Функция вогнутой формы

редактировать

негативный выпуклой функции

В математике вогнутая функция представляет собой отрицательное значение для выпуклой функции. Вогнутая функция также синонимично называется вогнутая вниз, вогнутая вниз, выпуклая вверх, выпуклая крышка или выпуклый верхний .

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Функции одной переменной
- 2.2 Функции n переменных
3 Примеры
4 Приложения
5 См. также
6 Ссылки
7 Дополнительные ссылки

Определение

Действительная функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ на интервал (или, в более общем смысле, выпуклое множество в векторном пространстве ) называется вогнутым, если для любого $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ в интервале и для любого $α ∈ [0, 1] {\ displaystyle \ alpha \ in [0,1] }$ $\ alpha \ in [0,1 ]$ ,

е ((1 - α) x + α y) ≥ (1 - α) f (x) + α f (y) {\ displaystyle f ((1- \ alpha) x + \ alpha y) \ geq (1- \ alpha) f (x) + \ alpha f (y)}

{\ displaystyle f ((1- \ alpha) x + \ alpha y) \ geq (1- \ alpha) f (x) + \ alpha f ( y)}

Функция называется строго вогнутой, если

f ((1 - α) x + α y)>(1 - α) f (x) + α f (y) {\ отображает tyle f ((1- \ alpha) x + \ alpha y)>(1- \ alpha) f (x) + \ alpha f (y) \,}

f((1-\alpha)x+\alpha y)>(1- \ alpha) f (x) + \ alpha f (y) \,

для любых $α ∈ (0, 1) {\ displaystyle \ alpha \ in (0,1)}$ $\ alpha \ in (0,1)$ и $x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y }$ $x \ neq y$ .

Для функции $f: R → R {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}}$ это второе определение просто утверждает, что для каждого $z {\ displaystyle z}$ $z$ строго между $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ , точка $(z, f (z)) {\ displaystyle (z, f (z))}$ ${\ displaystyle (z, f (z))}$ на графике $f {\ displaystyle f}$ $f$ находится над прямая линия, соединяющая точки $(x, f (x)) {\ displaystyle (x, f (x))}$ $(x, f (x))$ и $(y, f (y)) {\ displaystyle ( y, f (y))}$ ${ \ displaystyle (y, f (y))}$ .

Функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ является квазивогнутой, если верхний контур устанавливает функция $S (a) = {x: f (x) ≥ a} {\ displaystyle S (a) = \ {x: f (x) \ geq a \}}$ $S (a) = \ {x: f (x) \ geq a \}$ выпуклые наборы.

Свойства

Функции одной переменной

1. дифференцируемая функция f является (строго) вогнутой на отрезке тогда и только тогда, когда ее производная функция f ′ (строго) монотонно убывающая на этом интервале, то есть вогнутая функция имеет невозрастающий (убывающий) наклон.

2. Точки, где изменяется вогнутость (между вогнутым и выпуклым ), являются точками перегиба.

3. Если f дважды- дифференцируемый, то f является вогнутым тогда и только тогда, когда f ′ ′ является неположительным (или, неформально, если "ускорение "неположительно). Если его вторая производная отрицательна, тогда она строго вогнута, но обратное неверно, как показано как f (x) = −x.

4. Если f вогнутая и дифференцируемая, то она ограничена сверху своим приближением Тейлора первого порядка :

f (y) ≤ f (x) + f ′ (x) [y - x] {\ displaystyle f ( y) \ leq f (x) + f '(x) [yx]}

f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]

5. Измеримая функция Лебега на интервале C является вогнутой тогда и только тогда, когда вогнута в средней точке, то есть для любых x и y в C

f (Икс + Y 2) ≥ е (Икс) + е (Y) 2 {\ Displaystyle F \ влево ({\ гидроразрыва {x + y} {2}} \ справа) \ geq {\ frac {f (x) + f (y)} {2}}}

f \ left ({\ frac {x + y} 2 } \ right) \ geq {\ frac {f (x) + f (y)} 2}

6. Если функция f вогнутая и f (0) ≥ 0, то f является субаддитивом на $[0, ∞) {\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ .. Доказательство:

Поскольку f вогнутая и 1 ≥ t ≥ 0, полагая y = 0, имеем $f (tx) = f (tx + (1 - t) ⋅ 0) ≥ tf (x) + (1 - t) f (0) ≥ tf (x). {\ displaystyle f (tx) = f (tx + (1-t) \ cdot 0) \ geq tf (x) + (1-t) f (0) \ geq tf (x).}$ ${\ displaystyle f (tx) = f (tx + (1-t) \ cdot 0) \ geq tf (x) + (1-t) f (0) \ geq tf (x).}$
для $a, b ∈ [0, ∞) {\ displaystyle a, b \ in [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle a, b \ in [0, \ infty)}$ :

f (a) + f (b) = f ((a + b) aa + b) + е ((a + b) ba + b) ≥ aa + bf (a + b) + ba + bf (a + b) = f (a + b) {\ displaystyle f (a) + f (b) = f \ left ((a + b) {\ frac {a} {a + b}} \ right) + f \ left ((a + b) {\ frac {b} {a + b}} \ right) \ geq {\ frac {a} {a + b}} f (a + b) + {\ frac {b} {a + b}} f (a + b) = f (a + b)}

f ( a) + f (b) = f \ left ((a + b) {\ frac {a} {a + b}} \ right) + f \ left ((a + b) {\ frac {b} {a + b}} \ right) \ geq {\ frac {a} {a + b}} f (a + b) + {\ frac {b} {a + b}} f (a + b) = f (a + b)

Функции n переменных

1. Функция f вогнута над выпуклым множеством тогда и только тогда, когда функция -f является выпуклой функцией над множеством.

2. Сумма двух вогнутых функций сама по себе является вогнутой, как и поточечный минимум двух вогнутых функций, то есть набор вогнутых функций в заданной области образует полуполе.

3. Вблизи локального максимума внутри области определения функции функция должна быть вогнутой; наоборот, если производная строго вогнутой функции в некоторой точке равна нулю, то эта точка является локальным максимумом.

4. Любой локальный максимум вогнутой функции также является глобальным максимумом. Строго вогнутая функция будет иметь не более одного глобального максимума.

Примеры

Функции $f (x) = - x 2 {\ displaystyle f (x) = - x ^ {2}}$ $f (x) = - x ^ {2}$ и $g ( x) = x {\ displaystyle g (x) = {\ sqrt {x}}}$ $g (x) = {\ sqrt { x}}$ вогнуты по своим доменам, так как их вторые производные $f ″ (x) = - 2 {\ displaystyle f '' (x) = - 2}$ $f''(x)=-2$ и $g ″ (x) = - 1 4 x 3/2 {\ displaystyle g '' (x) = - {\ frac {1} {4x ^ {3/2}}}}$ $g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}$ всегда отрицательны.
Логарифм функция $f (x) = log ⁡ x {\ displaystyle f (x) = \ log {x}}$ ${\ displaystyle f (x) = \ log {x}}$ является вогнутым в своей области $(0, ∞) {\ displaystyle (0, \ infty)}$ $(0, \ infty)$ в качестве производной $1 x {\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$ ${\ frac {1} {x}}$ - строго убывающая функция.
Любая аффинная функция $f (x) = ax + b {\ displaystyle f (x) = ax + b}$ $f (x) = ax + b$ одновременно вогнутый и выпуклый, но не строго вогнутый или строго выпуклый.
синус функция вогнута на интервале $[0, π] {\ displaystyle [0, \ pi]}$ $[0, \ pi]$ .
Функция $f (B) = log ⁡ | B | {\ displaystyle f (B) = \ log | B |}$ $f (B) = \ log | B |$ , где $| B | {\ displaystyle | B |}$ $| B |$ - это определитель неотрицательно-определенной матрицы B, вогнутый.

Приложения

Изгибы лучей в расчет затухания радиоволн в атмосфере включает вогнутые функции.
В теории ожидаемой полезности для выбора в условиях неопределенности, кардинальной полезности функции лиц, принимающих решения, не склонных к риску, вогнуты.
В микроэкономической теории, производственные функции обычно предполагаются вогнутыми над некоторыми или все их домены, что приводит к убывающей отдаче входным факторам.

См. также

Ссылки

Дополнительные ссылки

Crouzeix, J.-P. (2008). «Квазивогнутость». В Durlauf, Steven N.; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 815–816. DOI : 10.1057 / 9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5. CS1 maint: ref = harv (link )
Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Оптимизация: теория и практика. John Wiley and Sons. Стр. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.