Преобразование Галилея

Преобразование между координатами двух систем отсчета, которые отличаются только постоянным относительным движением в рамках конструкций ньютоновской физики

В физике используется преобразование Галилея для преобразования между координатами двух опорных систем, которые отличаются только постоянным относительным движением в рамках ньютоновских физика. Эти преобразования вместе с пространственными вращениями и перемещениями в пространстве и времени образуют неоднородную галилееву группу (предполагается далее). Без перемещений в пространстве и времени группа представляет собой однородную галилееву группу . Группа Галилея - это группа движений из теории относительности Галилея, действующих в четырех измерениях пространства и времени, образуя геометрию Галилея . Это точка зрения пассивного преобразования. В специальной теории относительности однородные и неоднородные преобразования Галилея, соответственно, заменены преобразованиями Лоренца и преобразованиями Пуанкаре ; наоборот, групповое сжатие в классическом пределе c → ∞ преобразований Пуанкаре приводит к преобразованиям Галилея.

Приведенные ниже уравнения физически действительны только в рамках ньютоновской системы и не применимы к системам координат, движущимся относительно друг друга со скоростью, приближающейся к скорости света..

Галилей сформулировал эти концепции в его описание равномерного движения. Тема была мотивирована его описанием движения мяча, катящегося по рампе, с помощью которого он измерил числовое значение для ускорения для гравитация у поверхности Земли.

• 1 Перевод
• 2 Галилеевы преобразования
• 3 Галилеевы группы
• 4 Начало в групповом сжатии
• 5 Центральное продолжение Группа Галилея
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Стандартная конфигурация систем координат для преобразований Галилея.

Хотя преобразования названы в честь Галилея, это абсолютное время и пространство в понимании Исаака Ньютона, что обеспечивает их область определения. По сути, преобразования Галилея воплощают интуитивное понятие сложения и вычитания скоростей как векторов.

. Обозначения ниже описывают взаимосвязь при преобразовании Галилея между координатами (x, y, z, t) и (x ′, y ', z', t ') одного произвольного события, измеренного в двух системах координат S и S', при равномерном относительном движении (скорость v) в их общих направлениях x и x ', с их пространственным происхождением, совпадающим в момент времени t = t ′ = 0:

$x\; \prime \; =\; x\; -\; vt\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}=\; x-vt\}$

$y\; \prime \; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\text{'}\; =\; y\}$

$Z\; \prime \; знак\; равно\; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; \text{'}=\; Z\}$

$T\; \prime \; =\; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \text{'}=\; t.\}$

Обратите внимание, что последнее уравнение справедливо для всех преобразований Галилея вплоть до добавления константы и выражает предположение о том, что универсальное время не зависит от относительного движения различных наблюдателей.

На языке линейной алгебры это преобразование считается отображением сдвига и описывается матрицей, действующей на вектор. При движении, параллельном оси x, преобразование действует только на два компонента:

$(x\; \prime \; t\; \prime )\; =\; (1\; -\; v\; 0\; 1)\; (xt)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \text{'}\backslash \backslash \; t\; \text{'}\backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; -v\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; t\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Хотя представления матрицы не являются строго необходимыми для преобразования Галилея, они предоставляют средства для прямого сравнения с методами преобразования в специальной теории относительности.

Симметрии Галилея можно однозначно записать как композицию вращения, сдвига и равномерного движения пространства-времени. Пусть x представляет точку в трехмерном пространстве, а t точку в одномерном времени. Общая точка в пространстве-времени задается упорядоченной парой (x, t).

Равномерное движение со скоростью v задается выражением

$(x,\; t)\; \mapsto \; (x\; +\; tv,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; mapsto\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; t\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\; t),\}$

где v∈ R. Перевод задается как

$(x,\; t)\; \mapsto \; (x\; +\; a,\; t\; +\; s),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; mapsto\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}),\; t\; +\; s),\}$

где a∈ Rи s ∈ R . Поворот задается выражением

$(x,\; t)\; \mapsto \; (G\; x,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; mapsto\; (G\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t),\}$

где G: R→ R- ортогональное преобразование.

Как группа Ли, группа преобразований Галилея имеет размер 10.

Два преобразования Галилея G (R, v, a, s) и G (R ', v', a ', s ') составьте, чтобы сформировать третье преобразование Галилея,

G (R', v ', a', s ') · G (R, v, a, s) = G (R 'R, R' v+v ', R' a+a '+ v' s, s '+ s).

Набор всех преобразований Галилея Gal (3) образует группу с композицией в качестве групповой операции.

Группа иногда представлена ​​как матричная группа с пространственно-временными событиями (x, t, 1) как векторами, где t - действительное значение, а x∈ R- позиция. в космосе. Действие задается как

$(R\; va\; 0\; 1\; s\; 0\; 0\; 1)\; (xt\; 1)\; =\; (R\; x\; +\; vt\; +\; at\; +\; s\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; R\; v\; a\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; s\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; t\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; Rx\; +\; vt\; +\; a\; \backslash \backslash \; t\; +\; s\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

где s вещественное, а v, x, a ∈ R и R - матрица вращения. Затем композиция преобразований выполняется посредством матричного умножения. При обсуждении следует проявлять осторожность, ограничиваясь ли мы связной компонентной группой ортогональных преобразований.

Gal (3) имеет названные подгруппы. Компонент идентичности обозначается SGal (3).

Пусть m представляет матрицу преобразования с параметрами v, R, s, a:

• $\{m:\; R\; =\; I\; 3\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{m:\; R\; =\; I\_\; \{3\}\; \backslash \},\; \}$анизотропные преобразования.
• $\{m:\; s\; =\; 0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{m:\; s\; =\; 0\; \backslash \},\}$изохронные преобразования.
• $\{m:\; s\; =\; 0,\; v\; =\; 0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{m:\; s\; =\; 0,\; v\; =\; 0\; \backslash \},\}$пространственные евклидовы преобразования.
• $G\; 1\; =\; \{m:\; s\; =\; 0,\; a\; =\; 0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; \{m:\; s\; =\; 0,\; a\; =\; 0\; \backslash \},\}$равномерно специальные преобразования / однородные преобразования, изоморфные евклидовым преобразованиям.
• $G\; 2\; знак\; равно\; \{м:\; v\; =\; 0,\; R\; =\; I\; 3\}\; \cong \; (R\; 4,\; +),\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; \{m:\; v\; =\; 0,\; R\; =\; I\_\; \{3\}\; \backslash \}\; \backslash \; cong\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{4\},\; +),\}$сдвиги происхождения / трансляции в ньютоновском пространстве-времени.
• $G\; 3\; =\; \{m:\; s\; =\; 0,\; a\; =\; 0,\; v\; =\; 0\}\; \cong \; SO\; (3),\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; \{m:\; s\; =\; 0,\; a\; =\; 0,\; v\; =\; 0\; \backslash \}\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (3),\}$вращения ( системы отсчета) (см. SO (3) ), компактная группа.
• $G\; 4\; =\; \{m:\; s\; =\; 0,\; a\; =\; 0,\; R\; =\; I\; 3\}\; \cong \; (R\; 3,\; +),\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\_\; \{4\}\; =\; \backslash \; \{m:\; s\; =\; 0,\; a\; =\; 0,\; R\; =\; I\_\; \{3\}\; \backslash \}\; \backslash \; cong\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{3\},\; +),\}$равномерное движение кадра / Boosts.

Параметры s, v, R охватывают десять измерений. Поскольку преобразования непрерывно зависят от s, v, R, a, Gal (3) является непрерывной группой, также называемой топологической группой.

Структуру Gal (3) можно понять путем реконструкции по подгруппам. Требуется комбинация групп полупрямого продукта ($A\; ⋊\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; rtimes\; B\}$).

1. $G\; 2\; ◃\; SG\; al\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; треугольникleft\; \backslash \; mathrm\; \{SGal\}\; (3)\}$(G2является нормальной подгруппой )
2. $SG\; al\; (3)\; \cong \; G\; 2\; ⋊\; G\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SGal\}\; (3)\; \backslash \; cong\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; rtimes\; G\_\; \{1\}\}$
3. $G\; 4\; ⊴\; G\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{4\}\; \backslash \; треугольник\; G\_\; \{1\}\}$
4. $G\; 1\; \cong \; G\; 4\; ⋊\; G\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; cong\; G\_\; \{4\}\; \backslash \; rtimes\; G\_\; \{3\}\}$
5. $SG\; al\; (3)\; \cong \; R\; 4\; ⋊\; (R\; 3\; ⋊\; SO\; (3)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SGal\}\; (3)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{4\}\; \backslash \; rtimes\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; rtimes\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (3)).\}$

Алгебра Ли группы Галилея покрыта на H, P i, C i и L ij (антисимметричный тензор ) с учетом коммутационных соотношений, где

$[H,\; P\; i]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; P\_\; \{i\}]\; =\; 0\}$

$[P\; i,\; P\; j]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [P\_\; \{i\},\; P\_\; \{j\}]\; =\; 0\}$

$[L\; ij,\; H]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\_\; \{ij\},\; H]\; =\; 0\}$

$[C\; i,\; C\; j]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [C\_\; \{i\},\; C\_\; \{j\}]\; =\; 0\}$

$[L\; ij,\; L\; kl]\; =\; я\; [\delta \; ik\; L\; jl\; -\; \delta \; il\; L\; jk\; -\; \delta \; jk\; L\; il\; +\; \delta \; jl\; L\; ik]\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\_\; \{ij\},\; L\_\; \{kl\}]\; =\; i\; [\backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; L\_\; \{jl\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{il\}\; L\_\; \{jk\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jk\}\; L\_\; \{il\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{jl\}\; L\_\; \{ik\}]\}$

$[L\; ij,\; П\; К]\; знак\; равно\; я\; [\delta \; ik\; P\; j\; -\; \delta \; jk\; п\; я]\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\_\; \{ij\},\; P\_\; \{k\}]\; =\; я\; [\backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; P\_\; \{j\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jk\}\; P\_\; \{i\}]\}$

$[L\; ij,\; C\; k]\; =\; i\; [\delta \; ik\; C\; j\; -\; \delta \; jk\; C\; i]\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\_\; \{ij\},\; C\_\; \{k\}]\; =\; i\; [\backslash \; delta\; \_\; \{\; ik\}\; C\_\; \{j\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jk\}\; C\_\; \{i\}]\}$

$[C\; i,\; H]\; =\; i\; P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; [C\_\; \{i\},\; H]\; =\; iP\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[C\; i,\; P\; j]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [C\_\; \{i\},\; P\_\; \{j\}]\; =\; 0\; ~.\}$

H - генератор временных преобразований (гамильтониан ), P i - генератор перемещений (оператор импульса ), C i - генератор безоборотных преобразований Галилея (галилеевы бусты), а L ij - генератор вращений (оператор углового момента ).

Эта алгебра Ли рассматривается как специальный классический предел алгебры группы Пуанкаре в пределе c → ∞. Технически группа Галилея является знаменитым групповым сжатием группы Пуанкаре (которое, в свою очередь, является групповым сжатием группы де Ситтера SO (1,4)). Формально, переименовав генераторы импульса и ускорения последних, как в

P0↦ H / c

Ki↦ c ⋅ C i,

, где c - скорость света (или любая ее неограниченная функция), коммутационные соотношения ( структурные константы) в пределе c → ∞ принимают соотношения первых. Определены генераторы временных трансляций и вращений. Также обратите внимание на групповые инварианты L mn L и P i P.

В матричной форме для d = 3 можно рассматривать обычное представление (встроенное в GL (5; R ), из которого оно может быть получено с помощью единственного группового сжатия, минуя группа Пуанкаре),

$я\; H\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; iH\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccccc\}\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\}$$ia\; \to \; \cdot \; P\; \to \; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; a\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; a\; 2\; 0\; 0\; 0\; 0\; a\; 3\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \{\backslash \; vec\; \{a\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{P\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccccc\}\; 0\; 0\; 0\; 0\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; a\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\}$$С\; \to \; знак\; равно\; (0\; 0\; 0\; v\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; v\; 2\; 0\; 0\; 0\; 0\; v\; 3\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{C\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccccc\}\; 0\; 0\; 0\; v\_\; \{1\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; v\_\; \{2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; v\_\; \{3\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\}$$i\; \theta \; i\; ϵ\; ijk\; L\; jk\; =\; (0\; \theta \; 3\; -\; \theta \; 2\; 0\; 0\; -\; \theta \; 3\; 0\; \theta \; 1\; 0\; 0\; \theta \; 2\; -\; \theta \; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{ijk\}\; L\_\; \{jk\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccccc\}\; 0\; \backslash \; theta\; \_\; \{3\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; 0\; 0\; \backslash \; \backslash \; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{3\}\; 0\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; ~.\}$

Тогда инфинитезимальный элемент группы равен

$G\; (R,\; v\; \to ,\; a\; \to ,\; s)\; =\; 1\; 1\; 5\; +\; (0\; \theta \; 3\; -\; \theta \; 2\; v\; 1\; a\; 1\; -\; \theta \; 3\; 0\; \theta \; 1\; v\; 1\; а\; 2\; \theta \; 2\; -\; \theta \; 1\; 0\; v\; 1\; а\; 3\; 0\; 0\; 0\; 0\; с\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0)\; +....\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (R,\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{a\}\},\; s)\; =\; 1\; \backslash !\; \backslash !\; 1\_\; \{5\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccccc\}\; 0\; \backslash \; theta\; \_\; \{3\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; v\_\; \{1\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{3\}\; 0\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; v\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; 0\; v\_\; \{1\}\; a\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; s\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash ...\; ~.\}$

Можно рассматривать центральное расширение алгебры Ли группы Галилея, натянутое на H ′, P ′ i, C ′ i, L ′ ij и оператор M: так называемая алгебра Баргмана получается путем наложения $[C\; i\; \prime ,\; P\; j\; \prime ]\; =\; i\; M\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; [C\; \text{'}\_\; \{i\},\; P\text{'}\; \_\; \{j\}]\; =\; iM\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$, такой, что M лежит в центре, т. е. коммутирует со всеми другими операторами.

В полном объеме эта алгебра имеет вид

$[H\; \text{'},\; P\; i\text{'}]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [H\; \text{'},\; P\text{'}\; \_\; \{i\}]\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[P\; i\; \prime ,\; P\; j\; \prime ]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [P\; \text{'}\_\; \{i\},\; P\text{'}\; \_\; \{j\}]\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[L\; ij\; \prime ,\; H\; \prime ]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\; \text{'}\_\; \{ij\},\; H\text{'}]\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[C\; i\; \text{'},\; C\; j\text{'}]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [C\; \text{'}\_\; \{i\},\; C\text{'}\; \_\; \{\; j\}]\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[L\; ij\; \prime ,\; L\; kl\; \prime ]\; =\; i\; [\delta \; ik\; L\; jl\; \prime \; -\; \delta \; il\; L\; jk\; \prime \; -\; \delta \; jk\; L\; il\; \prime \; +\; \delta \; jl\; L\; ik\; \prime ]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; [L\; \text{'}\_\; \{ij\},\; L\text{'}\; \_\; \{kl\}]\; =\; i\; [\backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; L\; \text{'}\_\; \{jl\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{il\}\; L\text{'}\; \_\; \{jk\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{\; jk\}\; L\; \text{'}\_\; \{il\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{jl\}\; L\text{'}\; \_\; \{ik\}]\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[L\; ij\; \prime ,\; P\; k\; \prime ]\; =\; i\; [\delta \; ik\; P\; j\; \prime \; -\; \delta \; jk\; P\; i\; \prime ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\; \text{'}\_\; \{ij\},\; P\text{'}\; \_\; \{k\}]\; =\; i\; [\backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; P\; \text{'}\_\; \{j\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jk\}\; P\text{'}\; \_\; \{i\}\; ]\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[L\; ij\; \prime ,\; C\; k\; \prime ]\; =\; я\; [\delta \; ik\; C\; j\; \prime \; -\; \delta \; jk\; C\; i\; \prime ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\; \text{'}\_\; \{ij\},\; C\text{'}\; \_\; \{k\}\; ]\; =\; i\; [\backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; C\; \text{'}\_\; \{j\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jk\}\; C\text{'}\; \_\; \{i\}]\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[C\; i\; \text{'},\; H\text{'}]\; =\; i\; P\; i\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; [C\; \text{'}\_\; \{i\},\; H\text{'}]\; =\; iP\; \text{'}\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

и, наконец,

$[C\; i\; \prime ,\; P\; j\; \prime ]\; =\; i\; M\; \delta \; ij.\; \{\backslash \; displaystyle\; [C\; \text{'}\_\; \{i\},\; P\text{'}\; \_\; \{j\}]\; =\; iM\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; ~.\}$

где новый параметр $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$появляется. Это расширение и проективные представления, которые это позволяет, определяется его групповой когомологией.

• Галилеевская инвариантность
• Теория представлений группы Галилея
• Галилей-ковариантная тензорная формулировка
• Группа Пуанкаре
• Группа Лоренца
• Лагранжевы и эйлеровы координаты

• Arnold, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 6. ISBN 0-387-96890-3. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Баргманн, В. (1954) ". Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп. Annals of Mathematics. 2. 59 (1): 1–46. doi : 10.2307 / 1969831. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Коперник, Николай ; Кеплер, Иоганнес ; Галилей, Галилей ; Ньютон, Исаак ; Эйнштейн, Альберт (2002). Хокинг, Стивен (ред.). На плечах гигантов: великие труды по физике и астрономии. Филадельфия, Лондон: Running Press. Pp. 515–520. ISBN 0-7624-1348-4. CS1 maint : ref = harv (link )
• Galilei, Galileo (1638I). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (на итальянском языке). Лейден: Elsevier. pp. 191 –196. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Галилей, Галилей (1638E). Рассуждения и математические демонстрации, касающиеся двух новых наук [Discorsi e Dimo strazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze]. Переведено на английский язык 1914 г. Генри Крю и Альфонсо де Сальвио. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Роберт Гилмор (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые другие их приложений. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 0486445291. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Хоффманн, Банеш (1983), Относительность и ее корни, Scientific American Books, ISBN 0-486-40676-8, Глава 5, стр. 83
• Лернер, Лоуренс С. (1996), Физика для ученых и инженеров, 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc, ISBN 0-7637-0460-1, Глава 38 §38.2, стр. 1046,1047
• Молд, Ричард А. (2002), Базовая теория относительности, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95210- 1, Глава 2 §2.6, стр. 42
• Наджафиха, Мехди; Фороу, Ахмад-Реза (2009). «Галилеевская геометрия движений» (PDF). Прикладные науки. Стр. 91 –105.
• Серуэй, Раймонд А.; Джуэтт, Джон У. (2006), Принципы физики: расчет-b ased Text (4-е изд.), Brooks / Cole - Thomson Learning, ISBN 0-534-49143-X, Глава 9 §9.1, с. 261