеством и по предположению

⋃ n ∈ NX n = X ≠ ∅. {\ displaystyle \ bigcup \ nolimits _ {n \ in \ mathbf {N}} X_ {n} = X \ neq \ varnothing.}\ bigcup \ nolimits_ {n \ in \ mathbf {N}} X_n = X \ neq \ varnothing.

По теореме Бэра о категориях для непустого полное метрическое пространство X, существует m такое, что X m {\ displaystyle X_ {m}}X_ {m} имеет непустое внутреннее, т. Е. Существует x 0 ∈ X m {\ displaystyle x_ {0} \ in X_ {m}}x_0 \ in X_m и ε>0, такие что

B ε (x 0) ¯: = {x ∈ X : ‖ X - x 0 ‖ ≤ ε} ⊆ X m. {\ Displaystyle {\ overline {B _ {\ varepsilon} (x_ {0})}}: = \ {x \ in X \,: \, \ | x-x_ {0} \ | \ leq \ varepsilon \} \ substteq X_ {m}.}{\ displaystyle {\ overline {B _ {\ varepsilon} (x_ {0})}}: = \ {x \ in X \,: \, \ | x-x_ {0} \ | \ leq \ varepsilon \} \ substeq X_ {m}.}

Пусть u ∈ X, ǁuǁ ≤ 1 и T ∈ F. Имеется, что:

‖ T (u) ‖ Y = ε - 1 ‖ T (x 0 + ε u) - T (x 0) ‖ Y [по линейности T] ≤ ε - 1 (‖ T (x 0 + ε u) ‖ Y + ‖ T (x 0) ‖ Y) ≤ ε - 1 (m + m). [поскольку Икс 0 + ε U, Икс 0 ∈ Икс м] {\ Displaystyle {\ begin {align} \ | T (u) \ | _ {Y} = \ varepsilon ^ {- 1} \ left \ | T \ left (x_ {0} + \ varepsilon u \ right) -T (x_ {0}) \ right \ | _ {Y} [{\ text {по линейности}} T] \\ \ leq \ varepsilon ^ {-1} \ left (\ left \ | T (x_ {0} + \ varepsilon u) \ right \ | _ {Y} + \ left \ | T (x_ {0}) \ right \ | _ {Y} \ right) \\ \ leq \ varepsilon ^ {- 1} (m + m). [{\ text {Since}} \ x_ {0} + \ varepsilon u, \ x_ {0} \ in X_ {m }] \\\ end {align}}}\ begin {align} \ | T (u) \ | _Y = \ varepsilon ^ {- 1} \ left \ | T \ left (x_0 + \ varepsilon u \ right) - T (x_0) \ right \ | _Y [\ text {по линейности} T] \\ \ leq \ varepsilon ^ {- 1} \ left (\ left \ | T (x_0 + \ varepsilon u) \ righ t \ | _Y + \ left \ | T (x_0) \ right \ | _Y \ right) \\ \ leq \ varepsilon ^ {- 1} (m + m). [\ text {поскольку} \ x_0 + \ varepsilon u, \ x_0 \ in X_m] \\ \ end {align}

Взяв верхнюю грань по u в единичном шаре X и по T ∈ F, получаем, что

sup T ∈ F ‖ T ‖ B (X, Y) ≤ 2 ε - 1 m < ∞. {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty.}\ sup \ nolimits_ {T \ in F} \ | T \ | _ { B (X, Y)} \ leq 2 \ varepsilon ^ {- 1} m <\ infty.

Существуют также простые доказательства, не использующие теорему Бэра (Sokal 2011).

Следствия

Следствие. Если последовательность ограниченных операторов (T n) сходится поточечно, то есть предел {T n ( x)} существует для всех x в X, то эти поточечные пределы определяют ограниченный оператор T.

Обратите внимание, что выше не утверждается, что T n сходится к T по операторной норме, т.е. равномерно на ограниченных множествах. (Однако, поскольку {T n } ограничено по операторной норме, а предельный оператор T непрерывен, стандарт показывает, что T n сходится к T равномерно на компактах.)

Следствие. Любое слабо ограниченное подмножество S в нормированном пространстве Y ограничено.

Действительно, элементы S определяют поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных форм на банаховом пространстве X = Y *, непрерывном двойственном к Y. По принципу равномерной ограниченности нормы элементов S как функционалов на X, т. Е. Нормы во втором двойственном Y **, ограничены. Но для любого s из S норма во втором двойственном элементе совпадает с нормой в Y, что следует из теоремы Хана – Банаха.

. Пусть L (X, Y) обозначает непрерывные операторы из X в Y, с операторной нормой. Если набор F неограничен в L (X, Y), то по принципу равномерной ограниченности имеем:

R = {x ∈ X: sup T ∈ F ‖ T x ‖ Y = ∞} ≠ ∅ {\ displaystyle R = \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | Tx \ | _ {Y} = \ infty \ right \} \ neq \ varnothing}R = \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits_ {T \ in F} \ | Tx \ | _Y = \ infty \ right \} \ neq \ varnothing

В на самом деле R плотно в X. Дополнением к R в X является счетное объединение замкнутых множеств ∪X n. Согласно аргументу, использованному при доказательстве теоремы, каждое X n является нигде не плотным, то есть подмножество ∪X n относится к первой категории. Следовательно, R является дополнением к подмножеству первой категории в пространстве Бэра. По определению пространства Бэра такие множества (называемые остаточными множествами) плотны. Такое рассуждение приводит к принципу уплотнения особенностей, который можно сформулировать следующим образом:

Теорема. Пусть X - банахово пространство, {Y n } a последовательность нормированных векторных пространств, и F n неограниченное семейство в L (X, Y n). Тогда множество

R = {x ∈ X: ∀ n ∈ N: sup T ∈ F n ‖ T x ‖ Y n = ∞} {\ displaystyle R = \ left \ {x \ in X \: \ \ forall n \ in \ mathbf {N}: \ sup \ nolimits _ {T \ in F_ {n}} \ | Tx \ | _ {Y_ {n}} = \ infty \ right \}}R = \ left \ {x \ in X \: \ \ forall n \ in \ mathbf {N}: \ sup \ nolimits_ {T \ in F_n} \ | Tx \ | _ {Y_n} = \ infty \ right \}

- остаточное множество, и поэтому плотно в X.

Доказательство -

Дополнением к R является счетное объединение

⋃ n, m {x ∈ X: sup T ∈ F n ‖ T x ‖ Y n ≤ m} {\ displaystyle \ bigcup \ nolimits _ {n, m} \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits _ {T \ in F_ {n}} \ | Tx \ | _ {Y_ {n }} \ leq m \ right \}}\ bigcup \ nolimits_ {n, m} \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits_ {T \ in F_n} \ | Tx \ | _ {Y_n} \ le m \ right \}

наборов первой категории. Следовательно, его остаточное множество R плотно.

Пример: поточечная сходимость ряда Фурье

Пусть T {\ displaystyle \ mathbb {T}}\ mathbb {T} будет окружностью, и пусть C (T) {\ displaystyle C (\ mathbb {T})}C (\ mathbb {T}) быть банаховым пространством непрерывных функций на T {\ displaystyle \ mathbb {T}}\ mathbb {T} , с единой нормой . Используя принцип равномерной ограниченности, можно показать, что существует элемент в C (T) {\ displaystyle C (\ mathbb {T})}C (\ mathbb {T}) , для которого ряд Фурье не сходится поточечно.

Для f ∈ C (T) {\ displaystyle f \ in C (\ mathbb {T})}f \ in C (\ mathbb {T}) его ряд Фурье определяется следующим образом:

∑ К ∈ Z е ^ (к) eikx = ∑ К ∈ Z 1 2 π (∫ 0 2 π f (t) e - iktdt) eikx, {\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ mathbf {Z }} {\ hat {f}} (k) e ^ {ikx} = \ sum _ {k \ in \ mathbf {Z}} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (\ int _ { 0} ^ {2 \ pi} f (t) e ^ {- ikt} dt \ right) e ^ {ikx},}\ sum_ {k \ in \ mathbf {Z}} \ hat {f} (k) e ^ {ikx } = \ sum_ {k \ in \ mathbf {Z}} \ frac {1} {2 \ pi} \ left (\ int_0 ^ {2 \ pi} f (t) e ^ {- ikt} dt \ right) e ^ {ikx},

, а N-я симметричная частичная сумма равна

SN (f) (x) Знак равно ∑ К знак равно - NN е ^ (к) eikx = 1 2 π ∫ 0 2 π е (т) DN (х - т) dt, {\ Displaystyle S_ {N} (е) (х) = \ сумма _ {k = -N} ^ {N} {\ hat {f}} (k) e ^ {ikx} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (t) D_ {N} (xt) \, dt,}S_N (f) (x) = \ sum_ {k = -N} ^ N \ hat {f} (k) e ^ {ikx} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} f (t) D_N ( х - t) \, dt,

где D N - это N-е ядро ​​Дирихле. Зафиксируем x ∈ T {\ displaystyle x \ in \ mathbb {T}}x \ in \ mathbb {T} и рассмотрим сходимость {S N (f) (x)}. Функционал φ N, x: C (T) → C {\ displaystyle \ varphi _ {N, x}: C (\ mathbb {T}) \ rightarrow \ mathbb {C}}{\ displaystyle \ varphi _ {N, x}: C (\ mathbb {T}) \ rightarrow \ mathbb {C}} определено

φ N, x (f) = SN (f) (x), f ∈ C (T), {\ displaystyle \ varphi _ {N, x} (f) = S_ {N} (f) (x), \ qquad f \ in C (\ mathbb {T}),}\ varphi_ {N, x} (f) = S_N (f) (x), \ qquad f \ in C (\ mathbb {T}),

ограничено. Норма φ N, x в двойном к C (T) {\ displaystyle C (\ mathbb {T})}C (\ mathbb {T}) является нормой подписанного мера (2π) D N (x − t) dt, а именно

‖ φ N, x ‖ = 1 2 π ∫ 0 2 π | D N (x - t) | d t = 1 2 π ∫ 0 2 π | D N (s) | d s = ‖ D N ‖ L 1 (T). {\ displaystyle \ left \ | \ varphi _ {N, x} \ right \ | = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | D_ {N } (xt) \ right | \, dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | D_ {N} (s) \ right | \, ds = \ left \ | D_ {N} \ right \ | _ {L ^ {1} (\ mathbb {T})}.}\ left \ | \ varphi _ {{N, x}} \ right \ | = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} \ left | D_ {N} (xt) \ right | \, dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} \ left | D_ {N} (s) \ right | \, ds = \ left \ | D_ {N} \ right \ | _ {{L ^ {1} ({\ mathbb {T}})}}.

Можно проверить, что

1 2 π ∫ 0 2 π | D N (t) | d t ≥ 1 2 π ∫ 0 2 π | sin ⁡ ((N + 1 2) t) | t / 2 d t → ∞. {\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | D_ {N} (t) | \, dt \ geq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left | \ sin \ left ((N + {\ tfrac {1} {2}}) t \ right) \ right |} {t / 2}} \, dt \ to \ infty.}{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | D_ {N} (t) | \, dt \ geq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left | \ sin \ left ((N + {\ tfrac {1} { 2}}) t \ right) \ right |} {t / 2}} \, dt \ to \ infty.}

Таким образом, набор {φ N, x } неограничен в C (T) ∗ {\ displaystyle C (\ mathbb { T}) ^ {\ ast}}C (\ mathbb {T}) ^ \ ast , двойственное к C (T) {\ displaystyle C (\ mathbb {T})}C (\ mathbb {T}) . Следовательно, по принципу равномерной ограниченности для любого x ∈ T {\ displaystyle x \ in \ mathbb {T}}x \ in \ mathbb {T} множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в x, плотно в C (T) {\ displaystyle C (\ mathbb {T})}C (\ mathbb {T}) .

Больше можно сделать, применив принцип уплотнения сингулярностей. Пусть {x m } будет плотной последовательностью в T {\ displaystyle \ mathbb {T}}\ mathbb {T} . Определите φ N, x mаналогично тому, как указано выше. Тогда принцип уплотнения особенностей гласит, что множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в каждом x m, плотно в C (T) {\ displaystyle C (\ mathbb {T})}C (\ mathbb {T}) (однако ряд Фурье непрерывной функции f сходится к f (x) почти для каждого x ∈ T {\ displaystyle x \ in \ mathbb {T}}x \ in \ mathbb {T} , по теореме Карлесона ).

Обобщения

Наименее ограничивающая установка для принципа равномерной ограниченности - это бочкообразное пространство, где выполняется следующая обобщенная версия теоремы (Бурбаки 1987, Теорема III.2.1):

Теорема. Для бочкообразного пространства X и локально выпуклого пространства Y, тогда любое семейство поточечно ограниченных непрерывных линейных отображений из X к Y является равностепенно непрерывным (даже равномерно равностепенно непрерывным ).

В качестве альтернативы, утверждение также выполняется, когда X является пространством Бэра, а Y является локально выпуклым пространством.

Дьедонне (1970) доказывает более слабую форму этой теоремы с пространствами Фреше, чем с обычными банаховыми пространствами. В частности,

Теорема. Пусть X - пространство Фреше, Y - нормированное пространство., а H - множество непрерывных линейных отображений X в Y. Если для любого x из X
sup u ∈ H ‖ u (x) ‖ < ∞, {\displaystyle \sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty,}\ sup \ nolimits_ {u \ in H} \ | u (x) \ | <\ infty,

, то семейство H равностепенно непрерывно.

См. также

Ссылки

Библиография

Последняя правка сделана 2021-06-20 11:05:27
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте