Теорема, утверждающая, что поточечная ограниченность подразумевает равномерную ограниченность
В математике, принцип равномерной ограниченности или теорема Банаха – Штейнхауза является одним из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с теоремой Хана – Банаха и теоремой об открытом отображении он считается одним из краеугольных камней этой области. В своей основной форме он утверждает, что для семейства линейных непрерывных операторов (и, таким образом, ограниченных операторов), область определения которых является банаховым пространством, точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности в operator norm.
Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штайнхаусом, но также была независимо доказана Гансом Ханом.
Содержание
- 1 Теорема
- 2 Следствия
- 3 Пример: поточечная сходимость ряда Фурье
- 4 Обобщения
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
- 7 Библиография
Теорема
Теорема (Uniform Принцип ограниченности). Пусть X - банахово пространство, а Y - нормированное векторное пространство. Предположим, что F - набор непрерывных линейных операторов из X в Y. Если
для всех x в X, то
Полнота X позволяет провести следующее короткое доказательство с использованием теоремы Бэра о категориях.
Доказательство -
Предположим, что для каждого x в банаховом пространстве X выполняется:
Для каждого целого числа , пусть
Множество является замкнутым множеством и по предположению
По теореме Бэра о категориях для непустого полное метрическое пространство X, существует m такое, что имеет непустое внутреннее, т. Е. Существует и ε>0, такие что
Пусть u ∈ X, ǁuǁ ≤ 1 и T ∈ F. Имеется, что:
Взяв верхнюю грань по u в единичном шаре X и по T ∈ F, получаем, что
Существуют также простые доказательства, не использующие теорему Бэра (Sokal 2011).
Следствия
- Следствие. Если последовательность ограниченных операторов (T n) сходится поточечно, то есть предел {T n ( x)} существует для всех x в X, то эти поточечные пределы определяют ограниченный оператор T.
Обратите внимание, что выше не утверждается, что T n сходится к T по операторной норме, т.е. равномерно на ограниченных множествах. (Однако, поскольку {T n } ограничено по операторной норме, а предельный оператор T непрерывен, стандарт показывает, что T n сходится к T равномерно на компактах.)
- Следствие. Любое слабо ограниченное подмножество S в нормированном пространстве Y ограничено.
Действительно, элементы S определяют поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных форм на банаховом пространстве X = Y *, непрерывном двойственном к Y. По принципу равномерной ограниченности нормы элементов S как функционалов на X, т. Е. Нормы во втором двойственном Y **, ограничены. Но для любого s из S норма во втором двойственном элементе совпадает с нормой в Y, что следует из теоремы Хана – Банаха.
. Пусть L (X, Y) обозначает непрерывные операторы из X в Y, с операторной нормой. Если набор F неограничен в L (X, Y), то по принципу равномерной ограниченности имеем:
В на самом деле R плотно в X. Дополнением к R в X является счетное объединение замкнутых множеств ∪X n. Согласно аргументу, использованному при доказательстве теоремы, каждое X n является нигде не плотным, то есть подмножество ∪X n относится к первой категории. Следовательно, R является дополнением к подмножеству первой категории в пространстве Бэра. По определению пространства Бэра такие множества (называемые остаточными множествами) плотны. Такое рассуждение приводит к принципу уплотнения особенностей, который можно сформулировать следующим образом:
Теорема. Пусть X - банахово пространство, {Y n } a последовательность нормированных векторных пространств, и F n неограниченное семейство в L (X, Y n). Тогда множество
- остаточное множество, и поэтому плотно в X.
Доказательство -
Дополнением к R является счетное объединение
наборов первой категории. Следовательно, его остаточное множество R плотно.
Пример: поточечная сходимость ряда Фурье
Пусть будет окружностью, и пусть быть банаховым пространством непрерывных функций на , с единой нормой . Используя принцип равномерной ограниченности, можно показать, что существует элемент в , для которого ряд Фурье не сходится поточечно.
Для его ряд Фурье определяется следующим образом:
, а N-я симметричная частичная сумма равна
где D N - это N-е ядро Дирихле. Зафиксируем и рассмотрим сходимость {S N (f) (x)}. Функционал определено
ограничено. Норма φ N, x в двойном к является нормой подписанного мера (2π) D N (x − t) dt, а именно
Можно проверить, что
Таким образом, набор {φ N, x } неограничен в , двойственное к . Следовательно, по принципу равномерной ограниченности для любого множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в x, плотно в .
Больше можно сделать, применив принцип уплотнения сингулярностей. Пусть {x m } будет плотной последовательностью в . Определите φ N, x mаналогично тому, как указано выше. Тогда принцип уплотнения особенностей гласит, что множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в каждом x m, плотно в (однако ряд Фурье непрерывной функции f сходится к f (x) почти для каждого , по теореме Карлесона ).
Обобщения
Наименее ограничивающая установка для принципа равномерной ограниченности - это бочкообразное пространство, где выполняется следующая обобщенная версия теоремы (Бурбаки 1987, Теорема III.2.1):
- Теорема. Для бочкообразного пространства X и локально выпуклого пространства Y, тогда любое семейство поточечно ограниченных непрерывных линейных отображений из X к Y является равностепенно непрерывным (даже равномерно равностепенно непрерывным ).
В качестве альтернативы, утверждение также выполняется, когда X является пространством Бэра, а Y является локально выпуклым пространством.
Дьедонне (1970) доказывает более слабую форму этой теоремы с пространствами Фреше, чем с обычными банаховыми пространствами. В частности,
- Теорема. Пусть X - пространство Фреше, Y - нормированное пространство., а H - множество непрерывных линейных отображений X в Y. Если для любого x из X
, то семейство H равностепенно непрерывно.
См. также
- Barreled space, топологическое векторное пространство с минимальные требования для выполнения теоремы Банаха – Штейнхауса
Ссылки
Библиография
- Банах, Стефан ; Steinhaus, Hugo (1927), «Sur le principe de la Concation de Singularités» (PDF), Fundamenta Mathematicae, 9: 50–61. (на французском языке)
- Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства, Элементы математики, Springer, ISBN 978-3-540-42338-6
- Дьедонне, Жан (1970), Трактат по анализу, Том 2, Academic Press.
- Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ, McGraw-Hill.
- Штерн, AI (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
- Сокал, Алан (2011), «Действительно простое элементарное доказательство теоремы о равномерной ограниченности», Amer. Математика. Ежемесячно, 118 : 450–452, arXiv : 1005.1585, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.05.450.