Действие Эйнштейна – Гильберта

редактировать

Действие Эйнштейна – Гильберта (также называемое действие Гильберта ) в общей теории относительности - это действие, которое приводит к уравнениям поля Эйнштейна через принцип наименьшего действия. С метрической сигнатурой (- + + +) гравитационная часть действия задается как

S = 1 2 κ ∫ R - gd 4 x, {\ displaystyle S = {1 \ over 2 \ каппа} \ int R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x,}

{\ displaystyle S = {1 \ over 2 \ kappa} \ int R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x,}

где $g = det (g μ ν) {\ displaystyle g = \ det (g _ {\ mu \ nu})}$ $g = \ det (g _ {\ mu \ nu})$ - определитель матрицы метрического тензора, $R {\ displaystyle R}$ $R$ - скаляр Риччи, а $κ = 8 π G c - 4 {\ displaystyle \ kappa = 8 \ pi Gc ^ {- 4}}$ $\ kappa = 8 \ pi Gc ^ {{- 4}}$ - гравитационная постоянная Эйнштейна. ( $G {\ displaystyle G}$ $G$ - это гравитационная постоянная, а $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света в вакууме). Если он сходится, интеграл берется по всему пространству-времени. Если он не сходится, $S {\ displaystyle S}$ $S$ больше не является четко определенным, но модифицированное определение, в котором интегрирование производится по произвольно большим, относительно компактным областям, по-прежнему дает уравнение Эйнштейна как Уравнение Эйлера – Лагранжа действия Эйнштейна – Гильберта.

Действие было впервые предложено Дэвидом Гильбертом в 1915 году.

Содержание

1 Обсуждение
2 Вывод уравнений поля Эйнштейна
- 2.1 Вариация тензора Римана, тензор Риччи и скаляр Риччи
- 2.2 Вариация определителя
- 2.3 Уравнение движения
3 Космологическая постоянная
4 См. также
5 Примечания
6 Библиография

Обсуждение

Вывод уравнений движения на основе действия имеет несколько преимуществ. Во-первых, это позволяет легко объединить общую теорию относительности с другими классическими теориями поля (такими как теория Максвелла ), которые также сформулированы в терминах действия. При этом вывод определяет естественного кандидата на роль источника, связывающего метрику с полями материи. Более того, симметрии действия позволяют легко идентифицировать сохраняющиеся величины с помощью теоремы Нётер.

. В общей теории относительности действие обычно считается функционалом метрики (и полей материи), а соединение задается соединением Леви-Чивита. Формулировка Палатини общей теории относительности предполагает, что метрика и связь независимы, и изменяется по отношению к обоим независимо друг от друга, что позволяет включать поля фермионной материи с нецелочисленным спином.

Уравнения Эйнштейна в присутствии материи задаются путем добавления действия материи к действию Эйнштейна-Гильберта.

Вывод уравнений поля Эйнштейна

Предположим, что полное действие теории дается членом Эйнштейна – Гильберта плюс член $LM {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}$ ${\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}$ описание любых полей материи, появляющихся в теории.

S = ∫ [1 2 κ R + LM] - gd 4 x {\ displaystyle S = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} R + {\ mathcal {L}} _ { \ mathrm {M}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

{\ displaystyle S = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} R + {\ mathcal {L} } _ {\ mathrm {M}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

(1)

Затем принцип действия сообщает Чтобы восстановить физический закон, мы должны потребовать, чтобы вариация этого действия относительно обратной метрики была равна нулю, что дает

0 = δ S = ∫ [1 2 κ δ (- g R) δ g μ ν + δ (- g LM) δ g μ ν] δ g μ ν d 4 x = ∫ [1 2 κ (δ R δ g μ ν + R - g δ - g δ g μ ν) + 1 - g δ ( - г LM) δ г μ ν] δ г μ ν - GD 4 Икс {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} 0 = \ delta S \\ = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa }} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} R)} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} { \ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left ({\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right) + {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 = \ delta S \\ = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} R)} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ { \ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left ({\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right) + {\ frac {1} {\ sqrt {- g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ вправо] \ delta g ^ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {align}}}

Поскольку это уравнение должно выполняться для любого варианта $δ g μ ν {\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu}}$ $\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}$ , это означает, что

δ R δ g μ ν + R - g δ - g δ g μ ν = - 2 κ 1 - g δ (- g LM) δ g μ ν {\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 \ kappa {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({ \ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 \ kappa {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}}}

(2)

- это уравнение движения для метрического поля. Правая часть этого уравнения (по определению) пропорциональна тензору энергии-импульса ,

T μ ν: = - 2 - g δ (- g LM) δ g μ ν = - 2 δ LM δ g μ ν + g μ ν LM {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}: = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g} } {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + g _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}

{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}: = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 {\ frac {\ delta { \ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + g _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M} }}

Для вычисления левого В качестве стороны уравнения нам нужны вариации скаляра Риччи $R {\ displaystyle R}$ $R$ и определителя метрики. Их можно получить с помощью стандартных расчетов из учебника, таких как приведенный ниже, который сильно основан на приведенном в Кэрролл 2004 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFCarroll2004 (help ).

Вариация тензора Римана, тензора Риччи и скаляра Риччи

Чтобы вычислить вариацию скаляра Риччи, мы сначала вычисляем вариацию Тензор кривизны Римана, а затем вариация тензора Риччи. Итак, тензор кривизны Римана определяется как

R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ν σ ρ - ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ - Γ ν λ ρ Γ μ σ λ { \ Displaystyle {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ Гамма _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}}

{\ displaystyle {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}}

Поскольку кривизна Римана зависит только от связности Леви-Чивиты $Γ μ ν λ {\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$ $\ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}$ , изменение тензора Римана можно вычислить как

δ R ρ σ μ ν = ∂ μ δ Γ ν σ ρ - ∂ ν δ Γ μ σ ρ + δ Γ μ λ ρ Γ ν σ λ + Γ μ λ ρ δ Γ ν σ λ - δ Γ ν λ ρ Γ μ σ λ - Γ ν λ ρ δ Γ μ σ λ {\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ delta \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda } + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gam ma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}}

{\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ delta \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho } \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Гамма _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}}

Теперь, поскольку $δ Γ ν σ ρ {\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}}$ - разность двух связностей, это тензор, поэтому мы можем вычислить его ковариантную производную,

∇ μ (δ Γ ν σ ρ) Знак равно ∂ μ (δ Γ ν σ ρ) + Γ μ λ ρ δ Γ ν σ λ - Γ μ ν λ δ Γ λ σ ρ - Γ μ σ λ δ Γ ν λ ρ {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) + \ Гамма _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ { \ lambda \ sigma} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho}}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ lambda \ sigma} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho}}

Теперь мы можем заметить, что приведенное выше выражение для вариации тензора кривизны Римана равно разности двух таких членов,

δ R ρ σ μ ν = ∇ μ (δ Γ ν σ ρ) - ∇ ν (δ Γ μ σ ρ) {\ Displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} \ right)}

{\ displaystyle \ delta {R ^ { \ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} \ right)}

Теперь мы можем получить вариация тензора кривизны Риччи простым сжатием двух индексов вариации тензора Римана, и получаем тождество Палатини :

δ R σ ν ≡ δ R ρ σ ρ ν = ∇ ρ (δ Γ ν σ ρ) - ∇ ν (δ Γ ρ σ ρ) {\ Displaystyle \ delta R _ {\ sigma \ nu} \ Equiv \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ rho \ nu} = \ nabla _ {\ rho} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho} \ right)}

{\ displaystyle \ delta R _ {\ sigma \ nu} \ Equiv \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ rho \ nu} = \ nabla _ {\ rho} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho} \ right)}

скаляр Риччи определяется как

R = g σ ν R σ ν {\ displaystyle R = g ^ {\ sigma \ nu} R _ {\ sigma \ nu}}

{\ displaystyle R = g ^ {\ sigma \ Nu} R _ {\ sigma \ nu}}

Следовательно, его вариация по отношению к обратной метрике $g σ ν {\ displaystyle g ^ {\ sigma \ nu}}$ ${\ displaystyle g ^ {\ sigma \ nu}}$ определяется как

δ R = R σ ν δ g σ ν + g σ ν δ R σ ν = R σ ν δ g σ ν + ∇ ρ (g σ ν δ Γ ν σ ρ - g σ ρ δ Γ μ σ μ) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ delta R = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + g ^ {\ sigma \ nu} \ delta R _ {\ sigma \ nu } \\ = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta R = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + g ^ {\ sigma \ nu} \ delta R _ {\ sigma \ nu} \\ = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right) \ end {align}}}

Во второй строке мы использовали метрическую совместимость ковариантной производной, $∇ σ g μ ν = 0 {\ displaystyle \ nabla _ {\ sigma} g ^ {\ mu \ nu} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ sigma} g ^ {\ mu \ nu} = 0}$ , а ранее полученный результат для вариации кривизны Риччи (во втором члене, переименовав фиктивные индексы $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ и $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ до $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ и $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ соответственно).

Последний член,

∇ ρ (г σ ν δ Γ ν σ ρ - г σ ρ δ Γ μ σ μ) {\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ { \ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right)}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right)}

, т.е.

ρ A ρ ≡ A λ; λ {\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} A ^ {\ rho} \ Equiv A ^ {\ lambda} {} _ {; \ lambda}}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} A ^ {\ rho} \ Equiv A ^ {\ lambda} {} _ {; \ lambda} }

A ρ = g σ ν δ Γ ν σ ρ - г σ ρ δ Γ μ σ μ {\ Displaystyle A ^ {\ rho} = g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu}}

{\ displaystyle A ^ {\ rho} = g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu}}

, умноженное на $- g {\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ $\ sqrt {-g}$ , становится полной производной, поскольку для любого вектора $A λ {\ displaystyle A ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ lambda}}$ и любого тензорная плотность $- g A λ {\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}}$ имеем:

- g A; λ λ = (- g A λ); λ знак равно (- г A λ), λ {\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A _ {; \ lambda} ^ {\ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {; \ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {, \ lambda}}

{ \ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A _ {; \ lambda} ^ {\ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {; \ lambda} = ( {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {, \ lambda}}

или

- g ∇ μ A μ знак равно ∇ μ (- г A μ) знак равно ∂ μ (- г A μ) {\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, \ nabla _ {\ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla _ { \ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right) = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right)}

{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, \ nabla _ {\ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right) = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right)}

и поэтому по теореме Стокса дает только граничный член при интегрировании. Граничный член в общем ненулевой, поскольку подынтегральное выражение зависит не только от $δ g μ ν, {\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu},}$ ${\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu},}$ , но и от его частные производные $∂ λ δ g μ ν ≡ δ ∂ λ g μ ν {\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} \, \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ Equiv \ delta \, \ partial _ { \ lambda} g ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} \, \ дельта г ^ {\ му \ ню} \ экв \ дельта \, \ частичное _ {\ лямбда} г ^ {\ му \ ню}}$ ; подробности см. в статье Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка. Однако, когда вариация метрики $δ g μ ν {\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu}}$ $\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}$ исчезает в окрестности границы или когда граница отсутствует, этот член не способствует изменению действия. Таким образом, мы получаем

δ R δ g μ ν = R μ ν {\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = R _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = R _ {\ mu \ nu}}

(3)

в событиях не в закрытии границы.

Вариация определителя

Формула Якоби, правило дифференцирования определителя, дает:

δ g = δ det (g μ ν) = gg μ ν δ g μ ν {\ displaystyle \ delta g = \ delta \ det (g _ {\ mu \ nu}) = gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle \ delta g = \ delta \ det (g _ {\ mu \ nu}) = gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}}

или можно было бы преобразовать в систему координат, где $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ является диагональным, а затем применить правило произведения, чтобы дифференцировать произведение множителей на главной диагонали. Используя это, мы получаем

δ - g = - 1 2 - g δ g = 1 2 - g (g μ ν δ g μ ν) = - 1 2 - g (g μ ν δ g μ ν) {\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} \ delta g = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g }} \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ left (g_ { \ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ right)}

{\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ f rac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} \ delta g = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ left (g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu } \ right)}

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что

g μ ν δ g μ ν = - g μ ν δ g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}}

, которое следует из правила дифференцирования обратная матрица

δ g μ ν = - g μ α (δ g α β) g β ν {\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ alpha} \ left (\ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) g ^ {\ beta \ nu}}

{\ displaysty le \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ alpha} \ left (\ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) g ^ {\ beta \ nu}}

Таким образом, мы заключаем, что

1 - g δ - g δ g μ ν = - 1 2 g μ ν {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - {\ гидроразрыв {1} {2}} g _ {\ mu \ nu}}

(4)

Уравнение движения

Теперь, когда в нашем распоряжении есть все необходимые варианты, мы можем n вставьте (3) и (4) в уравнение движения (2) для метрического поля, чтобы получить

R μ ν - 1 2 g μ ν R = 8 π G c 4 T μ ν {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T_ { \ mu \ nu}}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

(5)

который является уравнениями поля Эйнштейна, и

κ = 8 π G c 4 {\ displaystyle \ kappa = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}

был выбран так, что нерелятивистский предел дает обычную форму закона тяготения Ньютона, где $G {\ displaystyle G }$ $G$ - гравитационная постоянная (подробнее см. здесь ).

Космологическая постоянная

Когда космологическая постоянная Λ включена в лагранжиан, действие:

S = ∫ [1 2 κ (R - 2 Λ) + LM] - GD 4 Икс {\ Displaystyle S = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} (R-2 \ Lambda) + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

{\ Displaystyle S = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} (R-2 \ Lambda) + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right] { \ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

Внесение вариаций относительно обратной метрики:

δ S = ∫ [- g 2 κ δ R δ g μ ν + R 2 κ δ - g δ g μ ν - Λ κ δ - g δ g μ ν + - g δ LM δ g μ ν + LM δ - g δ g μ ν] δ g μ ν d 4 x = = ∫ [1 2 κ δ R δ g μ ν + R 2 κ 1 - g δ - g δ g μ ν - Λ κ 1 - g δ - g δ g μ ν + δ LM δ g μ ν + LM - g δ - g δ g μ ν] δ g μ ν - gd 4 Икс {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ delta S = \ int \ left [{\ frac {\ sqrt {-g}} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {2 \ kappa}} {\ frac { \ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} - {\ frac {\ Lambda} {\ kappa}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g} }} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} ^ {4} x = \\ = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ { \ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {2 \ kappa}} {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} - {\ frac {\ Lambda} {\ kappa}} {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {{\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {выровнено }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta S = \ int \ left [{\ frac { \ sqrt {-g}} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} - {\ frac {\ Lambda} {\ kappa}} {\ frac {\ delta {\ s qrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} } {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} ^ {4} x = \\ = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {2 \ kappa}} {\ frac {1} {\ sqrt {-g} }} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} - {\ frac {\ Lambda} {\ kappa}} {\ frac {1} { \ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {{\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ sqrt {-g} }} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g} } \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {align}}}

Использование принципа действия :

δ S = 0 1 2 κ δ R δ g μ ν + R 2 κ 1 - g δ - g δ g μ ν - Λ κ 1 - g δ - g δ g μ ν + δ LM δ g μ ν + LM - g δ - g δ g μ ν = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ delta S = 0 \\ {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {2 \ kappa}} {\ frac {1} {\ sqrt { -g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} - {\ frac {\ Lambda} {\ kappa}} {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {{\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = 0 \\\ конец {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta S = 0 \\ {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {2 \ kappa}} { \ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} - {\ frac {\ Lambda} {\ kappa}} {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + { \ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {{\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = 0 \\\ конец {выровнен }}}

Объединение этого выражения с результатами, полученными ранее:

δ R δ g μ ν = R μ ν 1 - g δ - g δ g μ ν = - g μ ν 2 T μ ν знак равно LM g μ ν - 2 δ LM δ g μ ν {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = R _ {\ mu \ nu} \\ {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu }}} = {\ frac {-g _ {\ mu \ nu}} {2}} \\ T _ {\ mu \ nu} = {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} g _ {\ mu \ nu} -2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \\\ конец {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = R _ {\ mu \ nu} \\ {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = {\ frac {-g _ {\ mu \ nu}} {2}} \\ T _ {\ mu \ nu} = {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} g _ {\ mu \ nu} -2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \\\ end {выровнено }}}

Мы можем получить:

1 2 κ R μ ν + R 2 κ - g μ ν 2 - Λ κ - g μ ν 2 + (δ LM δ g μ ν + LM - g μ ν 2) = 0 R μ ν - R 2 g μ ν + Λ g μ ν + κ (2 δ LM δ g μ ν - LM g μ ν) = 0 R μ ν - R 2 g μ ν + Λ g μ ν - κ T μ ν = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {2 \ kappa}} R _ {\ mu \ nu} + {\ frac {R} {2 \ kappa}} {\ frac {-g _ {\ mu \ nu}} {2}} - {\ frac {\ Lambda} {\ kappa}} {\ frac {-g _ {\ mu \ nu}} {2}} + \ left ({\ frac {\ delta { \ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} {\ frac {-g_ {\ mu \ nu}} {2}} \ right) = 0 \\ R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {R} {2}} g _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} + \ kappa \ left (2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}}} - {\ mathcal { L}} _ {\ mathrm {M}} g _ {\ mu \ nu} \ right) = 0 \\ R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {R} {2}} g _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} - \ kappa T _ {\ mu \ nu} = 0 \ end {align}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {2 \ kappa}} R _ {\ mu \ nu} + {\ frac {R} {2 \ kappa}} {\ frac {-g _ {\ mu \ nu}} {2}} - {\ frac {\ Lambda} {\ kappa}} {\ frac {-g _ {\ mu \ nu}} {2}} + \ left ({\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} { \ frac {-g _ {\ mu \ nu}} {2}} \ right) = 0 \\ R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {R} {2}} g _ {\ mu \ nu} + \ Лямбда g _ {\ mu \ nu} + \ kappa \ left (2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} - {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} g _ {\ mu \ nu } \ right) = 0 \\ R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {R} {2}} g _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} - \ kappa T _ {\ mu \ Nu} = 0 \ конец {выровнено}}}

с $κ = 8 π G c 4 {\ displaystyle \ kappa = { \ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}$ ${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}$ , выражение становится уравнением поля с космологической постоянной :

R μ ν - 1 2 g μ ν R + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν. {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}.}

{\ displaystyle R_ { \ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}} } T _ {\ mu \ nu}.}

См. Также

Тензор Белинфанте – Розенфельда
Теория Бранса – Дике (в которой константа k заменена скалярным полем).
теория Эйнштейна – Картана
уравнения Эйнштейна – Максвелла – Дирака
f (R) гравитация (в которых скаляр Риччи заменен функцией кривизны Риччи)
Гиббонс – Хокинг –Йоркский граничный термин
теория Калуцы – Клейна
суперпотенциал Комара
действие Палатини
телепараллелизм
действие Тетрадика Палатини
Вариационные методы в общей теории относительности
Теорема Вермейля

Примечания

Библиография

Миснер, Чарльз У. ; Торн, Кип. S. ; Уиллер, Джон А. (1973), Gravitation, WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
Wald, Роберт М. (1984), Общая теория относительности, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87033-5
Кэрролл, Шон М.. (2004), Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности, Сан-Франциско: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2
Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik (немецкий оригинал бесплатно) (английский перевод за 25 долларов), Konigl. Гезелл. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407
Соколов Д.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Фейнман, Ричард П. (1995), Лекции Фейнмана по гравитации, Аддисон- Уэсли, ISBN 0-201-62734-5
Кристофер М. Хирата Лекция 33: Лагранжева формулировка GR (27 апреля 2012 г.).