Уравнение Удвадиа – Калабы

В теоретической физике уравнение Удвадиа – Калаба является методом для вывод уравнений движения ограниченной механической системы. Уравнение было впервые описано Фирдаусом Э. Удвадией и Робертом Э. Калаба в 1992 году. Подход основан на принципе наименьшего ограничения Гаусса. Уравнение Удвадиа-Калаба применимо как к голономным ограничениям, так и к неголономным ограничениям, если они линейны по отношению к ускорениям. Уравнение обобщается на ограничивающие силы, которые не подчиняются принципу Даламбера.

• 1 Предпосылки
• 2 Центральная проблема ограниченного движения
  • 2.1 Ограничения
• 3 Уравнение движения
• 4 Неидеальные ограничения
• 5 Примеры
  • 5.1 Обратная задача Кеплера
  • 5.2 Наклонная плоскость с трением
• 6 Ссылки

Уравнение Удвадиа – Калаба было разработано в 1992 г. и описывает движение связанной механической системы, которая подвергается ограничениям равенства.

Это отличается от формализма Лагранжа, который использует множители Лагранжа для описания движения механических систем с ограничениями, и другие аналогичные подходы, такие как подход Гиббса-Аппелла. Физическая интерпретация уравнения имеет приложения в областях, выходящих за рамки теоретической физики, таких как управление высоконелинейными общими динамическими системами.

При изучении динамики механических систем, конфигурация данной системы S, как правило, полностью описывается n обобщенными координатами, так что ее обобщенный координатный n-вектор задается как

$q:\; =\; [q\; 1,\; q\; 2,\dots ,\; Qn]\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}:\; =\; [q\_\; \{1\},\; q\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{n\}]\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}.\}$

где T означает транспонирование матрицы. Используя ньютоновскую или лагранжевую динамику, уравнения без ограничений движения исследуемой системы S могут быть выведены в виде матричного уравнения (см. умножение матриц ):

уравнения Удвадиа – Калабы движение (без ограничений)

$M\; (q,\; t)\; q\; ¨\; (t)\; =\; Q\; (q,\; q\; \dot{},\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; (q,\; t)\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (q,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; t)\; \backslash ,,\}$

где точки представляют производные по времени :

$q\; \dot{}\; i\; =\; dqidt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dq\_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; \backslash ,.\}$

Предполагается, что начальные условия q(0) и $q\; \dot{}\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; (0)\}$известны. Мы называем систему S неограниченной, потому что $q\; \dot{}\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; (0)\}$может быть присвоено произвольно.

n-вектор Q обозначает общую обобщенную силу, действующую на систему некоторым внешним воздействием; его можно выразить как сумму всех консервативных сил, а также неконсервативных сил.

Матрица n × n M является симметричной, и она может быть положительно определенной $(M>0)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{M\}>0)\}$или полуположительно определенное $(M\; \ge \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; geq\; 0)\}$. что M является положительно определенным; однако нередко выводить неограниченные уравнения движения системы S такие, что M является только полуположительно определенным; т. е. матрица масс может быть сингулярной (она не имеет обратной матрицы ).

Ограничения

Теперь предположим, что неограниченная система S подчиняется набору из m согласованных ограничений равенства, заданных формулой

$A\; (д,\; д\; \dot{},\; т)\; д\; ¨\; знак\; равно\; б\; (д,\; д\; \dot{},\; т),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (д,\; \{\backslash \; точка\; \{q\}\},\; т)\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (q,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; t),\}$

где A - знать Матрица размером n m на n ранга r и b является известным m-вектором. Отметим, что этот набор уравнений связей охватывает очень общее разнообразие голономных и неголономных ограничений равенства. Например, голономные ограничения вида

$\phi \; (q,\; t)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (q,\; t)\; =\; 0\}$

можно дважды дифференцировать по времени, в то время как неголономные ограничения форма

$\psi \; (q,\; q\; \dot{},\; t)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (q,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; t)\; =\; 0\}$

может быть дифференцирована один раз по времени, чтобы получить Матрица m by n A и m-вектор b . Короче говоря, могут быть указаны ограничения, которые являются

1. нелинейными функциями смещения и скорости,
2. явно зависящими от времени и
3. функционально зависимыми.

Как следствие применения этих ограничений к неограниченной системе S концептуализируется возникновение дополнительной силы, а именно силы принуждения. Следовательно, система с ограничениями S c становится

Уравнениями движения Удвадиа – Калабы (с ограничениями)

$M\; q\; ¨\; =\; Q\; +\; Q\; c\; (q,\; q\; \dot{},\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{c\}\; (q,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; t),\}$

где Qc- сила ограничения - это дополнительная сила, необходимая для удовлетворения наложенных ограничений. Центральная проблема ограниченного движения теперь формулируется следующим образом:

1. с учетом неограниченных уравнений движения системы S,
2. с учетом обобщенного перемещения q (t) и обобщенной скорости $q\; \dot{}\; (\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; (t)\}$системы с ограничениями S c в момент времени t, и
3. с учетом ограничений в форма $A\; q\; ¨\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\backslash \; ddot\; \{q\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$как указано выше,

найти уравнения движения для система с ограничениями - ускорение - в момент времени t, что соответствует согласованным принципам аналитической динамики.

Решение этой центральной проблемы дается уравнением Удвадиа – Калаба. Когда матрица M положительно определена, уравнение движения системы со связями S c в каждый момент времени составляет

$M\; q\; ¨\; =\; Q\; +\; M\; 1\; /\; 2\; (AM\; -\; 1/2)\; +\; (b\; -\; AM\; -\; 1\; Q),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}),\}$

где символ '+' обозначает псевдообратную матрицу $AM\; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\}$. Таким образом, сила ограничения явно задается как

$Q\; c\; =\; M\; 1/2\; (AM\; -\; 1/2)\; +\; (b\; -\; AM\; -\; 1\; Q),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{c\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}),\}$

, и поскольку матрица M положительно определена, обобщенное ускорение системы с ограничениями S c равно определяется явно с помощью

$q\; ¨\; =\; M\; -\; 1\; Q\; +\; M\; -\; 1/2\; (AM\; -\; 1/2)\; +\; (b\; -\; AM\; -\; 1\; Q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}).\}$

В случае, если матрица M является полуположительно определенной $(M\; \ge \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; geq\; 0)\}$, Вышеупомянутое уравнение нельзя использовать напрямую, поскольку M может быть сингулярным. Кроме того, обобщенные ускорения не могут быть уникальными, если только матрица размером (n + m) на n

$M\; ^\; =\; [MA]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{M\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

имеет полный ранг (rank = n). Но поскольку наблюдаемые ускорения механических систем в природе всегда уникальны, это ранговое условие является необходимым и достаточным условием для получения однозначно определенных обобщенных ускорений системы со связями S c в каждый момент времени. Таким образом, когда $M\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{M\}\}\}\}$имеет полный ранг, уравнения движения системы со связями S c при каждый момент времени однозначно определяется (1) созданием вспомогательной неограниченной системы

$MA\; q\; ¨:\; =\; (M\; +\; A\; +\; A)\; q\; ¨\; =\; Q\; +\; A\; +\; b:\; =\; Q\; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}:\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{M\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{+\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{+\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}:\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\},\}$

и по ( 2) применение основного уравнения движения со связями к этой вспомогательной системе без ограничений, так что вспомогательные уравнения движения со связями явно задаются формулой

$MA\; q\; ¨\; =\; Q\; b\; +\; MA\; 1/2\; (AMA\; -\; 1/2)\; +\; (b\; -\; АМА\; -\; 1\; Q\; б).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{1/2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1/2\})\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}).\}$

Более того, когда матрица $M\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{M\}\}\}\}$имеет полный ранг, матрица $MA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}$всегда положительно определено. Это дает в явном виде обобщенные ускорения системы со связями S c как

$q\; ¨\; =\; MA\; -\; 1\; Q\; b\; +\; MA\; -\; 1/2\; (AMA\; -\; 1/2)\; +\; (b\; -\; AMA\; -\; 1\; Q\; б).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\; M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1/2\})\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}).\}$

Это уравнение является действителен, когда матрица M является положительно определенной или положительно полуопределенной. Кроме того, сила ограничения, которая заставляет ограниченную систему S c - систему, которая может иметь матрицу сингулярных масс M - удовлетворять наложенным ограничениям, явно задается как

$Q\; c\; =\; MA\; 1/2\; (AMA\; -\; 1/2)\; +\; (b\; -\; AMA\; -\; 1\; Q\; b).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{c\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{1/2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \}\; ^\; \{-\; 1/2\})\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \_\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}).\}$

В любой момент во время движения мы можем рассмотреть возможность возмущения системы посредством виртуального смещения δr, совместимого с ограничениями система. Смещение может быть как обратимым, так и необратимым. Если перемещение необратимо, то оно выполняет виртуальную работу. Мы можем записать виртуальную работу смещения как

$W\; c\; (t)\; =\; CT\; (q,\; q\; \dot{},\; t)\; \delta \; r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{c\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (q,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; t)\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}$

Вектор $C\; (q,\; q\; \dot{},\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (q,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; t)\}$описывает неидеальность виртуальной работы и может быть отнесен, например, к трению или силы сопротивления (такие силы зависят от скорости). Это обобщенный принцип Даламбера, где обычная форма принципа имеет исчезающую виртуальную работу с $C\; (q,\; q\; \dot{},\; t)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (\; q,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; t)\; =\; 0\}$.

Уравнение Удвадиа – Калаба модифицируется дополнительным неидеальным ограничивающим членом до

$M\; q\; ¨\; =\; Q\; +\; M\; 1/2\; (AM\; -\; 1/2)\; +\; (b\; -\; AM\; -\; 1\; Q)\; +\; M\; 1/2\; [I\; -\; (AM\; -\; 1/2)\; +\; AM\; -\; 1/2]\; M\; -\; 1/2\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \{\; \backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\})\; +\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{+\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; right\; ]\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}$

Обратная задача Кеплера

Метод может решить обратную задачу Кеплера определения закона силы, соответствующего орбитам, которые являются коническими сечениями. Мы предполагаем, что там нет внешних сил (даже гравитации), и вместо этого ограничиваем движение частицы по орбитам формы

$r\; =\; \epsilon \; x\; +\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \backslash \; varepsilon\; x\; +\; \backslash \; ell\}$

где $r\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}$, $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$- это эксцентриситет, а $\ell \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; ell\}$- прямая полушария прямой кишки. Двойное дифференцирование по времени и небольшая перестановка дает ограничение

$(x\; -\; r\; \epsilon )\; x\; ¨\; +\; yy\; ¨\; =\; -\; (xy\; \dot{}\; -\; yx\; \dot{})\; 2\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (xr\; \backslash \; varepsilon)\; \{\backslash \; ddot\; \{\; x\}\}\; +\; y\; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; -\; y\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\})\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \}$

Мы предполагаем, что тело имеет простую постоянную массу. Мы также предполагаем, что угловой момент относительно фокуса сохраняется как

$m\; (xy\; \dot{}\; -\; yx\; \dot{})\; =\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (x\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; -\; y\; \{\backslash \; dot\; \{\; x\}\})\; =\; L\}$

с производной по времени

$xy\; ¨\; -\; yx\; ¨\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; -\; y\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; =\; 0\}$

Мы можно объединить эти два ограничения в матричное уравнение

$(x\; -\; r\; \epsilon \; yy\; -\; x)\; (x\; ¨\; y\; ¨)\; =\; (-\; L\; 2\; m\; 2\; r\; 2\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; xr\; \backslash \; varepsilon\; y\; \backslash \backslash \; y\; -x\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{m\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Матрица ограничений имеет обратный

$(x\; -\; r\; \epsilon \; yy\; -\; x)\; -\; 1\; знак\; равно\; 1\; \ell \; р\; (хуу\; -\; (х\; -\; р\; \epsilon ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; xr\; \backslash \; varepsilon\; y\; \backslash \backslash \; y\; -x\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; ell\; r\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; y\; \backslash \backslash \; y\; -\; (xr\; \backslash \; varepsilon)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Следовательно, сила ограничения - это ожидаемый центральный обратный квадрат закон

$F\; c\; =\; m\; A\; -\; 1\; b\; =\; m\; \ell \; r\; (xyy\; -\; (x\; -\; r\; \epsilon ))\; (-\; L\; 2\; m\; 2\; r\; 2\; 0)\; =\; -\; L\; 2\; m\; \ell \; r\; 2\; (cos\; \; \theta \; sin\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{c\}\; =\; m\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{\backslash \; ell\; r\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; y\; \backslash \backslash \; y\; -\; (xr\; \backslash \; varepsilon)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{m\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{m\; \backslash \; ell\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Наклонная плоскость с трением

Рассмотрим небольшой блок постоянной массы на наклонной плоскости под углом $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$выше горизонтальный. Ограничение, заключающееся в том, что блок лежит на плоскости, можно записать как

$y\; =\; x\; tan\; \; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\; \backslash \; tan\; \backslash \; alpha\}$

После взятия двух производных по времени мы можем поместить это в стандартное ограничение форма матричного уравнения

$(-\; tan\; \; \alpha \; 1)\; (x\; ¨\; y\; ¨)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \backslash \; tan\; \backslash \; alpha\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; 0\}$

Матрица ограничений имеет псевдообратную форму

$(-\; tan\; \; \alpha \; 1)\; +\; =\; cos\; 2\; \; \alpha \; (-\; tan\; \; \alpha \; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \backslash \; tan\; \backslash \; alpha\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{+\}\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \backslash \; tan\; \backslash \; alpha\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Мы допускаем трение скольжения между блоком и наклонной плоскостью. Мы параметризуем эту силу стандартным коэффициентом трения, умноженным на нормальную силу

$C\; =\; -\; \mu \; mg\; cos\; \; \alpha \; sign\; \; y\; \dot{}\; (cos\; \; \alpha \; sin\; \; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; =\; -\; \backslash \; mu\; mg\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

В то время как сила тяжести обратима, силы трения нет. Следовательно, виртуальная работа, связанная с виртуальным перемещением, будет зависеть от C . Мы можем резюмировать три силы (внешнее, идеальное ограничение и неидеальное ограничение) следующим образом:

$F\; ext\; =\; Q\; =\; -\; mg\; (0\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ext\}\; \}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; -mg\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

$F\; c,\; i\; =\; -\; A\; +\; AQ\; =\; mg\; cos\; 2\; \; \alpha \; (-\; tan\; \; \alpha \; 1)\; (-\; загар\; \; \alpha \; 1)\; (0\; Y)\; знак\; равно\; мг\; (-\; грех\; \; \alpha \; соз\; \; \alpha \; соз\; 2\; \; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{c,\; i\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{+\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; mg\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \backslash \; tan\; \backslash \; alpha\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \backslash \; tan\; \backslash \; alpha\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; mg\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \backslash \backslash \; cos\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

$F\; c,\; ni\; =\; (I\; -\; A\; +\; A)\; C\; =\; -\; \mu \; mg\; cos\; \; \alpha \; sign\; \; y\; \dot{}\; [(1\; 0\; 0\; 1)\; -\; cos\; 2\; \; \alpha \; (-\; загар\; \; \alpha \; 1)\; (-\; загар\; \; \alpha \; 1)]\; =\; -\; \mu \; мг\; соз\; \; \alpha \; знак\; \; у\; \dot{}\; (соз\; 2\; \; \alpha \; грех\; \; \alpha \; соз\; \; \alpha )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{с,\; ni\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{+\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; =\; -\; \backslash \; mu\; mg\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\; \}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatr\; ix\}\}\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \backslash \; tan\; \backslash \; alpha\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -\; \backslash \; tan\; \backslash \; alpha\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; -\; \backslash \; mu\; mg\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Объединяя вышесказанное, мы находим, что уравнения движения:

$(x\; ¨\; y\; ¨)\; =\; 1\; m\; (F\; ext\; +\; F\; c,\; i\; +\; F\; c,\; ni)\; =\; -\; g\; (\; грех\; \; \alpha \; +\; \mu \; соз\; \; \alpha \; знак\; \; Y\; \dot{})\; (соз\; \; \alpha \; грех\; \; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ext\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{c,\; i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{c,\; ni\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; g\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \backslash \backslash \; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Это похоже на постоянное ускорение вниз под действием силы тяжести с небольшими изменениями. Если блок движется вверх по наклонной плоскости, то трение увеличивает ускорение вниз. Если блок движется вниз по наклонной плоскости, то трение снижает ускорение вниз.

1. ^Udwadia, F.E.; Калаба, Р. Э. (1996). Аналитическая динамика: новый подход. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-04833-8.
2. ^ Udwadia, F.E.; Калаба, Р. Э. (1992). «Новый взгляд на ограниченное движение» (PDF). Труды Лондонского королевского общества, серия A. 439 (1906): 407–410. Bibcode : 1992RSPSA.439..407U. doi : 10.1098 / rspa.1992.0158.
3. ^Udwadia, F.E.; Калаба, Р. Э. (2002). «Об основах аналитической динамики» (PDF). Международный журнал нелинейной механики. 37 (6): 1079–1090. Bibcode : 2002IJNLM..37.1079U. CiteSeerX 10.1.1.174.5726. doi : 10.1016 / S0020-7462 (01) 00033-6.
4. ^Калверли, Б. (2001). «С ограничениями или без ограничений, это уравнение». Новости USC.
5. ^Удвадиа, Ф.; Калаба, Р. (2002). «Какова общая форма явных уравнений движения для механических систем с ограничениями?» (PDF). Журнал прикладной механики. 69 (3): 335–339. Bibcode : 2002JAM.... 69..335U. CiteSeerX 10.1.1.174.6353. doi : 10.1115 / 1.1459071.
6. ^ Udwadia, F.E.; Фохомсири, П. (2006). «Явные уравнения движения для механических систем со связями с матрицами сингулярных масс и приложения к динамике многих тел» (PDF). Труды Лондонского королевского общества, серия A. 462 (2071): 2097–2117. Bibcode : 2006RSPSA.462.2097U. doi : 10.1098 / rspa.2006.1662.
7. ^ Udwadia, F.E.; Шютте, А.Д. (2010). «Уравнения движения для общих систем со связями в лагранжевой механике» (PDF). Acta Mechanica. 213 (1): 111–129. doi : 10.1007 / s00707-009-0272-2.
8. ^Udwadia, F.E.; Калаба, Р. (1993). «В движении» (PDF). Журнал Института Франклина. 330 (3): 571–577. doi : 10.1016 / 0016-0032 (93) 90099-G.
9. ^Чжан, Бинчжань; Чжэнь, Шэнчао; Чжао, Хань; Хуанг, Канг; Дэн, Бин; Чен, Е-Хва (2015). «Новое исследование закона Кеплера и закона обратных квадратов гравитации». Евро. J. Phys. 36 (3): 035018. Bibcode : 2015EJPh... 36c5018Z. doi :10.1088/0143-0807/36/3/035018.