Уравнения движения

редактировать
v {\ displaystyle v}v vs t {\ displaystyle t}t график движущихся частиц при неоднородном ускорении a {\ displaystyle a}a .

В физике уравнения движения меняют себя уравнениями, которые описывают поведение физической системы в терминах ее движения как функции времени. Более конкретно, уравнения движения описывают физические системы как набор математических функций в терминах динамических чисел. Эти переменные обычно пространственные координаты и время, но могут включаться переменные импульсы . Наиболее общий выбор - это обобщенные, которые могут быть любыми удобными переменными, характерными координатами для физической системы. Функции в евклидовом рекламе в классической механике, но заменены на искривленные пространства в теории относительности. Если динамика системы известна, уравнения являются решениями дифференциальных уравнений, описывающих движение динамики.

Есть два основных описания движения: динамика и кинематика. Динамика является общей, поскольку учитываются импульсы, силы и энергия частиц. В этом случае иногда отвечает к различным уравнениям, удовлетворяет система (например, второй Ньютона или уравнения Эйлера - Лагранжа ), а иногда и к решениям этих уравнений.

Однако кинематика проще. Это касается только полученных, полученных из положения предметов и времени. В условиях ускорения эти более простые уравнения используют уравнениями СУВАТ, обладающими определенными кинематическими величин: размер ущерба (с), начальная скорость (u), конечная скорость (v)., ускорение (а) и время (t).

Таким образом, уравнения движения можно сгруппировать по основному этому классификаторам движения. Во всех случаях типами движения являются с ущербом, вращения, колебания или любые их комбинации.

Дифференое уравнение движения, обычно идентифицируемое количество физический закон и из физического величин, используется для создания формул для. Решение дифференциального уравнения к общему с произвольными постоянными, произвольность которого соответствует семейству решений. Конкретное решение можно получить, задав начальные значения, которые фиксируют значения констант.

Чтобы сформулировать это формально, в общем случае уравнение движения M является функцией положения rобъекта, его скорости (первая производная от r, v= d r / dt) и ее ускорение (вторая производная от r, a= d r / dt), а время t. Евклидовы электрическая в 3D везде выделены жирным шрифтом. Это эквивалентно утверждению, что уравнение движения в r является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (ODE) в r,

M [r (t), r ˙ (t) р ¨ (T), T] знак равно 0, {\ Displaystyle M \ left [\ mathbf {r} (t), \ mathbf {\ dot {r}} (t), \ mathbf {\ ddot {r}} (t), t \ right] = 0 \,,}M \ left [\ mathbf {r} (t), \ mathbf {\ dot {r}} (t), \ mathbf {\ ddot {r}} (t), t \ right] = 0 \,,

, где t - время, и каждая точка обозначает одну производную по времени. Начальные условия задаются постоянными значениями при t = 0,

r (0), r ˙ (0). {\ displaystyle \ mathbf {r} (0) \,, \ quad \ mathbf {\ dot {r}} (0) \,.}\ mathbf {r} (0) \,, \ quad \ mathbf {\ dot {r}} (0) \,.

Решение r (t) уравнения движения с заданными начальные значениями системой для всех моментов времени t после t = 0. Другие динамические переменные, такие как импульс pобъекта или величины, полученные из r и p, как и угловой момент, можно использовать вместо r в качестве величины, которую необходимо решить из некоторого уравнения движения, хотя положение объекта в момент времени безусловно, самое востребованное количество.

Иногда уравнение будет линейным и, скорее всего, будет точно решаемо. В общем, уравнение будет нелинейным и не может быть решено точно, поэтому необходимо использовать различные приближения. Решения нелинейных правил могут демонстрировать хаотическое поведение в зависимости от того, насколько чувствительна система к начальным условиям.

Содержание

  • 1
  • 2 Кинематические уравнения для одной частицы
    • 2.1 Кинематические величины
    • 2.2 Равномерное ускорение
      • 2.2.1 Постоянное поступательное ускорение по прямому
      • 2.2.2 Постоянное линейное ускорение в 2.2.3 Приложения
      • 2.2.4 Постоянное круговое ускорение
    • 2.3 Общее плоское движение
    • 2.4 Общие трехмерные движения
  • 3 Динамические уравнения движения
    • 3.1 Ньютоновская механика
    • 3.2 Приложения
  • 4 Аналитическая механика
  • 5 Электродинамика
  • 6 Общая относительности
    • 6.1 Геодезическое уравнение движения
    • 6.2 Теория развития объектов
  • 7 Аналоги для волн и полей
    • 7.1 Уравнения поля
    • 7.2 Волновые уравнения
    • 7.3 Квантовая теория
  • 8 См. Также
  • 9 Ссылки

История

Кинематика, динамика и динамические модели Вселенная развивались постепенно в течение трех тысячелетий, спасибо многим мыслителям, лишь некоторые имена мы знаем. В древности жрецы, астрологи и астрономы предсказывали солнечные и лунные затмения, солнцестояния и равноденствия Солнца и период Луны. Но у них не было ничего, кроме набора алгоритмов. Уравнения движения не записывались еще тысячу лет.

Средневековые ученые в тринадцатом веке - например, в отношении новых университетов в Оксфорде и Париже - обратились к древним математикам (Евклид и Архимед) и философам (Аристотель), чтобы объединить новую совокупность знаний, которая называется физикой..

В Оксфорде Мертон-колледж приютил группы ученых, посвятивших себя естественным наукам, в основном физике, астрономии и математике, которые были по своему росту не уступали интеллектуалам Парижского университета. Томас Брэдвардин расширил аристотелевские величины, такие как расстояние и скорость, и приписал им интенсивность и протяженность. Брэдвардайн экспоненциальный закон, включающий силу, сопротивление, расстояние, скорость и время. Николас Орем еще больше расширил аргументы Брэдуардина. Школа Мертона доказала, что движения тела, совершающего равноускоренное движение, равномерного движения со скоростью, достигаемой на полпути через ускоренное движение.

Для авторов кинематики до Галилео, малые временные интервалы не могли быть измерены, сродство между временем и движением было неясным. Они использовали время как функцию от расстояния, а при свободном падении - скорость в результате большего подъема. Только Доминго де Сото, испанский теолог, в своем комментарии к Аристотелю Физика, опубликованному в 1545 году, после определения «равномерно-дифференциального» движения. ускоренное движение) - слово скорость не использовалось - как пропорциональное время, правильно заявлено, что этот вид движения можно отождествить со свободно падающими телами и снарядами, без доказательств этих предположений или предложения, связывающей время, скорость и расстояние. Комментарии Де Сото в высшей степени верны в отношении определений ускорения (ускорение - это скорость изменения движения (скорости) во времени) и наблюдения, что ускорение будет отрицательным во время подъема.

Подобные дискурсы распространились по Европе, сформированные работы Галилео Галилея и других, и помогли заложить основы кинематики. Галилей вывел уравнение s = 1 / 2gt в своей работе геометрически, используя правило Мертона, теперь известное как частный случай одного из уравнений кинематики.

Галилей первым показал, что траектория снаряда - это парабола. Галилей представ о центробежной силе и дал правильное определение импульса. Этот упор на импульс как на фундаментальную оценку динамики имеет первостепенное значение. Он измерил импульс как произведение скорости и веса; Масса - это более поздняя концепция, разработанная Гюйгенсом и Ньютоном. О качании простого маятника Галилей говорит в Беседы, что «каждый импульс, приобретаемый при спуске по дуге, равенство, который заставляет то же движущееся тело подниматься по той же дуге». Его анализ снарядов показывает, что Галилей понял первый закон и второй закон движения. Он не обобщал и не применял их к телам, не подверженным земной гравитации. Этот шаг был вкладом Ньютона.

Термин «инерция» был использован Кеплером, который применил его к телам в состоянии покоя. (Первый закон движения теперь часто называют законом инерции.)

Галилей не полностью понял третий закон движения, закон равенства действия и противодействия, хотя он исправил некоторые ошибки Аристотеля.. Вместе с Стевином и другими Галилей также писал о статике. Он сформулировал принцип параллелограмма сил, но не осознал его возможности.

Галилей также интересовался законами маятника, его первые наблюдения за ним были в молодости. В 1583 году, когда он молился в соборе в Пизе, его внимание было привлечено движением зажженной лампы, которая оставалась раскачивающейся, считая его пульс для измерения времени. Для него период казался тем же самым, даже после того, как движение сильно уменьшилось, обнаружив изохронизм маятника.

Более тщательные эксперименты, проведенные позже и описанные в его «Рассуждениях», показали, что период колебания зависит от квадратного корня из длины, но не зависит от массы маятника.

Таким образом, мы приходим к Рене Декарт, Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц и др.; и развитые формы движения, которые признаются современными.

Позже уравнения движения также появились в электродинамике, при описании движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях сила Лоренца является общим уравнением, которое служит как то определение, что подразумевается под электрическим полем и магнитным полем. С появлением специальной теории относительности и теории относительности теоретические модификации пространства-времени означали, что классические уравнения движения также были с учетом конечных скорость света и кривизна пространства-времени. Во всех этих дифференциальных уравнениях были функции траекторию пространственных и координатных координат, под воздействием сил или преобразователей энергии.

Однако уравнения квантовой механики также можно рассматривать как «уравнения движения», поскольку они используются уравнениями волновой функцией, которая является, как квантовой состояние, ведет себя аналогичным образом, используя пространственные и временные координаты частиц. Существуют аналоги движения в других областях физики для совокупности физических явлений, которые можно рассматривать как волны, волны или поля.

Кинематические уравнения для одной частицы

Кинематические величины

Кинематические величины классической частицы массы m: положение r, скорость v, ускорение a.

Из мгновенного положения r= r(t), мгновенное значение в момент времени t, мгновенная скорость v= v(t) и ускорение a= a(t) имеют общие, не зависящие от координат определения;

v = drdt, a = dvdt = d 2 rdt 2 {\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \,, \ quad \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} \, \! }\ mathbf {v} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \,, \ quad \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r }} {dt ^ {2}}} \, \!

Обратите внимание, что скорость всегда указывает в направлении движения, другими словами, для криволинейного пути это касательный вектор . Грубо говоря, производные первого порядка связаны с касательными кривыми. По-прежнему для криволинейных траекторий ускорение направлено к центру кривизны траектории. Опять же, грубо говоря, производные второго порядка связаны с кривизной.

Аналогами вращения являются «угловой вектор» (угол поворота частицы вокруг некоторой оси) θ= θ(t), угловая скорость ω= ω(t) и угловое ускорение α= α(t):

θ знак равно θ N ^, ω знак равно d θ dt, α = d ω dt, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} = \ theta {\ hat {\ mathbf {n}}} \,, \ quad { \ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ theta}}} {dt}} \,, \ quad {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}} \,,}{\ boldsymbol {\ theta}} = \ theta {\ hat {\ mathbf {n}}} \,, \ quad {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac { d {\ boldsymbol {\ theta}}} {dt}} \,, \ quad {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}} \,,

где n̂ - это единичный вектор в направлении оси вращения, а θ - угол объекта вращается вокруг оси.

Следующее выполняется обработка точечной частицы с вращающейся вокруг некоторой оси с угловой скоростью ω:

v = ω × r {\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r } \, \!}\ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \, \!

где r - вектор положения частиц (радиально от оси), а v тангенциальная скорость частиц.. Для вращающегося континуума твердого тела эти соотношения выполняются для каждой точки твердого тела.

Равномерное ускорение

Дифференциальное уравнение движения частиц с постоянным или равномерным ускорением по прямому простому: ускорение постоянно, поэтому вторая производная от положения объекта постоянный. Результаты этого дела кратко изложены ниже.

Постоянное поступательное ускорение по прямому

Эти уравнения применяются к частице, движущейся линейно в трех измерениях по прямому с постоянным ускорением. Положение, скорость и ускорение коллинеарны (параллельны и лежат на одной линии) - необходимы только величины этих векторов, поскольку движение происходит по прямой линии, проблема сокращается с трех измерений до одной линии.

v = at + v 0 [1] {\ displaystyle {\ begin {выровнено} v = at + v_ {0} \ quad [1] \\\ end {align}}}{\ begin {выровнено} v = at + v_ {0} \ quad [1] \\\ конец {выровнено}}
r = r 0 + v 0 t + 1 2 в 2 [2] {\ displaystyle {\ begin {align} r = r_ {0} + v_ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {a} t ^ {2} \ quad [2] \\\ конец {выровнено}}{\ displaystyle {\ begin {align} r = r_ {0} + v_ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {a} t ^ {2} \ quad [2] \\\ конец {выровнено}}}
r = r 0 + 1 2 (v + v 0) t [3] v 2 = v 0 2 + 2 a (r - r 0) [4] r = r 0 + vt - 1 2 при 2 [5] {\ displaystyle {\ begin {align} r = r_ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left (v + v_ {0} \ right) t \ quad [3] \\ v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a \ left (r-r_ {0} \ right) \ quad [4] \\ r = r_ {0} + vt - {\ tfrac {1} {2}} {a} t ^ {2} \ quad [5] \\\ end {выравнивается}}}{\ displaystyle {\ begin {align} r = r_ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left (v + v_ {0} \ right) t \ quad [3] \\ v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a \ left (r-r_ {0} \ right) \ quad [4] \\ r = r_ {0} + vt - {\ tfrac {1} {2}} {a} t ^ {2} \ quad [5] \\\ конец {выровнен}}}

где:

Вывод

Уравнения [1] и [2] на основе интегрировании скорости и значения с учетом начальных условий r(t0) = r0и v(t0) = v0;

v = ∫ adt = at + v 0, [1] р знак равно ∫ (at + v 0) dt знак равно равно at 2 2 + v 0 t + r 0, [2] {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf { v} = \ int \ mathbf {a} dt = \ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0} \,, \ quad [1] \\\ mathbf {r} = \ int (\ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0}) dt = {\ frac {\ mathbf {a} t ^ {2}} {2}} + \ mathbf {v} _ {0} t + \ mathbf {r} _ {0} \,, \ quad [2] \\\ end {выровнен}}}{\ begin {align} \ mathbf {v } = \ int \ mathbf {a} dt = \ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0} \,, \ quad [1] \\\ mathbf {r} = \ int (\ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0}) dt = {\ frac {\ mathbf {a} t ^ {2}} {2}} + \ mathbf {v} _ {0} t + \ mathbf {r} _ {0} \,, \ quad [2] \\\ конец {выровнено}}

в величинах,

v = at + v 0, [1] r = at 2 2 + v 0 t + r 0. [2] {\ displaystyle {\ begin {align} v = at + v_ {0} \,, \ quad [1] \\ r = {\ гидроразрыв {{a} t ^ {2}} {2}} + v_ {0} t + r_ {0} \,. \ quad [2] \\\ end {align}}}{\ begin {align} v = at + v_ {0} \,, \ quad [1] \\ r = {\ frac {{a} t ^ {2}} {2}} + v_ {0} t + r_ {0} \,. \ Quad [2] \\\ конец {выровнено}}

Уравнение [3] включает среднюю скорость v+ v0/ 2. Интуитивно скорость увеличена линейно, поэтому средняя скорость, умноженная на время, представляет собой пройденное расстояние при увеличении скорости с v0до v, что можно проиллюстрировать графически, построив зависимость от времени в виде прямолинейной графики.. Алгебраически это следует из решений [1] для

a = (v - v 0) t {\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {(\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0) })} {t}}}\ math bf {a} = {\ frac {(\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0})} {t}}

и подставив в [2]

r = r 0 + v 0 t + t 2 (v - v 0), {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf { r} _ {0} + \ mathbf {v} _ {0} t + {\ frac {t} {2}} (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0}) \,,}\ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} _ {0} t + {\ frac {t} {2}} ( \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0}) \,,

упрощенная, чтобы получить

r = r 0 + t 2 (v + v 0) {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + {\ frac {t} {2} } (\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0})}\ mathbf {r} = \ mathbf { r} _ {0} + {\ frac {t} {2}} (\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0})

или в величинах

r = r 0 + (v + v 0 2) t [3] {\ displaystyle r = r_ {0} + \ left ({\ frac {v + v_ {0}} {2}} \ right) t \ quad [3]}r = r_ {0} + \ left ( {\ frac {v + v_ {0}} {2}} \ right) t \ quad [3]

Из [3],

t = (r - r 0) (2 v + v 0) {\ displaystyle t = \ left (r-r_ {0} \ right) \ left ({\ frac {2} {v + v_ {0}}} \ right)}t = \ left (r-r_ {0} \ right) \ left ({\ frac {2} {v + v_ {0}}) } \ right)

замена для t в [1]:

v = a (r - r 0) (2 v + v 0) + v 0 v (v + v 0) = 2 a (r - r 0) + v 0 ( v + v 0) v 2 + vv 0 знак равно 2 a (r - r 0) + v 0 v + v 0 2 v 2 = v 0 2 + 2 a (r - r 0) [4] {\ displaystyle {\ begin {выровнено} v = a \ left (r-r_ {0} \ right) \ left ({\ гидроразрыва {2} {v + v_ {0}}} \ right) + v_ {0} \\ v \ left (v + v_ {0} \ right) = 2a \ left (r-r_ {0} \ right) + v_ {0} \ left (v + v_ {0} \ right) \\ v ^ { 2} + vv_ {0} = 2a \ left (r-r_ {0} \ right) + v_ {0} v + v_ {0} ^ {2} \\ v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a \ left (r-r_ {0} \ right) \ quad [4] \\\ конец {выровнено}}{\ begin {выровнено} v = a \ left (r-r_ {0} \ right) \ left ({\ frac {2} {v + v_ {0}}} \ right) + v_ {0} \\ v \ left (v + v_ {0} \ right) = 2a \ left (r-r_ {0} \ right) + v_ {0} \ left (v + v_ {0} \ right) \\ v ^ { 2} + vv_ {0} = 2a \ left (r-r_ {0} \ right) + v_ {0} v + v_ {0} ^ {2} \\ v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a \ left (r-r_ {0} \ right) \ quad [4] \\\ конец {выровнено}}

Из [3],

2 (r - r 0) - vt знак равно v 0 t {\ displaystyle 2 \ left (r-r_ {0} \ right) -vt = v_ {0} t}2 \ left (r-r_ {0} \ right) -vt = v_ {0} t

подставляем в [2]:

r = at 2 2 + 2 r - 2 r 0 - vt + r 0 0 = at 2 2 + r - r 0 - vtr = r 0 + vt - 2 2 [5] {\ displaystyle {\ begin {align} r = {\ frac {{{ {{{a} t ^ {2}} {2}} + 2r-2r_ {0} -vt + r_ {0} \ \ 0 = {\ frac {{a} t ^ {2}} {2} } + r - r_ {0} -vt \\ r = r_ {0} + vt - {\ frac {{a} t ^ {2}} {2}} \ quad [5] \ end {align}} }{\ begin {align} r = {\ frac {{a} t ^ {2}} {2} } + 2r-2r_ {0} -vt + r_ {0} \\ 0 = {\ frac {{a} t ^ {2}} {2}} + r-r_ {0} -vt \\ r = r_ {0} + vt - {\ frac {{a} t ^ {2}} {2}} \ quad [5] \ end {align}}

Обычно нужны только первые 4, пятый - необязательный.

Здесь a - постоянное ускорение, или в случае тел, движущихся под действием силы тяжести, используется стандартная сила тяжести g. Обратите внимание, что каждый из членовений состоит из пяти пяти чисел.

В элементарной физике одни и те же формулы часто записываются в разных обозначениях:

v = u + at [1] s = ut + 1 2 at 2 [2] s = 1 2 (u + v) t [3] v 2 = u 2 + 2 как [4] s = vt - 1 2 в 2 [5] {\ displaystyle {\ begin {align} v = u + at \ quad [1] \\ s = ut + {\ tfrac {1} {2}} в ^ {2} \ quad [2] \\ s = {\ tfrac {1} {2}} (u + v) t \ quad [3] \\ v ^ {2} = u ^ {2} + 2 как \ quad [4] \\ s = vt - {\ tfrac {1} {2}} в ^ {2} \ quad [5] \ \ \ end {выровнено}}}{\ di splaystyle {\ begin {align} v = u + at \ quad [1] \\ s = ut + {\ tfrac {1} {2}} в ^ {2} \ quad [2] \\ s = {\ tfrac {1} {2}} (u + v) t \ quad [3] \ \ v ^ {2} = u ^ {2} + 2as \ quad [4] \\ s = vt - {\ tfrac {1} {2}} в ^ {2} \ quad [5] \\\ end {align}}}

где u заменяет v 0, s заменяет r - r 0. Их часто называют уравнениями SUVAT, где «SUVAT» - это аббревиатура от числа: s = смещение, u = начальная скорость, v = конечная скорость, a = ускорение., t = время.

Постоянное линейное ускорение в любом направлении

Траектория частиц с начальным вектором положения r0и скорость v0при постоянном ускорении a, все три величины в любом направлении, а также положение r (t) и скорость v (t) после времени t.

Начальное положение, начальная скорость и ускорение не обязательно быть коллинеарным и принимать идентичное. Единственное отличие состоит в том, что квадратные величины скоростей требуют скалярного произведения . Выводы по существу такие же, как и в коллинеарном случае,

v = at + v 0 [1] r = r 0 + v 0 t + 1 2 at 2 [2] r = r 0 + 1 2 (v + v 0) t [3] v 2 знак равно v 0 2 + 2 a ⋅ (r - r 0) [4] r = r 0 + vt - 1 2 at 2 [5] {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} = \ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0} \ quad [1] \\\ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf { v} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ quad [2] \\\ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0 } + {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0} \ right) t \ quad [3] \\ v ^ {2} = v_ { 0} ^ {2} +2 \ mathbf {a} \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right) \ quad [4] \\\ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} t - {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ quad [5] \\\ конец {выровнено}} }{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} = \ mathb f {a} t + \ mathbf {v} _ {0} \ quad [1] \\\ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} _ {0} t + {\ tfrac {1} { 2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ quad [2] \\\ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left ( \ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0} \ right) t \ quad [3] \\ v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} +2 \ mathbf {a} \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right) \ quad [4] \\\ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} t - {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ quad [5] \\\ конец {выровнено}}}

хотя уравнение Торричелли [4] может быть получено с использованием распределительного свойства скалярного произведения следующим образом:

v 2 = v ⋅ v = (v 0 + at) ⋅ (v 0 + at) зн а к равно v 0 2 + 2 T (a ⋅ v 0) + a 2 t 2 {\ displaystyle v ^ {2} = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = (\ mathbf {v} _ { 0} + \ mathb f {a} t) \ cdot (\ mathbf {v} _ {0} + \ mathbf {a} t) = v_ {0} ^ {2} + 2t (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2}}v ^ {2} = \ mathbf {v} \ cd ot \ mathbf {v} = (\ mathbf {v} _ {0} + \ mathbf {a} t) \ cdot (\ mathbf {v} _ {0} + \ mathbf {a} t) = v_ {0} ^ {2} + 2t (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2}
(2 a) ⋅ (r - r 0) = (2 a) ⋅ (v 0 t + 1 2 at 2) Знак равно 2 T (a ⋅ v 0) + a 2 T 2 знак равно v 2 - v 0 2 {\ displaystyle (2 \ mathbf {a}) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = (2 \ mathbf {a}) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ right) = 2t (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}}{\ displaystyle (2 \ mathbf {a}) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = (2 \ mathbf {a}) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {0} t + { \ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ right) = 2t (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}}
∴ v 2 знак равно v 0 2 + 2 (a ⋅ (г - р 0)) {\ displaystyle \, следовательно, v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} +2 (\ mathbf { a} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}))}\ поэтому v ^ {2} = v_ { 0} ^ {2} +2 (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}))

Приложения

Элементарные и частые примеры в кинематике включают снаряды, например, мяч, брошенный вверх в воздух. Зная начальная скорость, можно рассчитать, как высоко мяч пролетит, прежде чем прежде чем падать. Ускорение - это местное ускорение свободного падения g. Здесь нужно помнить, что, хотя эти величины кажутся скалярами, важно направление с территории, скорости и ускорения. Фактически их можно было бы рассматривать как однонаправленные типы. Выбирая s для измерения от земли, ускорение фактически должно быть -g, поскольку сила гравитации действует вниз и, следовательно, также и ускорение мяча, связанное с ней.

В самой высокой точке мяч будет стоять: поэтому v = 0. Используя уравнение [4] в приведенном выше наборе, мы имеем:

s = v 2 - u 2 - 2 g. {\ displaystyle s = {\ frac {v ^ {2} -u ^ {2}} {- 2g}}.}s = {\ frac {v ^ {2} -u ^ {2}} {- 2g}}.

Подстановка и удаление знаков минус дает:

s = u 2 2 g. {\ displaystyle s = {\ frac {u ^ {2}} {2g}}.}s = {\ frac {u ^ {2}} {2g}}.

Постоянное круговое ускорение

Аналоги приведенных выше правил быть записаны для могут быть вращения. Снова все эти аксиальные конструкции должны быть параллельны вращения оси, поэтому необходимы только значения величины,

ω = ω 0 + α t θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 θ = θ 0 + 1 2 (ω 0 + ω) t ω 2 знак равно ω 0 2 + 2 α (θ - θ 0) θ = θ 0 + ω t - 1 2 α t 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ омега = \ omega _ {0} + \ alpha t \\\ theta = \ theta _ {0} + \ omega _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ alpha t ^ {2} \\\ theta = \ theta _ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (\ omega _ {0} + \ omega) t \\\ omega ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} +2 \ alpha (\ theta - \ theta _ {0}) \\\ theta = \ theta _ {0} + \ omega t - {\ tfrac {1} {2}} \ alpha t ^ {2} \ \\ end {align}}}{\ begin {align} \ omega = \ omega _ {0} + \ alpha t \\\ theta = \ theta _ {0} + \ omega _ {0} t + {\ tfrac {1 } {2}} \ alpha t ^ {2} \\\ theta = \ theta _ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (\ omega _ {0} + \ omega) t \\\ омега ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} +2 \ alpha (\ theta - \ theta _ {0}) \\\ theta = \ theta _ {0} + \ omega t- { \ tfrac {1} {2}} \ alph at ^ {2} \\\ конец {выровнено}}

где α - постоянное угловое ускорение, ω - угловая скорость, ω 0 - начальная угловая скорость, θ - угол поворота (угловое смещение ), θ 0 - начальный угол, а t - время, необходимое для поворота из начального состояния в конечное состояние.

Общее плоское движение

Вектор положения r, всегда направлен радиально от начала координат. Вектор скорости v, всегда касательный к траектории движения. Скорость ускорения a, не параллельный радиальному движению, но смещенный угловым и кориолисовым ускорением, не касательный к траектории, но смещенный центростремительным и радиальным ускорением. Кинематические рекомендации в плоскополярных координатах. Обратите внимание, что установка не ограничена 2D пространством, плоскостью в любом более высоком измерении.

Это кинематические уравнения для частиц, проходящей путь в плоскости, описываемой позицией r= r(t). Это просто производные по времени изображения положения в плоскости полярных координат с использованием приведенных выше физических величин для угловой скорости ω и углового ускорения α. Это мгновенные величины, которые меняются со временем.

Положение частиц:

r = r (r (t), θ (t)) = re ^ r {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} \ left (r (t), \ theta (t) \ right) = r \ mathbf {\ hat {e}} _ {r}}{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} \ left (r (t), \ theta (t) \ right) = r \ mathbf { \ hat {e}} _ {r}}

где êrи êθ- полярная единица граф. Дифференцирование по времени дает скорость

v = e ^ rdrdt + r ω e ^ θ {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} {\ frac {dr} {dt} } + r \ omega \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta}}{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf { \ hat {e}} _ {r} {\ frac {dr} {dt}} + r \ omega \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta}}

с радиальной составляющей dr / dt и дополнительной составляющей rω из-за вращения. Дифференцирование по времени снова дает ускорение

a = (d 2 rdt 2 - r ω 2) e ^ r + (r α + 2 ω drdt) e ^ θ {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ left ({\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - r \ omega ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ left (r \ alpha +2 \ omega {\ frac {dr} {dt}} \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta}}{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ left ({\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - r \ omega ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ left (r \ alpha +2 \ omega {\ frac {dr} { dt}} \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta}}

который разбивается на радиальное ускорение dr / dt, центростремительное ускорение –Rω, Кориолисово ускорение 2ωdr / dt и угловое ускорение rα.

Особые случаи, описанные уравнениями, качественно резюмированы в таблице ниже. Два уже обсуждались выше, когда либо радиальные компоненты, либо угловые компоненты равны нулю, ненулевой компонент движения улучшенное ускорение.

Состояние движенияКонстанта rr, линейная по tr, квадратичная по tr, нелинейная по t
Константа θСтационарноеРавномерное поступательное движение (постоянная поступательная скорость)Равномерное поступательное движениеНеравномерное поступательное движение
θ, линейное по tРавномерное угловое движение по окружности (постоянная угловая скорость)Равномерное угловое движение по спирали, постоянная радиальная скоростьУгловое движение по спирали, постоянное радиальное ускорениеУгловое движение по спирали, переменное радиальное ускорение
θ, квадратичное по tРавномерное угловое ускорение по окружностиРавномерное угловое ускорение по спирали, постоянная радиальная скоростьРавномерная угловая ускорение по спирали, постоянное радиальное ускорениеРавномерное угловое ускорение по спирали, переменное радиальное ускорени е
θ, нелинейное по tНеравномерное угловое ускорение по окружностиНеравномерный угол Ускорение по спирали, постоянная радиальная скоростьНеравномерное угловое ускорение по спирали, постоянное радиальное ускорениеНеравномерное угловое ускорение по спирали, переменное радиальное ускорение

Общее трехмерное движение

В трехмерном пространстве уравнения в сферических координатах (r, θ, φ) с использованием единичными элементами êr, êθи êφ, положение, скорость и ускорение обобщаются соответственно на

r = r (t) = re ^ rv = ve ^ r + rd θ dte ^ θ + rd φ dt sin ⁡ θ e ^ φ a = (a - r (d θ dt) 2 - r (d φ dt) 2 sin 2 ⁡ θ) e ^ r + (rd 2 θ dt 2 + 2 vd θ dt - r (d φ dt) 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ) e ^ θ + (rd 2 φ dt 2 sin ⁡ θ + 2 vd φ dt грех ⁡ θ + 2 rd θ dtd φ dt cos ⁡ θ) e ^ φ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {r} = \ mathbf {r} \ left (t \ right) = r \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} \\\ mathbf {v} = v \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + г \, {\ ги д роразрыва {d \ theta} {dt}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta} + r \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ sin \ theta \ mathbf { \ hat {e}} _ {\ varphi} \\\ mathbf {a} = \ left (ar \ left ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ right) ^ {2} -r \ left ({\ frac {d \ varphi} {dt}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} \\ + \ left (r {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + 2v {\ frac {d \ theta} {dt}} - r \ left ({\ frac {d \ varphi} { dt})} \ right) ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta} \\ + \ left (r {\ frac {d ^ {2} \ varphi} {dt ^ {2}}} \, \ sin \ theta + 2v \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ sin \ theta + 2r \, {\ frac { d \ theta} {dt}} \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ cos \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ varphi} \ end {align} } \, \!}{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {r} = \ mathbf {r} \ left (t \ right) = r \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} \\\ mathbf {v} = v \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + r \, {\ frac {d \ theta} {dt}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta} + r \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ varphi} \\\ mathbf {a} = \ left (ar \ left ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ right) ^ {2} -r \ left ({\ frac {d \ varphi} {dt}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ справа) \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} \\ + \ left (r {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + 2v {\ frac {d \ theta} {dt}} - r \ left ({\ frac {d \ varphi} {dt}} \ right) ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right) \ mat hbf {\ hat {e}} _ {\ theta} \\ + \ left (r {\ frac {d ^ {2} \ varphi} {dt ^ {2}}} \, \ sin \ theta + 2v \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ sin \ theta + 2r \, {\ frac {d \ theta} {dt}} \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ cos \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ varphi} \ end {align}} \, \!}

В случае постоянной φ это сводится к планарным уравнениям выше.

Динамические уравнения движения

Ньютоновская механика

Первое разработанное общее уравнение движения было вторым законом Ньютона движения. В самом общем виде он утверждает, что скорость изменения количества p= p(t) = m v (t) объекта равно силе F= F(x(t), v (t), т) действуя на него,

F = dpdt {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}}}\ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}}

Сила в уравнении это не сила, которую оказывает объект. Заменяя на массу, умноженную на скорость, закон также записывается более широко как

F = ma {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}\ mathbf {F} = m \ mathbf {a}

, поскольку m - константа в ньютоновском механика.

Второй закон Ньютона к точечным частицам и ко всем точкам в твердом теле. Они также применимы к каждой точке в континууме масс, например, к деформируемым твердым телам или жидкостям. см. материальная производная. В случае, если масса не постоянна, недостаточно использовать правило произведения для производной по времени от массы и скорости, а второй закон Ньютона требует некоторой модификации, согласования с сохранением импульса ; см. система с различными массой.

Может быть просто записать уравнения движения векторной формы, используя компоненты движения Ньютона, но компоненты изменяться сложным образом в зависимости от пространственных координат и времени, и их решение не является легко. Часто для полного решения требуются необходимые методы определения системы. В системе простой прямоугольной геометрии работают системы математических координат.

Форма импульса предпочтительна, поскольку ее легко обобщить на более сложные системы, такие как специальная и общая теория относительности (см. четырехимпульс ). Его также можно использовать с сохранением импульса. Однако законы Ньютона не более фундаментальны, чем сохранение импульса, потому что законы Ньютона просто согласна с тем фактом, что нулевая результирующая сила, действующая на объект подразумевает постоянный импульс, в то время как результирующая сила подразумевает, что импульс непостоянен. Сохранение импульсса всегда верно для действующей системы, не подверженной воздействию равнодействующих сил.

Для ряда частиц (см. задача многих тел ) уравнение движения для отдельных частиц

dpidt = FE + ∑ i ≠ j F ij {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p} _ {i}} {dt}} = \ mathbf {F} _ {E} + \ sum _ {я \ neq j} \ mathbf {F} _ {ij} \, \!}{\ frac {d \ mathbf {p} _ {i}} {dt}} = \ mathbf {F} _ {E} + \ sum _ {i \ neq j} \ mathbf {F} _ {ij} \, \!

где pi- импульсные частицы i, Fij- сила, действующая на частицу i со стороны частиц j, а FE- результирующая внешняя сила, создаваемая любым агентом, не являющимся частью системы.. Частица i не действует на себя.

Законы движения Эйлера похожи на законы Ньютона, но они применяются конкретно к движению твердых тел. Уравнения Ньютона – Эйлера объединяют силы и моменты, действующие на твердое тело, в одно уравнение.

Второй закон Ньютона для вращения принимает форму, аналогичную трансляционному случаю,

τ = d L dt, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {d \ mathbf {L }} {dt}} \,,}{\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \,,

путем приравнивания крутящего момента, действующего на тело, со скоростью изменения его углового момента L. Аналогично массе, умноженной на ускорение, тензор момента инерции Iзависит от распределения массы вокруг оси вращения, а угловое ускорение - это скорость изменения угловой скорости

τ = I ⋅ α. {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}}.}{\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}}.

И снова эти уравнения применяются к точечным частицам или к каждой точке твердого тела.

Аналогично, для ряда частиц уравнение движения одной частицы i имеет вид

d L idt = τ E + ∑ i ≠ j τ ij, {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {i}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ tau}} _ {E} + \ sum _ {i \ neq j} {\ boldsymbol {\ tau}} _ {ij} \,, }{\ frac {d \ mathbf { L} _ {i}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ tau}} _ {E} + \ sum _ {i \ neq j} {\ boldsymbol {\ tau}} _ {ij} \,,

где Li- угловой момент частицы i, τij- крутящий момент частицы i, действующий на частицу i, а τE- результирующий внешний крутящий момент (возникающий из-за любого агента, не являющегося частью системы). Частица i не оказывает на себя крутящего момента.

Приложения

Некоторые примеры закона Ньютона включают описание движения простого маятника,

- mg sin ⁡ θ = md 2 (l θ) dt 2 ⇒ d 2 θ dt 2 знак равно - gl грех ⁡ θ, {\ displaystyle -mg \ sin \ theta = m {\ frac {d ^ {2} (l \ theta)} {dt ^ {2}}} \ quad \ Rightarrow \ quad { \ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta \,,}{\ displaystyle -mg \ sin \ theta = m {\ frac {d ^ {2} (l \ theta)} {dt ^ {2}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac { d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta \,,}

и с синусоидальным затуханием управляемый гармонический осциллятор,

F 0 sin ⁡ (ω t) = m (d 2 xdt 2 + 2 ζ ω 0 dxdt + ω 0 2 x). {\ displaystyle F_ {0} \ sin (\ omega t) = m \ left ({\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} x \ right) \,.}F_ {0} \ sin (\ omega t) = m \ слева ({\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {0} ^ { 2} х \ справа) \,.

Для описания движения масс под действием силы тяжести закон всемирного тяготения Ньютона можно совместить со вторым законом Ньютона. В двух примерах шар массы m, брошенный в воздух, в потоках воздуха (таких как ветер) описывается векторным полем сил сопротивления R= R(r, t),

- G m M | г | 2 e ^ r + R = m d 2 r d t 2 + 0 ⇒ d 2 r d t 2 = - G M | г | 2 e ^ r + A {\ displaystyle - {\ frac {GmM} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ mathbf {R} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} + 0 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {GM} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ mathbf {A} \, \! }- {\ frac {GmM} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ mathbf {R} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} + 0 \ quad \ R ightarrow \ quad {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {GM} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ mathbf {A} \, \!

где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, а A= R/ m - ускорение снаряда из-за воздушных потоков в позиции r и время t.

Классическая задача N тел для N частиц, каждая из которых взаимодействует друг с другом под действием силы тяжести, представляет собой набор из N нелинейно связанных ОДУ второго порядка,

d 2 ridt 2 = G ∑ я ≠ jmimj | r j - r i | 3 (rj - ri) {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {i}} {dt ^ {2}}} = G \ sum _ {i \ neq j} {\ frac {m_ {i} m_ {j}} {| \ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} (\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i})}{\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {i}} {dt ^ {2}}} = G \ sum _ {i \ neq j} {\ frac {m_ {i} m_ {j}} {| \ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} (\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i})

где i = 1, 2,…, N обозначает количество (масса, положение и т. д.), связанных с каждой частицыей.

Аналитическая механика

По мере развития системы q прокладывает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, пройденная система (красный), имеет стационарное действие (δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δ q).

Использование всех трех измерений трехмерного пространства не требуется, если есть ограничения на систему., тогда можно использовать набор из N координатных координат q(t) = [q 1 (t), q 2 (t)... q N (t)], чтобы настроить систему. Они могут быть в форме длины дуги или углы. Они значительно упрощают описание движения, поскольку используют внутренние ограничения, которые ограничивают движение системы, а количество координат сокращается до минимума. Производные по времени от обобщенные координаты - это обобщенные скорости

q ˙ = dqdt. {\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt}} \,.}{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt}} \,.}

Уравнения Эйлера - Лагранжа :

ddt (∂ L ∂ q ˙) знак равно ∂ L ∂ q, {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}})}} \ right) = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {q}}} \,,}{\ frac {d} {dt }} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ right) = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {q}}} \,,

где лагранжиан является функцией конфигурации q и ее времени скорость изменения d q / dt (и, возможно, время t)

L = L [q (t), q (t), t]. {\ displaystyle L = L \ left [\ mathbf {q} (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t), t \ right] \,.}L = L \ left [\ mathbf {q} (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t), t \ right] \,

Настройка лагранжиана системы, затем подставляя в уравнения и оценивая частные производные и упрощая, получить набор N связанных N ОДУ второго порядка в координатах.

Уравнения Гамильтона :

p ˙ = - ∂ H ∂ q, q ˙ = + ∂ H ∂ p, {\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf {q}}} \,, \ quad \ mathbf {\ dot {q}} = + {\ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf {p}}} \,,}\ mathbf {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf {q}}} \,, \ quad \ mathbf {\ dot {q}} = + {\ гидроразрыв {\ partial H} {\ partial \ mathbf {p}}} \,,

где гамильтониан

H = H [q (t), p (t), t], {\ displaystyle H = H \ left [\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t), t \ right] \,,}H = H \ left [\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t), t \ right] \,,

является функцией конфигурации q и сопряженных «обобщенных» импульсов

p = ∂ L ∂ q ˙, {\ displaystyle \ mathbf {p } = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \,,}{ \ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \,,}

, в котором ∂ / ∂ q= (∂ / ∂q 1, ∂ / ∂q 2,…, ∂ / ∂q N)- сокращенное обозначение вектора частных производных по указанным переменным (см. Например матричное исчисление для этого обозначения знаменателя) и, возможно, время t,

Установка гамильтониана системы, затем подстановка в уравнения и оценка частных производных и упрощение, набор связанных 2N f i Получены ОДУ первого порядка в координатах q i и импульсах p i.

Уравнение Гамильтона - Якоби is

- ∂ S (q, t) ∂ t = H (q, p, t). {\ displaystyle - {\ frac {\ partial S (\ mathbf {q}, t)} {\ partial t}} = H \ left (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t \ right) \,.}- {\ frac {\ partial S (\ mathbf {q}, t)} {\ partial t}} = H \ left (\ mathbf {q}, \ mathbf { p}, t \ right) \,.

где

S [q, t] = ∫ t 1 t 2 L (q, q ˙, t) dt, {\ displaystyle S [\ mathbf {q}, t] = \ int _ { t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) \, dt \,,}S [\ mathbf {q}, t] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) \, dt \,,

- основная функция Гамильтона, также называемая классическое действие - это функционал оператора L. В этом случае импульсы задаются как

p = ∂ S ∂ q. {\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ mathbf {q}}} \,.}{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ mathbf {q}}} \,.}

Хотя уравнение имеет простой общий вид, для данного гамильтониана фактически единственная нелинейная PDE первого порядка в N + 1 объем. Действие позволяет идентифицировать сохраняемые величины систем, даже если сама механическая проблема не может быть решена полностью, потому что любая дифференцируемая симметрия действия физическая система имеет соответствующий закон <сохранение134>, теорему Эмми Нётер.

Все классические уравнения движения могут быть выведены из вариационного принципа, известного как Гамильтона. принцип наименьшего действия

δ S = 0, {\ displaystyle \ delta S = 0 \,,}\ delta S = 0 \,,

указание пути, по которой проходит через пространство конфигурации . - это путь с наименьшим действием S.

Электродинамика

Сила Лоренца Fна заряженную частицузарядом q) в движении (мгновенная скорость v ). Поле E и Bполе меняются в пространстве и времени.

В электродинамике сила, действующая на заряженной частицу с зарядом q, является силой Лоренца :

F = q (E + v × B) {\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf { E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!}\ mathbf {F } = q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!

Объединение со вторым законом Ньютона дает дифференциальное уравнение движения первого порядка с точки зрения положения частиц:

md 2 rdt 2 знак равно q (E + drdt × B) {\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!}m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!

или его импульс:

dpdt = q (E + p × B m) {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {p} \ times \ mathbf {B}} {m}} \ right) \, \!}{\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {p} \ times) \ mathbf {B}} {m}} \ right) \, \!

То же уравнение можно получить, используя лагранжиан (и применяя приведенные выше уравнения Лагранжа) для заряженной частицы массы m и заряда q:

L = 1 2 mr ˙ ⋅ р ˙ + Q A ⋅ р ˙ - д ϕ {\ Displaystyle L = {\ tfrac {1} {2}} м \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} + q \ mathbf {A} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} - q \ phi}{\ displaystyle L = {\ tfrac {1} {2}} m \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} + q \ mathbf {A} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} - q \ phi}

где A и ϕ - электромагнитные скалярные и вним потенциальные поля. Лагранжиан указывает на дополнительную деталь: канонический импульс в лагранжевой механике задается следующим образом:

P = ∂ L ∂ r ˙ = mr ˙ + q A {\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ frac { \ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}}}} = m {\ dot {\ mathbf {r}}} + q \ mathbf {A}}\ mathbf {P} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}}}} = m {\ dot {\ mathbf {r}}} + q \ mathbf {A}

вместо m v, подразумевая, что движение заряженной частицы в основном представляет собой массой и зарядом частицы. Выражение Лагранжа было впервые использовано для вывода уравнения силы.

В качестве альтернативы гамильтониан (и подставляем в уравнения):

H = (P - q A) 2 2 m + q ϕ {\ displaystyle H = {\ frac {\ left (\ mathbf {P } -q \ mathbf {A} \ right) ^ {2}} {2m}} + q \ phi \, \!}H = {\ frac {\ left (\ mathbf {P } -q \ mathbf {A} \ right) ^ {2}} {2m}} + q \ phi \, \!

может вывести уравнение силы Лоренца.

Общая теория относительности

Геодезическое уравнение движения

Геодезические на сфере представить собой дуги больших окружностей (желтая кривая). На 2Dразнообразии (такая как показанная сфера) направление ускоряющей геодезической однозначно фиксируется, если вектор ξ ортогонален к «исходной геодезической. "(зеленая кривая). 3D вектор разделения ξ0изменяется на ξ после расстояния s, геодезические не параллельны (геодезическое отклонение).

Вышеупомянутые уравнения действительны в плоском пространстве-времени. пространство пространство-времени все становится математически более сложным, так как линии нет; это обобщается и заменяется на геодезическую искривленного пространства-времени (кратчайшая длина кривой между двумя точками). Для изогнутых коллекторов с метрическим тензором g эта метрика понятие определения дуги (подробнее см. линейный элемент ). дифференциальная длина дуги определяется как :

ds = g α β dx α dx β {\ displaystyle ds = {\ sqrt {g _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta}}}}ds = {\ sqrt {g _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta}}}

и уравнение Общее решение - это семейство геодезических:

d 2 x μ ds 2 = - Γ μ α β dx α dsdx β ds {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {ds ^ {2}}} = - \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ beta}} {ds}}}{\ frac {d ^ {2 } x ^ {\ mu}} {ds ^ {2}}} = - \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {ds}} { \ frac {dx ^ {\ beta}} {ds}}

где Γ αβ - символ Кристоффеля второго рода, который содержит метрику (относительно системы координат).

Учитывая распределение масса-энергия, обеспечиваемое тензором <453 энергии-напряжения T, уравнения поля Эйнштейна меньшим набором нелинейных уравнений с частными производными второго порядка в метрике и предполагают, что кривизна пространства-времени эквивалентна гравитационному полю (см. эквивалент принципа ). Падение массы в искривленном поле-времени эквивалентно падению массы в гравитационном поле - потому что гравитация - это фиктивная сила. Относительное ускорение одной геодезической до другого в искривленном пространстве-времени задается уравнением геодезения :

D 2 ξ α ds 2 = - R α β γ δ dx α ds ξ γ dx δ ds {\ displaystyle {\ frac {D ^ {2} \ xi ^ {\ alpha}} {ds ^ {2}}} = - R ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma \ delta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {ds}} \ xi ^ {\ gamma} {\ frac {dx ^ {\ delta}} {ds}}}{\ frac {D ^ {2} \ xi ^ {\ alpha}} {ds ^ {2}}} = - R ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma \ delta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {ds}} \ xi ^ {\ gamma} {\ frac {dx ^ {\ delta}} {ds}}

где ξ = x 2 - x 1 - вектор разделения между двумя геодезическими, D / ds (не только d / ds) - это ковариантная производная, а R βγδ - это тензор кривизны Римана, предоставляющие символы Кристоффеля. Другими словами, уравнение геодезического отклонения - это уравнение движения масс в искривленном-пространственном времени, равное уравнению силы Лоренца для зарядов в электромагнитном поле.

Для плоского пространства-времени метрика является постоянным тензором, поэтому Символы Кристоффеля исчезают, и уравнение геодезических имеет решения прямых. Это также предельный случай, когда массы движутся в соответствии с законом всемирного тяготения.

Вращающиеся объекты

В общей теории относительности вращательного движения описывается релятивистским тензором углового, включая тензор спина , который входит в уравнения движения при ковариантных производных по собственному времени. Уравнения Матиссона - Папапетру - Диксона осуществляют движение вращающихся объектов, описывающихся в гравитационном поле.

Аналоги для волн и полей

В отличие от уравнений движения для описания механики частиц, которые являются системы связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичные уравнения, управляющие динамикой волн и полей, всегда имеют уравнениями в частных производных, поскольку волны или поля являются функциями пространства и времени. Для конкретного решения необходимо указать граничные условия вместе с начальными условиями.

Иногда в следующих контекстах уравнения волны или поля также называют уравнениями движения.

Уравнения поля

Уравнения, описывающие пространственную зависимость и временную эволюцию полей, называются уравнениями поля. К ним относ

Эта терминология не универсален: например, хотя уравнения Навье - Стокса управляют полем скоростей жидкости, их обычно не называют «уравнениями поля», поскольку в этом контексте они импульс жидкости и вместо этого называются «уравнениями импульса».

Волновые уравнения

Уравнения волнового движения называются волновыми уравнениями. Решения волнового уравнения дают временную и пространственную зависимость амплитуды . Граничные условия определяют, описывают ли решения бегущие волны или стоячие волны.

из классических уравнений движения и поля поля; могут быть получены уравнения механической, гравитационной волны и электромагнитной волны. Общее линейное волновое уравнение в 3D выглядит следующим образом:

1 v 2 ∂ 2 X ∂ t 2 = ∇ 2 X {\ displaystyle {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} X} {\ partial t ^ {2}}} = \ nabla ^ {2} X}{\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} X} {\ partial t ^ {2}}} = \ nabla ^ {2} X

где X = X (r, t) - любая амплитуда механического или электромагнитного поля, скажем:

и v - фазовая скорость. Нелинейные уравнения моделируют зависимость фазовой скорости от амплитуды, заменяя v на v (X). Существуют и другие линейные и нелинейные волновые уравнения для очень специфических приложений, см., уравнение Кортевега - де Фриза.

Квантовая теория

В квантовой теории появляются концепции волн и поля.

В квантовой механике, в которой частицы обладают волнообразными свойствами согласно дуальности волны-частица, аналогу классических уравнений движения (закон Ньютона, Уравнение Эйлера - Лагранжа, уравнение Гамильтона - Якоби и т. Д.) - это уравнение Шредингера в его наиболее общей форме:

i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ, {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ hat {H}} \ Psi \,,}i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ hat {H}} \ Psi \,,

где Ψ - волновая функция системы, Ĥ - квантовая Гамильтонов оператор, а не функция, как в классической механике, а ħ - постоянная Планка, деленная на 2π. Установка гамильтониана и вставка его в уравнение приводит к волновому уравнению, решением которого является волновая функция как функция и времени. Само уравнение Шредингера сводится к уравнению Гамильтона - Якоби, если рассматривать принцип соответствия в пределе, когда ħ обращается в ноль.

На всех этапах квантовой теории, релятивистской или нерелятивистской, существуют различные формулировки, альтернативные уравнения Шредингера, которые управляют эволюцией во времени и поведением квантовой системы, например:

См. также

Литература

Последняя правка сделана 2021-05-19 12:38:29
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте