Теория Шоке

редактировать

В математике, Теория Шоке, названа в честь Гюстава Шоке, это область функционального анализа и выпуклого анализа, связанная с мерами, которые имеют поддержку на крайних точках выпуклого множества C. Грубо говоря, каждый вектор из C должен отображаться как средневзвешенное значение крайних точек, концепция, уточненная путем обобщения понятия средневзвешенного значения от выпуклой комбинации до интеграл, взятый по множеству крайних точек E. Здесь C - подмножество вещественного векторного пространства V, и основная задача теории состоит в рассмотрении случаев, когда V является бесконечномерным (локально выпуклым хаусдорфовым) топологическим векторным пространством по аналогии с конечномерным случаем. Главные заботы Гюстава Шоке были в теории потенциала. Теория Шоке стала общей парадигмой, в частности, для рассмотрения выпуклых конусов, определяемых их крайними лучами, и, таким образом, для многих различных представлений о позитивности в математике.

Два конца отрезка линии определяют точки между ними: в векторном выражении отрезок от v до w состоит из λv + (1 - λ) w с 0 ≤ λ ≤ 1. Классический результат Германа Минковского гласит, что в евклидовом пространстве ограниченное, замкнутое выпуклое множество C - это выпуклая оболочка своего множества крайних точек E, так что любая c в C является (конечной) выпуклой комбинацией точек e множества E. Здесь E может быть конечной или бесконечное множество. В векторных терминах, присвоив неотрицательные веса w (e) элементу e в E, почти всем 0, мы можем представить любой c в C как

c = ∑ e ∈ E w (e) е {\ displaystyle c = \ sum _ {e \ in E} w (e) e \}c = \ sum_ {e \ в E} w (e) e \

с

∑ e ∈ E w (e) = 1. {\ displaystyle \ sum _ {e \ в E} w (e) = 1. \}\ sum_ {e \ in E} w (e) = 1. \

В любом случае w (e) дает вероятностную меру, поддерживаемую на конечном подмножестве E. Для любой аффинной функции f на C, его значение в точке c равно

f (c) = ∫ f (e) dw (e). {\ displaystyle f (c) = \ int f (e) dw (e).}f (c) = \ int f (e) dw (e).

В бесконечномерном окружении хотелось бы сделать подобное утверждение.

Теорема Шоке утверждает, что для компактного выпуклого подмножества C в нормированном пространстве V, для данного c в C существует вероятностная мера w с носителем на множестве E крайних точек C, таких что для любой аффинной функции f на C

f (c) = ∫ f (e) dw (e). {\ displaystyle f (c) = \ int f (e) dw (e).}f (c) = \ int f (e) dw (e).

На практике V будет банаховым пространством. Исходная теорема Крейна – Мильмана следует из результата Шоке. Другим следствием является теорема о представлении Рисса для состояний на непрерывных функциях на метризуемом компактном хаусдорфовом пространстве.

В более общем смысле, для V a локально выпуклого топологического векторного пространства теорема Шоке – Бишопа – де Лиу дает такое же формальное утверждение.

В дополнение к существованию вероятностной меры, поддерживаемой на крайней границе, которая представляет данную точку c, можно также рассмотреть уникальность таких мер. Легко видеть, что единственность не выполняется даже в конечномерном случае. В качестве контрпримеров можно взять выпуклое множество как куб или шар в R . Однако единственность имеет место, когда выпуклое множество является конечномерным симплексом. Конечномерный симплекс - это частный случай симплекса Шоке . Любая точка в симплексе Шоке представляется единственной вероятностной мерой на крайних точках.

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Asimow, L.; Эллис, А. Дж. (1980). Теория выпуклости и ее приложения в функциональном анализе. Монографии Лондонского математического общества. 16 . Лондон-Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. С. x + 266. ISBN 0-12-065340-0. MR 0623459.
  • Бурджин, Ричард Д. (1983). Геометрические аспекты выпуклых множеств со свойством Радона-Никодима. Конспект лекций по математике. 993 . Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 474. ISBN 3-540-12296-6. MR 0704815. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
  • Фелпс, Роберт Р. (2001). Лекции по теореме Шоке. Лекционные заметки по математике. 1757 (Второе издание, изд. 1966 г.). Берлин: Springer-Verlag. Pp. Viii + 124. ISBN 3-540-41834-2. MR 1835574. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
  • , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Последняя правка сделана 2021-05-14 13:54:46
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте