В математике, Теория Шоке, названа в честь Гюстава Шоке, это область функционального анализа и выпуклого анализа, связанная с мерами, которые имеют поддержку на крайних точках выпуклого множества C. Грубо говоря, каждый вектор из C должен отображаться как средневзвешенное значение крайних точек, концепция, уточненная путем обобщения понятия средневзвешенного значения от выпуклой комбинации до интеграл, взятый по множеству крайних точек E. Здесь C - подмножество вещественного векторного пространства V, и основная задача теории состоит в рассмотрении случаев, когда V является бесконечномерным (локально выпуклым хаусдорфовым) топологическим векторным пространством по аналогии с конечномерным случаем. Главные заботы Гюстава Шоке были в теории потенциала. Теория Шоке стала общей парадигмой, в частности, для рассмотрения выпуклых конусов, определяемых их крайними лучами, и, таким образом, для многих различных представлений о позитивности в математике.
Два конца отрезка линии определяют точки между ними: в векторном выражении отрезок от v до w состоит из λv + (1 - λ) w с 0 ≤ λ ≤ 1. Классический результат Германа Минковского гласит, что в евклидовом пространстве ограниченное, замкнутое выпуклое множество C - это выпуклая оболочка своего множества крайних точек E, так что любая c в C является (конечной) выпуклой комбинацией точек e множества E. Здесь E может быть конечной или бесконечное множество. В векторных терминах, присвоив неотрицательные веса w (e) элементу e в E, почти всем 0, мы можем представить любой c в C как
с
В любом случае w (e) дает вероятностную меру, поддерживаемую на конечном подмножестве E. Для любой аффинной функции f на C, его значение в точке c равно
В бесконечномерном окружении хотелось бы сделать подобное утверждение.
Теорема Шоке утверждает, что для компактного выпуклого подмножества C в нормированном пространстве V, для данного c в C существует вероятностная мера w с носителем на множестве E крайних точек C, таких что для любой аффинной функции f на C
На практике V будет банаховым пространством. Исходная теорема Крейна – Мильмана следует из результата Шоке. Другим следствием является теорема о представлении Рисса для состояний на непрерывных функциях на метризуемом компактном хаусдорфовом пространстве.
В более общем смысле, для V a локально выпуклого топологического векторного пространства теорема Шоке – Бишопа – де Лиу дает такое же формальное утверждение.
В дополнение к существованию вероятностной меры, поддерживаемой на крайней границе, которая представляет данную точку c, можно также рассмотреть уникальность таких мер. Легко видеть, что единственность не выполняется даже в конечномерном случае. В качестве контрпримеров можно взять выпуклое множество как куб или шар в R . Однако единственность имеет место, когда выпуклое множество является конечномерным симплексом. Конечномерный симплекс - это частный случай симплекса Шоке . Любая точка в симплексе Шоке представляется единственной вероятностной мерой на крайних точках.