Ивар Экеланд

редактировать
Картина из набора Юлия Ивар Экеланд написал популярные книги о теории хаоса и о фракталах, например о множестве Джулии (с анимацией). Экспозиция Экланда послужила математическим вдохновением для обсуждения Майклом Крайтоном хаоса в Парке Юрского периода.

Ивар И. Экеланд (родился 2 июля 1944 года, Париж) - французский математик норвежского происхождения. Экеланд написал влиятельные монографии и учебники по нелинейному функциональному анализу, вариационному исчислению и математической экономике, а также популярные книги по математике, которые были опубликованы на французском, английском и других языках. Экланд известен как автор вариационного принципа Экланда и за использование леммы Шепли – Фолкмана в теории оптимизации. Он внес свой вклад в периодических решений в гамильтоновых систем и, в частности к теории индексов Крейна для линейных систем ( теории Флоке ). Экеланд помог вдохновить обсуждение теории хаоса в романе Майкла Крайтона 1990 года « Парк Юрского периода».

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Биография
  • 2 Научно-популярный: Парк Юрского периода Крайтона и Спилберга
  • 3 Исследования
    • 3.1 Вариационный принцип
    • 3.2 Вариационная теория гамильтоновых систем
    • 3.3 Проблемы аддитивной оптимизации
  • 4 Библиография
    • 4.1 Исследования
    • 4.2 Экспозиция для широкой публики
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Внешние ссылки

биография

Экеланд учился в Высшей нормальной школе (1963–1967). Он является старшим научным сотрудником Французского национального центра научных исследований (CNRS). Он получил докторскую степень в 1970. Он преподает математику и экономику в Париже Дофин университета, в Политехнической школе, в Сен-Сир, и Университета Британской Колумбии в Ванкувере. Он был председателем Университета Париж-Дофин с 1989 по 1994 год.

Экеланд - лауреат премии Даламбера и премии Жана Ростана. Он также является членом Норвежской академии наук и литературы.

Научно-популярный: Парк Юрского периода Крайтона и Спилберга

Изображение Джеффа Голдблюма Актер Джефф Голдблюм консультировался с Экеландом, когда готовился сыграть математика, специализирующегося на теории хаоса, в « Парке юрского периода» Спилберга.

Экланда написал несколько книг по популярной науке, в котором он объяснил части динамических систем, теории хаоса и теории вероятностей. Эти книги были сначала написаны на французском языке, а затем переведены на английский и другие языки, где они получили высокую оценку за их математическую точность, а также за их ценность как литературы и развлечения.

Благодаря этим произведениям Экеланд оказал влияние на Парк Юрского периода, как в романе, так и в фильме. Экланда Математика и неожиданный и Джеймс Gleick «s Chaos вдохновили обсуждение теории хаоса в романе Парка юрского периода по Майклу Крайтона. Когда Стивен Спилберг адаптировал роман для фильма « Парк юрского периода», Актер Джефф Голдблюм консультировал Экленда и Глейка, когда тот готовился сыграть математика, специализирующегося на теории хаоса.

Исследовать

Экеланд внес свой вклад в математический анализ, особенно в вариационное исчисление и математическую оптимизацию.

Вариационный принцип

В математическом анализе, вариационный принцип Экланда, обнаруженный Ивар Экланда, является теорема, которая утверждает, что существует почти оптимальное решение класса задач оптимизации.

Вариационный принцип Экланда можно использовать, когда набор нижнего уровня задачи минимизации не компактен, так что теорема Больцано – Вейерштрасса не может быть применена. Принцип Экланда основан на полноте метрического пространства.

Принцип Экланда приводит к быстрому доказательству теоремы Каристи о неподвижной точке.

Экеланд был связан с Парижским университетом, когда предложил эту теорему.

Вариационная теория гамильтоновых систем

Ивар Экленд является экспертом по вариационному анализу, который изучает математические оптимизации в пространствах функций. Его исследование периодических решений в гамильтоновых системах, в частности к теории индексов Крейны для линейных систем ( теорий Флка ) было описано в монографии.

Проблемы аддитивной оптимизации

Лемма Шепли – Фолкмана изображена диаграммой с двумя панелями, одна слева, а другая справа. На левой панели отображаются четыре набора, которые отображаются в виде массива два на два. Каждый из наборов содержит ровно две точки, которые отображаются красным цветом. В каждом наборе две точки соединены розовым отрезком прямой, который представляет собой выпуклую оболочку исходного набора. В каждом наборе есть ровно одна точка, обозначенная знаком плюса. В верхнем ряду массива два на два знак плюса находится внутри отрезка линии; в нижнем ряду знак плюса совпадает с одной из красных точек. На этом описание левой панели диаграммы завершено. На правой панели отображается сумма Минковского наборов, которая представляет собой объединение сумм, имеющих ровно одну точку из каждого набора слагаемых; для отображаемых наборов шестнадцать сумм представляют собой отдельные точки, которые отображаются красным цветом: красные точки суммы справа являются суммами красных точек слагаемых слева. Выпуклая оболочка шестнадцати красных точек заштрихована розовым цветом. В розовой внутренней части правого набора сумм находится ровно один плюс-символ, который является (уникальной) суммой плюсовых символов из правой части. Сравнивая левый массив и правую панель, можно подтвердить, что правый плюс-символ действительно является суммой четырех плюсовых символов из левых наборов, ровно двух точек из исходных невыпуклых наборов слагаемых и двух точки из выпуклых оболочек остальных слагаемых. Ивар Экеланд применил лемму Шепли – Фолкмана, чтобы объяснить успех Клода Лемарешала в применении лагранжевой релаксации в задачах невыпуклой минимизации. Эта лемма касается сложения Минковского четырех множеств. Точка (+) в выпуклой оболочке суммы Минковского четырех невыпуклых множеств ( справа) представляет собой сумму четырех точек (+) из (левых) множеств - две точки в двух невыпуклых множествах плюс две точки в выпуклой оболочке двух множеств. Выпуклые корпуса окрашены в розовый цвет. Каждый исходный набор имеет ровно две точки (показаны красным).

Экеланд объяснил успех методов выпуклой минимизации на больших задачах, которые оказались невыпуклыми. Во многих задачах оптимизации целевая функция  f разделима, то есть представляет собой сумму многих слагаемых-функций, каждая из которых имеет свой собственный аргумент:

ж ( Икс ) знак равно ж ( Икс 1 , , Икс N ) знак равно п ж п ( Икс п ) . {\ displaystyle f (x) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {N}) = \ sum _ {n} f_ {n} (x_ {n}).}

Например, проблемы линейной оптимизации отделимы. Для сепарабельной задачи рассмотрим оптимальное решение

Икс мин знак равно ( Икс 1 , , Икс N ) мин {\ displaystyle x _ {\ min} = (x_ {1}, \ dots, x_ {N}) _ {\ min}}

с минимальным значением  f ( x min). Для сепарабельной задачи мы рассматриваем оптимальное решение (x min,  f ( x min) ) « выпуклой задачи », где выпуклые оболочки берутся у графиков слагаемых функций. Такое оптимальное решение является пределом последовательности точек выпуклой задачи

( Икс j , ж ( Икс j ) ) C о п v ( грамм р а п час ( ж п ) ) . {\ displaystyle (x_ {j}, f (x_ {j})) \ in \ mathrm {Conv} (\ mathrm {Graph} (f_ {n})). \,}Применение леммы Шепли – Фолкмана представляет данную оптимальную точку как сумму точек на графиках исходных слагаемых и небольшого числа выпуклых слагаемых.

Этот анализ был опубликован Иваром Экеландом в 1974 году для объяснения кажущейся выпуклости сепарабельных задач со многими слагаемыми, несмотря на невыпуклость проблем с слагаемыми. В 1973 году молодой математик Клод Лемарешаль был удивлен его успехом в области методов выпуклой минимизации в задачах, которые, как известно, были невыпуклыми. Анализ Экланда объяснил успех методов выпуклой минимизации для больших и разделимых задач, несмотря на невыпуклость слагаемых функций. Лемма Шепли – Фолкмана подтолкнула к использованию методов выпуклой минимизации в других приложениях с суммами многих функций.

Библиография

Исследовать

  • Экеланд, Ивар; Темам, Роджер (1999). Выпуклый анализ и вариационные задачи. Классика по прикладной математике. 28. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN   978-0-89871-450-0. Руководство по ремонту   1727362. (Исправленное переиздание издания North-Holland 1976 г. ( MR 463993 ) ed.)
Книга цитируется в MathSciNet более 500 раз.

Экспозиция для широкой публики

Картина бифуркации Фейгенбаума итерированной логистической функции Фейгенбаум бифуркация из итерированной логистической функции системы была описана в качестве примера теории хаоса в Экланде математике и неожиданной.

Смотрите также

Примечания

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-20 11:22:38
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте