Поляризация алгебраической формы

В математике, в частности в алгебре, поляризация - это метод более простого выражения однородного полинома путем присоединения большего количества переменных. В частности, для заданного однородного полинома поляризация создает полилинейную форму , из которой можно восстановить исходный полином путем вычисления по определенной диагонали.

Хотя этот метод обманчиво прост, он имеет приложения во многих областях абстрактной математики: в частности, в алгебраической геометрии, теории инвариантов и теории представлений.. Поляризация и связанные с ней методы составляют основу.

• 1 Метод
• 2 Примеры
• 3 Математические детали и следствия
  • 3.1 Изоморфизм поляризации (по степени)
  • 3.2 Алгебраический изоморфизм
  • 3.3 Замечания
• 4 Ссылки

Основные идеи заключаются в следующем. Пусть f (u ) - многочлен от n переменных u = (u 1, u 2,..., u n). Предположим, что f однороден степени d, что означает, что

f (t u ) = tf (u ) для всех t.

Пусть u, u,..., u быть набором неопределенных с u = (u 1, u 2,..., u n), так что всего dn переменных. Полярная форма функции f является полиномом

F(u, u,..., u)

, который является линейным отдельно в каждом u (т. Е. F является полилинейным), симметричным в u, и такой, что

F(u,u,..., u ) = f (u).

Полярная форма f задается следующей конструкцией

$F\; (u\; (\; 1),\dots ,\; u\; (d))\; =\; 1\; d!\; \partial \; \partial \; \lambda \; 1\dots \; \partial \; \partial \; \lambda \; df\; (\lambda \; 1\; u\; (1)\; +\; \cdots \; +\; \lambda \; du\; (d))\; |\; \lambda \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\{\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; ^\; \{(1)\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; ^\; \{(d)\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{d!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; dots\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{d\}\}\}\; f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; ^\; \{(1)\; \}\; +\; \backslash \; dots\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{d\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; ^\; \{(d)\})\; |\; \_\; \{\backslash \; lambda\; =\; 0\}.\}$

Другими словами, F является постоянным кратным коэффициенту из λ 1λ2... λ d в разложении f (λ 1u+... + λ du).

• Предположим, что x = (x, y) и f (x ) - это квадратичная форма

$f\; (x)\; =\; x\; 2\; +\; 3\; xy\; +\; 2\; y\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\})\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 3xy\; +\; 2y\; ^\; \{2\}.\}$

Тогда поляризация f является функцией в x = (x, y) и x = (x, y), заданные как

$F\; (x\; (1),\; x\; (2))\; =\; x\; (1)\; x\; (2)\; +\; 3\; 2\; х\; (2)\; у\; (1)\; +\; 3\; 2\; х\; (1)\; у\; (2)\; +\; 2\; у\; (1)\; у\; (2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{(1)\},\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{(2)\})\; =\; x\; ^\; \{(1)\}\; x\; ^\; \{(2)\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{(2)\}\; y\; ^\; \{(1)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{(1)\}\; y\; ^\; \{(2)\}\; +\; 2y\; ^\; \{(1)\}\; y\; ^\; \{(2)\}.\}$

• В более общем смысле, если f - любая квадратичная форма, то поляризация f согласуется с выводом поляризационного тождества .
• Кубический пример Пусть f (x, y) = x + 2xy. Тогда поляризация f определяется выражением

$F\; (x\; (1),\; y\; (1),\; x\; (2),\; y\; (2),\; x\; (3),\; y\; (3))\; =\; x\; (1)\; x\; (\; 2)\; x\; (3)\; +\; 2\; 3\; x\; (1)\; y\; (2)\; y\; (3)\; +\; 2\; 3\; x\; (3)\; y\; (1)\; y\; (2)\; +\; 2\; 3\; x\; (2)\; y\; (3)\; y\; (1)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (х\; ^\; \{(1)\},\; y\; ^\; \{(1)\},\; x\; ^\; \{(2)\},\; y\; ^\; \{(2)\},\; x\; ^\; \{(3)\},\; y\; ^\; \{(3))\})\; =\; x\; ^\; \{(1)\}\; x\; ^\; \{(2)\}\; x\; ^\; \{(3)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; x\; ^\; \{(1)\}\; y\; ^\; \{(2)\}\; y\; ^\; \{(3)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; x\; ^\; \{(3)\}\; y\; ^\; \{(1)\}\; y\; ^\; \{(2)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; x\; ^\; \{(2)\}\; y\; ^\; \{(3)\}\; y\; ^\; \{(1)\}.\}$

Поляризация однородного полинома степени d справедлива для любого коммутативное кольцо, в котором d! это единица. В частности, это справедливо для любого поля с нулевой характеристикой или характеристикой которого строго больше, чем d.

Изоморфизм поляризации (по степени)

Для простоты пусть k будет полем с нулевой характеристикой и пусть A = k [x ] будет полиномом кольцо от n переменных над k. Тогда A оценивается на степень, так что

$A\; =\; ⨁\; d\; A\; d.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{d\}\; A\_\; \{d\}.\}$

Затем поляризация алгебраических форм индуцирует изоморфизм векторных пространств в каждой степени

$A\; d\; \cong \; S\; ymdkn\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{d\}\; \backslash \; cong\; Sym\; ^\; \{d\}\; k\; ^\; \{n\}\}$

, где Sym - это d-я симметричная степень n-мерного пространства k.

Эти изоморфизмы могут быть выражены независимо от основы следующим образом. Если V - конечномерное векторное пространство, а A - кольцо k-значных полиномиальных функций на V, градуированных однородной степенью, то поляризация дает изоморфизм

$A\; d\; \cong \; S\; y\; m\; d\; V\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{d\}\; \backslash \; cong\; Sym\; ^\; \{d\}\; V\; ^\; \{*\}.\}$

Алгебраический изоморфизм

Кроме того, поляризация совместима с алгебраической структурой на A, так что

$A\; \cong \; S\; ym\; \cdot \; V\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; cong\; Sym\; ^\; \{\backslash \; cdot\}\; V\; ^\; \{*\}\}$

где SymV - полная симметрическая алгебра над V.

Замечания

• Для полей положительной характеристики p вышеуказанные изоморфизмы применяются, если градуированные алгебры усекаются до степени p-1.
• Существуют обобщения, когда V является бесконечномерным топологическое векторное пространство.

• Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представления, Springer, ISBN 9780387260402.